KT
\pm\p.
Allll* IIIMI* MVonN t
, ou (//i :
I i//t ' un L'unniic le rayon est au côté
; (■/> '• px ; donc
lli( diV'Hitiim*. Or, IV eùlû i-tunt ("gai ù tu médiane du IH^oii illviFK^ on uioyciiiiu et v\tr£ïniu raison, si nous li|ip)Mwtni> que it M>it ccttn mêdiuue, et à nous U iWvtfimiU» par X, et le rajrou par r, oou» aurous r ;« " * : r— Jt, et x'-f-rr ssr».
et en prenant le signe posilif, x = ~r yS — } r>
ux '. un '•'• r '• -} r V5 — ; r " n '■ \/5 — i ;
donc, tel est aassi le rapport des lignes uy et xy ((tg. i5); donc, ce rapport étant incumitiensurahle , ne peut représenter aucune loi admissible de décroîslemeDl. Il résulte de la démonslralion précédente que, dans le dodécaèdre régulier, le sinus de l'angle égal à la moitié de l'incidence mutuelle de deux pcnlagoDcs adjacens, est au cosinus, comme le rayon est à la médiane du rayon divisé eu moyenne et extrèmo raison.
13. Ce dodécaèdre, qui est si loin de celui de In Minéralogie, lorsrju'on essaie d'y appliquer les lois de U structure, a cependant avec lui une relation remaripiable, découverte par M. Boudrot, géomètre 1res habite, qiu a bien voulu me la communiquer. Elle consiste en ce qi\c le supplément de l'angle d'inodenee de deu\ pentagones adjacens sur le dodécaèdre r^ulier, est égal à la moitié de l'angle que. forment entre eux les pentagones du dodécaèdre de la Minéralogie, à l'endroit de leurs bases communes />r(fig. i5),en, etc.
Supposons pour un instant que utk (Lig. lO) soit Fanglê d'incidence relatif au dodécaèilre régulier. Si nous menons ub perpendiculaire sur le prolongement de kx, uxb sera le supplément de l'angle dont il «'agit. ClierchoHS le rapport entre le sinus i/zdecet
angle cl son cosinus bx. Nous avons eu
iiy '• yx '• z '. V'5 — '■ Soit uj=:2, auquel cms jx=s \/5 — t ;
■fia^H^; „i=4;A-«= VWrTG^
Donc
V'io — aV'5 Ponc
altx:ba::\'io—ù\/s
V,o-aVS
Donc donc
:: VSo — ic K 5 : a V 6 —a V 5
:: V 5(6—3 v'S) :3 V^s— o vï;: /s: V
u* : 6.1; ;: \/5 : i ; i« : Si :: V4 ; I :: 3 : I.
Or, ce lajiport estj;cliii des lignes lyrj
. ilAPUIE.
ilodécaèdre régulier sera
: v'â — 'î lui csl celui des
I j). pour le dodécaèdre régulier,
i' PSi plus grand que le second. Or,
- le» divers pentagones qui composent
ii: ec dodécaèdre se meuvent sur les
■ï, at, etc., du noyau cubique comme
bit de cliamières, de manière que les tra-
, dpray se relèvent au-dessus du carré adci.
Rie les tri.ingles cit, dna, s'abaisseront, et
"B^autres pentagones. Pendant ces mouvcmens,
le r/xi diminuera; en même temps les arêtes pr,
, CTï, etc. , deviendront toujours plus courtes, et
isiront par se réduire à de simples points ; si au-delà
: ce terme les mêmes mouvemens continuent, il
foniiera de nouvelles arêtes qui seront situées à
gle droit à l'égard des précédentes, et il y aura une
Kjue où le dodécaèdre sera encore régulier. Alors
laque trapèze crpt se trouvera transformé eu un
ingle semblable à clt, et réciproquement j d'où il
oit que le rapport uÇà n^(fig. i6) prendra la place
B rapport iiy '.J'x, et parce que n^=ji'x, on aiua
uy lyx y.yx : hÇ', ou \/5-
:: 2 : uÇ-
Ir, si l'on multiplie V5 — i par \/j + i , le proloit sera la diUcienre 4 entre les carrés de y/j et ! 1 . Donc K^= v'S + 1 ; donc au lieu du rap-
lier, et soit ndpra (fig. 1 8) le même pentagone cp» fig. i5, inscrit dans une circonférence de cercle. Q s'agit de démontrer que dans ce pentagone le rapport de ux k un {&^. 1 8 ) est incommensurable. Pour y parvenir, menons les rayons o/>, crf, puis pv perpendiculaire sur ad, et pm qui sera le côté du décagone régulier inscrit au même cercle.
Les triangles ndu , pcx sont semblables y parce qu'ils ont chacun un angle droit, et que les angles. dnu , cpx sont chacun la moitié d'un angle à la circonférence du pentagone andpr\ donc dniun** cplpx^ Déplus, les triangles dp^^ /Tipjc sont semblables, parce qu'ils ont chacun un angle droit, et que l'angle inscrit pdT' qui a pour mesure la moitié de l'arc arpy ou un cinquième de la circonférence, est égal à l'angle inscrit pmxy qui a pour mesure la moitié de l'arc ndp égal ^ l'arc arp ; donc
dp*pffi:pm\pxj ou daiux i\pm*ep.
Mais nous avons eu dn * un II cp • pxy donc uxl un II cp Ipm, ou comme le rayon est au coté du décagone. Or, ce côté étant égal à la médiane du rayon divisé en moyenne et e;!Ltréme raison, si nous 0|ipposons que cz soit cette médiane, et si nous la désignons par op, et le rayon par r, nous aurons
rXx'^'^xir'^Xj et x* -^-^ rx^=^r^.
Cette oqnatiou résolue donne
DE CaaSTALLOGRAPHIE. «5
et en prenant le signe positif, x^=^^r y5 — \r7
donc
ux: uni: r*^r v/5 — jr :: 2» \/5 — i;
donc, tel est aussi le rapport des lignes uy et xy (fig. |5); donc, ce rapport étant incommensurable, ne peut représenter aucune loi admissible de décroissèment. Il résulte de la démonstration précédente que, dans le dodécaèdre régulier, le sinus de l'angle égala la moitié de l'incidence mutuelle de deux pentagones adjacens , est au cosinus , comme le rayon est à la médiane du rayon divisé en moyenne et extrême raison.
13. Ce dodécaèdre, qui est si loin de celui de la Ifiûéralogie, lorsqu'on essaie d'y appliquer les lois de 1* rtracture, a cependant avec lui une relation remarquable, découverte par M. Boudrot, géomètre très habile, qui a bien voulu me la communiquer. Elle consiste en ce que le supplément de l'angle d'incidence de deux pentagones adjacens sur le dodé- ^èàte régulier, est égal à la moitié de l'angle que forment entre eux les pentagones du dodécaèdre de «Minéralogie, à l'endroit de leurs bases communes F (fig. i5),e/i, etc.
Supposons pour un instant que uxk (fig. i6) soit t angle d'incidence relatif au dodécaèdre régulier. Si nous menons ub perpendiculaire sur le prolongement de kxy uxb sera le supplément de l'angle dont il •agit. Cherchons le rapport entre le siuus bu de cet
mire pt cl tm.
1 plan parallèle lïtire, puisqu'elle isilion dout le l'octaèdre. Donc si î j)laii (TeS- se coude parler. Or, il Aiocide aussi avec une a*l»;caèdre, ayant pour ^ 3o) , des deux côtés -«« ewodue, cette ligne fait des arôtes du noyau ie parler. Donc eS- sera fa
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i
:*isé maintenant de distinguer les deux épotîvea aux diîcroissemens. Pour y parvenir, i3 du point p la ligne ps^, qui passe par le 'Otre » du triangle pm/i. pÇ sera parallèle a ej^, Stuisque l'angle /j^n» est droit comme l'aogle «JVn.
DoDC si l'on mène pui, qui fasse aussi un angle droit aveco/, le plan Ççasera parallèle au plan J^é3" ; or, celui-ci , à son tour , est parallèle à l'une des facea du noyau de l'icosacdre. Donc le plan Çpûit coïiicijà&ra avec celui de celte même iàce, puisqu'il passe par l'angle s du noyau, JJouc le point p est sur le plao de la face dont il s'agit; donc le point r est sur plan de la face opposée. Donc puist|ue pr est per- 'pendiculaire sur l'une et l'autre face, elle sera égale à l'arêle du noyau. Donc aussi ont est égale à cette erète; donc ê3- est égale au tiers de cette même arête. Or, il est facile de voir que la lame de superposition, dont le bord passe par les points tT , e , â , a la figure d'un octogone , aiusi que toutes les lames précédentes. Donc le terme où commence la seconde époque a lieu lorsque le coté de l'octogone parallèle 1 l'arête du noyau est le tiers de cette arête. 1 4. Clierchons maintenant si parmi toutes les comlïmaisons deux à deux des lois de dccroissemens, il eu existe une qui puisse produire l'icosaèdre régulier ■utottr d'un noyau cubique. Nous avons dit que l'icosaèdre du fer sulfuré pouvait cire considéré comiQC le dodécaèdre de la même substance , dont aurait retranché les huit angles solides correspon-
«tant à ceax tlu noyau , par des coupes qui auraia rcinj^acé ces angles par aulaut de triangles équi téraux, du manière que les résidus des pentagones seraient dies triangles isocèles. Si l'on fiiîsutt la même opération sur le dodécaèdre régulier de b Géométrie, ou aurait encore des triangles isocèles pour restes des pentagones. Mais on peut supposer que les dimensions du dodécaèdre générateur suieut telles, que ces mêmes restes deviennent des triangles équilatéraus; et il est évident que, dans ce cas, les sections dont nous avons parlé transi'ornieraient le dodécaèdre en icosaèdrc régulier.
Or, il est facile de concevoir que la question se réduit à chercher s'il y a une loi admissible de décroissement pour le cas où l'on aurait
nx '. px :: \/3: i.
Si l'on substitue à la place de nx et de px leurs ^ leurs algébriques (p. 18) , la proportion deviendr»j
■.-.sTi-
«levant tout an carré et simplifiant,
n* — 3n = - En résolvaut cette équatioUfO
Or, cette valeur n étant încommeusurable , il s'ensuit qu'elle ne peut représeuter une loi réelle, et ainsi l'icosaédre réj^ulicr n'est pas plus possible en Miûéralt^ie que le dodécaèdre.
13, On concevra ce (jue signifient les deux valeur» At n, en appliquant ici ce que nous avons dit au sujet des deux rapports entre uy el^x , dans le dodéraèdre régulier. Si l'on prend les rapports analogues peur le dodécaèdre qui vient de nous occuper , on iuni d'ime part l+î V^ : i , et d'une autre part
Or, il est remarquable que les termes de ces rapports soient précisément les carrés des termes qui composai les rapports entre les mêmes lignes considérées ilans le dodécaèdre régulier ( p. 38 ).
16. Si nous continuons de regarder la figure 16 comme étant relative à un dodécaèdre susceptible d'être transformé en icosaèdre régulier, par le retrandienienl de ses huit angles solides, l'angle uxb sera le &upplémeat de celui qui mesure l'incidence de Jeun faces de ce dodécaèdi-e , à l'endroit de leur base ïorumune, et la ligne ux étant prise [lour rayon , uiwra le sinus du même angle. Or, j'ai trouvé que If rapport entre ux et ub est commensurable, en S'fftetjm; ux : ub''.3 '■ a.
Ifi, triangle uxj, w^k î^y* •• 3+ V^ : 2.
Soit ov ^ 3 + \/5) auquel cas^x= 2.
ï«=v/C«j')'+Cr^/=\/'«+<iv^;
"^ V^'8+61/5 V^iO
:6«:VTS:ïï^5:\/^!^i^
• D'après ces données on trouve bxu = ^i'^
Or , l'angle uxk mesure aussi l'incidence (
. quelconques des faces de l'icosaédre régulier
droit de leur commune arête. Donc cette m
est de iSS-iii'aS".
1 7. Le dodécaèdre et l'icosaédre du fer suif quelquefois uiodilîés par des facettes additio qui dépeudcnt d'une loi particidière de de iitcnt inlermédiaire dont nous filions intti nous occuper. Nous supposerons, jionr jjIus ■nbe fasse ici la foucliou ti
Menons la hauteur se (fig. i3) de la pyramide, pms les lignes eb^ ca, cm , analogues à celles qui soDl marquées des mêmes lettres (fig. a 3). Le rapport àtcmkcs sera le même que celui de la perpendicu* laire sur l'axe , dans le rhomboïde secondaire , aux deux tiers du même axe , c'est-à-dire qu'en désignant V^SfiP'j^ demi-diagonales de ce rhomboïde , on
aura cm : es :: \/^: I v/gp'*— 3^\ Il faut donc chercher les expressions des termes du premier rapport , d'où il sera Ëicile de déduire celui des demidiagoDales.
Supposons pour l'instant que le point b ( fig. a3 ) y réponde au point n (fig. 24 )• Ayant prolongé >ia> ^ psqu'à la rencontre du prolongement de oA , nous f; aurons
ic(fig. a3) : ac::>iû>(fig. 24):»4 •• ^A* • ^4
y*afilac»i:ûùslacù^
Désignant par xle nombre d'arêtes de moléeule comprises dans ao (fig. a I ) , parjr celui que renferme af^ ^ par /i le nombre de rangées soustraites, nous torons
Dans la même hypothèse y
ic=îfûi (fig. a4)=^ . ^î2^"t^±^V^
nxy'-^y ^ *^
ic = 221±î±2 v/|.
nxy—y ^ ^
Mettant cette valeur à la place de bc dans la propoC^
lion précédente , on trouve
Mais co^=^\aCy parce que l'angle aco est de 6 i^.
bozsibc'^co
nxy+x+y wT /anxy-a:^^^ iny+x^jr\ /r nxy-^y - ^ \nx^+a?--ay nxy—y J^ *
— v/3 . -'^— .y . nx^rf-J?-fj^ . ''^ * itwC^-J-x — ^y * nxj' — ^j' '
^ nxy + x — ay '^y^^y
a6=V(rto)*4-(6o)»
V \ nxy—y ) ' ('iJ?J' + -c— aj')' *
ao . bc ^ "^ JJ^ nxy-^y ^
Mais , par la su^osilion ,
c«=a« (fig. 24)=H^^-f=2 . a Ct.I, p. 5i4) ,
et à causé de a=: V/gp*— %'=n/9— 3= \/6,
fln.ry— x — y ônxy — oy
Comparant Jes expressions de cm et de C5, on aura
»/ (â^^— x"^j)»+3Cx — ^)'"
cm \ es II
DE ClUSTALLOGRAPHIE. S^
Or, le second terme étant le tiers de l'axe commun m générateor et au rhomboïde secondaire, il en résulte que le premier terme qui représente cm est
^1 à Vjg^i d'où l'on condora que
Jonc •
Mais 9p'^— 3^'*=a-=:6, ou /•=i^'*+f Et ïïiettaut à la place de^'* sa valeur,
Don<
•••''•' V {nnxy-^x—yy + 'bi^x—yy
• V {f^nxy-x^yY + Z[x-yr'^ '*
i8. Les deux triangles afl , c?Ap (fig. is ) , dont le premier est inscrit dans le second , de manière que ses côtés sont parallèles à ceux des triangles yzxj sont susceptibles de prendre l'un à l'égard de l'autre une infinité de positions différentes , ou , ce qui revient au même, l'angle abo peut varier à l'infini, suivant les diverses valeurs de x^y et /i. Or, il y a une position sous laquelle cet angle étant de 6o^, les angles du triangle afl sont situés aux tiers des côtés du triangle dhp^ et il existe de même une
{o TRAITÉ
ïnfiiiitié dt Tipports entre x,y et r, qui ntûfinit A ■* cGilditioa qall ait cette mesure. II est bcile ^ tfooTer me fbrmiile gênénle qni embrasse toDS C^* rapports. Car, dans le cas dont il s'agit, on a
Donc
XÊOty—s—'jr^Zx — 3jrj
Koos TCTims pins Ins Futilité de cette firamle.
19. QwTChons fncoie Texprcsàon gÔMiale de H, r'est-À-dÎR de la figpe n fnkmçcr jnsqn^ la rcocoDtrede Api.
Nhb anms «■g^V'ijS <» à cHHe des tni^es jonUablKcB^. jfw^
(MOU \^: *c " «> : ^ :: «> : V^pf+Çfo)-
f«à Fm ta*, «n nwtUnt « h place de V'iff'' »
DE CKISTALLOGRAPHrE.
ïluis
(^~-y)^$ : anxy—x
anxy — X- — y
Ce résultat fait couDaitre que la ligne rt est une constante , pour un même rapport entre x et y, inilépeudarament de toute valeur de n.
