II

• iV» .

hf4 TRAITÉ

'. Les vakun de aA et de o/'doBiiwroKit Im e/bÊim èm Inanglett mensuBsleurs daoe k tant 'de ki latgeor j CD les oondEMnant «v«e la valeur deki bMit€tir h èéim molécule, on aura let cÂtéi dam- Iq iti|a de la faaihtcm, et les côiës obliques dwinermH des paralUfee «U3L arêtes tKhliquea de iapyrafiûde. ) > *

Considérations générales sur la manière de tracer

les projections.

r . Pour €11 'venîr matnteiiant aux applicaliona de la tnétihade^ COJdçeypDS ({ue le rectangle orr^o^ (6^^ 6) représente le plap de projection horizontale , et q^e o^'éùTà la section de ce plan avec le plan vertical. Ce dernier est indiqué ici par le rectangle on^'o^y qui ektr de iiif«a« bVob^ te plan horizontal ; en «orte que pour se le repréfsienter dans jsa vraie position , on diût concevoir qu'il, se relève en tournant sur la ligne or^ jusqu'à ce qu'il soijb perpendiculaire ,au plan orro\ Mais nous verrons que la coïncidence des deux plans en un seul ne diange rîe^ au résultat qui aurait lieu si itA deux plana étaient à angle dioit l'na- sur l'autre.

Le corps que 1-on.jse propose de représenter est supposé être situé à une certaine li^uteur, au-dessus du plan de projection horizontale, vis-à-vis celui de projection verticale. On imagine un troisième plan qui est transpauetit, do^ la ligne oV est la section avec le plan horizontal sur lequel il est perpendiculaire. Je donne à ce plan I^ Aom de plan idéal. On

«iippose que des rayons parallâes partis des (SATék^ens points du solide passent à travers ce ^an , en y lais-sant chacun leur emprcnate, et le but de Fopération est de tracer une copie fidèle de l'image produite par la somofie de ces empreintes. Mais cette copie ^nt un dessin au sinij^e trait, n'est composée, comme je l'ai déjà dit, que des lignes qui terminent les diflSarentes feces du solide , et dont les unes qui appartiennent aux &ce6 antérieures doivent être pleines , et les autres qui se rapportent aux faces de la piartie opposée doivent être ponctuées. Je rappel* lerai ici ce que }'ai dit en comparant l'effet de la projection a^eç celui de la -perspective ; savoir, que dans l'unie et l'autre l'image produit sur l'œil une impression semblable & celle cp naîtrait de la vue immédiate de l'objet , avec cette différence que dans le cas de la perspective l'œil est placé à une distance finie du plan idéal, au lieu que dans le cas de la projection , il est censé en être âoigné & une distance infinie. ^ •

Ce que j'appdle copier l'image que l'on suppose exister sur le plan idéSl, dans ce second cas, n'est autre cbose que la transporter sur le plan vertical où elle devient visible pour l'œil. Pour y parvenir, il pe s'agit que de prolonger au-delà du plan idéal les rayons que le solide lui envoie des diffîTens points de ses arêtes, et de marquer leurs points de rencontre sur le plan vertical j car ces rayons étant parallèles entre.euX; et les deux plans l'étant également, il est

.évident que les knagos qui naiasa:!! de lenis empreinies sur ces mêmes plans sont égales et semblables. Pour arriver au but proposé , <m eommenoe par fiiire deux opé|«tions que j'ai déjà indiquées. La première consiste à mettre le solide en projection horizontale, et la seconde. à le mettre en projection verticale. Le résultat de cette seconde projection est Ja copie de l'image produite sur le plim idéal^ lorsque les rayons que lui envoie le solide lui sont perpendiculaires. Mais lorsque celui-ci a des &ces horizontales ou verticales , il arrive que tous les points de quelr ques-unes de ces fiices se confondent sur l'image y de manière qu'elles sont représentées par de simples lignes. Pour éviter cet inconvénient , qui est en quelque sorte , à l'yard de l'œil, une source de méprises, on fait une troisième opération qui suppose dans l'œil un changement de position , en vertu duquel les rayons prennent des positions inclinées au plan vertical , dont l'effet est de dégager les unes des autres les. parties qui étant auparavant sur la direction d'un même rayon visuel , se recouvraient dans la projection. * ,

Je vais maintenant donner uneîdée de la marche progressive de la méthode, telle que je viens de l'inr diquer, en prenant pour exemple le rhomboïde pri* mitifde la chaux carbonatée.

Supposons ce rhomboïde situé de manière que son axe soit dirigé verticalement , et que l'une de ses coupes principales coïncide avec uu plan pcrpend^

culuii'C au plan idéal. U est aUé de voir que «i projection horizontale sera l'hexagone 36 (fig. 6), dans k-quel les trois ihombes 5671, 733i,543i seront les projections de ceux qui appartiennent au sommet supérieur, eties trois rhombes 6738, 3348, 4568, celles des rhombes contigus au sommet iaréricur ; et la droite 6i3, dont le prolongement est perpendiculaire sur or, sera la projection de la coupe principale désignée ci-dessus.

Maintenant, si je prolonge les lignes 4^» 36, 27 jusqu'à la ligue or^ et ensuite au-delà de celle-ci , les prolongemens 5e, ^, 7^*, étant perpendiculaires sur or, les projections verticales des points 4> ^ devront se trouver sur le prolongement 5e j celles des points 3, 1, 8, 6 sur le prolongemeut 6^, et celles des points 3 , 7 sur le prolongement 7A.

Remarquons que les diagonales horizontales «pii passent par les points 5 et 7, 7 et 3 , 3 et 5 , sont ici teprésentées de grandeur naturelle , et que la même i^ose doit avoir lieu à l'égard de l'axe du rhomboïde. ■Cela posé, je prends à volonté sur la ligne 6^, un point 8' que je considère comme l'extrémité inférieure de l'axe , et je détermine la longueur 8'i ' de ■cet axe d'après le rapport V3 à 3 ou i : v3, qui existe entre la dcmi-tliagonale du rhomboïde et l'axe. Si je divise cet axe en trois parties égales, par deux, perpendiculaires Ty et «Té, les points 4', 5' seront

ttes projections verticales des points 4 1 5 ; les poiuU 8', 6', 3', I ' celles des points 8 , 6 , 3 , 1 , et les points

598 TRAfrÉ '

a', 7' eéU« de» points a, «7; }e Bime entre cm éSêSd^ riens pc^W pris dcfox à deiut ks KgM 4^5', S^^t ity^ citû., oe qiÉLiné donne les prejeetiêiHi tertscHle» S%YiS i^^Vt'y étc.^ des rhoaribes nuwjiiés dm uèmes lettre» snr k projeetion korkoattiâe, et fe pTobleBie est fesolu*

On voit que tons les angles du ibomlMndé tMcëfr sor le plan vertical sont distincts, et si Poci ne s6^ proposait que de mettre ce solide en projéctioii vef^' ticale, on pourrait absolument se contenter du rémitât de Fopération précédente, quoique l'aspect Ams lequel le rhomboïde s'y préseMe à Fceil ait , sî' j'ose ainsi parler, une sorte de monotonie. Mûs'oe ibèmbôïde est le noyau commun d'une mtdtitude de ftrmes secondaires, <pù doivent pouvoir être misefli aussi en projection , de manière que leurs difierentes? parties se détachent ks unes des autres, et qu'une surfiice ne s'y ofire pas sou» Fapparence d'une simple figne.

Or, c^est ce qui aura lien nécessairement k l'égard des fik^es parallèles à l'axe et de celles qui lui sont perpendiculaires. Par exemple, celles qui sont en li^ème temps parallèles à Faxe et à la coupe prind-» pale qui se réduit à une ligue droite 1', 3',6', 8^, s'assimileront à cette ligitie, et parce qu'il en est de même d'un plan^ qui passe par les trois diagonales horizontales 5^3', 3^7', 7^5', la &ce perpendiculaire à l^xe qui leur sera parallèle, se réduira aussi à une simple ligne.

DE CRISTÀLLOGÏIAPHÎEL S<^

Tout ceci va devôiir sensible à l'aide de la projeclion du prisme hexaèdre régulier qui naît des de*

eroissemensUA rapportés au rhomboïde de la fig. 6>

Sa projection horizontale est l'hexagone régulier 36 ffig* 7), dont chaque angle porte deux numéros^ parce queles-deux bases se confondent sur un méme^ plan. Les six numéros i, a, ^ 4» ^9 6 sont censés, appartenir à la base supérieuit; , et les six autres à la base inférieure. En opérant comme pour le rhom* bolde^ on obtient pour la projection verticale du prisme un simple rectangle t, 4» '<>9 7) ^^^ lequel les lignes 4, 10 et i, 8 représentent les deux pans, parallèles à la ligne 3, i apprise sur la projection horizontale ^ et diacune des sous-divisions i^grjy 4%^^ du rectangle représente le» projections des deux pans adjacens aux précédens, lesquelles se confondent aussi sur un même plan. LUmage du prbme n'est plus visible que par la pensée, et fait naître en quelque sorte pour Fœil une illusion d'optique. Le même 'inconvénient aura lieu en partie dans toutes les^ formes secondaires qui auront des ^oes produites ^ en vertu de l'un ou l'autre des. deux décroissemenu dont je viens de parler..

On peut faire disparaître cet inconvénient aumoins à l'égard des faces parallèles à la coupe principale du rhomboïde primitif, en tournant la projection da celui-ci, comme on le voit (%* 8), de pianière que la ligné 61 83, qui représente eelle de la coupe priu-^

foo TRAITÉ

cipale, soit obUipie par raj^port à k ligne c/r^j en , pommÛTant l'opératioa de la même manière, otf obtient l'image du rhomboïde que représente h^ figure y et dont l'aspect est beaucoup plus satiafid*. aant pour l'œil que celui de l'image que l'on voit &. 6. Dans ce cas, les &ces parallèles aux six pans du

pià«ne tooé d'après le» deux décnâaseink^

détacheraient les unes des autres; mais les projections des trois diagonales 57, 78^ 35 (fig. 8)9 étant encore de nivc^au, les bases ^oflBnraient^ comme dans Fexemple précédent, sous l'aspect d'une ample ligne droite. On parvient à représenter distinctement tous les points de Fobjet à l'aide d'une opération ultérieure qui peut avoir lieu de deux manières difl^ rentes. La projection verticale prend alors le nom de projection nivelée ou de projection pariée, d'après celle des deux manières dont on a Eût choix pour remplir le but proposé.

De la projection nivelée. . •

Les rayons visuels qui en partant de l'œil placé , par l'hypothèse, à une distance infinie d'un plan idéal , sont censés lui faire apercevoir, sur ce plan , l'image d'un objet dont on a tracé la projection verticale sur un autre plan situé du côté opposé, sont dirigés perpendiculairement vers le plan idéal, et c'est par une suite de cette direction que, dans les exemples que j'ai cités, certaines &ces sont située'

DE CRISTALLOGHAPHIE. Goi

»ie manière que tous leurs points se confondent sur l'image, comme cela aurait lieu sur l'objet lui-même, si le plan idéal n'existait pas. Les rayons visuels ctâut alors de niveau avec les mêmes faces, n'en laissent voir à l'œil que les bords situés de son côté. Les choses étant dans cet état , pour faire en sorte que les différentes parties de la projection se dégagent les unes des autres et deviennent distinctes, on suppose d'abord (jue les rayons visuels en restant fixes par leurs extrémités con6gucs au solide, se meuvent d'une certaine quantité par leurs extrémités opposées, vers la gauche ou vers la droite, dans des plans horizontaux , en faisant des angles égaux.' avec leurs premières directions, et qu'ensuite les mêmes extrémités fassent un certain mouvement dans des plans verticaux, en s'écartant sous des angles égaux, de leurs premières directions. Ils parviendront aiitsi à en degré d'obhquité qui sera tel, que toutes les parties de la projection seront vues distinctement. Appliquons ces principes au rhomboïde de la chaux carbonatée.

Soit toujours oV (fig. 9) la section du plan idéal avec le plan de projection horizontale, et or celle du plan de projection verticale avec ce dernier. Soit de plus I, 3, 3, 4, 5, 6, 7, S la projection horizontale du rhomboïde que l'on suppose tourné de manière que la section principale qui passe par 3, i, 6 soit

Idans un plan perpendiculaire au tableau , d'où il suit ^c la ligne 3 16 sera elle-même perpendiculaire aux

6b» ' THArrÉ

lignes ottt oV. Si l'on imagiiie maîateiiMit qoe-ioft projection} homoatale&.de^ r^yona^viauels étani^V^ bord de même perpendiculaire» sur àtf ùaawkt' \xpn mouvement vers la dj^oite^ il faudra lea trticer à» manière a leur donner des positions telk» que J^b^. 5e, 3d, 8g, etc. Prolongeons-les ensuite rœs ht partie opposée, jusqu'à la renâodtre de or et des points 4#. 5, 3, etc. Élevons ks lign^ 4^^ 5k, 3f, etc.^ perpendioukdres sur ùr. Ayant pris sur k ligne 8m, qui. répond à 386, laquelle passe pa# k section prinrci-* pale du rbomboïdei une partie i^ 8 égale à l'axe, et dont les extrémités seront les projections verticales, des points marqués des mêmes nombres, divisons-ki en trois pat les transversales ry, J^ê., et plaçons sur les lignes^ aux points indiqués par leurs intersections^ avec les verticales 5k, Zf, 'jjr, etc., les projections verticales des points 5, 3, 7, 4? 6, 2.

Si l'on traçait immédiatement, d'après les projections de ces points, les faces du rliomboïde, dont l'une est indiquée par i, 5, 4^ 3 j une seconde par 1, 5,6, 7 j une troisième par 3, 4j 8, a, etc. , tous, les points situés aux angles solides, qui sont les mêmes que les précédens, seraient vus séparément< Mais les trois diagonales situées vers chaque sommet ^ étant les unes sur la ligne ry, savoir, 37, 75, 53, et les autres sur k ligne J'ê, savoir, 4^9 26, 64 9 se recou* vriraient dans la projection, ainsi que je l'ai déjà remarqué plus haut , en sorte que les triangles composés de ces diiagonaks se réduii*aient à de simples^

DE CRISTALLOGRAPHIE. fioS

lignes. Il en résulterait que dans la projecliuu de la variété prismatique, dont les baltes cuïucident avec les triangles dont il s'agit, ces bases se réduiraient de même à des lignes. Pour éviter ces coïncidences sur un même plan, on ramène la projeclion à l'aspect résultant du second mouvement de^ rayons visuels dans des plans verlicaus.

11 est aisé de concevoir qu'en vertu tle ce second mouvement, les différons points de la projection se relèvent sur le plan idéal proporliounelleniciit h leurs distances à ce même plan. IVIais i>our plus jp-ande simplicité , nous supposerons que le ptau idéal se soit mu parallèlemeut à lui-même, pour uq instant, en allant de o'r vers or, jusqu'à ce que le point 3 qui en était le moins éloigné se soît trouvé en contact avec lui, d'où il suit qu'il n'a point cliungé de place.

Concevons que dans cette hypothèse lit ligne os { fig. I o) représente la quantité dont on veut que le point 6 (lîg. g), qui est le plus éloigne, se soit relevé par l'effet du mouvement vertical des rayons. Ayant mené par les points 6,5,7, ^^^- (''S* P) '^^ '" P™" jection horizontale les droites 66', 55', 88', etc., parallèles à or, coupe/, ces lignes par une perpendiculaire t^f/>; puis en partant du point ft, prenez la partie fÂv égale à oz (fig. loj; puis relevez les différens points de la projection verticale des quantités indiquées par les lignes comprises entre Çc et Çfi, Savoir c/i, comme on l'a dit, pour le poiiil6*(ui se

6o4 THAITÈ

trouvera transporté en 6'; Tnr ponr les points Sy 'jf dont l'un se trouTera en 5' et Tantre en 'fy dk.^ &ites passer des lignes par oes nouveaux points', eC vous aurez la projection du rhondiolde telle qu\m £l voit fig. 9 et fig. 12 (i).

Concevons maintenant que le plan idéal aille se remettre à sa première place ; alors Hmage da pmnt 3 ae relèvera sur ce plan d\ine quantité proportionnelle à la distance entre la ligne 33' et la l^e'oV; mais &ï même temps tous les autres points de la projection se relèveront de la même quantité que le point 3«* Car soit 3 (fig. 1 1) ce même point, et soit hn la ligne verticale du plan idéal &i contact avec lui.

Ayant mené l'horizontale uz qui passe par le fioint 3, et qui est supposée perpendiculaire sur le plan idéal, imaginons que les points 6, a (^- 9) ^^ la projection que nous prenons pour exemple, viennent se placer sur uzj en conservant leurs distances à l'égard du plan idéal. Soit 36' une partie de hn égjale à ojz (fîg. lo) qui mesure la quantité dont le point 6 a été relevé pendant le mouvement vertical des rayons. La droite 66' ( fig. 1 1 ) sera la nouvelle

(i) Dans cette manière d*opérer9 la distance efntre le point 3 et le plan idéal qui répond à la ligne 55' est nnlle. Leâ distances entre les points 4 et a, 8 et i , 5 et 7 , 6 et le plan idéal, sont égales aux lignes ^ , ^>v^et ^; or , ces ligne;!' sont proportionnelles aux lignes ^^9 x^ , ^^^ f^^ » ^o^c ce» dernières lignes mesurent les quantités dont les point 4 et 2 p. 8 et 1 , etc. y doivent être relevés.

DE CRISTA-LLOGRAPITIE. 6o5

diroclion du rayon parti du point 6^ donc si l'on mène 2, i' parallèle à 66', elle sera la direction correspondante du rayon parti du point 2'. Concevons qu'ensuite le plan idéal s'écarte du point 3 , de manière à prendre la position indiquée par h'n'; les points 3, a', 6' de l'image se trouveront transportés en 3', a", 6", et il est évident que leurs distances respectives suivant h'n' seront les mêmes que celles qui avaient lieu suivant hn, c'est-à-dire que 2"3'= 2*3, el 2"6' — 2'6' j d'où l'oD conclura que les dimensions de l'image seront encore les mêmes que quand le point 3 était en contact avec le plan idéal (t); en sorte que la manière d'opérer que nous avons adoptée dans riiypotlièse de ce contact, réunit Texactitude à une plus grande simplicité.

Dans la projection du rhomboïde, les points 5', 7' d'une part, et 4', a' de l'autre, continuent d'être à la même hauteur j mais les points 3', 6' dont chacun appartient à l'un des triangles formés parles trois diagonales horizontales situées vers un même sommet , sont

' C')Si l'oQ suppose que le plan idéal aille se placer successivement à dilFi-reates distances du solide, en restant parallèle Dia, il en résultera le même effet que «i plusieurs plans parallèles étaient, traversé» par des rayons qui fussent de même parallèles. Les empreintes des rayons produi' raient sur tous ces plans des images égales et femblables eniro elles-, seulement elles seraient situées plus haut ou plus ba^ , •uivant les diverses distances des plans au solide.

6g8 TRAFTÉ

de manière que les points qui sur le rliomboîdei dont on suppose toujours l'axe vertical , sont dan» fin même plan horizontal, tels que 5^3,7 d'mie part, et 4)^9^ ^^ l'autre, se trouvent à des distances dif- ' fisrentes à l'égard de la ligne or. Quant à la manière de tourner la projection dont il s'agit, elle dépend de l'aspect sous lequel on veut que l'image se |nrésente : on ne peut donner aucune règle sur cette opération } c'est l'habitude qui sert de guide à cet ^rd.

La projection horizontale étant déterminée comme on vient de le dire, on tracera la projection verticale d'après le procédé ordinaire, et il ne restera plus qu'à relever ses différens points d'après une méthode analogue à celle qui a été exposée dans l'article pré-^ cèdent , en déterminant la plus grande quantité /tp du relèvement dans l'hypothèse du contact entre le point 3 du soHde et le plan idéal, et en plaçant les divers points de la projection verticale au-dessus de leurs premières positions, conformément aux longueurs des lignes comprises entre i^/u^ et Çp , savoir; /AP pour le point 6, Tra pour le point 7, -TrV pour le point 5', etc. , et l'on aura la projection demandée , telle que la présentent les figures 14 et i5«

La projection variée est celle que j'ai adoptée de préférence, parce qu'elle représente le cristal sous la position que nous donnons naturellement à un objet que nous voulons considérer, savoir, celle où nous le voyons^ pour ainsi dire, de front, au heu que

dans la projection nivelée on eat censé !e voir de côté , ce qui est moins naturel.

De la projection des formes secondaires-

4- J'ai déjà dit que quand ces formes sont simples, on peut les mettre en projection à l'aide de la méthode employée pour les formes primitives. Une condition essentielle à remplir dans ce cas , est que leurs projections soient en rapport de position avec celle du solide primitif. Or, la chose va, pour ainsi dire, d'elle-même lorsque l'on construit immédiatement autour de ce solide la forme secondaire qui en dérive, de manière qu'elle lui soit circonscrite conformément aux lois de la structure. On peut ensuite en tracer une copie qui la représente séparément. Dans re.\posé des principes de la théorie , j'ai cité , comme exemples, diverses projections qui offrent la réunion de la forme primitive et d'une forme secondaire simple, pour mieux faire concevoir la relation qui existe entre l'une et l'autre. C'est en suivant la même marche, que je vais donner les projections de quelques-unes des formes qui appartiennent à la chaux carbonatée.

Chaux carbonatée métastatique.

Soits( (Ëg. i6)]a forme primitive, telle que la représente la ligure l5. L'axe de la variété métastatique étant triple de celui du noyau ( voyez page 338, 1. 1) ,

je prolonge ce dernier, de part et d'autre ^ dNme quantité égale à lui-même, oomme on le voit (fig* 1 7), où l'on a s' s' ^tt' = st. Des extrémités de Taxe ë'f j je mène les droites s^a , 8^b , s^d, fa^ffày fd^ etc«, aok extrémités des bords inférieurs du rhomboïde , et f ensemble de ces droites et des mêmes Ixnrds me donne les laces du dodécaèdre proposé.

Chaux carhonatée èquiaxe.

La théorie bit voir que les diagonales obliques de ce rhomboïde coïncident sur une même -direction avec les bords contigus aux sommets sur le rhomboïde^ primitif , et que de plus leur longueur est double de celle des mêmes bords. Ayant donc tracé ce rhomboïde, tel que le représente «^ ( fig. 18 }, je prolonge les bords dont il s'agit de manière que l'on ait «a7=:2sa; 8e^=2 8fy8hz=i28dyto = 2tn, tlz=n 12 i^ et te = a /5, ce qui me donne les six diagonales obliques proposées.

Parmi ces mêmes diagonales, celles qui sont contigues à Fun des sommets alternent avec celles qui se rapportent au sommet opposé. U en résulte, par exemple , que Fextrémité b (fig. 1 6 et 1 8) de la diagonale oblique qui va de ^ en 6, coïncide en même temps avec le sommet de Tangle inférieur cJ)d du rhombe a8db auquel appartient cette diagonale, et avec le sommet d'un des angles latéraux dbt du rhombe dbtg situé vers le sommet opposé. La même corréhition a heu réciproquement entre l'angle infe-

DE CRISTALLOGRAPiriE. 6ri

rieur bdg du rhombe dbtg, et l'angle latéral bds du rlionibe sabd.

Maintenant, pour avoir les côlés des rliombes de la variété équiaxe(fig. i8), je choisis à volonté l'une des diagonales obliques déjà tracées , telle que sh qui est contigiië au sommet supérieur; je prends vers le sommet inférieur les deux diagonales obliques tz , //, dont les extrémités z, / sont situées de part et d'auli-e de la diagonale sh. D'après ce qui a été dit plus liaul , ces extrémités coïncident avec les angles latéraux du rhombe auquel appartient la diagonale sh. Je mène tz et kz , puis si et /i/; ce qui me donne le rhombe szhl dont il s'agit.

Pour avoir celui dont *:t est la diagonale oblique, je prends vers le sommet inférieur les diagonales obliques /s, to, dont les extrémités r, o interceptent «*. Je mène xz et sz , puis os et ox, qui sont les côtés du rhombe proposé. Le reste de l'opération se déduit aisément de ce qui précède.

Chaux carbonatée inverse.

La marche que l'on doit suivre pour représenter cette variété circonscrite à son noyau rhomboïdal , comme ou le voit (fig. ig), s'offre comme d'ellemême, d'après les détails que j'ai donnés, dans la partie analytique (t. 1 , p. SSg), sur les résultats généraux de la loi E' 'E dont elle dérive. Je me bornerai à rappeler ici qu'en vertu de cette lœ, l'axe du solide

6ia TRAITÉ

8ecc^(£iire est triple de celui du noyau, et' que -ses bords supérieurs sont parallèles aux diagonales obliques du mêmcf noyau.

. Gela posé, ayant tracé la projection du noyan st (fig.- 19), je prolonge son axe de part et d'autre d'une quantité as' et tt' ^ale à lui-même, ce qui me donne l'axe «Y du rhomboïde secondaire. Du som-

met s'f je mène les droites s'py ao , a^h^ parallèles aux trois diagonales obbques du noyau, qui vont, l'une de « en^,la seconde de« en 6, la troisième de s euy^ et limitées par les droites tj7, ^o, t^hy menées du sommet if par les angles latéraux g 9 b, y y situés vers le sommet inférieur du noyau. Les droites «p, a'oj &'h seront les bords supérieurs des rhombes situés vers le sommet a^ du rhomboïde secondaire , $t les droites i'p , t'o , fh les diagonales obliques des rhombes si* tués vers le sommet inférieur. Ensuite, du sommet ^, je mène les droites t'u , ^/i, /r, parallèles aux trois diagonales obUques du rhomboïde primitif, qui vont, l'une de / en a, la seconde de / en /, la troisième det eud^et limitées de même par les droites a'u^ a^riy a'r^ menées du sommet a^ par les angles latéraux Uy Ij dy situés vers le sommet supérieur du noyau. Les droites ifuy in y ^r seront les bords supérieurs dfs rhombes situés vers le sommet i du rhomboïde secondaire, et les droites auy a'ity ar seront les diagonales obfiques des rhombes situés vers le sommet a. Il ne s'agira plus ensuite -que de tracer les bords roy rp^ np^ ghy uhy 110 ^ parallèles aux bords

»'/», «'o, «'A , etc. , qui existent déjà sur le rliombuïde , et aiusi des autres, ce qui complétera la projection demaudée.

Chaux carbonalée analogique.

La forme de cette variété que représente la figure 30 , étant le résultat de trois lois de décroisse^ ment, rentre parmi celles doiit les projections se déduisent des sections faites dans le noyau, conformément aux indications de ces mêmes luis, ou des propriétés géométriques dont elles jouissent. Je vais employer successivement les deux méthodes, en commençant par la pretnière.

5. Je trace d'abord la projection du noyau telle qu'on la voit ( fig. ai), d'après ce qui a été <rit [ilus haut (pag. Stjti) : celle projection est du genre de celles quej'appelleyar/^es. Je lui ai donné de grandes dimensions pour opérer avec plus de facilité et de sûreté.

Je trace ensuite séparément(ëg. ai) une projection semblable à la précédente, et située de manière, que toutes les lignes marquées des mêmes points soient parallèles de part et d'autre, mais plus petite, qui me servira à son tour de noyau pour la conslniction des faces secondaires dont la surlace du cristal est l'assemblage. Jecommencepartraceràrentourles liices du métastatique. Pour y parvenir, d sulGt d'avoir la position de l'une quelconque ^s îles arêtes contigncs aux sommets, parce que son iulcrsoclion

fii^ TRAITÉ

en ê av4c le prolimgeBient de Pue ay^éi^tiojàu me domiemla cpiantité >« ou «4^ dc^it <M an doit être augmenté de chaque côté.

Parle8pQittt»A,P,ft,ï^etÀ,B»ÇsO(fig. 31), je mène les plans APRL, ABCD, de manière que ka lignes AP, A9 étant panilèlea à Ijffif et i^f^, et'ks ligne» LR, C3> parallèka auxnémètf odtés, ai I^ est, par exemple, la moitîé de fl^fj RjEt' soit U 7 de d^fiS et qne de même AÇ' étant 1 7'^', LÇ^ siotl { CX>. B est bien elair que ka deux plana dont il sligit ae- WBt paraB^es à deux feces qui résoltepaiçtit d*imdé* crei$sement par deux nmgdes sur les bords infi^rieora /t' ^\ {^' du rhomboïde y^^ : donc laçr intersection f^A^^sera paraHâe à l^ff que nws supposons être Farête du métàdtatique qui va du pont ^ vers P)iULe« Donc si Pon mène Ç*(fig. aa) parallèle i ^"«"'(fig^ 2 1) > ys ( fig. !2!i) sera Pexeès de l'axe du dodécaèdre métastalique sur I^xe^o* du noyau, du c^té du som-met supérieur. Cela posé , je prends sur le pnJongement de l'axe en dcissous la partie 9'\:s^ys^ après

quoi je mène des pointai, 4' le9 lignes «jm, af^ ^f//x, 4/^9 etc. aux angles latéraux du noyau, et j'ai la pro-^ îection du dodécaèdre métastatique.

Pour mieux me reconnaître dans les opérations suivantes, je trace une seconde projection (fig. ^3) égale et semblable à la première, de manière que les deux axes soient parallèles. Pour avoir les &ces c\ c ( fig. 20 ), je remarque iju'elles sont tracées d'après la condition ^ qu'elles se touchent par leurs angle& laté-

DE CRISTAtLOGRAPHIE. 6i5

patis ; d'où il suit que ces atiglea sout aituéâ au milieu «, (/,6,elc.(Hg. 22) deslij-nes yj^ a*?, 'S? elc. Je commence par la face qui répoinl à o' (Bj;. ao), en uienaat d'abord la ligne /;t^(ilg, a3) qui en sera ta diagonale liorizontale ; \g coupe hd en deux également au point k:, je fais passer par ce point la ligne l^Mg parallèle à l'axe a-\ , et qui sera la diagonale verticale du même trapéî^ot'de , après quoi je mène les ligueii^, ilg, dff-, bpt qui en tieruut les côtés. J'aurai facilement les autros trapézoïdes j^tat* un procétlc seni- LlaLle.

Reste à tracer les trapezoïdcs g^ g'(fig- 3o) qui appartiennent à l'équiaxe. Gomniençons pgr celui île la partie supérieure qu'iudicjue la lettre g", et dont il s'agit de trouver les iulersectioBs avec les faces adjucenles r, r du métastatiqne. Pour y parvenir, je fais pivsser par le point ^(fig. 21 ) la droite G^"F parallèle à la diagonale ('jit'; je ntèJie FE et G^^ parallèles à y'^'t ^^ i^ complète le parallélogramme ENGF qui sera évidemment parallèle k farête >'^', et également incliné sur les rliombes y' ^ V'/'> >'Ç' '' t'; d'où il suit qu'il sera de ipème parallèle à ime face produite en vertu d'un décioissemeut par une rangée sur l'arèlej-'Ç', savoir, à la face marquée ^(iig. ao). Doue, si je trace ^"H , Ç"E ( Gg. a 1 ) , ces deu« lignes lieroqt les intersections du paraUclogramme EjXGl'' avec les plans ABCD, AFIIL qui reprèsenleut deux lâcea du métastatique; donc, si je roène^r(fig. a3) parallèle à ^''?'(ljg. ^t) et gc^Hg. 33) pijrsUclu à

6iS 'rtLAHÉ

Ç"£ (fig. ai), elleft seront ks oAtés kiférieijn eu Wk^ wide ^ (6g. ao)v Ayant timcé jebsiiite. la dingoinb horizontale C/'(^. :l3), je mène par soii wàlwem^ht ligne ^ jusqa'à la rencontre de l'axe, kqodDcr sera la diagonale oblique de ^(fig* 2o)j et da point h (fig. 33) je mène nr, ne quiaeroift lèecAtés àopé* neurs du trapeÎEoîde. . Pour ' avoir les deux antres trapésoides situés versle même somikiet, je mène oo parallèle à la diagonale horizontale 0g do trsqpéeolde ^flesy^t or {Mtrâllèle^à la diagonale horizontale ah éa trapézoîde anhu y j'ai ainsi les diagonales horizontaJes des deux trapàzoldes supérieurs que je tne propose de tracer, après quoi il est 'fiicile dWoir le reste, en menant des lignes du point n et des points I, n aux extrémités des mettes diagonales. Ayant les fiices de la partie supérieure , il est aisé de tracer celles de la partie inférieure qui est semblable à la première.

6. je passe à la seconde méthode fondée sur les propriétés géométriques de l'analogique, et pour laqueUe les constructions que représente la figure 2 1 -deviennent Superflues.

Je sais d'abord que l'axe du dodécaèdre est triple de celui du noyau, et ainsi j'aurai les points Sy '^ (fig. a3 et sS*)^ en faisant 7^, ou 0r^|,=^0'.

Pour les trapézoïdes yerticaux, je trouve, à l'aide d'un calcul fort simple , que g^=i^^( %' ^^ )> |>022=:^^4 i ^^ 9^^^ ^^ autres ; ce qui me donne les positions des côtés des trapézoïdes dont il s'agit.

Pour les trapézoïdes des sommets^ je trouve, par

le calcul, que dans le cas présent où les trapézoïdes verticaux se touchent par leurs angles latéraux, on a «» (fif^. 23 ):=: ^ sy {li^. 33); (le plus, je sais que l'apothème nc(Gg. 23) du triangle rnc est la moitié de l'apothème gv du triangle rgc; donc, si je fais passer par le tiers v de g^n la ligne rc parallèle à la diagonale horizontale bddu trapézoïde vertical ^Ôpd, j'aurai les positions des angles latéraux du trapézoïde nrgc, qu'il me sera facile de tracer, et ainsi des autres. On voit combien cette métliode est préférable à la première toutes les fois qu'on peut l'employer. 1

Observation sur les projections suivantes.

7. La plupart de ces projections sont de celles qui accompagnent les descriptions de diverses formes cristaUines, pubUées dans mon Traité de Minéralogie. Mais les figures que j'en donne ici ne sont pas de simples copies. Je les ai tracées en répétant les opérations qui avaient servi à construire les projections dont je viens de parler, en sorte qu'elles sont censées avoir été laites d'un premier jet. Pour remplir ce but, il a fallu reproduire la projection horizontale du noyau dont l'aspect avait disparu dans, la projection verticale, et retrouver les ([uantités dont plusieurs points decetle dernière projection avaient été relevés au-dessus de leur position. Je ferai connaître dans un instant les moyens à l'aide efquels j'ai résolu ces sortes de problèmes dont la

6t8 traite

luai'cUe ofTiv l'îaverse de celle (piî a lieu dans les a

plicatioDS ordiuaires de la méthode.

Projections de diverses variétés de pyrosànc , baryte sulfatée X etc.