XV
lo TRAITÉ
cidence de kmo sur imo. Pour y parvenir, faisons passer par les points k, i^ un plan vertical kni^ puis menons og perpendiculaire sur ki , kx perpendiculaire sur om^ et ensuite ng et gx. L'angle kxy étant la moitié de l'incidence demandée , il s'agit de trou* ver les expressions de son sinus kg et de son cosinus xy. Soient kfr^ i^r ( fig. 8 ) deux plan» parallèles aux &ces krno ou omi (fig«g)- Ayant complété le carré Qiak (fig. 8), menons la diagonale Gz, et la diagonale ki qui répond à la même ligne ( 6g. g ).
Désignons par l'unité le côté de la base de la molé^ cule, et par h le rapport entre sa hauteur et ce même côté, h pouvant être, suivant les cas, un nombre entier ou fractionnaire. Soit x le nombre de côtés de bases de molécule que mesure CÂ: (fig. 8), j^ celui que mesure C/*, et n le nombre de rangées soustraites.
Nous aurons Cr= -.OrÇg^ renferme autant de demidiagonales de bases de molécule qu'il y a de côtés compris dans ck^ donc puisque chaque côté est représenté par l'unité, nous aurons C^ ou kg:=zx Vt» Reste à trouver l'expression de gx (fig. 9). Or,
on Viogy-^-isrif
og^Cg-Co{^^.9)',Cgz=:x\/l.
blable , les trois arêtes om ^ km, dm ^ concourent dans lo même point commun m. Donc toutes les faces > malgré la différence de leurs incliaaisons^ se réunissent aussi dans ce point.
V {'^r+ibsy
es.sz :: X
[ un suppose <iue le g«néraleur soit un cube, ,iiira A^i. Alors les deux rapports deviennent
6. Pour appliquer les furinules précédentes, je slioisirai une variété du plomb sulfuré , représeutéi* ^nre 1 1 , et dout le signe rapporté au noyau (lig. 13) est ÀB'G- (ÂB'BVB'B')MP. La surface est
composée des siiL &ces P, M, etc., d'un cube, des huit faces c, c, etc., d'un octaèdre régulier, des flouze faces o, o', etc., d'un dodécaèdre rboaiboïdal, et de vingt-quatre faces /, /', etc., qui provieouent du décroissetneot intermédiaire, et qui seraient des triangles isocèles, si elles se prolongeaient jusqu'à s'entrecouper , en nuisquant touleti les autres fijces(i).
CO Si l'oa su^oae ^4 lu troîi fxcei /, f, 1°, qui bordunt
la TRAITÉ
donc
% : 8* (%• 9) :: «v4 x ^J^^>fTE,
ny
Soient maintenant ebij Ibi (fig. io)<leux trianglea qui aient les mêmes positions que omi , umi (fig. 9) y en sorte que ]es lignes eiy /i (fig. iq) correspondent à celles qui sont marquées des mêmes lettres (fig. 8). Supposons de plus que le plan e&/ (fig. 10) soit vertical, ai étaut la même ligne que figure 9, si nous menons ez perpendiculaire sur 6i, puis «z, l'angle ezs mesurera la moitié de l'incidence de onU ( fig« 9) sur umi.
Or, es(ûg. 8 et io) = Ci (fig. 8)=x. Ayant abaissé sur e/ (fig. 10) la perpendiculaire bs^ nous aurons
rs X ij isXbs
is (fig. 10 et 8)=B/3=Ce ou Cf=y. Maintenant eir (fig* 8) étant parallèle à ebi(i\g. 10), soit W^ (fig. 8) un autre plan parallèle à Ibi (fig. 10). Nous
aurons BÇ(fig. 8)=;=Cr= -, et les triangles /B^,
256 (fig. 10) étant semblables , Z5 : 05 :: B/ (fig. 8):B^j
donc, puisque z^sB/, on aura aussi bs^^B^zzz-^
DE CRISTALLOGRAPHIE, i3
Donc l'éqaation sz = — -■ devient
donc
SI l'on suppose que le générateur soit un dube^ on aura A=s: i. Alors les deux rapports deviennent
6. Pour appliquer les formules précédentes, je «hoisirai une variété du plomb sulfuré y représentée figure 1 1 , et dont le s^ne rapporté au noyau
(fig. 12) est AB*G' (AB'B».B'BOMP. La surfcce est
co t/ l MP
composée des six £ices P, M, etc., d'un cube, des huit Éices c, c, etc., d'un octaèdre régulier, des douze faces o^ o ^ etc., d'un dodécaèdre rhomboïdal, et de vingt-quatre faces /^ Z', etc., qui proviennent du décroiâsement intermédiaire, et qui seraient des triangles isocèles, si elles se prolongeaient jusqu'à s'entrecouper , en masquant toutes les autres faces (i).
(0 Si Y01K sufiipose qu« 1«9 troif faced l, t^ l", qtù bord«nt
i4 TRAITÉ
Dans le cas présent, on a x= 2 , y^= i , n= i ; donc kg(fig. g) l gx :i ^i'] î i, ce qui donne i52*'44'2"> pour Tincidence de / sur T (fig. ii)* D'une avitre part, es l sz ::'\/6l i. Ce rapport est celui du sinus au cosinus de l'angle aigu du rhonibe
dans lequel on a g* pli \^ M 9 et qui appartient au dodécaèdre rhomboïdal. Cet angle étant de 70^31' 44'^ l'incidence de / sur / sera de i4i^3' 28" j celle de o sur / sera de 160^ 3 1 ' 44"> ^^ 1'^^ ^^^ ^^^ de c sur / en prenant la moitié , 70*^ 3 1 ' 44" ^® l'incidence de / sur 7 , retranchant de cette moitié celle de Fincidence de ç sur c^ qui est égale à 109^28' 16", c'est-à-dire retranchant 54^ 44' 8", ce qui donnera 1 5*^4?' 36", dont le supplément, 164^1 2' 24^ sera l'incidence cherchée. Quanta celle de P ou de M sur c, et de c sur o, elles seront, la première de I !i5^ 1 5' 52'', et la seconde de i54^ 44' 8"-
7. Nous allons maintenant passer à une autre espèce de décroissement dont j'ai déjà développé les résultats, par la méthode synthétique, dans l'exposé des principes de la théorie (p* 79 et suiv.)* C'est celui qui a lieu suivant trois directions perpendicu^ laires entre elles , autour de chaque angle solide du
le triangle c, se prolongent au-dessus de ce triangle jusqu'à ce qu'elles s'entrecoupent, il est évident qu'elles deviendront des triangles isocèles. Le mêtne raisonnement s'applique aux dix-hviit autres faces prbes trois a trois.
DE CRISTALLOGRAPIUE. i5
gniérateor. Xai fait voir que le solide secondaire litait, dans ce cas, un dodécaèdre à faces peotagonalesflig. i3} dont chacune avait quatre côtés égaux enlre eu\. Quant au cinquième côté, tel que celui ■D est indifjué par /, et que nous considérerons hnmela base du pentagone, il sera plus çirand uu plos petit que cliacun des quatre aulres côtés, suivant ipie la niarclte du décroissement sera plus ou Jioins mpide.
Pour représenter d'une manirre générale, à l'aide calcul, les résultats de ce décroissement, nous noussei-vîroiis de la ligure i4) analogue à ta figure 67 (t. I , pi. 5 ) , et qui se rapporte a un noyau cubique .dont les faces sont divisées en deux par des lignesyji,'', Vi/*Vj sîïi'écs dans trois directions t^ui se croisent iiigie droit. Soit botç (Cg. r5) le dodécaèdre pro- «initpar le décroissement dont il s'agit. Menons les diagonales ad, et, puis les liaulenrs rix, Ix, des deu\ pentagones p(/«or, pdlr, ensuite iifc, et [»ar le milieu ife cette li^ne menons ^.r qui sera perpendiculaire Sur elle, el enfin pT,p!e et dft perpeudlcnlaires l'une sur ad, la seconde sur et, et la troisième sur pn. Araat d'aller plus loin , proposons- non 5 de chercher les expressions des deux parties ux et un de la Vie nx , et celles des cotés du premier pentagone. Soit j*' ((ig. lû) la coupe du dodécaèdre qui coïuriile avec les liauleui-s nx, Ix. Les ligues e«, H, repfésenleroiit l'une IVrèle r« (fig. ij), et l'autre celle 'jui Cil ojqwsée à la précédente, et les ligues ex', ix'
i1> TRAITÉ
( lig. 16) seront les hauteurs des pentagones opposés ^pjnar,pcltr{ïi^. i5}. Soit uky^ (fig. tô) la coupe uorrespandiinte du noyau cubique. Meuous yx par le milieu de uk, et nÇ perpeudiculaire sur u-^. Soit at9> le triangle weusurateur relatif au trapèze arpd (itg. i5);etsoitn le nombre de rangées soustraites, «' l'arme de la molécule , et a celle du noyau. Nous «unm9(t^. 16)
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