FORMES DES CRISTAUX

Notions prèliminairea.

r. «Supposons un solide- situé dans l'espace, en présence d'un spectateur, et un plan transparent placé entre l'un et l'autre j concevons déplus que de tous les points du solide il parte autant de rayons qui traversent le plan en.convei^eant vers un point commun qui corresponde au centre deOa prunelle de l'œil du spectateur, et que chacun des mêmes rayons laisse son empreinte sur le plan ; l'ensemble de toutes les empreintes formera ce qu'on appelle la perspective du solide.

On est parvenu à tracer sur une toile ou sur un • fonds quelconque une image d'un solide dont la ibrme est donnée, semblable à celle qu'ofinrait la perspective, sous des positions déterminées du solide, du plan transparent et de l'œil. Ces sortes d'images, surtout lorsqu'on y ajoute la distinction des ombres et de la lumière, et qu'on les revêt des couleurs assor-

lies à celles de l'objet , font illixsion au point que VobSI est tenté de les prendre pour la redite, et U est fiicile de concevoir la cause de cette illudon. Gu*, imi^ nons que l'objet de la vision soit la perspective diemême , produite par les traces que les rayons auraient laissées de leur passage en traversant le plan tnubqiftrent situé entre l'œil et l'objet ; concevons de plus que le plan devienne tout à coup opaque, et que les empreintes des rayons continuent d'y subsister* De nouveaux rayons, en partant de ces diverses empreintes , arriveront à l'osil dans le même ordre que les premiers qui partaient immédiatement du solide , et ainsi l'image en se transportant sur la rétine s'y dessinera sous des traits analc^es i ceux qu'aurait <£dt naître la présence de l'original , et un simple plan offrira l'apparence d'un objet en relief dont toutes les parties sembleront se détacher de ce plan , pour prendre dans l'espace des positions adaptées à la forme de cet objet.

Maintenant, si l'on imagine qu'un œil placé devant une perspective s'éloigne à l'infini, alors tous les rayons dont les empreintes formaient cette perspective , deviendront parallèles, et l'image produite sur le plan transparent prendra le nom de projection. On suppose que le mouvement en vertu duquel l'œil s'éloigne de ce plan , ait lieu dans la direction du rayon qui &it la fonction d'axe à l'^rd de tous les autres , c'est-à-dire de celui qui passe par le centre du solide^ et parce que l'on peut Êdre varier à l'infini

la position de l'œil , et par une suite nécessaire la direction de Taxe dont il s'agit, il en résulte que l'on est le maître de supposer des directions quelconques aux rayons qui produisent l'image, pourvu qu'ils soient parallèles entre eux. C'est à ce genre d'enn preintes que se rapporte la méthode que l'on a adoptée pour les constructions destinées à représenter les formes cristallines.

L'hypothèse d'une distance infinie entre l'oeil et le plan transparent étant purraient imaginaire, on sent que l'aspect d'une projection qui ne peui être vue qu'à une distance finie, doit détruire une grande partie de l'illusion que fiiit naître celui d'une perspective qui permet toujours à l'œil de se placer dans la position où le point de concours des rayons coïnciderait avec le centre de la prunelle. Mais nous verrons que cet inconvénient de la projection est racheté par des avantages qui ont décidé de la préférence en sa Êiveur pour le dessin des cristaux, parce qu'elle faciUte l'étude de leurs formes.

Je ne dois pas omettre que comme nous ne considérons ici que des soUdes terminés par des fiices planes, il suffit, au moins dans les cas ordinaires, de supposer que de tous les points de leurs diverses arêtes , il parte des rayons qui se dirigent vers l'œil. L'ensemhle de tous ces points donnera la projection du soUde dessinée au simple trait. De plus, parmi les diverses faces de ce même solide, les unes sont situées en avant , les autres par derrière. On marquera

SBS TRAITÉ

lés premières par des lignes pldjies et lés autre? pur des lignes ponctuées..

Avant d'exposer les règles auxquelles est soumise^ dans la pratique^ la méthode dé tracer les figures descristaux, je vais donner une idée gâiérale de ht^' marche qu'elle suit pour arriver à son but. Je commence par mettre la fiirme primitive successivementen projection horizontale et «a projection verticale. La première est celle qui est produite par des lignes-: abaissées perpendiculairement des extrémités de toutes les arêtes du solide sur un plan horizontal,, avec la condition que les points où ces perpendicu^ laires rencontrent le plan dont iL s'agit, soient joints, deux à deux par des droites qui correspondait aux. arêtes. Par exemple, la projection horizontale d'un> cube dont deux &ces opposées seraient partàllèies au plan de projection est un carré. Dans le cas présent, tous les points des arêtes longitudinales se recouvrent mutuellement , en sorte que la projection de chacune se réduit à un simple point. Les deux bases se recouvrent de même, de manière que la projection de la base inférieure se confond avec celle de la base supérieure qui, seule, produit le carré auquel se réduit la projection totale du cube. La projection verticale est tracée d'après les mêmes conditions, avec cette différence, que le plan de projection est situé verticalement.

La projection horizontale sert comme de guide pour anîver à la projection verticale. J'indiquerai

bientôt ce qui reste à faire pour remplir complètement la condition que Firnage qui devient l'objet de la vision se présente sous l'aspect le plus propre à satisfaire l'œil de l'observateur.

Je n'ai parlé que des projections horizontale et verticale des formes primitives qui, à raison de leur simplicité, se prêtent aisément à ce genre d'opération. On a la même Êicilité pour tracer les projections de la plupart des formes secondaires, qui ne résultent que d'une loi de décroissement. Mais si l'on voulait employer la même méthode à l'égard de celles qui sont surchargées de facettes secondaires inclinées en différens sens, on se trouverait entraîné dans une opération très longue et très difficile. Il y a beaucoup plus d'avantage à tracer d'abord4a figure du noyau. Ensuite on construit sur ce noyau les faces addition-r nelles, en y faisant des sections parallèles à ces mêmes &ces , d'après les lois de décroissement dont elles dépendent, ce qui donne leurs intersections mutuelles, et l'on en déduit le dessin de la variété proposée , en traçant séparément sur le même papier des parallèles aux intersections dont il s'agit. Tout ceci s'éclaircira à l'aide des exemples que je donnerai plus bas de la manière d'appUquer la méthode aux formes secondaires.

Il y a une autre méthode praticable dans un certain nombre de cas, et à la fois plus simple et plus susceptible encore d'exactitude que la précédente. Elle consiste à faire usage des propriétés géométriques

pour Ëdre suHr à la projection du noyau nne trana^ formation d'où naisse la figiire qui est le but de l'opération.

On peut encore, dans certains cas, cunalruire immédiatement les fiices addkionnelleB autour du noyau, de manière qne sa projection acit engagée dans celle de la forme secondaire sous la m&ne position respective que celle qp résulte de l'ordre de la structure.

Je reviens un instant à la comparaison de la projection avec la perspective , relativeinent aux fermes cristallines. Dans la perspective, les rayons partis d'une &ce qui a ses côtés parallèles deux à deux, telle qu'un carré , un rkombe, un hexagone r^ulier ou symétrique, forment une pyramide dont la base coïncide avec la même face, et dont le sommet est dans l'œil du spectateur. Alors les lignes qui sont parallèles sur le cristal ne peuvent l'être dans la perspective que sous certaines conditions, comme lorsque les Êices auxquelles appartiennent ces lignes sont parallèles au plan idéal. Dans la projection, les lignes qui sont parallèles sur le cristal conservent constamment leur parallélisme, à cause de la forme prismatique que prend l'ensemble des rayons partis d'une même face. La différence est sensible à la seule inspection des figures i et 3 , pi. 74, dont la première offre la perspective d'un prisme hexaèdre rentier , et la deuxième sa projection. Parmi les six pans du prisme en perspective, ceux qui sont désignés l'un

par gffg\ hcc'b', sont les seuls qui aient leurs côtés parallèles deux à deux. Mais le pan dff'dfy par exemple , n'a que deux côtés parallèles , savoir : diï et ff^', les deux autres dfy fâl^ sont très sensiblement inclinés entre eux. La même observation s'applique aux pans cdd!c\ ahVa'y ag^al. Chacune des bases hexagonales , par exemple la* base inférieure , n'a non plus que deux côtés parallèles , savoir : A'c' et ^f. Mais dh\ dlf d'une part , et dg\ ccS de l'autre, sont visiblement inclinés entre eux. Il n'en est pas de même des côtés qui correspondent aux précédens sur la projection du prisme (fig. 2), et qui tous remplissent la condition du parallélisme. Il en résulte cet avantage, que l'aspect géométrique de la projection est beaucoup plus conforme que celui de la perspective à l'idée que conçoit le cristallographe du solide qui est le sujet de l'une et de l'autre, et au résultat des mesures mécaniques prises immédiatement sur ce solide.

Quant aux angles que font entre eux les côtés des faces, ils éprouvent, dans la projection comme dans la perspective, des variations qui sont une suite nécessaire de l'obliquité de ces faces , à l'yard du plan idéal , mais qui , en général , sont plus sensibles dans la perspective. Ainsi l'angle fdd' (fig. i et 2 ) , qui est droit sur le solide , se change ici en angle aigu et tel que le donnerait la vue immédiate du solide lui-même. On peut faire une observation analogue en se servant du modèle en bois d'un rhomboïde

obtus, par exemple de celai qui représente la fimne j>riniilive de la chaux carbonatée. On lé placera d'abord vis-à-vis de Foeil, de manière qœ son axe soit vertical, et que le rayon visuel coînciâe avec une de ses sections principales. On le fera ensuite tourner doucepient d'un côté ou oe rootre, par exemple vers la droite, et il y aura un terme oà l'angle supérieur de la face située du même côté paraîtra droit. Au-delà de ce terme, il paraîtra aigu, et toujours de plus en plus, en sorte que ses deux côtés finiront par se confondre suranné même ligne lorsque le rayon visuel se trouvera suivie plan de la &LCe dont il s'agit.

Problèmes dont le but est tk/aciliter les uppUcor

tions de la méthode.

!i. La plupart des dimensions des formes primitives ont pour expressions des quantités radicales. Une de ces dimensions, telle que la diagonale horizontale d'un rhomboïde, est censée avoir sa grandeur naturelle dans la projection horizontale , et il en est de même d'une autre dimension , telle que l'axe du rhomboïde à l'égard de la projection verticale. La première étant prise arbitrairement, on cherche la seconde, d'après le rapport entre l'une et l'autre. Un moyen simple de la déterminer est celui qu'oflBre le problème suiirant.

Etant donné une ligne représentée par v/« 7 trou-

DE CRISTALLOGRAPHIE. . Sg i

ver une seconde ligne qui soit à la précédente comme \/x : V^.

Soit ab (fig. 3) la ligne ^ale à \/a. Je la prolonge

d'une quantité bd égale à - \/a; ayant décrit sur

<id une demi-circonférence de cercle, j'élève au point b la perpendiculaire bc jusqu'à ce qu'elle la rencontre ; cette perpendiculaire est la ligne cherchée.

Car ab l bc :: bel bd\ ou ^a ibc :: bel- ^a.

Donc (6c)' =- Va X \/a = x.

Donc ic= \/x.

Soit par exemple ab ou \/â= \/5, et a:=: \/3.

On aura ap=:|^|/a.

Dans les appUcations de la méthode, on est souvent obligé de calculer les inclinaisons de certaines lignes, telles que des arêtes, d'après les lois de décroissement qui produisent les &ces auxquelles appartiennent ces lignes. Je vais donner un exemple de cette espèce de calcul , relativement à une variété de topaze dont je tracerai dans la suite la projection , et je généraUserai la solution du problème au moyeu d'une formule applicable à tous les cas analogues.

Soit aleg (fig. 4} 1^ hase d'un prisme rhomboïdal, et ne y Iky dij ts les directions d'un décroissement intermédiaire sur les angles a, e. L'effet de ce décroissement^ sera de produire une pyramide quadrangulaire , dont la base aura ses côtés ahgnés dans le

Sgs TBAn%

sens des mêmes directions, et dont les arêtes obliques coïncideront avec des plans menés par le sommet et' par les diagonales ae^ gl. Hj b, des cas où l'on est conduit à tracer les projections de ces arêtes , et pour cela il est nécessaire de connaître les côtés des triangles mensurateurs rapportés, aux plans dont on vient de parler, ce qui exige que l'on détenaine la distance en largeur entre chaque lame de superposition et la suivante prise dans le sens de l'une et l'autre diagonale. Voici comme on peut résoudre ce problème.

Soit aleg (fig. 5 ) la .même base que fig. 4- Supposons que le rectangle acxn (%• 5) soit semblable à la base d'uûe molécule soustractive formée de la réunion de plusieurs molécules intégrantes, et que le rectangle cfmx égdJ au premier représente la base de la molécule soustractive adjacente à la précédente; la diagonale ne sera dirigée comme la ligne de départ du décroissement , dans l'hypothèse d'une rangée soustraite , en sorte que ab représentera la distance entre chaque lame et la suivante dans le sens de la diagonale ae. Si je mène l'autre diagonale y^JC, il est évident que la distance entre en etfx sera égale kabi et si par le point f je mène fo parallèle à la diagonale Igy elle représentera la distance entre chaque lame et la suivante prise dans le sens de cette diagonale.

De plus, si je complète le petit rliombe acrl, il représentera la base d'une des molécules simples qui

DE CRISTALLOGRAPmE. 5^5

oûmposent la moLécule soustractive. Soiait x e^ty les nombres d'arêtes de molécules simples contenue» dans* an et oc , et soit g la demi-diagonale d'une molécule simple prise dans le sens de ae^ et p celle de la même molécule prise dans le sens de Ig , auqœl cas nous aurons c^r^^^^gj^ et at^s^o^py. Il s'agit d'avoir les expressions de a6 et yb en fonctions de

Pour ab. Les triangles semblables crz y cxn donnent crlrz :: ex 1 nxy et à cause de cr=ac=:j>',

et de cx^=an^=sxy y l rz IZ xiy^ donc rz

D'une autre part, les triangles semblables abcyzhr donnent y aclrz II abl br^

ou^ r-^ « ab : ôr, ou x ly :; cA : brzsiav^ab»

Donc xly :x abl ^gy — ab-y

^g^^^ab.x^ssab.yy ab.x^abmy^=:^:igxy.

Donc aè=^=2gjrxij^.

Pour o/I Les triangles semblables cro^ rsK^donnent

Jrl or II rx l cr, ou frlor :: x—y ly}

spylarll x—'jrljr;

^c=/rrJ-or=2/y H- a/y X ^^

(x-YKm)+yx'^tV— ^ £. - ;