L-t enfin cfperpen

' .ibord les angles de

itlaèdre. Q)ncevon5 «n

*), qui intei-cepte la py-

le sommet esl en s. Soit

pyramide. Menons la lian-

> ci , cb , puis sr perpendi-

I évidenimenl la moitié d'an des 1 laèdre. Or, l'iiiclinaison de cliaque . faces dont on vient de parlor, par Jiiplan tatig#ut à l'arête /jrfHg. i'>), ida^&ne^ pdf lar, pcilr, sei'ait *^alc à dont le cumpléiuenl kxy mesm'e la iucidence de ces pentagones l'un sur lUC si nous considérons ttihpb' (fi^. 4o) >ii des pentagones du dodécaèdre qui, dans jiit nous venons de parler, serait inscrit au laèdre, l'angle ers sera égal à l'angle jj-Ax j et par conséquent le rnpport entre cr et es mu. Donc ayant la valeur de cr, on nit aisément celle de es, et par suite celle Tf. Le problème se réduit donc à chercher cr et ir. \i Aiiamençons par cette dernière quantité.

. Tasms^ c^s,

JS T -ï ^"tllIS TT. m

DE CRISTALLOGRAPHIE. Gi

propriété remarquable, qui peut être utile pour mettre le tnacontaèdre en projection. Il ne s'agit que de tracer le dodécaèdre r^ulier , puis d'élever au centre de chaque face une perpendiculaire es moitié de ci y après quoi on tirera les lignes si^ sb, sp^ etc., qui seront les côtés des rhombes du triacontaèdre. Maintenant

donc

.^,ir:: }/'-±p : yj^h: s/lT^S: v/5=V5.

^Hm ce rapport est le même que celui de ky : yx

C %. i5), ou de y/3 + V5 : Va. Car si Fou met ^^^€s deux rapports en proportion , et que l'on prenne le produit des extrêmes et celui des moyens , on

tjouvera , de part et d'autre, y * ^ + ^ V/5.

Concluons de là que le grand angle du rhombe «si égal à l'inclinaison respective des faces du dodé- «ièdre régulier, qui peut être regardé, ainsi que xious l'avons vu , comme le générateur du triacontaèdre, c'est-à-dire, que cet angle est de 1 16<*33'32". 29. Qierchons encore l'inclinaison de chaque face telles qui lui sont adjacentes. Si nous menons iu perpendiculaire sur bc , il perpendiculaire ulj l'angle ilu sera la moitié de l'incU*

Or,

A>ttC

i DMCB Gonoparoos ensemUe les IràkU^lK v«*\ î«/, BOikï tmmqiop», i*. <|ii^ ont «."{-.ACUtt ttu an^W «hv^tt $ttu^ en « : a', «jor FvÊa da \v4v$ «JfftOftts à ort uïçW. jwtoÎTr ùt . est oMunim à

l^abÀ-N rt <^;!Mt\: «iMac b»^ ica. kïliKi est de Ta', «.-^•{««■«-utov. i^w- U M>nti>f lit- f^LT^be tfBt ■»!■[< nn- *,-uk«cv !!W!içwctt«« lit» lùv-v» àuL trvKwabBÀW est v^tiitî « Tvx^ Mt «mirv «aux» bf jxmÈ^iMM nceajv« . s;w «!C iAW <»rs^ ùoi» .ÀK ^ÔMKv-wîunt ^eanatovr.

4lb 4nJkv<ôil!<e «ft 4kl

cubique, en supposant à la cristallisation une marche ualogoe à celle qui a lieu pour le triacontaèdre du far sulfuré. Mais le rapport entre les deux demi* diagimake des xhoml^es «m, s*m^ d^ni^ (6g. 38 ), daos le triacontaèdre symétrique, exclut toute loi admissible de décroissement»

3o. Les effets de la loi intermédiaire (AB*C*) , qui

oflteDt des trapézoïdes irr^uliers , lorsqu'ils se com* iàoent avec des faces parallèles à celles du générateur ) prennent au contraire un caractère sensible de symétrie, en s'associant avec la loi qui donne Dussance au dodécaèdre pentagonal. La surface du solide secondaire qui en résulte, et dont on voit la projection ( fig. 4 0 ' ^^^ alors composée de :i4 triangles isocèles obtus/*,/*,/', etc., dus au décroissement intermédiaire , et de m triangles isocèles aigus , e , e, e', etc., qui proviennent de l'autre décroissement. Cette variété, dont le signe est

k:G**G(A^B*G'XÀB'e)CAG*CO,

porte le nom de fer sulfuré pantogène, parce que toutes les parties du générateur concourent à son ongme, par les décroissemens dont elles sont les tenues de départ. L^ncidence de e sur/*, la seule qui ^?eUe daps cette variété , est de i6a^ 58' 34". î j^récède suffit pour bien concevoir le réstrique des lois auxquelles est soumise

Sa TRAITÉ

Or, f;n.WxW. f„v L±J^. r'

doiic j».iniduitle

donc

i7^3=ci.

Maintenant, si nous compn triangles cui, iulf nous trouvei

cliacun un angle droit âtué en côtés adjacens à cet angle, sayt' Ynu et à l'autre ; 3°. ciuel'li

!. (jui seraienl devenus s triaugles n'en avaient

miteiiaiit lUslingiier les épo-

liécroissemens. Si uous Jaisona

. il par les points a, h, c (fig. 35)

' • ijiézoïdes bath, bceh, dévien-

k-^ semblables à/',/' (fig. 4 1),

■ ithc (fig. 33) représeiilera le

r;.Or, les point e, £((ig. 35) étant

di.'ux angles solides dti générateur,

lit parallèle à P, ii est aisé de voir

c', pris aux intersections des lignes

/j corres]H)ndent aux mêmes poinls

I sont restés fixes pendant l'accrois-

igles y", /', f. Soit A le côté du

ig. 35), et a celui du générateur"

lîdes sont situés aux points e, t, etc.

s a'c', ac étant respectivement les

'( (fig. i5),oupV,/)r,el ces dernières

litre elles dans le rapport t : 3 des lignes un^

17), il en rcsnlte que a'c' (lig. 35) = )nc.

• rtt^=;A (p. 45); doncrt't'' = ^ A. D'une autre

É A^-^a; donc a'c'^^^a. C'est-à-dire que l'ori^

c du second décroissemeut répond au terme oij,

mn le polygone qui représente les grandes faces dc9

1 de superposition , le côté parallèle n celui du

inérateur est égal aux ^ de ce dernier.

iteuaut les côtés du tiUnglc qui forme la basa

de la pyramide /",y,/(fig. 4>] ^^i^^ *^i' 1* ' de» dingonales horizontales supérieures da rhomb (]ui n'-sul)ernit du décroissenieiit intet-médiaire les cûli'ii du triuiigle formé par les diagonales 1 zontalcs du noyau liiisant des angles de 60'' et ■vec ceux du premier liiangle, puisque ces t triangles sont nécessiiirenient situés l'un à l'égar l'uutrc connne JéA, mnp (fig. 30), il làut que 1< crniMKi-iiirnt inlernièiliairc soil renfernié dans la

mille /i= ' ■'■ ~^ (p. 4o)) *!"> représente' généi liicnl tcius les résultats soumis à la coudition doi vii'usdc parler. Or, si l'on fait 1=2,/= 1, coi riliilii|ue le signe (p. 63), ou trouve n = i, « (»t la mi'sure de la loi d'où dépendent les fucetU /''./C'K- 4'0- l-" •'^"'f^' "'^i** offrira une aulr« (lui lYiilre dans la mèiue formule.

l'AÎM^ns x^T*; nous auronsn=:i. Cerêsull (•np|K>rtP nu cas où li's trois faces produites pari cntiitscmcnl coVnciilenl sur le même plan , ce t lit'U (luuii rirosatHlrc [ fîg. lo).

Il «rri\oiisM*R Si»»» en! «ptc ces dernières l»< WH-ii'tit il celle* «V l« \an<lé )>rrrédci]te, comi le %oil lîjiuif ,(3. C'est ;tlors le fer sdfiiré trifi* •iiwu nnmiMT jurrc (|U« m finiuc «Ittive de rodi lV)t«llcr |Mr tcH fM'<HI(M d-t du dt-tdcoèdrr peiitjj

ajoutant A à celui du fer sulfuré pantogène. L'incidence de d surfy sur/*' ou sur/*, est de 157** 4?' 33". 3^. Je terminerai ce qui concerne le cube par la description d'une variété de fer sulfuré dont ou voit la projection (fig. 44))^^ 4^ ^ffî*^ jusqu'à présent le maximum relatif au nombre de facettes observées sarles divers corps produits par la cristallisation. Ce nombre est ici de i34- Le signe est

1IM'P(A^*G0(A*B*G'XA»B*G»XAB'G*XAB'C»)

ft « 3 3

(ab'C»x*ag'C'X*ag'C'X"agh:')bbccxî«»g**g

(A»G'B»XAB'C'X^AC'G')À. (i).

h' nf n d

Incidence de P sur «', ou M sur 5 , et M' sur s^ ,

i5o*i47'4o"j f sur 5, /' sur 5', et f^' sur ^",

iSg^iS'iS'; P sur y, M sur j^', et M' sur y^

140^ 18' 38"; e sur 7î, é?' sur n' ^ et ^" sur ril' ^

(1) Les décroiasemens qui donnent les facettes 0', o\ 0 ,

^knt être représentés d'une manière plus simple par A , ^/Dâis f ai préféré Tindication du décroissement interà cause de son analogie avec les autres parties du lfÉ0 ftox facettes/ et s.

faœtle s élaiit prodiiîle par iin décroissement qiii agit sur lui des angles de la face M, u'est-à-dire sur un angle diflërcnt de celui auquel se rapportent les sigues des autres facettes, le parallélisme de son tord 8 avec les bords «T, X, v , n'est pas ^iilemeiit évident. Pour le coiice\oir, remarquons d'abord que d'après la manière de considérer les décroisseiuens, qni a été adoptée pour le signe représentatiF du cristal, celui qui donne la facette o' est représenté

Mr(AB'C'), et celui d'où dépend la facette s par {*AG*C'). Or, ce dernier sij^ne indique dcu\ arêtes de Biolécule soustraites sur G (fig. 43) et une sur C. Donc, si nous prenons sur G et utir C les deux lignes Ar, Ao, qui soient censées égales l'une à deux arêtes de molécule et l'autre à une arête, et ai parles points o,r, nous menons la droite or, celle-ci sera la ligne de départ du décroissement rapporté à l'angle A de la face M. Donc , si nous menons Ao A As, de manière que le petit triangle ors soît parallèle à la face produite, nous aurons

Ar = 2, Ao=i, As = j.

Abintenant, si nous supposons que le décroissement agisse sur l'angle A de la face P , il faudra , pour rester cette manière de le cousidérer y traduire le

Signe précédent en celui-ci (ÀC'B'). Mais comme 'a «quantité soustraite sur B doit être au moins égale à Xine arête de molécule . il est nécessaire de doubler

les exposans de G et de B^ en substituant O'b^

à G'B^, et alors la mesure du décroissement, qui était censé avoir lieu par deux rangées en hauteur , se trouvant elle-même doublée dans le même sens , l'exposant de A devra être ^, en sorte que le signe

prendra cette nouvelle ferme (AB'O). Or, les nombres d'arêtes soustraites sur les bords B, G, étant les

mêmes que ceux qu'indique le signe (AB*C*) relatif à la fiicette o'^ on en conclura , en appliquant ici le raisonnement que nous avons fiiit à l'égard de cette &cette QOBiparée aux suivantes/' , «% que h li^e • est située jpandlèlement aux lignes / , X,^.

34« Bestç à expliquer le paraUélisme qui régne entre les kiter8eotion89f,!r, d'odes fiicettes dyfy n\ e\ Pour y parvenir , remarquons d'abord que si l'on supprime* j/, l'assortiment des fiioettes^%y d^ sera^ le même ^e dans le fer sulfuré informe (lig. 43 ), où les bords commiuns a deux fiicettes voisines sont parallèles, d'après ce qui a été dit plus haut. Il reste donc à prouva que la fiicette /»V(fig* 44) > ^ ^tm-place l'arête z (fig. 43)» & 3^ bords parallèles à cette arête. Or, on concevra aisément que la condition d\m dépend ce parallélisme exige que, dans le rhomboïde qui résulterait du prolongement des facettés v!^ rjl\ n ((ig. 44)9 1^ triangle formé par les trois diagonales horizontales supériem*es ait ses côtés dans le mémo sens que les arêtes z'y £\ z (fig. 43 )> qui fent la

rméme foaction relativement au rhomboïde auquel

apparlicnneot les facettes f f", fy c'est -à-ilire que

les côtés du triaugle (luiit il s'it}>it doivent faire des

. aagles de 60*^ et de 90'' avec ceux du générateur

I (p. 3g), ou, ce qiii revient au même, la toi qui donne

ries facettes n', n", it (lig. 43), doit être du nombre

de celles que représente la formule n= ^ (p. ^o).

Or, d'après le signe du cristal, on a x=3, y = i , d'où l'on tire n=|, ce qui est la mesure du décroistement indiqué par le même signe.

DU PRISME nHOMSOÏDAI. OBLIQUE.

D était naturel de s'attendre que la symétrie des formes sous lesquelles se présentent les solides que nous avons considérés jusqu'ici, fournirait des données pour exprimer les lois de décroissemens dont ces solides sont susceptibles, par des formules simples, qui auraient le double avantage de faciliter la détermination des cristaux secondaires et le développement de leurs pro))riétés. J'avais cru , eu préparant la première édition de cet Ouvrage, devoir restreindre à ces mêmes solides la généralité des méthodes dirigées vers l'appUcation de la ibéorie, dans la crainte qu'en voulaul l'étendre aux autres parallélépipèdes moins réguliers, je ne tombasse le plai souvent dans des formules si compliquées, qu'on ne pourrait en faire usage sans un travail pénible et iàstidieux. Mais les tt

s que j a

lepuis

que j'ai repris le même sujet, m*ont prouvé la possibilité d'assimiler , au moins jusqu'à un certain point, la marche des calculs relatifs aux solides différens du cube et du rhomboïde, à celle qui avait été suivie par rapport à ces derniers.

Je commence par le prisme rhomboïdal oblique , parce que c'est de tous les solides dont il s'agit, celui qui se rapproche le plus du rhomboïde, à l'aide d'une propriété que je vais faire connaître.

Soit ag (fig. 46, pi. 35), un prisme de ce genre , dans lequel les angles bad^ bcdy de la base sont supposés obtus. U sera iacile d'appliquer ce que je vais dire au cas où les mêmes angles seraient aigus. Do l'extrémité supérieure de l'arête cgj je mène une droite es à l'extrémîtéinférieure de l'arête opposée as. J'ai trouvé que dans les applications de la théorie à toutes les variétés originaires des différentes espèces qui ont pour forme primitive un prisme analogue à celui dont il s'agit ici, on obtient des résultats conformes à l'observation, en supposant que la ligne es soit perpendiculaire sur l'une et l'autre des arêtes cg, as. Cette propriété sert à limiter l'étendue du prisme dans le sens de la hauteur, en sorte qu'ayant mesuré l'angle ac^ que forme la diagonale oblique ac avec l'arête cg , et ayant retranché 90^ de cet angle pour avoir l'angle acsy si l'on cherche le rapport le plus simple, qui s'accorde sensiblement avec la mesure mécanique, entre le sinus et le cosinus du second angle, ce rapport sera celui de es à as. Soit cysl la

DE CHISTALLOGRAPHIE.

Éouiie du prisme prise par un plan peq)entlicnlaire wax faces lalérales; dési{»nont par g la nioitié^^jc de la (liaponale y/ parallèle à bd, qui est toujours horizontale; parp la moitié ex de la diagonale es, située dans le même plan vertical que la diagonale oblique ca de la base, et par A l'arête as ou cg, on a les données nécessaires poin" soiimetlre au calcul les résultats des lois de décroissemeus d'où naissent les formes secondaires.

35. l'ne autre propriété qui dérive de la précédente consiste en ce que, si de l'eitrémité inférieure

ue l'^réte as, un mène une perpendiculaire 5^ sur

Mi diagonale oblique oc, les deux scgmens seront en rapport comni^nsurable, quels que soient d'ailleurs les angles du prisme rhoniboïdal. Cette seconde propriété, qui a lieu en conséquence de ce que le triangle csn est rectangle, et qui est générale pour tons les triangles de ce genre , ne fait autre chose que présenter sous une nouvelle face celle qu'a le cosinus de l'angle plan aigu d'un rliomboïde quelconque, d'être dans tons les cas une quantité rationnelle. Pour démontrer cette corrélation, j'observe qu'un triangle rectangle tel que mac (fig. 47)» p^nt toujours être considéré comme étant le quart d'un rhombe amnr, dont les diagonales seraient entru

-«Iles daus le rapport des côtés cm et ca. Cela posé , î nous menons ni perpendiculaire sur am, ml sera B cosinus de l'angle aigu amn, mn étant prise pour

ik rayon , et si nous désignons cm par g et ca parp,

noiu aurons

mnovLam' mi :: g^+p^ • g^ — />* (t. I., p. 284).

Sfaintenant , menons de l'angle droit du triangle amc là ligne eg perpendiculaire sur l'hypoténuse. Je dis que les segmens gm et àg seront en rapport rationnel, ou, ce qui revient au mème| l'un quelconque des segmens, par exemple agy sera en rapport rationnel avec l'hypoténuse entière on». Gir la proportion ci-dessus peut être mise sous cette forme

am • am^^ml on al II g^+/^ • 2p*. Mais, à cause des triangles semblables onZ, €Uig\ on a

ag^iali donc

<^m : ag :: ^+/i' •/>••

C'est-à--dire que dans tout triante rectangle, l'hypoténuse est au plus petit des segmens formés par la perpendiculaire cg , comme la somme des carrés des deux côtés cm et oa est au carré du plus petit de ces mêmes côtés.

Mous venons d'avoir am : ag :: g^+p* */>' ; donc

{am-^ag) ou mg lagll g^+p^—p* Ip^ i donc

mgiagr.g^ip^ ::{cmY : (ac)*;

donc(fig.4^),

c4 : «4 :: (csy : (««)*.

DE CRISTALLOGRAPHIE. jb

Mais ici cs^=i2py as=h', donc c^ la'^ Il ^p^ ! A*, ou autrement les àegmens c^ et a'\ sont entre eux comme les carrés des lignes es , as.

36. Voici une troisième propriété qui procède de la même origine. Si Ton mène c>i perpendiculaire vdxys ) et que par le point >i on fasse passer la ligne C'a perpendiculaire sur ah et sf^ ses deux segmens >t^, n/x, seront en' rapport rationnel , ou , ce qui revient au même, la Ugne entière sera en rapport rationnel avec l'un quelconque des deux s^meus^ par exemple avec ïiÇ".

Pour le prouver, menons c^ perpendiculaire sur aô, et qui tombera nécessairement à l'extrémité de |u^.

Nous avons cç = — r-. Or,

ab=: Vbé^aô^=\/'^'^f'^'';

donc

y sy.as l/Of'-t-p')A' . / (g*+P')4ft!..

donc

Dans le même cas ,

donc infi l mÇ ::p* l g^j ou comme les carrés des diagonales. Noua verrons dans la suite l'utilité de ces diverses propriétés.

n y a une multitude de cas possibles dans lesquels les demi-diagonales £0 , ao ( fig. 4^ ) de la base sont entre elles comme les s^mens nÇ, vifi^ c'est-à-dire comme les carrés des diagonales de la coupe transversale. Cest-à-dire que si l'on suppose à volonté des valeurs numériques à deux quelconques des trois quantités gyh^p^'ûy aura toujours pour la troisième une valeur possible qui satisfera à la condition proposée.

Soient g^^ p' , les demi-diagonales £0 , oo ; nous aurons, par l'hypothèse, g'^p' 'ig^l p\ Mais g^ z=\g^

etp'=v/^^ ; donc ^ : 4e!+*! :: ^ : ^,4 , ou

Etant donné ^, A, trouver/).

Je mets l'équation précédente sous la forme

Celte dernière, résolue à la manière de celles du

DE CRISTALLOGRAPmE. 77

deinùème degré, donne

p* = f =fcf V?TÂ=, et ;,= v/f±f Vi^+Â^- On voit que ^ V/^M-Â^ ne pourrait être retranché

de^ sans que le reste ne fôt une quantité n^ative^

d'où il suit que, dans les applications , il &udra tou* Jours prendre le signe +.

Lia même formule 44^/>*+^A'==4^ donna

g'ïsr— ===== et ^=-^v/d* — ^*

Cette dernière équation &it voir quej9 doit toujours

être plus grand que g y d'où il suit que l'angle^c/ est

aigu y dans tous les cas du genre de celui dont il s'agit.

Le pyroxène satisfait aux conditions du problème.

Si l'on Êdt g = V'^ j p = \/î3 5 o^ trouve

comme dans ce même minéral.

Faisons ^= V^Tâ , h = \/-!r* Nous aurons

/)ouVÇ + |/^qT«=V^6+^/I^)=V6+/3^ Faisons /> = v/i 3 , A = y/^* Nous aurons

/7 ou ^ = ■ = rr- r

Eafin , le rapport entre les segmens h^, g^, de V&rête gh est toujours commensurable. Cherchons ce rapport.

cl= Vt+p\

g<p=i \/cg* — c^

et

A(p : g<p ::gk—g(p ig^ :: 4^* + 4p* — A» : aAv

Nous avons eu cd ou arf = l/^- — ^ • Donc

gh:/;(P::{ady:i(asy,

c'est-à-dire comme le carré du côté de la base est à la moitié de celui de la hauteur.

Les valeurs des angles du prisme rhomboïJal se déduisent des calculs qui ont servi à démontrer les propriétés qui précèdent. En supposant toujours que les carrés g et p soient des nombres rationnels, on aura cy \yyi :: ^" +^* : ±^*qpp' , ce qui donnera

rincidence de chfg sur hasf. Pour avoir celle de la base abcd sur hasf^ on se servira du rapport c)i : )i^, dont l'expression algébrique, toute réduction Ëdte,

estp : \ i^fi ^J^h^* ^^ i°8^ aisément de ce qu'il

y aurait à £dre pour déterminer les angles plans.

37. Je vais maintenant parcourir les difierentes espèces de décroissemens , soit ordinaires , soit intermédiaires, qui peuvent avoir lieu sur les diverses parties du prisme rhomboïdal oblique , et dans uu dernier article, je traiterai des décroissemens que j'appelle combinés, parce qu'étant pi*is deux à deux, ils donnent naissance à des facettes paiement inclinées en sens contraire.

i"". Décroissemens sur les bords latéraux G, H

(fig.48).

La détermination des résultats relatifs à cette espèce de décroissement n'exige que la résolution d'un triangle mensurateur dont les côtés sont en rapport avec ceux du rhombe cysl (fig. 46). La plupart des variétés de pyroxène offrent des facettes qui proviennent de ce même décroissement, par des soustractions d'une simple rangée. J'en citerai ici deux qui ne sont soumises à aucune autre loi.

Dans la forme primitive AH (fig. 49) dont il s'agit, les angles bad^ bcd, de la base sont aigus.

csiasi: Via : I , et rx : c» :: v^iT : \/iT.

Or,

cx=^ — ^— ,aA:=;=c«=3p, a£=v/(aA)*+(A:z/,

donc

donc

îî!

donc

donc

en

:n/(fig.5.)::jr:v/^.„^'^;,^„)..

A mesure que la fraction représentée par /2 va en augmentant., le point z se raoMtK^e du point k y et

lorsquendevientégalé à l'un^uaatité h-^^J

s'évanouit, et la ligne ex se confondant avéj^c^ , le

rapport entre on et ni est cehii de^ à -. Au delà de

ce terme , n étant plus grande que l'unité , l'arête de jonction prend une position telle que az , en det^-

SOUS de ak. On a encore cz^ = -. Mais ici

clidns le rapport entre le sinus en de cet angle et son cosinus ni.

Supposons que an représehte une diagonale oblique de molécule, auquel cas la différence en laideur entre chaque lame de superposition et la suivante sera mesurée par une rangée. Désignant par g' et p les dimensions qui, sur la molécule, répondent kjx ou bo (fig. 46) et ex, par h celle qui répond à asy et par n la loi du décroissement, nous aurons en (fig.5a)=./(i), .

lAsMI*

OTsss W»4-A'* et n/=e-.

Soit €icgs (fig. â^3} le même quadrilatère que ( fig. Sn) , elazy cz (fig. 53) les mêmes ligneâ. Menons ak perpendiculaire sur cz , et qui sera ^lô à es , puis ex perpendiculaire sur az. Kous aurons

en ou 2g^ (fig. 52) 1 7i/ ou — :: 2g : cz (fig. 53 )

ouxomme 2g Z -'^ et

en ou 2g' (fig. S2) l ni II 2g, î ex (fig. 53 ). Soit cz =î= - ; il ne reste qu*à trouver l'expression de ex.

(1) C'eât une suite de ce qae la distance entre chaque lame et la suivante , prise parallèlement à bd^ est égale à une diagonale entière, lorsque le décroissement a lieu par une rangée aur les bords*

lu 6

Nous pouvons donc représetitcr ccù par ^. Or, nous avons eu (p. 76 )

c, : « (%. 46) :: v/^ = Vw^^^^)

et /

donc nous pouvons faire c)i ou

Ç4(fig. 54)=v/(4^'+4p-+**)Î-;, <=é',

et

D'ailleurs

c4 = ^Ç ;, donc

Donc

On peut appliquer ici à la ligne !^(» ce qui a été dit de la ligne az ( fig. 53 ) , lorsqu'elle passe à la position az'j et l'on en conclura que quand la ligue Çcê ( fig. 54 } s'abaisse en dessous de Ç-vl/, en prenant une direction telle qneÇcû\ auquel cas la quantité /^, de fractionnaire qu'elle était d'abord , est devenue plua

m BE CRISTALLOGRAPHIE. 85

ftrande que ruiiité, il faut mettre "-^^ à la place

Hb dans le second terme du rapport.

V 4o. L'espèce de décroissement qui vient de nous oc- PniperaiieudansuQevanctêd'.inipliiliole, où les faces ipii en dépendent se combinent avec celles de la forme primitive représentée ( fif^. 5,*) ) , et avec des facettes qui remplacent les arêtes longitudinales G. Telles Lfont les dimensions de cette forme primitive quec* K(fig. 43) ou 2p est ans ou h comme \/i.\iJ ^ el que î rapport entre g et p, ou entre y* et ex est celui ' y/^g : VS. Il en résulte que nous pouvons e g= V''^! p=\/lf^^ /j=i. L'incidence de M rM^fig. 55) est de 134'' 34'; celle de P sur M est o3'' i3', et celle de P sur l'arùle H de io4'' ^7'. ta variété dont j'ai parlé, et que l'on voit en pro- ■yBction (fig. 56) porte le nom d'amphibole dodé-

uèdre, et a pour sifine M'G'PB.

La face P sera toujours un véritable rliombe, pm»qu'Rlle n'est autre chose que la base de la forme primitive , diminuée par i'efiet du décroissement qui a eu lieu sur ses bords supérieurs. Les deux autres bces du sommet srmt.dc même des rhombes, ou du moins on peut toujours les ramener à cette (i^urc en doDoant a« cristal des dimensions convenables. Car jl^ â nous prenons pour exemple la face /■ située à ^Hbiile , il est é\ ideut que ses bords J^ , ?«■, sont parai-

lèles entre eux , puisque le premier coïncide avec la ligne de départ ad(fig. 4^) du décroissement, et que le second est le bord qui correspond à cette ligne sur la dernière lame de superposition. Le même pa*» rallélisme existe entre les bords 9^, €, (fig. 56), qui sont les sections de la &ce r sur deux plans , dont l'un coïncide avec cicga (%. 46), et l'autre lui est parallèle.

En appliquant ici les formules données précé* demment, on trouve pour l'incidence de r sur / i49** 38', et pour celle de r sur la face opposée à M, 1 10*^ i'. Quant à l'incidence de P sur r, elle est la somme de celle de P sur le plan vertical qui passe par l'arête /, et de celle de r sur le même plan ; c'està-dire qu'elle est la somme des angles de 76^ 4?^ ^^ de 69*^ 59' ; donc l'un est le supplément de l'incidence de P sur M, et l'autre celui de l'incidence de r sur la face opposée à M. Ainsi elle sera de 1 46^ 56'. Enfin , l'incidence de M sur ^ est de 1 17^4^'*

3'. Décroisaemens sur Vangle A.

Nous avons ici dëiix casa considéi*er, celui oii le décroissement se rappqrte à l'angle 6ad((ig. 46)> de manière que les lames de superposition s'appliquent sur la base du prisme, et celui oi\ il se rap^ porte aux angles bas , das , de manière que les lames de superposition s'appliquent sur les faces latérales.

Commençons par le premier cas , et supposons d'abord que le décroissement ait lieu parallèlement

DE CRiSTALLOGRArurE. g;

lia cUagonale bd, La Qice qu'il fera naître s'élèvera ■dessus de la base, en prenant la figure d'un rhombe az (fig. 53) pourra lepfésenler hi diagonale oblique. L'incidence de cette face sur l'arèle as sera doo(>égale à l'angle zas, et on pourra la déterminer à t'aide des valeurs données ci-dessus (p. 8a), pour les lignes ak e\.kz, dans t'Iiypothèse d'un décroissetnent sur les bords B, B, eu observant que dans le

Ïs dont il s'agit ici , la quantité n n'exprimera que moitié duQOQibre de rangées soustraites.

Noos aurons donc ak : As :; ap : /( { Y Pour déterminer l'incidence de la face dont il •'agit sur les pans basf, adhs (fig. 4^*)» ayant pris sur la direction de «s (fig. 53) la partie nr égale à kzy puis ayant mené sk , qui sera parallèle à az, nous pourrons considérer le solide produit par le décroLisement comme un prisme rliomboïdal oblique dans lequel les lignes ak ou 3/7 , et irf ( fig. 46 ) ou 2^, auraient les mêmes valein's que dans la forme primien sorte qu'il n'en difi'érerait que par la dimen-

tn kz, dont l'expression est h( j, qu'il fau-

,it substituer à h valeur de ch. Donc on aura l'inproposée, en faisant celle substitution dans rapport de cnà h^ (fig. 46} oudep à

(p-tS.).

Içcpel deviendra celui de p à

ig-+^+ifÇ-jiy

4 1 • Supposons que le décroissement ait lieu par deux rangées, auquel cas 7Z=i. Dans ce cas, le second terme du rapport ou l'expression de *»Ç ^^évanouit , ce qui indique que la face produite par le décroissement est perpendiculaire sur les pans. Ce résultat a lieu dans une variété de pyroxène représentée fig. 57,pl. 36, que je nomme pyroxène ambigu ,

et dont le signe est M^H''G'A. «Taurai occasion dans

la suite de citer d'autres modifications de la même espèce de décroissement.

Supposons maintenant que le décroissement devienne intermédiaire, en continuant d'agir sur l'angle bad de la base. Soient €^3', A^ffig 58), les directions des nouveaux bords produits par le décroissement sur la première lame de superposition, dans l'hypothèse où la distance entre chaque lame et la suivante, dans le sens de la largeur, serait mesurée par une simple rangée. Désignons par c' le côté de la base de la molécule, par jc le nombre de c' renfermé dans aS" ou aA, parj^ celui que contient aS", par h' la dimension qui sur la molécule répond à as^ et par n le nombre de rangées soustraites. Ayant

prolongé cTd* iDdéfinîment , menons ar parallèle à la diagonale, bd^ jusqu'à la rencontre de ce prolongement ; il est facile de voir que av mesure la distance entre chaque lame et la suivante, considérée parallèlement à la même diagonale. Ayant pris sur as la partie a(r qui représente la dimension en hauteur,

et qui sera par conséquent exprimée par -7, menons av.

Soient ale^ ape (fig. 5q) les deux faces produites parle décroissement, limitées inférieurement par le pian lap qui coïncide avec la base bad ( fig. 58) , et coupées antérieurement par un plan vertical lep (fig. 59). Par le milieu de Ip menons a/, qui répondra à ac ( fig. '58 ) ; puis menons ensuite efy pnis/)^ perpendiculaire sur a«, et enfmpy. L'angle /y>y* mesurera la moitié de l'incidence des deux faces aie f ape f l'une sur l'autre. Il s'agit donc de déterminer le rapport entre /j/^et pry. Pour y parvenir, commençons par chercher celui qui a lieu entre pf ei/e.

Les triangles va^. (fig. 58) et p/e (fig. 59) sont semblables. Donc av l aJ II pf l fe. Ayant mené «TA (fig. 58) , nous aurons, à cause des triangles •md', AJd" , qui eux-mêmes sont semblables ,

cTA lavllSrA :a^.

« Or, /A renferme autant de diagonales horizontales :ig^ de molécule qu'il y a d'arêtes de mole*

go TRAITÉ

cule comprises dans oA ou Jt^ donc J^X=:2g'x. De plus a9r=c'yj et S'X=c'(« — y); donc la proportion devient ag'x : ap :: x — y : y] donc

Mais ^0* = — , d'où l'on conclura que

p/:>(fig.59)::^:^

donc si Ton suppose/è = - , on sMT9ipJ=^ "^T^- R^ste

à Irouver^j'.

Soient q/*,y^,^ (fig. 60) les mêmes lignes que ilg. 59. Menons ax perpendiculaire sur^^ , puis ay parallèle à cette dernière ligne, ensuite j^ perpendiculaire sur ay^et complétons le parallélogramme

afky. Nous aurons ^j^sï:-^—. Ayant déjà/^=-,

nous avons besoin de l'expression de qf pour trouver celle de ax et celle de ùe. Or ,

aflfe :: a^(fig. 58) : acr.

Si nous menons J^k , les triangles semblables ott» y

/JCTiJ" donneront aTClTry llav : J^fi. Or, av=: ^^ ^'

J)a renferme autant de g' qu'il y a d'arêtes de molécule comprises dansacTj donc JjLt= 2^^0:5 donc

aTT iTT/JLllay l x — y^ ou a^r : aTr+TTfJLi: 9y Ix+y.

DE CRISTALLOGRAPHIE. ^ gi

Blab a^-f-T)t^ ou a;^ renferme autant de fois. . • . i

^ . qu'il y a d'arêtes de molécule comprises

dans a^. Donc

afAz=zxy — — — j donc

d'où l'on tire

donc

donc

«/:/« (fig- 60) :: ^ V^^+h^ : ^ ;

donc, puisque y^ = - , on aura

Maintenant, ax ou son é^^Xfylaf'i : 2p\ V^4P*'+'^'> ou

Donc

''*~^^3;' a«=N/(a«)*+(e«)» ex^fe—Jxy

fx : ax :: A : ap, ou/« : -^^ :: A : 2 pj

sa TRAITÉ

donc

donc donc

Substituant les valeurs de ax^fe et ae, dans Féquationj^ = — ^-^ , on trouvera, toute réduction faite,

Lorsque la ligne ae (fig. 60) coïncide avec la ligne aXy la quantité A' (x+j'— »xv)* s'évanouit. On a donc, dans ce cas,

x+y-^nxy^Oy d'où Ton tire

Au-delà de ce ternie, la ligne ae tombe en dessous du point X , en prenant une position telle que ae'. Alors

et le rapport de pf à fy devient celui de ^ à

y 4p\nxyy + h^nxy — x — yj^

DE CRISTALLOGRAPHIE. gS

Mais en continuant d'employer ce rapport tel que nonsFavons d'abord obtenu, on aurait pourx+y — nxy^ «ne valeur numérique négative dont le carré ne différerait pas de celui de /wcy — x^^y.

4^' On peut déduire des résultats précédens ceux qui concernent le second cas énoncé ci-dessus , qui est celui où les lames de superposition s'appliquent sur les pans basf^ dash (fig. 58 ) , en subissant un décroissement ordinaire sur les angles bas , das. Bor-* Dons-nous à considérer ce qui se passe relativemeht au pan basj^ et supposons que les dimensions aS"^ ao'y qui alors sont égales entre elles, soient en même temps égales chacune à une arête de molécule ; les

quantités X et - qui représentaient les nombres d'arêtes

de molécule comprises dans ces mêmes lignes, pourront être désignées par Tunité, et la ligne ad* devenant la dimension en hauteur, - prendra la place dey. Donc, dans le rapport,

il faudra &ire a:=i, - = i, ou 72 = 1, et v = — .

la quantité n désignant alors le nombre de diago- Males de molécule soustraites. Ce qui donne

pfify :: -â • —=JL=^,

Les dimensions oj^, ad* (fig. 58) étant censées être ^ales chacune à une arête de molécule, ad* est nécessairement une fraction, dont la valeur est le

produit de Farête par ~. A mesm^ que n diminue

ad* va en augmentant, et lorsque n égjale l'unité^ les lignes J^d* , A^ , parallèlement auxquelles agit le décroissement, coïncident sur une même direction Jl\. Or , cette ligne étant parallèle à av , il en résulte que dans ce cas avy ou, ce qui reviisnt au même, p/ ( %• ^g) est une quantité infinie. C'est effectivement

ce qu'indique le calcul, puisque l'expression — £7-

de pf devient alors ^.

43. Il resterait à trouver des formules pour la détermination des angles que font les &ces aie, ape ( %* ^9 ) ^^^^ ^^ i^^ns adjacens. Mais les formules de ce genre seraient d'un usage peu commode , à cause de leur complication, ainsi qu'on le verra par un exemple que j'en citerai dans l'article suivant, où je donnerai en même temps la manière d'y suppléer, à l'aide du calcul numérique.

Les résultats qui précèdent sont applicables à plu* sieurs variétés de pyroxène, dont je diffère la description, parce qu'elles offrent des facettes produites par d'autres lois dont je n'ai point encore parlé.

4*. Décroissemens sur les angles E , E-

JNous supposerons d'abord , comme nous avons fait

DE CRISTALLOGRAPHIE. gS

pour le décroissement sur FaDgle A, que îes lames de superposition s'appliquent sur Iabasea6c(/(fig.6i) de la forme primitive. Nous avons ici trois cas à coa* sidérer; celui où les décroissemens otffamskt à l'ordi- * Baire parallèlement à la diagonale ac ; celui où ils sont intermédiaires , et où la quantité x qui exprime le plus grand des deux nombres d'arêtes de molécule soustraites le long des bords , est dans le sens de D oa de 6c, et celui qui présente l'inverse du précédent , en sorte que x est dans le sens de B ou de ab.

44* !*• Pour les décroissemens ordinaires. Soit mnr (fig. 62) le triangle mensurateur dans lequel mn einncide avec la diagonale 60 (fig. 61 ), et /ïr(fig. 62) est parallèle à la ligne ek (fig. 61 , menée perpendiculairement d'un point quelconque de i^^ sur ca, et laquelle mesure la hauteur du prisme rhomboïdal. Soit n le nombre de diagonales soustraites. Nous aurons

es. as

m/i:/ir(fig. 62) ::nXbd{ti^.6i)*ek::nXbd:

aph \ ph

ce qui donne l'angle mm, égal à la moitié de celui que font entre elles les deux faces produites par le décroissement , en se réunissant sur une arête parallèle à ac(Cg. 61).

Quant à l'incidence des mêmes Ëices sur les pans du prisme rhomboïdal, je donnerai plus bas la ma« oière de la déternûoer.

96 tRÀÎTË

45. 2^. tour les décroissemeDS intermédiaire^^ or étant dans le setis deD.

Soient mcp^ ocp (fig. 63) les deux fiices qui résultent du décroissement , limitées par uti plan oblique mco^ qui coïncide avec abcd (fig. 6t), et par un plan vertical mpo (fig. 65 ). Menons om , puis pu perpendiculaire sur om, ensuite ul perpendiculaire surpc y et enfin ml. L'angle mlu liiesurera la moitié de l'incidence de mcp sur ocp. Cherchons d'abord le sinus mu de cet angle. Soit y /m (fig. 61) le bord tourné vers b sur la première lame de superposition , dans l'hypothèse d'une seule rai^gée soustraite. Ayant complété le rhombe b/ij^!^, nous aurons, à cause des triangles semblables buy , J^v/jl ,

parce que b^ renferme autant de diagonales 2g' de molécule que bÇ renferme d'arêtes de molécule ; de plus, ;t<r= bÇ. Donc bv : 2gx — bu \\y\x) d'où l'on

tire iu=-^^. Maintenant, n étant le nombre de

rangées soustraites, prenons sur bfxxne partie 6^

Vf

égale à — et menons u^ ; le triangle vb^ sera semblable au triangle mup (fig. 63 )j donc

mu i pu :: — ^ï- : - ;

donc , si nous faisons ^w = h , nous aiu'ons

mu = -^.-^.

Reste à trouver ul.

Soit cii(fig. 64) la même ligne que figure 63. Ayant prolongé /?« , menons c/* perpendiculaire sur le prolongement et complétons le parallélogramme

ucnf\ «/ = -=^-^. Pour trouver c/* cberdions eu.

En raisonnant des lignes yiJi.^ €c, ^v (fig. 61), qui sont parallèles, comme nous avons fait de celles qui leur correspondent dans le rhomboïde (t. I, p. 440 f et en faisant attention que, dans le cas présent,

V/^'* -+-^* doit être substituée à/7'*, nous en conclurons que cv, qui est censée représenter la distance en largeur d'une lame à l'autre, a pour expression — ^— V4p'*+^'*- §^^^ ^^y^(fig- 63) le triangle mensurateur^ nous aurons

et par conséquent

CI» : p« ( fig. 63 et <^S^) :: ^ Vip'-hh' : h;

donc

cu^J^V4p''i-h\

Or.

donc

eu : cf :: v'4/;*+/i* : sp;

> ■"■^-.à-'i'n .aux.

le pian vertical inyn. Menons yr perpendiculaire sur 77U?, puis ar qui sera dans le sens de lu diago-

Inale ac (fig. Gi), ensuite rz (fig. 65) periieiidiculaire sur ay, et enfin oz. L'angle azr mesurera la Dioilié de celui que font entre elles les faces amy , Soit ds ( fig. 66 ) la distance entre chaque lame et la suivante, dans le sens de la diagonale db, en ne supposant qu'une rangée de soustraite; ayant com-

i piété le rhonibe fntfd, et appliquant ici ce qui a été dit (lu rhonihe i^J]" (fig. 6i) (p. gS) ou trou- :

Tcra <i!=-^-^ , comme ci-dessus, et l'on aura

' cb : la dimension en liauteur ;; ^2 Z ; ■ ces deux

c|uanlités étant entre elles dans le rapport de mr ii/j'^lig, 65), si l'on fait ry=-h, ou aura

Soient nr , oy , Ty , rs f fig. 67 ) , les mêmes lignes (jue fig. 65, et arik (tîg. 67) un parallélogramme tracé d'après les mêmes conditions que cufn (fig. 64)

OQ aura rz =:^— . Pour trouver ab, clierclioas ar.

ay

Soit ai/ (fig. 65) le triangle mensurateur rapporté au plan aiy. En assimilant l'elfet du déeroissement dunt il s'agit ici à celui qui agit sur les angles latéraux d'un rhomboïde (p. 44°» t- I)> ^* ^^ faisant atteatîon que, dans le cas présent, -ip est remplacé

o* : t/ ou ar : ry ■.■.£^y/ï^h' : h;

r=^V4fr+v.

donc

k/4p' + *' : ir :: VÇ^+'i' : *•

Donc

donc retranchant cette quantité de h qui est la valeur de r^ , ou aura

donc

Substituant dans l'équation rz =s — ^ les valeurs des quantités qui composent le second membre , et comparant mr avec rz (lig- 65), on trouvera

DE CRISTALLÔCaAPHrE. loi

Lorsque ly devient égale à fcrfOïi a

Al Ttxy • •

d'où l'on déduit ' •.; .

x—y xy ••, y.

Passé ce terme, ay tombe en dessous du point 'Sk'SQ prenant une position telle que aj\ En appliquant alors là formule, on trouve pour x — y — nxy une q[uantité négative, qui y étant élevée au carré, satis- £dt également à la question. Si Ton voulait ramener l'expression de rz à la forme convenable pour que la

valeur de la quantité dont il s'agit devint positive ,

on ferait

et ensuite on mettrait dans l'expression de rz la (panlité no^ '— :c 4-y à la place de x —y — ns^.

Si le décroissement rapporté à la face ahfs (fig.6i ) rentrait dans les lois ordinaires., alors désignant par n le nombre de diagonales soustraites parallèle- \ ment à la diagonale qui va de a eu f^ et faisant les loèmes substitutions que ci-dessus, on aurait

mr : rz(fig. 65) :: -^- : — 4r=.

La détermination des incidences des faces se-

iCpii remplacent les angles solides du prisme

I tant sur les bases que sm: les faces laté*

raies de celui-ci, .dni)^ 'nous allons maintenant nous occuper, couduit , en général, ainsi que Je l'ai déjà annoncé , à dffsifâjrihules dont la complication balance l'avantage'- q)9Î résulte de leur généralité. Je vais d'abord'^exposer, à l'aide du simple calcul numériij»ie>lùie méthode qai pourra servir de type pour touâ-Ies cas analogues, même pour ceux qui se rap- . |iortent à des formes moins symétriques que le prisme '. ïhomboïdal. Je donnerai ensuite , pour un seul cas relatif à ce dernier prisme, une formule analytique que l'on pourra ne considérer, si Ton veut, que comme un exemple tait pour montrer ïusqu'où peut conduire la théorie dans les recherches de ce genre. Supposons que a^(lig. 68) représente la forme primitive du pyroxène, et que celle-ci subisse un «lécroissement exprimé par 'E. Si nous menons la diagonale ck , ensuite cm qui coupe <u/ à la moitié de sa longueur, puis mh , le plan cAm sera parallèle à In &ce produite sur l'angle cdh. Proposons-nous de déterminer Tincidence de cette Ëice sur le plan chg. F^ous pouvons considérer le sèment de prisme intercepté pr le plan chm comme une pyramide triangulaire dont ce même plan serait la base, et qui aurait son sommet en d. Swt di la hauteur de celte pyramide , et da une perpendiculaire sur ck. Si nous moMUis iu, l'aide dui sen le supplément de Hncïdtnice dcmaudôc 11 s'agit di.>nrdi2 Innuer le rapport entre da ^imgg|gg||JgàlHls de cette inàdence i felenyon.

là

DE CRISTALLOGRAPHIE; io3

Or , dans le pyroxène-, nous avons

c*==\/i2(p. 79), as—i, <fo=v/ff,

d'où il suit que oo ou | \/{csy'i-{as/ z=z\/i^ ^ et

ad ou V(&)*+(ao)'= ^11+^=^^.

Diaprés ces données , déterminons la valeur de di , et ptior y parvenir évaluons successivement les trois cotés chy cm et hm du triangle chm.

i*. Pour cA. La ligne cl perpendiculaire sur dh divisant celle-ci en deux parties ^ales , nous aurons

ch=:cd=ad:=: V^?.

2*. Pour cm. Ayant mené mr perpendiculaire «or ac , nous aurons

cm= V/(cr/+(mr)% cr=^,ao=iy^= \/^, mT=^cfo=ï VlT; donc c/n=V^YoV'-

3*. Pour hm. Les lignes ap , mX , étant perpendicdaires sur le prolongement de hdy nous avons

pinsque dmznz { ad. Or ,

io6 TRAITÉ

cru devoir préférer une méthode qui est appIicaUe à tous les cas.

4^. Nous allons passer maintenant à la détermination de la formule générale, et nous supposerons qu'elle se rapporte à une face produite par un décroissement quelconque sur l'angle adc de la base y et dont il s'agit de, déterminer l'incidence sur Iç pan cdhg.

Soit ^g' ( fig. 69 ) le prisme rhomboïdal qui représente la forme primitive. Quelle que soit la loi du décroissement , on pourra toujours faire passer dans le prisme un plan cnm parallèle à la face produite ^ de manière qu'il intercepte un des côtés de la base qui, dans le cas présent, est le côté cd. Soit toujours di la hauteur de la pyramide triangulaire interceptée par le plan dont il s'agit , et dont on sup^ pose le sommet situé en d. Soit de même du une perpendiculaire sur en; si nous menons 1//, l'angle dui sera encore celui qui mesure l'incidence demandée. Il s'agit donc de trouver les valeurs algébriques des lignes di et du. Nous commencerons par la première.

Soit 716 une perpendiculaire sur cm. Désignant par a^ la solidité dé la pyramide, nous aurons

Qa^—cm.m.di.

Supposons maintenant le sommet en m , auquel cas cdn sera la base. Menons cl et cj perpendiculaires Tune sur rfA, l'autre sur bf^ puis ayant complété le

rbombe cysly menons oi perpendiculaire snrj^«. Il est &cile de voir que la hauteur de la pyramide ou la ligne menée du point m perpendiculairement sar cdhg sera parallèle à cvi , puisque ceUe-ci est perpendiculaire sur les deux plans cdhg^ basf. Désignons cette hauteur par rXc^iy r étant une fraction que nous déterminerons plus bas. Nous aurons

6a' =:^ du • en . r . cYi.

Mais

- cl . dti . es . yx es . V r

aa^= • et c)i = ^ = — ^— .

en ' sy cl

Substituant les valeurs de du et en dans l'équation précédente, nous aurons

6a^=:dn .r.es .yx.

Egalant les deux valeurs de 6a^ ,

cm . ne . di:=dn . r . es . yx^

donc

di =

dn ,r . es . y.r

cm . m

Il s'agit àouc de trouver les valeurs des quantités qui composent le second membre.

Désignons par x le nombre d'arêtes de molécules renfermées dans ce?, p^^ y celui que contient dm y et par n le nombre de rangées soustraites. Nous aurons

cs=2px{i ) ; do ouyx=gXy dh ou as = hxy dn=i-, (1) Je substitue ici sur-le-champ à la place de p , g' qui

io8 TRAITÉ

Nous avons déjà dn = -. Pour avoir la valeur de r,

je considère que la hauteur de la pyramide , dont le sonunet est supposé en m, est à la ligne cm comme dm l ad lly l x-, donc r . en l cv\ :: y l x;

donc r= -.

La valeur de cs^ telle que nous l'avons donnée plus haut, est spar, et celle de yx est gx. Reste à trouver les expressions de cm et de ne. Cherchons d'abord la première.

Si nous menons mr perpendiculaire sur ac , nous aurons

cm=V(cT)'+(mT)', cTz=^ac — ar, amlar :: adlao^ ou

/Ap^ + h

X — ^ : ar :: a; : ar y -

représentent les demi-diagonales relatives à îa molécule , lei quantités p, g , qui représentent les mêmes lignes prises êur la forme primitive , pai'ce que les unes étant en rapport avec les autres, le résultat du calcul n'en éprouve aucun changement.

Cherchons mr.

am : ad \l mr l doy on x — y : x II mr : gx ;

donc

woc

cm= \/{x +yY ^^' + {x-yY^.

La valeur de n€ que nous avons réservée pour la dernière est celle qui exige le plus de calcul. Pour la trouver, prenons d'abord «4/ perpendiculaire sur ac^ ensuite dy parallèle à oc et située sur le prolongement du rhombe abcd, puis ny perpendiculaire *Qrdj/, Il est visible que ny sera parallèle à S'^ , et puisque nd est parallèle à saj les triangles ndyy *a4 j seront semblable^. Par une suite nécessaire ny *ei^ perpendiculaire sur le prolongement du rhombe obcd-, mais ne est perpendiculaire sur la commune section cm des plans cmn, acd; donc si nous menons yi , le triangle eyn sera rectangle en y. Donc

Cherchons d'abord la valeur de ny. Les triangles

Mo^ TRAITÉ

semblables ndy^ sa-\fy donnent

ny : dfi :: «4 • «« •• es : aç :: 2/?* : a:\/4p*+^**>

ou

donc

Reste à trouver la valeur de y^. Prolongeons cm et yd jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en Çj menons ensuite d^ parallèle à p^é, et qui sera perpendieu-^ laire sur cÇ, ou sur cm prolongée, puisque yê est aussi perpendiculaire sur cm, par la construction. Les triangles semblables yl^^ , ei^d* donnent

Cherchons successivement dl^^yl^ et d9r.

I*. Pour di^. Les triangles acm, d^m^ étant sena.-* blables , nous aurons

ac : am II dl^ : dm-^ ac^=^ x \/^p^ + A*,

am = ad — cbn = (x — j^) l/^ "^^ .

donc

*■.•■■■ ■ tt . i 1 * i .

DE CRISTALLOGRAPHIE, a*. Pour ^Ç. jNous avons yi^=iI>^-{-dy y

^ '. dn =

«■,(/ '. rs :'. as '. ac :: h '. y/^p'-i'h^-

Comparant tout de suile les valeurs de dÇ et 5.^ , lus aurons

3*. Pour rf3". Celte ligue étant la hauteur du triangle cmd^ en prenant cm pour la base, ai nous ions mTTperpendiculaire sur crfconsidérée comme ^à son tour, nous aurons

Ayant déjà les valeurs de de et de cm , clierchoni de /«tt. Soit as^ une perpendiculaire sur cd,

TRAITÉ ce qui revient au même, UDe parallèle ù mTr. '

~° V 4g-+4f+A- ' p-lt.a7:.dm.:ad, ou fflJ-^V' 4F+4Ff^ -^

\/k^+y)-'^—+('-y-er • '

s-jy(4p'+f)

Donc la proportion t/Ç; 3-C -■ d^ '• >Édevient

Hcimissaiit les valeurs de /.j/ el ■)£, ou aura

c ou V^;.é/ + («>}' =

l'expression de du.

II ne s'agit plus que d'avi el.dn.

cl =\/x-ig'+p'),da =

ni ^dn — ^^ = 1 — t''^ ^^ 2^ ^^ donc

du '■

Xaî supposé dn plus grande que dl; mais si elle

était plus petite , ou mettrait nx — 2 à la place

<3c a — na:, dans la valeur de du, ce qui ue serait

pourtant pas nécessaire , puisque dans la même liy-

[ pcri-hèse 2 — nx donnerait une qiiaulilé négative qui ,

mt élevée au carié, conduirait au véiitable résultat.

Il 4 TRAITÉ

Si l'on voulait faire une application du rapport précédent, on pourrait supprimer le £icteur com-

xh

mun — .

49. Donnons un exemple de cette application , dan» Fhypothèse dudécroissement représenté par *E, la forme primitive étant encore celle du pyroxène. Nous aurons

g=^\/Hj P=\^y hzsii, ar=2, j^=i, n—\, ce qui donne, en supprimant le &cteur commun ,

du \ di

et toute réduction faite, :: V2575: vTSSâ^, d'où l'on déduit pqui' l'incidence demandée i35*^47'^5'% c'est-à-dire là même valeur à laquelle nous étions déjà parvenus à l'aide du calcul numérique (p. 1 o5). Supposons maintenant qu« la face dont il s'agit de déterminer l'incidence sin* lepan cdhg soit produite par un décroissement ordinaire sm' l'angle arfc. Dans ce cas on a x^=:y ^ ce (jui fait disparaît ro en grande })artie la complication que présente la formule pré-

DE CRISTALLOGRAPHIE. ii5

oédente ; alors du > di

Vérifions cette formule , en l'appliquant à Fincidence de M sur «, dans diverses variétés de pyroxène. r^ous aurons

^=\/36, p=\/39, A=Vi3, /2=i, n étant le nombre de demi -diagonales g soustraites ^

«^•^'- Vyo^-i^- V 36(169)+ 156713 ••V ÏÏTT* V 12.169+52.13

..t/lZ§.i/4:

•• V 3i3 • V la. 1

IS

ce qui est le même rapport auquel j'étais parvenu par une métliode particulière , et dont j'avais déduit rincidence cherchée , laquelle est de 121**48'.

5o. Les résultats qui viennent de nous occuper sont applicables à plusieurs variétés de pyroxèiie, parmi lesquelles je me contenterai d'en citer deux.

La première, qui est représentée tig. 70, porte le nom de pyroxène triunitaire. Son signe rap-

ii8 TRAITÉ

sent les deux faoes produites par le décroissement qui a lieu sur les bords bcydc;cr, la distance entre le point c et la première lame de superposition , rz une parallèle ksm^rl une perpendiculaire sur cz y ri une parallèle à la diagonale bd, d'où il suit que l'angle ilr mesure la moitié de l'incidence des deux faces dont j'ai parlé.

G)nceyons que cr représente une diagonale oblique de molécule, auquel cas la distance entre chaque lame et la suivante y dans le sens de la largeur^ sera mesurée par une rangée. Nous aurons

conformément à ce qui a été trouvé (p. 8i ).

Soit casg (fig. 76) le quadrilatère qui doit être substitué à celui de la figure 53 , et cm , am (fig. 76) les mêmes lignes que figure 75. Menons es ( fig. 76 ), qui sera perpendiculaire sur as y puis ay perpendiculaire sur cm. Nous amt>ns

ir : ri (fig. 75 ) :i2g: am(fig. 76)5

d'où l'on conclura que a77i:=-. Maintenant ay=:— ^ — ,

et en substituant les valeurs des quantités qui composent le second membre ,

donc

^r (fig. 75) : r/ :: ^ : V/II:^ZI.

Pour trouver l'incidence des mêmes laces sur les pans bcgfj dcgh^ nous nous servirons de la figure 77, qui est l'analogue de la fig. 54, pi. 35, et dans laquelle cX est censée coïncider avec la face produite par le décroissement qui a lieu sur bc (fig. 75), ck (fig. 77) mesure la distance entre bc (fig. 7$) et la première lame de superposition , et ck (fig. 77) une parallèle à iaK. Il s'agit de trouver le rapport entre cm et )jA. En adoptant ici pour c)f , nÇ' et d^/4 , les mêmes valeurs que plus haut (p. 7$), et en faisant attention que »A

ou <+fA = <+^=^+Sl±£:=ê!Ç2±i)±£\

^ ' ^ ^ n ^ en ecn ^

on aura

d'où l'on peut déduire l'incidence proposée. Je décrirai plus bas une variété d'amphibole qui offre un exemple de cette espèce de décroissement.

6*. Décroissemens eur l'angle O.

53. Considérons d'abord le cas où le décroissement agit parallèlement à la diagonale bd (fig. 75). Nous pouvons nous servir ici de la figure 7G , relative aux déci:oissemens sur les bords inférieurs D, D , en supposant cfiie cm représente la diagonale obHque de Li

DE cniSTALLOGRAPHIE. n»,

5j. Je passe aux tlécroissemens qui suivent une loi intermédiaire , et pour en déterminer les résultats , je IiS comparerai à ceux des décroissemens qui ont lien sur l'angle A, Dans cette comparaison , les fkires 58 , 5g, 60 , pi. 30, seront remplacées par les &ares 78 , 79 et 80. Ainsi yS^ , fr ( iîg. 78 ) , repré- KDteront les directions des nouveaux bords qtie le décroissement fait naîti'e sur la première lame de superposition , dans Thypothèse où la distance en largeur entre chaque lame et la suivante- serait megorée par une rangée. La W^ne cÇ menée parallèlenentà la diagonale bd jusqu'au prolongement de fX, Stesarera la distance qui répond à la précédente dans Je sens indiqué par le même parallélisme, et la prlie cff de l'arête cg représentera la dimension eu .Jmteur.

Dans la 6gure 7g , où l'on voit les deux faces msc , ne, que produit le décroissement, coupées par le phu mer qui coïncide avec la base bcda ( flg. 75 ) et par le plan vertical msr, l'angle rit est celui qui mesure la moitié de l'incidence mutuelle des faces dont U s'agit.

Pour trouver le rapport de rt à //, nous commeaceroQS de même par chercher celui de ri à ts , qui et égal à celui de cÇàcff(fig. 7S). Eu raisonnant de ces deux lignes comme nous avons tait des lignes av et ao" ( fig. 58 , p. 89 ) , nous trouverons

fece produite par le décroisaement. Dans cette liypo-

thèse nous aurons encore am=-, n exprimant la

le nombre de diagonales soustraites, et

«s : s/n :: 3/» : ft -f- - :: ap : « ^,

ce qui suflit pour avoir l'incidence de la lace dont îl s'agit sur l'arête cg (lîg. 75). .

Pour trouver l'angle (jue fait la même lace avec l'un quelconque des pans, tel cpie cdhg (fig. 75)» nous pouvons appliquer ici le raisonnement que nous avons fait pour les décroissemens sur A (p. 87), en considépant le solide produit par le décroissement comme nn nouveau prisme rhomboïdal, dans lequel les dimensions g etp seraient les mêmes que dans la forme primitive, mais qui diflërerait de celle-ci en ce que sa dimension en hauteur serait la ligne «771 (Cg. 76)

ou fif J , qu'il faudrait substituer à h. Nous pouvons donc employer ici le rapport en l «^(fig. 46) qui nous a servi à détermÎDer en général l'incidence d'un prisme rhomboïdal sur le pan adjacent (p. 78); et en faisant la substitution indiquée dans la valeur algébrique du second terme de ce rapport , no us aurons

DE CRISTALLOGRAPHIE, lai

54- Je passe aux décroissemens qui suivent une loi intermédiaire , et pour en déterminer les résultats , je les comparerai à ceux des décroissem^as qui ont lieu sur l'angle A. Dans cette comparaison, les figures 58 , Sg^ 60 , pi. 36, seront remplacées par les ^ures 78 , 79 et 80. Ainsi ^cT , €^ ( fig. 78), représenteront les directions des nouveaux bords que le décroissement &it naître sur la premièi^ lame de superposition , dans Thypothèse où la distance en largeur entre chaque lame et la suivant&serait mesurée par une rangée. La ligne cÇ menée parallèlement à la diagonale bd jusqu'au prolongement de g^TT, mesurera la distance qui répond à la précédente dans le sens indiqué par le même parallélisme, et la partie cor de l'arête cg représentera la dimension en hauteur.

Dans la figure 79, où l'on voit les deux faces mscj rsc^ que produit le décroissement, coupées par le plan mer qui coïncide avec la base bcda ( fig- 7^ ) et par le plan vertical msr^ l'angle rit est celui qui mesure la moitié de l'incidence mutuelle des faces dont il s'agit.

Pour trouver le rapport de rtàfly nous commencerons de même par chercher celui de rt à ts j qui est égal à celui de c^ à co* (fig. 78). En raisonnant de ces deux lignes comme nous avons fait des lignes ay ftcuf ( fig. 58 , p. 89 ) , nous trouverons

2£r xy

de (létcrmiuer le dccroissement qui doiiuc des fkct inclinées en sens contraire delà même cjuantilé.Dai le second probl^ie , le décroissement donné agit su les bords D, D, et l'inconnue qu'il s'agit de trouvi est l'autre décroissement qui produit le même effi en sens contraire.

I. Hypothèse dans laquelle le de'croissement doi la loi est connue agit sur les angles E.

Soient ef^y , rf^y (fig. 8 1 ) , les faces produites p le décroissement sur E, et ajtte, û/*r, celles qui résu tent de l'autre décroissement, 11 peut y avoir i trois cas différeus. Le premier est celui où le décroi sèment sur E a lieu par une simple rangée , le secoi où il a lieu dans le sens de la hautear, le troisièi où il agit dans le sens de la laideur par de\u rangé ou davanUjge.

1°. Pour le décroissement par une rangée. Soit ag (Cg. 82) la forme primitive j si l'on mène diagonales ac, c/", a/i ch^ah, le plan o/csera parj lèle à la face produite en vertu du décroisseraenlqu lieu sur l'angle cba , et le plan altc sera pai-allèle à face qui résuUe du déciiiissement sur lauglc atlc. C les lignes f/Jc/ijétant iuclihéett en sens contraire et ■ la mcnic quantité que les lii^ues <■&, cd, l'angle /c ou, ce qui revient au même, l'angle cyr (fig. 81) i égal à l'angle hcd ou èad. ] doit être égal de simi

coÎQcidc avec la base badc ( fig. 82 ) , et que le second décroissement qui a pour lignes de départ les droites aey ar (fig. 81 ) agit sur les bords ab^ ad^ ou B, B. Dans le même cas , si par un point quelconque u pris sur Tarête a/t on fait passer un plan uzx parallèle à la base du noyau, il est facile de voir que l'angle zux que font entre elles les communes sections de ce plan sur les faces afJie , ajttr, est égal à l'angle ear ou bad

(fig. 82).

Soit n la loi du décroissement sur les angles E , et n' celle du décroissement sur les bords B. Si nous menons /xo, qui coïncide avec l'axe du cristal, et ensuite eo perpendiculaire sur cet axe , nous pourrons considérer le triangle eofJié comme étant mensurateur relativement aux deux décroissemens. Si on le rapporte au décroissement sur E , on aura

eo vofJi^W 2gn:h^ n exprimant ici le nombre de diagonales sousti*aitcs ; et si on le rapporte au décroissement sur B , on aura de même eo l ofi IZ 2gn' : A, avec cette différence qu'ici n représente le nombre de rangées soustraites. Donc nz=n. Or^n^=^ij ce qui est l'expression d'un décroissement par une simple rangée j donc, puisque l'on a aussi n'=7, le décroissement qui correspond au premier a lieu par deux rangées en hauteiXi' sur les bords B. ^

t^^. Pour le cas où le décroissement sur E a lieu il le sens de la hauteur. ^

tti suppose que les faces e/^y , r/J^y ( Gg. 8 1 ) ,

p{u>6cnt de la position relative au cas précédent à celle qui résulte d'une des lois dont l'action s'exerce dans le sens delà hauteur, il est facile de voir qu'elles se relèveront en partant des points e, r, et en faisant l'une avec l'autre des angles toujours plus aigus, à mesure que le nombre de rangées soustraites dans le même sens augmentera , ou , ce qui est la même chose, ù mesure que la (piantité n diniinuera. Les facetî a/M, ctf^r, suivront les mêmes variations, d'où i! suit que l'angle zux sera toujoui-s plus petit que bad (fig. 82).

Il suit de là que le décroissement qui produit alors ces dernières faces agît aussi sur l'aiigle E, mais par dis directions telles que mn, m'n (lig. 82J , relatives à un décroissement intermédiaire dans lequel x coïncide avec B , et ^ avec D.

Ayant mené par le point o ( fïg. 81 ) la Ugne ol parallèle à la hase du noyau, et ensuite tes lignes el, ri, nous aurons mi assortiment de lignes cpie nous pourrons assimiler à celui de la figure 65 (pi. 3(i), qui se rapporte à l'eflêt des décroissemens intermédiaires )iurE, X étant dans le sens de ti. Ainsi la ligue er (lig. 81) répondra à mo (fig. 65), le plan eir au. )>lan mao qui est de même parallèle à la hase noyau, la ligne io à la ligne ar, le plan vertical efj^ ;iu plan rnyv , et la ligne oju à la ligne ry,

Cda posé, nous aurons

Tflfflent au décroisscment ordinaù'e sur E, 011 aura

eo' ofi" agn ' h; donc — -j^ = h.

D'une autre part h:on::ar:ry(i\^. G5) :: jj^V^VH-''* • *(P- >oo)'

Soitflf^* (fig. 83) la coupe principale de la forme ]iriiiotivc, az une ligne inclinée de la mènic cjuantité en sens coulraire que ac, cl pz une pai-allètc k as, liienée du indicu de ac ; nous aurons

rt/i ^ 7 V'4y* + ''* <^'- />- = as = A. Or, le triangle olf£ (iig. 81 ) esl semblable au iaiigle paz { fig. 83 ) ; donc on aura aussi

In :o/<(lig. 81) :: ap •.pz::{\//\p^~\-h'':h.

Mêlant les deux valeurs de lo.

^ V/4/'* + A'=i\//lp*-f-AV

^ = i, et «.ry= -

: valeur étant substituée dans réqiiatiun •—- =/(,

e --^ = n, d'où l'on tire

a; :/ " 2/i+ I : I — an.

Sbnnaissaut 1 et y y on trouvera «', au moyen <li: Véqualion — ^ ;= î , nui donne n' = ^.

3*. Pour le cas où le décroissemeiit snr E agit dans le scDs de la largeur.

Concevons que les faces eft^, r^y (fig. 8i), après avoir pris la position relative au cas où n =^ , s'abai»sent eu partant des points e, r, pour passer à Fune des poàlions qui résultent du décroissement en largeur sur E. L'angle qu'elles font entre elles devîenidra plus ouvert, et la même chose ayant lieu par rapport à l'inclinaison respective des &ces a/te, a^r^ l'angle zux augmentera , c'est-à-dire qu'il sera plus grand que^f2(iig. 8a). Il en résulte que le décroissement qui produit alors ces dernières faces est intermédiaire sur had^ suivant des directions telles que tu^

En continuant de nous ser\'ir de la figure 8i, nous pouvons la comparera la figure Sg (pi. 36), qui se rapporte aux décroissemens intermédiaires sur A , et nous aurons d'abord

«,:oMlig.8.):://ou p/ ■■/«(%• 59) :: £^ : | .

::H^:Mp. 90).

Donc

Mais le triangle eo^L (fig. 8i) appliqué au décroissement d'où naissent les faces e^y^ rfiy^ donne

DE CRISTALLOORAPHIE. i3i

ilàn sommcL inférieur, celles du sommet supérieur

t celles du piismc, savoir, les nombres s, 4,6, pro-

Kcèdeul comme les termes d'une suite arilliméti({ue

■|Br des dilléreiices éj^aies. Le signe rapportéau tiojau

j(fig 55, pi. 33) est

M'G'Ê «"liiô-ô A/)P'.

M X / r j ji

La face y du sonmiet iulëiieur qui résidle du I décroissemeut a a la même inclinaison en sens con- ■ Irdirc que la fwce p. Ce n'est encore ici qu'un cas tarticnlier d'un' problème généra!, tpii a pour but du iléterminer le rapport entre la loi n' d'un décroïsse- I ment qui agit sur A , et la lui n d'un autre décroïssclaient qui a^it sur O, avec la condition que les faces t produites de part et d'auU'c soient inclinées de la même quantité sur les pans correspondans. Ce problème étant facile à résoudre, je me contente d'en indiquer ici lo résidtal, (|ui donne

Dans iu cas piéseiit, « étant inliiiJe, l'unité dispaïaît

(levant elle, et l't''juationn':=— — <levient n'=-=i.

IjCS fiices /, r, du sommet supérieur sont relatives au premier problème résolu ci - dessus. ( Vofez p. 124 et 125.) Ici, K' = 7i = ï,ce qui iudi<iue d'une

[larl le décroissement B pour la face r, et d'une autre part le décroisscnicnt K poiu" la face /.

i3a TRAITÉ

Incidence de p sur jr, i5o^6' ; de l sur /, ou de r sur r, i49^38'; de M sur Z, ou de la face opposée à M sur r, 1 10*^2' ; de / ou de r sur «, io5^ 1 1'.

La seconde variété que l'on voit ( fig. 85) , et que j'appelle amphibole sexdècimal, diffère de la précédente par l'addition des facettes z^ z' k celles du sommet inférieur. Son signe est

M'G'E e B ô a A &?pV.

M X / r Y z'zp

Les Êicettes Zj z'j se rapportent au cas où le décroissement qui a lieu sur E agit dans le sens de la hauteur. Ici /ï=^; donc le rapport de x kjTy ou de !2/2-{- 1 à I -^2/3 devient celui de 3 à i j donc la

valeur de n! ou ■ ^ est ■!• Or, il est aisé de voir

qu'alors le décroissement qui est intermédiaire , lorsqu'on le considère relativement à l'angle adc (fig. 82) de la base du noyau, se change en un décroissement

ordinaire par trois rangées sur l'angle adh du pan

doêh. On doit donc alors substituer au signe (ÊB^D*) le signe £' qui est plus simple.

II. Hypothèse dans laquelle le décroissement dont la loi est connue agit sur les bords D , D.

57. Soient ery , ny (fig. 86) les faces qui résultent du décroissement sur D, et Ave^ Xvr, celles que produit le décroissement qui se combine avec le précédent. Il est d'abord évident que les arêtes ey , yty

DE CRISTALLOGRAPHIE. i33

qui SOUL les lignes de départ du décroisscmeut sue D, , ont les mêmes positions que les bords bc , de (H^, 87) I de la base du noyau. Or, si nous menons les diago- ■ naies bs, ds, les triangles bcd, bsd, ayant pour commune intersection l'homontalc bd, et de plus [ leurs angles c, s étant à la même hauteur, les \ lignes bsy ds, ont sur les plans basfj dasl, des posi- I lions semblables à celles des lignes bc, cd, sur les I plans ècfff, dcgl. Donc , puisque tout est de même de part et d'autre dans les positions des &ce5 produites par les deux décroissemeus , les arêtes e\ , r\ (fig, 86), considérées comme étant les lignes de départ du décroissement d'où résultent les faces A»e, Arr, sont situées comme les diagonales bs , ds-, et ainsi le décroissement dont il s'agit a lieu dans tous les cas suivant une loi ordinaire relativement aux angles bas, das ( fig. 87 ) , eu sorte que la diQërence ne dépend que de la quantité n' qui iudique le nombre de rangées soustraites.

Menons er ( lig. 86 ) , puis abaissons ro perpendiculairement sur cette dernière bgne. Si nous rapportons au plan etr l'efièt du décroissement qui agit sur D, nous pourrons considérer le triangle evo comme étant mensurateur relativement à ce plan, et nous aurons eo 'OV :: ign : h, n exprimant ici le nombre de rangées soustraites ^ donc, si uousfalsous or^^h, 3^rt"Bcra la valeur de eo.

Maintenant , si par la ligne er nous faisons passer uu plau etr parallèle à la base du uoyaii , cl bi noua

i34 TRAITÉ

rapportons à celle base l'eiret du décroissemenl qui agit sur A , auquel cas il devienl intermédiaire , li lignes et , tr, répondront aux ligues be et de (fig. 8a)»' qui représentent les directions d'un décroissement du même genre. Or, dans ce dernier cas, x indiqi le nombre d'arêtes de molécule soustraites le long

de 06 , ^ celui d'arêtes soustraites le long de ay^ et ^ celui d'arêtes comprises dans la dimension qui répom à as'y et si l'on considère le triangle evo comme étant mensurateur à l'égari^ du décroissement dont it s'agit, nous aurons

donc

,::^^:A(p. go);

Offn xy n .ry

-^ — ^=3e/ï, ou — —z=n.

Mais , d'une autre part-, lorsque l'on rapporte l'ellèt du décroissement aux angles latéraux haa , da» (fig. 87) , si l'on suppose que la distance entre chaque lame et la suivante soit mesurée par une simple rangée, en reportant sur la dimension située dans Ift sens de ab ou ad le nond)re de rangées soustraileâi les quantités a: et -7 deviennent égales chacune l

l'unité, et la quantité j" devient — -, (1). Faîsai^

que — ; indique

DE CRISTALLOGRAPIilE-

ety=

JISL^

nous aurons — ; ;

' '<]ualioa — -^ let»' = !^.

Ici revient l'observation déjà faîte plus haut

(p. 13g), sur la (lifFéreuce des époques auxquelles

I correspondent les deux origines des décroisscmens.

\ Celui qui produit les faces evX, rïK{^\^. 86), agit

[ d'abord seul en partant de l'angle n (lîg. 8a), jusqu'à

I ce qu'il ait attebit les angles b, rf; à ce terme l'autre dé-

[ croisseraent prend naissance , et son action combinée

avec celle du premier complète le sommet du crislal.

II existe une variété d'amphibole représentée

(fig. 88), que j'ai nommée amphibole surcomposé ^

X qui réunit à la combinaison dont il s'agit ici une

de celles dont j'ai parlé précédemment. Son signe est

M'G'È'e BÉ(ÉD'B')« ApV'J' A "Jd!

Les facettes c étant le résultat d'un décroissement par trois rangées en hauteur sur les angles E, la quantité n qui indi([ue ce décroisscment a pour expression ^. On aui-a donc, pour le décraissemeut i«tttmédiaire qui donne les facettes c' ,

^ 3n+i : I — 2/1 :; -j-hi ." > — i :: a : i , de n' ou ^^ sera ^. ( roysz p. 157.)

j36 traité

Les faceltes A' , n , appartiennent à i'hypollièse qui est l'objet de cet article. La valeur de n qui représente la loi du décroissement d'où dépendent les

premières étant \ , récpiation n' = — — donne /ï'=| , ce qui indique pour les facettes n un décroissenient par trois rangées sur les angles ^gc, Igc.

58. Parmi les variétés qui dériveut d'un prisme rlioiaboïdal oblique , on en trouve dans lesquelles tes pans M, M (fig. 89), se combinent avec des faceB-, produites par des décroissemens sur les angles E et sur les arêtes longitudinales H, C Telle est celle que; représente la fig. 90. L'incidence mutuelle des faces o, qui résultent du décroissement sur E, se détermine à l'aide d'une formule que j'ai donnée , et , en prenant le supplément de sa moitié, on a celle de o sur^, qui résulte du décroissement 'G'. J'ajouterai ici la manière de déterminer celle de o sur a:, produite par le décroissement 'H'

Pour y parvenir, je fais passer par un point ( pris à volonté sur l'arête su un plan Itr perpendiculaire à l'axe. Ce plan détache une pyramide triangulaire représentée fig. 91. Je mène /r, ensuite la bauteur «ede la pyramide, puis et. Je mène ensuite tz perpendiculaire sm' Is^ pms cz. L'angle czt mesurera l'incidence de o (fig. 90) sur le pan parallèle à «, et supplément donnera odle

Soient-' coupe

ïmilée par la perpendiculaire Oj-. On aura toujours et' es (Gg. gi)"2p'.h. Soit ct^ :ipf donccs:=A. Or, ch étant dans le sens de la diagonale menée de E en E, qui est celui suivant lequel agit ledécroissement qui donne les faces o, o (ûg. 90), si l'on désigne par n r l'exposant du décroissenient , on aura cl^ 2gn. ' Maintenant

cticz:: V4pY ■ \/^^>'

h 0)DDaissant et et cz, ou en déduira la valeur de Dgle ctt que l'on cherclie.

nu PHLSME RHOMBOÏDAI. DROIT.

I Nous avons profité des rapports qui existent entre Bprisme rhoniboïdal oblique et le rliombo'ide, pour Êire dériver les formules qui concernent le premier de celles qui leur correspondent dans la tliéorie dont l'autre est l'objet. L'analogie du prisme rhoniboïdal t avec celui qui est oblique va de même nous rit à établir une relation entre les calculs f|ui re- 1 deux espèces de prisme. Pour concevoir ste cette relation , supposons que dans «ïdul représenté fig. /\G, pi. 35, les kfixesparlcs puiub <£,&', se relèvent

jjo TRAITÉJ

peu à peu jusqu'ù ce qu'elles a zontâles, de niuaièi'c que les [ posilions. La diagonale bd (et m du celle de la hase inferieureVl variatiuD dans sa longueur; matfl sera dcveuueégale à es, d'où il »

devra être snhslituéc , dans \

lité \//\p*-\-h*. Les constmcli scnter les cITels des décroisfleni tiiodificatîons semblables. Pare c|ui se rapporte à un décrois ligne ac est censée s'être i mite c, jusqu'à ce qu'elle c laie aky d'où il suit que l'cspr dans les culculs. D^af^rùs et-; fiicile de fiiire subir aux fonm le prisme oblique, les tnnr pour les rendre applicaM' jiarlerai point de celles ■ mens sui' les bords lati'-r que la marche qui y < ■ se présente cormne d'i'

1°. Décroissemen

fiç). Soit yjriiipj [ ' résulte de cette <■ ] l'angle qui mesuiv sur uiT'a*, Si l'on c !>'agil avec celui ■{'

DE CRISTALLOGRAPHIE. iSg

me oliliijuc, le nipport ira ri (fii;. 7$) sera celui 1 doit être siihslituc le rapport yo à o7. Or, la valeur de ir qui est 3g (p. 1 18), reste la même. Mais parce ijue dans la valeur de ri ou de ay

(fig. 'j6)jSmoi\ A -f-- devient simplement om ou - ,

, C + O fi • j c.

oa aura n = -, ce qui donne n^o. supprimant donc la quantité n dans le second ternie du dénominateur de la fraction qui représente ri (p. 118), m aura

yo:m{lig.g3)::g:\/-^^.

Soit ofMT l'angle qui mesure la moitié de l'incidence (le yUTT sur ya^ ; pour avoir le rapport du ùiius ffjr au cosinus o/â,, il sulllra de mettre dans le rapport précédent ^ à la place de/?, et récipro(|ue- Dient , ce qui donne

•^■■"'''■■p-Vâ^+i?-

Alaintenant , si l'on mène ov pcrpencliculairo suryw, puis fO", l'angle ciro-|-t)t)'' mesurera l'incidence âeyayr sur une face parallèle à la base P C ''S- 93) et l'anj^le ffi'o + go'' mesurera l'incidcuco <Je yOTT sur le pan M. Or, dans le rapport cH '■ mX CGg. 77) qui est l'analogue île celui de ov à ot (liy, cjS),

Vespression de c« ouy/(4g*-|-4p' + A*)j:(p- hq)

clérical

qui

a été dit

p. 1 38, cl celle tle nA ou e+^-^ se réduit i^^, ' ' ^^ , , *** ■

parce que «Ç ( fip. 77 ) , qui est représentée par g s'âêl vauoult. On aura donc w

„,:«.{%. 93)::v/fe^)f--«^"::¥=V^^-

60. L'espèce de décroissement qui vient de noi occuper existe dans une variété de baryte sulfkl représentée ( fig. g/\) , et dont j'ai développé la stn lure (t. 1 , p. 67 ). Elle n'est autre chose que la fori primitive augmentée de deux pyramides naissautes qui reposent sur ses bases, ce qui a suggéré le nom de sub-pyramidée que porte cette variété. Son signe

est MPB. Les dimensions de la forme primitive, déi M P .

indiquées au même endroit, dorment ^ = v 1

p=iy/S, ^^v/âT; de plus, on a «=;. D'api

ces données , on trouve pour l'incidence de M sur M,

loi^ 3a' i3"; pour celle de M sur z, i54'^26'52"i

pour celle de P surz, ii5''33'8"; pour celle dej;

surr, iio''35'53"; et pour celle de z sur la face

retour, qi'^iq'56".

3'. Décroissemeris sur les angles E, E.

61. Si le décroissement est ordinaiiç^sa 1 nation ne soufTre au r le dSH

DE CRISTALLOGRAPHIE. i^Ji

an côté vertical :: sgn * h ; d'où l'on déduit i'iiicideuce mutuelle des deux faces produites par le décroissemenl, et l'incidence des mêmes faces smqui sont parallèles aux. bases P.

lia position horizontale de ces bases fait disparaître complication iuévitable dans la formule relative à rijicidence des faces dont il s'agit sur les pans de la forme primitive , lorsque celle-ci est im prisme oblique. Soit ac6 ( (ig. 95 ) un plan parallèle à la face produite par le décroissemeut qui a lieu sur l'angle E lé à droite (Dg. 93), Si l'on mène ifi perpendicusur ac (fig. gS), (fô" pei-pendictilaire sur «;«, perpendiculaire sur ce, il est facile de voir celte dernière ligne étant prise pour le rayon , sera le sinus de l'incidence de dcï sur ace, laquelle le au supplément de l'angle que fait la face uite par le décroissemeut avec le pan cthg. Or ,

I en suLstiluant les valeurs algébriques,

( verrons bientôt comment ou peut déduire t de celui qui y correspond à Tégai'd du

î pour exemple du décroissemeut dont il l liarytc sulfatée unitaire (lîg. cf.)) dont

i4a TRAITÉ

j'ai aussi développé la structure pnr la voie de sjn-

llicsc ( 1 1 , p. 14^ et suiv. ). Le signe étant ME, on

aura n=;, et on tronvera ponr l'incidence deo suro, io5^ 4^'34";et ponr celle deMsnro, 130^18^. 6a. Supposons maintenant que le décroissement devienne intermédia^, et que ksi^ rsi(%. 97) représentent les deux &ces antérienres de la pjramide qui en résulte. & du centre o de la base on mène ou perpendiculaire sur ù, puis Au, l'angle kuo mesurera la moitié de l'incidence taïutuelle des deux faces dont il s'agit. Or, sans nous arrêter à chercher immédiatement la valeur algébrique de ce rapport, nous pouvons la déduire de celte du rapport de mu à ul (iig. 63), qui est son analogue à l'^rd du ])risme oblique. Il sufîît pour cela de considérer que, dans le cas présent, la partie u/'((îg. 64) de la ligne^ s'évanouit (p. 98) , en sorte que ^^-^ + A se réduit il /z, ou, ce qui revient au même, la quantité nxy doit êlre supprimée dans Je second terme de la fraction qui esprinie la valeur de uf. Faisant donc cette suppression, et laissant subsister tout le reste, on aura

ko : ou ( Iig. 97 ) :: ^ : ^pjl^^ïp^^-

Soit maintenant o^ (fig. 98) la forme primitive, c\é un plan parallèle à hi fiice rsi ( il^. 97 ) , dm f liij. 98 ) la liBUtear du la pyramittc iutcrccplée par 1.- j.Iiui c^,^, It: soiwûiet étant sujipost- en </, et cM' une

DE CRISTALLOGRAPHIE. i43

perpendiculaire sur ce. Si l'on mène km , Tangle dém sera le supplément de l'incidence de cl^s sur cehgy et par conséquent de celle de la face rsi ( fig. 97} sur le pan adjacent. Or , on peut fiiire dériver l'expression du rapport de dm à dk de celle du rapport de di k citf (fig. 69, p. II 3), laquelle se simplitie d'après les considérations suivantes : 1^. dans l'expression

de dij la quantité ^^-7 — se réduit à p* ; 2^. la quan-

sente ici dy (fig. 69, p. m), qui devient nulle , parce cpte iryy qui est une perpendiculaire suria haseahcdy se confond avec dh lorscjue le prisme est droit; 3*. dans l'expression de du, et |)erpendiculaire sur dn se trouve remplacée par crf(fig. 98), d'où il suit que dl (fig* 69) ou 7 hx s'évanouit, et par consé-

qucnt ni ou dn^^^dl (p. ii3) se réduit à nl = -.

Donc aussi 7—- (2— /larV se réduit h — . Ayant &ard

aux trois différences qui viemient d'être indiquées , et en supprimant dans les numérateurs le facteur

commun — 7- , on trouve

€lk:dm :: . / — ^^^

ir

4yYT

y(^'^-'^yy'^s%^y>2(^^

i44 T&AITâ

Nous aurons Mentôt l'occasion de fiiire une aj^ca-

tion de cette formule.

Si l'on voulait avoir l'incidfinoe sur une fiice parallèle à la base 3 (fig-r 9a ), on mènerait d^ (fig. 98) perpendiculaiie sur eÇ, puis ê/a^ et IW ferait attention que cette incidenoe est le supplétnent de Fangle 4lM.Oty désish* du répond à dd' {Sg.6Q)jàtmthL valeur est

On aura donc, en mettant dans eette valeur p* à la

place de ^7" ,

du: dsz: y ^ff^ z : -.

Si l'on suppose opssjr, ou , ce qui revient au. même, dans le rapport de dX: à dm y on aura l'incidence re-

lative à un décroissement ordinaire sur l'angle E , en considérant de plus que la quantité n doit être ici remplacée par an ; alors

dk • dm •• m X t* - m y- v^ 9

ce qui est le même rapport auquel nous sommes arrivés par une méthode directe (p. i4i }•

DE CRISTALLOGR APHTE. ^5

3". Décroisaemens sur les angles A.

63.11 est faciledti faire dériver la plupart des résultais relatifs à cette capèce de décroisseiiient, de ceux i]ià coacernent les décroisse mens sur les angles E. 11 siiflit pour cela de suppo ser que les angles adc , nfyc (fig. 95 et gi8), soient les angles obtus de la base du noyau, d'où il suit que, dans les formules, g doit prendre la place de/>, et vice versa.

Si le décroissement est ordinaire, et que l'on veuille avoir l'incidence des faces secondaires soit entre elles, soit sur une face parallèle à P (iig. fjS), alors, dans le triangle meusuratcur , le côté qui coïncide avec P a au côté vertical :: apn : hivoyez'^. 1^0 ). r riucidcnce des mêmes faces sur les pans, on

I Concevons que le décroissement devienne inlersliaire, et que msn, usn (iig. 99) représentent s deux (àces antérieures do la pyramide produiLo 3 décroissement, et que rh^o soit l'angle qui ! la moitié de leur incidence jnutiielle. Le t Entre mo et og se déduira de celui qui a lieu i (fig, 79), dans les décroissemcns sur ^ ^3) du prisme rhomltojdal oblique, et autre cliose à faire que de supprimer y y dans le dernier tonne du dcnoini-

i46 TRAITÉ

Dateur de la fraction qui représente li(p. ia3), et cela par une raison semblable à celle qui a été eX' — posée p. i42. Ainsi l'on aura

"«• ■■•'glH-99) ■■■■ ^ : v'4,.(«xy)-+nx+>)-

Pour avoir l'inàdence sur les pans de la forme primitive, on prendra le rapport entre dk et <£» (p. i43) qui, par la substitution de j? à^, et vice versa, devient celui de

4yVp-

Enfin , l'inddence sur une fece parallèle à la base de la forme primitive sera donnée par le rapport entre d^ et d« (p. i44)} modifié d'après la condition déjà énoncée. On aura donc

, , . ^gP^ h

64> Four appliquer les résultats qui font l'objet de .cet article et du précédent, je continuerai de choisir des exemples parmi les nombreuses variétés que pré- B la baryte sulfatée. ^

s est celle que Ton voit y te tulfatée Irapàziertne.

BsîsDGest ÂEP. Incidence de Psuro, 127'' 5' i3":

dePsurd, i/fO^Sg' 2i";dedBm d, "jS^ 1' 5S" -j de d

K~To, ifj^BGsg" (1).

Une autre variété, représentée fig. loi , porte le m de baryte sulfatée quaiernée. Elle est le résultat de huit lois âimullanées de décroîssement ^ dont les eflets se combinent avec les faces du noyau. 3 signe est

•G'G M*H»E(E^B^B' . B'B')bA AP.

AnMto y td/P

nce de M sur k, i3g''i3'54"î de M sur (, 4i9'45"3o"'j de t surf, i2a'*5a'42"; deMsur^y, jj(i^ 39' 49"; de o sur j', i53'','t7'5i''; de y sur z , 6i''42'7"; de P surj^, 133^48' 29"; de ^y sur/', »l4''**'2"; ^^ y ^"i" J") BS'^aS'a^"; de P sur /, h^^'5^'; de P sur rf, i4o'*5()'ai"; de P sur o, «37^ 5' 1 3" j de P sur k , go"*.

Cette variété, aus,si bien (jue plusieurs autres qui appartiennent à la même substance, nous offrent dans l'assortiment des plans qui composent letir siu'fcce, une symétrie cpii, en général , est familière à k cristallisation. Cette symétrie cousiste en ce que lea intersections communes des plans dont il s'agit

r (0 J' donnerai plus bas , à l'article du prisme droit rectanplaire , une m^lhodc pour calculer cette incidence.

i48 TRAITÉ

sont parallèles entre elles, en sorle que parmi divei lois de décroissement qui peuvent naître simidtaDément sur des bords ou sur des aiii-les difiërerameDt situés, la crislallisalion semlilc avoir une tendance ver& celles d'où résulte ce même parallélisme. On conçoîl bien qu'il doit avoir lieu par rnpport aux arêtes dl jonction des fiices P, o, k, d'une part, et des faces P, /, rf, d'une autre part, et même. il ne cesserait pas d'exister dans le cas où les faces o, /, d, seraient produites par d'autres décroissemens , pourvu ceux-ci eussent toujours les mêmes lignes de dépai

Il n'en est pas ainsi des faces o,y , z. Le jtarallé iisme de leurs intersections communes disparaîti si les décroissemens dont elles dépendent, en cons vant les mêmes lignes de dej)art , variaient dans lei mesure. Je vais entrer à ce sujet dans uu certi détail, qui nous conduira à représenter, par desfc mules générales, la dépendance mutuelle que di veot avoir entre eux ces décroissemens, pour satisfaire à la condition du parallélisme dont j'ai parlé.

Supposons un cristal dont la surface ne soit composée que des facettes P, o, s, ainsi que le représcnl la figure 102. Désiguons par «l'exposant de la li quelle qu'elle soit, cjui pi agissantsur les bords B, et j i i[e la

qui produit les fàcelles a

Soit aÇ (fig. 1 o3) l'octaèdre qui résulterait du proloDgemeut des&çettes 2, z (fig. 103). MeooDs les diagonales >v, ^^(fig. io3),dela base commune des deux pyramides qui composent l'octaèdre, puis la hauteur etr de la pyramide supérieure. En considérant ycff comme un triangle mensarateur relatif au décroiasemeut sur E, nous aurons

cy:ctr::2gn':h::gi — ,-(p. 140).

D'une autre part , si l'on coasidère le même triangle comme étant mensurateur relativement au décroissement sur B y on aura

cy:cr::tign'.h::g:-.

parce qu'à chaque rangée soustraite parallèlement aux bords répond une diagonale entière ^ de molecale y d'où l'on conclura que n'= n.

Concevons maintenant que les arêtes h, A (fig. i oa) soient remplacées par des Ëicettesy,^ (fig. io4)} qui naissent d'un décroiasemeut intermédiaire sur les angles E. Soit n" l'exposant de la loi que suit ce . décroissement, ou, ce qui revient au même, soit n" le nombre de rangées de molécules soustractives déterminées par le rapport entre x ety. Prenons pour i données ce même rapport et la valeur de n, et pro- L jwBons-nous de chercher quelle doit être celle de n'* ^^^tene l(;s borda 3", 3", des facettesy soient paralxtteso,o(fig. loa), étant parallèles aux

i5o TRAITE

arêtes p^ff, uj (lig. io3 ), les arêtes X, A, lenr serod aussi parallèles. Donc, puisque les facettes j', (fig. io3), sont parallèles aux arêtes A, A (fig. 102^: elles le seront de même aux arêtes yir , uff[( fig. i o3 ). Nous pouvons donc assimiler ici le triangle ycT i triangle mup (fig. 63), relatif aux décroissemens intermédiaires sur les angles £ d'un prisme rhomboïdi oblique, et nous aurons

o> :co-::^^:^(p. 96).

Mais nous avons eu d'une autre part

tiomboitdn^J

d'où l'on tire

Supposons qu'en observant la variété de baryte représentée figure 101 , on ait trouvé que les làcettes z

résultent du décroissement B. On aura donc n=î ; doncn' = ^, et ainsi la seule. coodiUoD duparallé- IIHlppO-

lisme des intersec sant ceUea-ci i

r reconnnttre «pït Ira premières iitr uueMmpte rangée

DE CRISTALLOGRAPHIE. i5i

Mainlenant, avaut de chercher «", il lâut avoir le IBpport entre x etjf. Soit abcd ( fig. i o5) la base du foyau, et ci la ligne de départ du décroissement qui Honne j/. Menons kl perpendiculaire sur ac , puis kr ïllèle à la même ligne. Il est aisé de voir que yangle rkc est égal à l'angle que font entre elles les I Arêtes «T» C ( ''g- ' ^4 ) > It^quel angle est sensible sur la E6gure lOi, Or, enle mesurant, ou trouve qu'il est à I peu près de i ^8"^. Retranchant 90 de ce nombre , on L anra environ 58'' pour la valeur de l'angle eA7(fig. i o5). I Or , le sinus cl et le cosiniis kl de cet angle étant des tfcnctions des lignes co et 60, ou de /?= y/S et de I g^sVTâ, on trouve, à l'aide d'un tâtonnement [ficile, que si l'on fait cl: kl::2p:g:: V^â '. \/i2, •Tangle cklest de 58'' 3 1', et ainsi on peut adopter le rapport dont il s'agit. Or, cl renferme autant de diagonales p' de molécule qu'il y a d'arêtes c' de molécille comprises dans bc~i-bk ; et i/ renferme autant bjde diagonales g' de molécule qu'il y a d'arêtes c' de Rnolécules comprises dans ak^ab — bk. Mais le nombre dep' contenu dans cl est double du nombre de^' contenu dans kl. Doac c'x-\-c'y.c'x — c'j^ns: i , equidonnefl;=37'. Faisant 1 = 3, ^y^i et«^;,

aIb formule n"::=nÇ ^, on trouve «" = j.

ItTOÎt par cet exemple comment on peut profiter p ces parallélismes qui impriment aux formes crlst un caractère de symétrie, pour abr^er le à la détermination de ces formes.

i5a TRAITÉ

DU PRISME REGTANGULAIllE OBLIQUE.

65. La substance qui va nous offrir un exemple du prisme rectangulaire oblique, et à laquelle j'ai donné le nom ^enclose, emprunte de sa structure et de la marche des lois auxqueUes elle est soumise , des caractères qui font ressortir ses formes cristallines parmi celles de toutes les autres substances minérales. Mais elle est encore plus remarquable par la liaison qu'ont les mêmes caractères avec la loi de symétrie, et c'aurait été une raison pour la placer de préférence dans Tarticle où j'ai traité de cette loi. Mais comme ce que j'ai à en dire suppose des connaissances dont le développement appartient à la partie géométrique, )'ai différé d'en donner la description jusqu'au moment où elle pourrait être comprise , et la place qui m'a paru lui convenir le mieux , au dé&ut de la première, est ceUe que je lui donne ici à la suite du prisme rhomboidal oblique, avec lequel sa forme pri^ mitive a beaucoup d^analogie. Ainsi, tout ce qui va suivre pourra être considéré comme le complément de la théorie relative à ce prisme , et plus encore comme celui des considérations qui m'ont servi à motiver l'existence et la généralité de la loi de symétrie.

l4es observations qui ont amené la véritable détermination des formes cristallines du minéral dont il s'agit ayant été Ëiites à différentes époques , je vais les présenter dans l'ordre où elles se sont succédé. Ce sera comme l'histoire de l'cuclasc [considérée sous

rœ CRTSTALLOGRAPHÎE. i53

le rapport de la géouiétrie des cristau!^, et il m'a paru que le sujet traité de cette manière en deviendrait plus instructif.

L'euclase, divisée mécaniquement, offre d'abord deux joints parallèles aux pans d'un prisme rectangulaire y et dont l'un , qui est beaucoup plus facile à obtenir et plas éclatant que l'autre , a le poli et la netteté d'une glace de miroir. Ces deux joints étaient les seuls que j'eusse aperçus dans les petits fragmens que je m'étais procurés de ce minéral , et j'avais profité de la bonté qu'avait eue M. le marquis de Drée de me confier le beau cristal de sa collection , qui est représenté fig. io6 et 107, pour appliquer à sa forme la théorie des lois de décroissement. La fracture qu'avait subie ce cristal à sa partie inférieure étant chargée d'in^lités , ne m'avait oSTert aucune indication de la base du prisme rectangulaire dont j'ai parlé, et la supposition qui m'avait paru la plus natui*elle , comme étant fondée sur l'analogie, était que ce prisme devait être assimilé à ceux de la cymophane et du péridot, dont la base est perpendiculaire à l'axe. En examinant avec attention la forme du même cristal, je remarquai que les différens ordres de facettes situées vers son sommet, et qui s'élevaient comme par étages les uns au-dessus des autres, naissaient sur des arêtes plus ou moins obliques à Taxe, d'où il s'ensuivait que les lois de décroissement qui domiaient les unes ne pouvaient être simples , sans que les autres ne fussent mixtes ou intermédiaires.

i54 TRAITÉ

Il était plils difficile de concevoir le contraste qu'ofiraient les deux moitiés de la snr&ce du cristal , et qui était si marqué, qu'aucune des &ces que Ton voyait sur l'une ne se répétait sur l'autre; et ce qu'il y avait de plus singulier dans cette répartition , c'est que quand j'eus rétabli , comme on le voit fig. 1089 l'uniformité qui me paraissait être commandée par l'analogie, j'observai que parmi les quatre rangées de &cettes qui se succédaient parallèlement aux arêtes Xy Zy h^jr^ la première et la troisième, composées l'une des &ces c^ c' y l'autre des &cesy^ dy d! yfy se trouvaient seules dans l'origine sur im côté du cristal, comme on le voit fig. 106, et que la seconde et la quatrième , composées l'une des faces 1, Uy r, r'y vl y î! y l'autrc des faces o, n, vl y o', occupaient seules le côté opposé, ainsi qu'on l'observe figure 107.

Ordinairement, lorsque quelques-unes des facettes nécessaires à l'intégrité de la forme ont échappé par accident à la tendance de la cristallisation pour les produire , il en reste qui leur sont analogues , et qui avertissent l'observateur que les premières ont été comme oubliées, en sorte qu'il les restitue par la pensée aux endroits où elles manquent. Mais ici la répartition des facettes entre les deux moitiés de la sur&ce semblait avoir été concertée de manière qu'il rqjnait un air d'ordre dans ce que j'étais porté à prendre pour un dérangement.

Quoique la loi de symétrie ne me fut pas inconnue,

DE CRISTALLOGRAPHTE. i55

et que j'en aie fait plusieurs fois usage dans mou Traité, mes idées à cet ^ard étaient encore loin Savoir acquis le développement que leur ont donné les considérations que j'ai exposées dans plusieurs mémoires dont elle a été le sujet, et où elle se trouve sommée pour la première foisj autrement, la conviction que ce nom seul emporte avec lui de sa généralité aurait suffi pour me rendre suspecte, ou plutôt pour me faire rejeter i'hypotlièse d'un prisme âroit, comme forme primitive de l'euclase. Ainsi, je m'en tins pour lors à celle hypothèse , el je cherchai le rapport que devaient avoir entre elles les trois ditsensions du prisme , pour que l'ensemlile des lois de décroissement qui en dériveraient s'écartât le moins qu'U serait possible de la simplicité des lois

diiiaires (i).

Effectirement, quoique le signe auquel j'étais parrenu en adoptant ce rapport ne laissât pas d'oiFrir lue complication dont je ne pus m'empècher d'être

Mnnéj j'ai reconnu qu'elle n'aurait fait qu'augineuter par la substitution d'un autre rapport que je ferai bientôt connaître, à celui dont je viens de parler. Le signe auquel ce dernier m'avait conduit

(ij La Egure 109 représente ce prisme dans lequel les trois dimensioDs B , C, G, sont entre elles comme les nombres V' 3,

âet 1/8.

i55 TRAITÉ

étail le snivant :