IV«(C
DE CRISTALLOORAPHIEi 17
d'où Ton tire
. /c'n* -Ta»
Qd tient de voir . que les deux parties ux , un (fig. i5 et 16) de la hauteur du pentagone pdnary sont entre elles comme les côtés adjacens à l'angle droit dans le triangle uyx (fig. 16 ) qui est semblable au triangle mensurateur. Je fais cette remarque, parce que le rapport dont je viens de parler nous sera utile dans la suite.
Maintenant >2^ étant égale kyx^ il est bien &cile dVoir l'expression de ul^ y en faisant
3'. Pour la base -pr (fig. i5) du pentagone pdnar% •« (fig. 16) =/w (Cg. i5)== r^>|/ i-^2wÇ (fig. 16)
4*» Pour ie coté an ou dn.
5*. Pour le côté dp ou ar.
i8 Donc
•niAlTÉ
c'est-à-dire que les quatre côtés dn, ariy ar, d^ du pentagone sont égaux entre eux, ce qui est d'ailleurs évident, d'après la seule inspection du dodécaèdre (iH)yez 1. 1 , p. 82).
8. Les résultats qui précèdent vont nous fournir des formules générales pour la détermination des angles du dodécaèdre. L'incidence de deux pentagones tels que dprariy pcltr, à l'endroit de leur base commune /;r, ne souffre aucune dilficulfé. Elle est le double de l'angle uxyj dont le sinus est au cosinus comme an l a, ou comme n 1 1.
Pour avoir la formule relative à l'incidence des pentagones pdnar^ dmben^ à l'endroit de l'un de^ autres côtés , qui est ici le côté dn , menons les dia^ gonales înn^pm^ analogues à p/z, puis d/A perpendiculaire sur pn. Nous pouvons considérer la partie duft dodécaèdre qu'intercepte le plan pnm^ conune lé sommet d'un rhomboïde dans lequel les demi-diag nales ^, p\ de chaque rhombe, seraient égales l'un à piA , l'autre à rf/t,
Or pii.:=^\pn\ pn £= V(yM?)*+ W*i
t>E CRISTALLOGRAPHIE. ig
Donc
Mais rf^ ou vV+i''' ^^v zn — .Suppri-
nunt dans lés valeurs de ^ et vV^-f^J''^) 1* fecteur
oHnmuD -;— r, on aura
<4> ou \/g"+p":pti ou g'
«tdndoppantf^^ — j jpuis réduisant ,
VtW--g'- V-.' + «-+.:v/^-*' "•+" + ■■
Soil (dp)» ou ^■-f-p'*^ an*+ 3n'+ a ; nous aurons
wutrtyant k valeur de g'» de celle de g'*+p'*i p'*=:n* — n* + a/î'^n+i ; (^visant les valeurs de g' et de p* par le facieutf * I j
Doue
c'est-à-dire <\ue les quatre eûtes ' pentagone sout égaus entre eux .
évident, d'après ]a seule iDSp< {voyez t. ï, p. 83).
8. Les résultats qui prpr> des formules générales y angles du dodtcaédre. ' »■*■
goiics lels que dprart.
commune /jr, ne sont' ^5=1 — — double de l'angle (, comme on: a,
Pour avoir I; pentagones p*' ^,^, autres cùté« gonaIes//i« culaire su dodécaiV
-rra que le
. ..«xus comme
m M mtm de Taugle
de âx soUdetf
Kposc sur b face
ibire, ayaut
îeb que »p»,
■ mr, vias de detixi
. et dont la tiau^ ^îieit iaôle
me e4 le produit
'T.LOGRAPHIE.
' p sur aa- est, comme loncla solidité du
■,irt, la solidité de chaque pyramide |( dffX.cd de la surface de la base '1^. i6), ou «Ç' X a X jtÇ; donc sa va- " v:l'"4ue est
^(p..7)x«xi.i=^,
PiMais il y a si,i prismes et douze pyramides; donc la solidité de toute la matière enveloppante aura poiuexpression
Comparant les deus expressions, on en conclura que la solidité du générateur est à celle de la matière enveloppante, abstraction faite des petits vides que laissent les séries qui sillonnent la surlace du dodécaèdre, comme 2n' : 3«' — i. 11 suit de là que la solidité du générateur est à celle du dodécaèdre
3rt* ; 2rt* -f- 3/1* — I .
lo. Maintenant, pour passer aux ap]>lications, disons d'abord n=; i. Dans ce cas, nous aurons jir
aa TRAITÉ
an^
pu - — j— = -; c^jst-à-dire que la base des pentar
gones s'évanouit, et que le solide secondaire devient semblable au dodécaèdre rkomboïdal. Dans te même
cas, le rapport au à un ou n* • \/n* H- i devient celui de i à \/2 , ce qui donne pour Fangle aigu de chaque rbombe 70^8 1'44^ ®t pour l'angle obtus, 109^28' i&\ On trouvera aussi que le rapport entre le rayon et le sinus de l'angle qu'il faut ajouter à 90*, pour avoir l'incidence mutuelle de deux faces quelconques, est celui de 2 à l'unité, c'est-à-dire que l'incidence dont il s'agit est de 1 20^, ce qui est d'ailleurs indiqué par la symétrie de la fonnc.
Soit 71=2 , comme dans le fer sulfuré ; on trouvera pour l'incidence de dnarp sut pcltr y 126^52' 1 2", et pour celle de dnarp. sur dpœm, ii3**34'4*"j ®* dans chaque pentagone, tel que dnapr, on aura awd= 121^35' 17''; wdp ou /iar= 106** 36' 5" j d'où l'on conclura que dpr ou <irp= i02^36'i6''3o'". Enfin, le rapport entre les solidités du générateui et de la matière enveloppante sera celui de 16 à 11. Or, le rapport entre le sinus de l'angle anu et le
cosinus, ou n*: V^n*+ i, devient ici celui de 4
donc {auY : (tt/i)* :: 16 : 5 ;
et . .
c'est*à-dîr^
DE CRISTALLOGRAPHIE. a5
culicr dont il s'agit ici, le rapport entre le carré
<tu sinus de la moitié de l'angle au sommet du peiiU-
gone, et la différence entre ce même carré et celui
du cosinus, est égal au rapport des solidités du
\ générateur et de la matière enxeloppante. Cette
I Tariélé , que je nomme fer sulfuré (hâécaèàre ,ei
I JoBl k projection rapportée au générateur (fig. 17)
I M Tcàt (6g. 1 3) , a pour signe
. De célèbres minéralogistes ont cru voir (îans I les cristaux de cette variété le dodécaèdre r^ulîer I de lu Géométrie , parce «ju'ayant déjà observé parmi Iles cristaux d'autres polyèdres réguliers , tels que le Icnbe, l'oclaèdre et le tétraèdre , ils ont cru être conftlluits, par la raison d'analogie, à juger que le dodé- Biaedre à faces pentagonales devait avoir la même ■•jmétrie. Mais ou peut prouver que cette espèce mie solide, en supposant que toutes ces faces soient I pentagones réguliers, n'est susceptible d'être rÇroduit par aucune loi de décroissemeut.
Sous avons vu (p. 17) que les deu.t parties ux, un ■'(%• iS et iG) de la bauteur des pentagones d'un Cw)decaedre (juelconque, dont l'existence serait pos- , sont entre elles comme les cotés du triangle rateur qui sert à déterminer k mesure du lent, ou comme les lignes uX,yx. Concc- ■e i5 représente le dodécaèdre régu-
W, M «oil nàprn [U^. it)) \p. rnénu* pentaf^ne ({ne fij[. »/î, mwrril (fjnwt nnr «ircnuférence de rerde. H l^i»ff(f. Ha AiimtmXtrt rpe Haiw ce penta^^e Ir rapport fhf «j# ik un ( flg. f4 ) «st înconuneDSfirabbï. Pmir jf Jmr*<^li^, fwTions 1p» rayons cp, cd, pni» f^t |ir>r|irtKliriiliiirr sur art, ftt, f)m qui sera le côté' *Iit rtrf«((r>nf r^^lili/rr ifwrrit .m m^me cirrle.
Ijfw IrifinffW nf/u, pcx »oiit «ornblable», parce rpiMil (t(rt. rfiunii) un afi^^tc droit, Pt ([iie te» anglm »/««, *■/»« Wdit rliHaiii 1» moiti*': d'un an^lc à la cirl'fifdï'rdliccdti y*-\\\i\^(i\\v. ondpr^Aaxxv. dn:un'"Cp''px. llniilMH, lo4tniiri({lt'f4('//(7,M/)XHontwinbbl)lc», parce f)il'lUnril i-)iHnin un uiiglb' droit ttil que l'angle inâcrit /if/r qui II jHMir liiCNtiru lu moitit* <]<■ t'iirn arp., ou nn rtliqtl|/<nio «Ir In cin-nitlî-iT'nri!, rvtt rf^ul l'i l'alii^lo inscrit \tmn , qui N pniii muHurc lu moilii* d<.' Turc ndp l'-gal 4 l'un' Mfyi; diiiKi
