Il ne sera pas inutile d'entrer ici dans quelques
deuils sur les diverses positions que prennent les
Lfrcffî secondaires à l'égard de celles du générateur,
ptt BUT Jes variations qui en résultent dans l'assorti-
moitdes deux triangles afl, eihp, à mesure que le
rapport entre x eljr restant le même , la quantité n
lugmeule ou diminue. Soit ux (fig. aS) la même
Pfajeclion du générateur que Hgure 21 , et soit ef
a5) la même ligne de départ relative au décrois-
f meut qui agit sur l'angle a. Soit de plus an la ligne
i çn donne la valeur de n, auquel cas le triangle efn
i wra parallèle à celle des faces secondaires qui est
I touroée vers la (àce azuy du générateur. Concevons
I que la position du triangle efn soit celle qui se rap-
WfOTte a l'assortiment des deu\ triangles que repré-
"wile la f^ure aa. Suit enfui ux (fig. a6)une autre
R)^'""' du générateur, et ef la ligne de départ
"wf^née. Si par le point a nous menons at
4o TRAITÉ
infinité derapportsentrex,^ et n, qui satisfont i^ coitdition qu'il ait cette mesure. U est &dle trouver tme formule générale qui embrasse toa' rapports. Car, dans le cas dont il s'agit, ou a
ao X bo y. y/l : 1 y ou
anjfj'— X— j.= 3jf— Syî
ce qui donne
Nous verrons plus bas l'utilité de ceti ig. Clierclioiis encore l'expression
. :: , comme od le voit
' pourra èlre conçu
uissenieut direct ordi-
, du généraleur. Il en ré-
^ijjort de^' a p' (p. 3()), on
. on trouvera^rp':: v'biv''-^»
rapport auquel on parvient pur
'ii aux décrois:ienieus ordinaires.
Iiypothèae dans laquelle l'effet du dé-
U représenté par la figure 22 , et suppo-
valeur de n, en partant du terme qui
celte liypoJ.hèse, aille au contraire en
. Les faces du rhomboïde approcheront
lAVautage de coïncider avec celles du géné-
I même temps l'angle pbr qui croissait
n diminuait, deviendra toujours plus
■delà d'un certain terme, la ligne H sortira
TRAÏTÉ ^M
<lii triangle (lp7i, comme on le voit fig. 28, et cou pL'ra Je prolongement de rf/ï, de manière à conserve constamment la même valeur.
ai. J'ai supposé, pour plus grande simplicité que les décroissemens intermédiaires n'agissaient quB sur deux an};Ies solides opjwsés du cube <|ui fait li fonction de générateur. Mais dans la réalité, ils on! lieu paiement .«iur tous les angles solides , à cause di la symétrie de la forme à laquelle ils se rapportent^ et c'est ainsi que nous les considérerons dans la applications suivantes. Parmi les variétés qui ofii'ei^ des exemples deces décroissemens, je choisirai d'atwrc celle que je nomrae fer sulfuré quadriépointé , a qui est représentée figure 2g. Son signe rapporté a", noyau ( iig. 17, pi. 33 ) est
MPCA^B'G'J (Àn'C) (A'G'COÀ.
Ainsi, dans le cas présent, on a x=^i,j-=^ i ,n=
Incidence de M ^mf, de M' sur /", et de P sur
1 43^ 1 8' 3" ; de M sur/' de M' sur/, et de P siuio5''3o'4''; de M sur/", de M' sur/', de P s*^-^ derfsur/,/'ou/', 157-14.7^33" (j).
33. Si l'on suppose que les fuccttt» d devier^^^^j nulles, et que les facettes /,/'J/", etc. jusqu'à se loucher par
qne les fiices P, M, M', se trouvent converties en ■{itadrilatères , on aura une autre variété, qui est très "ïaref Hg. 3o), et que je nomme fer a ulfuré triacon~ taèdre. Les faces P sont des rhonibes, et tes facesy, elc. , des trapézoïdes irri'giUiers. Le signe rapporléau générateur (Hg. Sa) est semblable à celui oek variété précédente, en supprimant A. II est de
ftètne inutile de répéter ici l'indication des angles
^e furnient entre elles les différentes faces. Mais je
*»is exposer la méthode du calcul qui conduit à la
léternii nation de ces angles, ainsi iju'à celle des
bgles plans.
Pour avoir l'incidence dey sur/" ou sur y, ser-
ins-nouâ de la figure Si, qui est la même que la 3o%
traçons les diagonales m'm, mrn" et m'm", des
ois trapézoïdes dont il s'agit , c'est-à-dire de ceux
joi sont situés autour de Tangle solide e. Le triangle
tmW sera équilatéral, puisque Icspoiuts m, 17»', m",
anâdérés relativement an gi-nérateur (fig. 3a), sont
■lacés tous les , trois d'après les mêmes conditions.
ïoiic le solide intercepté par le triangle mm'm!'
£g. 3l ) peut être envisagé comme la partie supé-
d'iui rlioiaboïde , que l'on aurait divisé suivant
mené par les ti'ois diagonales horizoïilaies
•' même côté. Faisant doue j:=3,j'=i,
la ie rapport entre les demi- dijgo-
rliumboide , on trouve
/7,et3;7":^"— y::i4:ii,
45 TRAllt:
ce qiû donne pour l'iDcidimce de deux quelconqoi
des trois feces situées autour de Pan^ ' (%• ■
Si l'on suppose une perpendiculaire menée d( milieu d'un des trois côtés m'm, mm", ou m'a ( fig. 3i ), sur i'axe de la pyramide mcm'm'\ il e facile de voir que l'angle formé par ces deux ligne mesurera l'incidence de l'un quelconque des trian {^les mcm' , mcm", m'cm", sur la base mm m", le sujtplément de cette incidence donne celle de i sur f,f' ou y^' (lig. 29). Or, la perpendiculail dont il s'agit est à l'axe
:: V^: i V9p"-3^" :: ^ ; ^3^^ :: ViH: \/3 :: \/G; i,
d'où l'on déduit 157** 4?' 33" pour i'incidenee posée.
33. Cherchons maintenant celle de la lace (fig. 3o), pri.se à la droite de x, sur les faces 1 M, M'. Soit bp le cube auquel appartiennent ces faces. Menons les lignes hy, Jy, fk, de manil
que cy, ck,cfy soient entre elles comme *,^ elon comme les nombres 2 , i et f. Menons de plus lignes ce, cg, 00, perpendiculaires l'une sur
, «l enfin 1^^
[able au
DE CRISTALLOGRAPHIE. ifj
nirP(fig. 3o), que gck (fig. 33) sera semblable à celui qui donne celle de la même face sur M (fïg. 3o), ctqaeoc)' (fig. 33) sera semblable à celui qui donne' eelie de la même &ce sur M' ( fig. 33 ); d'où il suit que l'incidence de^^ sur P(fig. 3o) sera le supplé- DKDt de l'angle £«/'(%■ 33), celle de f sur M le lupplément de l'angle c^ky et celle àef sur M.' le topplément de Fangle cq^, ou, ce qui revient au inême, U première incidence sera ^le à l'aogte ^'^90^, I& seconde à l'angle cA^-f-90^> et la troi- ■ime à l'angle tyo -f- go*'.
Or, ^. .. *.. «r-*"ft.. «. ce.ck ..I. x.y
D n'est peut-être pas inutile de remarquer que ce
npport est le même que celui (|ui existe entre leti
<WDz demi-diagonales p' et ^ du rbomboïde auquel
■ppartiennent les faces qui, dans le dodécaèdre pen-
^ODal(fig. i5, pi. 32), se réunissent trois à troii
ntoarde chaque angle solide du générateur, ainsi
^on s'en assurera en mettant le nombre a à la place
«en, dans les expressions n* — n' + an' — n+i
* n*+n* + n+ i de ces demi-diagonales (p. |iG).
Hea résulte que l'angle nilp, par exemple, étant
1 de io6'*36'5"(p. aa), l'angle c/è (fig. 33), ^1 à sa
^ttUéwra de 53** 18' 2", et par conséquent l'inci-
*'"**'-- rP (fig. 39) sera de i43^j8'2".
<fc / sur /' à BIM'(ng. 35) bceh réj)on- X io). Menons le
Uaintntant
•eijai donne pour Tangle tzx 74^29' 55"; donc Pinrifeice de f surf à l'eudroit de a; (fig. 3o) est <iei4*>59'5o".
sS. Avant de passer aux angles plans des trapé- Kttdes f, ff etc. , proposoDS-nous de trouver uu npport qui nous sera utile pour la déterminattou de ces angles, savoir, celui qui a Leu entre les dimen- ■ioQsda générateur, et celles dii cube qui résultenitdu prolongement des rhombes P, M, M', jusqu'à ce qne toutes les autres faces eussent dbparu.
Soit 6)- (fig. 3i ) ce dernier cube, etoinlg, hknr^ TiiÇpjles trois rliombes qui répondent à P, M, M' (fig. 3o). Ayant mené par les milieux des côtés bd^ osicd, gj-, etc., les lignes ps, ^fA, ^l^, et ensuite la ligne hg , cberchons le rapport entre la demi-diagonale il de cbaque rhorabe , et la moilié is du côté du cube. Soit is = a, et i/=:a. Le triangle Igi étant fc«aib!al)le au tri:in}^lc jAc (fig. 33), nous aurons %3i)^>, — i,7=i«, puisque cA (fig. 3i):=^cy. |Deptm,si nous menoiis par le coté gl du rbonibe lui aille toucher le sommet A plan répoudra à la face bceh
U TBAITÉ
(Gg. 35), et le triangle A3^ (Gg. 3i) dtmfele côté ^ coïncide arec le plan xutg , et dont les côtés AS", ^9*, sont perpendiculaires sur cd, sera semUaMe an triangIeycA(fig. 33). Donc puisque /c:cÂ::ftt::3:3, OD aura aussi tô'(fig. 3i) : ^■g"2:^; donc
>9-— >A : 3-» ~gi:i a : 3, ou
d*où l*on tire u^la. Donc il=Z'^iu=lu. D'après ce résidtat , il serait facile de construire le tiîacontacdre avec un cube donné, en traçant d'ai>ord sur SES différentes faces les rhombes omlg, hkitr^ «te. , puis en iàisant passer par les quatre côtés de cliacun d'eux des plans tangens aux angles aigus des rhombes tracés sur les faces adjacentes.
Pour continuer la solution du problème, menoni par le point d la ligne du parallèle à xa, puis la diagonale bc, ensuite la ligne cl perpendiculaire sur xa el enfin la ligne tl. Pour plus grande simplicité , Ai signons par l'unité la demi-diagonale bi. Nous auroi ab=s^2, i>s=^pu= Vï* ul^^iu^jssit, gi = y/T2.
Maintenant , les triangles iïg , ala , sont ^oi seiiibliii)les} donc us ^gi= V^ï- Mais du élniil niIlL'lu à la direction du déci l'a
( CKISTALLOGRAPHIE.
s :: 4 • 1 ; et eu : es" ^'. 5 y
}içjrl d" 4' ^' Mais ç^ étant une perpenetnenée du sommet du triangle rectangle dcu nténuse , ou a
•^ du V/a + i *
Uiinc la proportion cy',cl'.l/['-5 devient ^j'.cl'-l^'^i ilunc c/= \/^.
Le triangle r/2 est semblable au triangle cef{Gg.33); doue
d:rf(6g.30::o8:c/(f,g.33)::3:v'5{p. 4?);
y/^ : et :: 3 : v/5;doiicc(= V?l- D'une autre part
doni
Hab donc
il ou 6(i— fic = (8— i)\/||=7 Vn"-
es : ia: :: 5 : j.
Or, les triangles semblables ctCs, xTtbj donnent es '-^ bx '.'. cfjr '. bTT f
5« TRAITI
(fig, 35), et le triangle AB'g 0 coïncide avec le plan xittq , r sont perpendiculaires sur Iriangh fc/t (fig. 33). Dom: ,j^^ on aura aussi h^^ (iig. 3 1
y^—yh:'r
^«v^=lv1-
tl'uii l'on lire tt = î / ce résiJtat, il serait taèdre avec un ciih' sfes différentes face.i i puis en faisant pa;
principale
;iig-3.).
aies point)»
^eTa par le
;ues,avec
DE CRtSTALLOGRAPHIE. ' 55
3*. Pour l'angle thh. La détermiDadon de cet angle ctait celle qui souffinait le plus de ditBcalté. Nous la fenoos dépendre du rapport entre ih et tz perpendi*eulaire sur hs. Nous avons déjà eu (p. 49)
tx i xzii v'id : I.
Désignons maintenant paf Tunité la demi-Kliagonale de chacune des faces du générateur. Dans cette h)^pothèse 9 te étant le coté des mêmes faces, nous aurons
tA?
doDc
Vf :«5::: V'îl : i;
donc
donc
tz ou \J{txY + {xzY = V/^.
RoOe à trouver Texpression de ^A. Nous avons
rtc : <e :: &: 7 (p. 53).
Mais
te=v/2 ; donCrtc==f V^; dontiam=tf v/â, D'âne autre part y
m/=3'f(tig. 3t)==icrf=7/>5=o/=ac(fig. 36), *j^=A^(Cg.3i)=po=io=ioZ=iac(fig.36)
5b' TRAITÉ
dr)nc
ah = \/(Am)* + (am)*= Vif. 2 +^ • a = Mais
{voyez p. 54), ou
V^ïi : Af :: v/Tâ : N/âS ;
rlonc
ht=\/r'
donc
A/ : te :: v^ : v^^ :: v^ : \/S86,
ce qui donne /A6 = 57^o'i>o".
INous aurons donc , en résumant ,
athz=zi ifv»6' 14"; abk=^i I i^5o'44''; thb=o^o'So'' .
La difTérence entre la somme de ces trois angles et 36o*^, donnera 70*^2' 12'', pour la mesure du quatrième angle tab. J'ai cru devoir donner à la tliéorie du triaconlaèdre de la nature, tout le développement nécessaire pour montrer jusqu'à quel point la forme de ce solide s'écarte de la symétrie a laquelle il semble qu'on aurait dû s'attendre « en considérant qu'elle est le résultat d^im ensemble de décroissemens uniformes^ dont les effets se combinent avec les ftcct dTan nojaii qui est Im-mènie remarquable ]Mr k Kgaluntê de a finae.
DE CRISTALLOGRAPfflE. 67
27. La Géométrie a aussi son triacontaèdre , dont U m'a paru intéressant de &ire le rapprochement ^Tec celui de la Minéralogie. Sa forme , dont on voit la projection ( fig. 38 ) , est symétrique , en ce que toutes ses faces sont des rhombes égaux et semblables. Panai ses divers angles solides, au nombre de trentedeiu , vingt, tels que a y sont formés par trois plans , et les douze autres , tels que s , sont composés de cinq plans.
L'idée de ce solide, dont il ne paraît pas que les géomètres se soient beaucoup occupés , s'était présentée à Rome de l'Isle, à l'occasion du triacontaédre du fer sulfuré, qu'il regardait comme ayant la même régularité ; et il pensait que pour le construire il allait faire dans le dodécaèdre 'régulier des coupes qui, en passant par toutes les arêtes et en mémo temps par le centre , détacheraient douze pyramides pentagonales ^ puis placer ces mêmes pyramides sur les faces d'un second dodécaèdre semblable au premier (i). Mais les géomètres qui en feront le calcul TerroDt que, dans cette hypothèse, les pyramides seraient trop alongées pour que les Ëices de chacune se trouvassent de niveau avec celles des pyramides adjacentes, en sorte que les soixante triangles se réduisissent à trente rhombes. Tous ces triangles formeraient , au contraire , des angles rentrans.
(i) Cristallographie , t. III^ p. 334^ note io5;
dmc
ah =\/{kmf+{am)'= Vîi-a4-
Ai =io/i = v'lï.
Mais
M -.ht", g': V^^+p'-.-.y/^-s/^
{voyez p. 54), ou
flonc
donc
/i( : te :: v'jI : }/n
