PARTIE ANALYTIQUE

T. Ua^s l'exposé que j'ai doané précédemment de ]a méthode syntliétiqiie relative aux lois de la structuie, je me suis borné à citer des exemples choisis parmi les variétés de parallélépi[)ède. Telle est la relation qu'ont avec ce solide le prisme hexaèdre, le dodécaèdre rhomboïdal, l'octaèdre et le tétraèdre, que les décroissemens qui agissent sur les bords ou sur les angles de ces derniers s'assimilent à ceux que subissent les parties analogues du premier. On peut même, ainsi que nous le verrons, substituer un parallélépipède à chacun d'eux', dans les applications de la théorie , en supposant que six de ses faces , parallèles deux à deux, se prolongent jusqu'à s'entre-^ couper en masquant les deux autres,

La partie analytique qui va suivre doit offrir le passage de ce qui est général pour toutes les formes primitives, à ce que chacune d'elle emprunte de par^ ticulier, de son aspect géométrique, du rapport de ses dimensions et du mécanisme de sa structure. II en résulte que ces formes doivent être considérées ici séparément, comme autant de sous-di visions du parallélépipède.

DU RHOMBOÏDE.

2. Je place la forme primitive donnée par ce solide au preaiier rang parmi les sous-divisions du parallélépipède comme étant la plus féconde en modifications diversifiées. Elle doit cette prérogative au rhomboïde de la chaux carbonatée. Cette substance, la plus répandue de toutes celles dont la partie connue du globe est l'assemblage , se distingue encore par l'étendue de son domaine, sous le point de vue de la cristallisation. Ses nombreuses variétés garnissent une multitude de cavités qui interrompent la continuité de ses masses. Elles s'associent aux différentes substances métalliques qui occupent les filons ; elles entrent accidentellement dans la composition de plusieurs roches, depuis les plus récentes jusqu'à celles dont la formation remonte à des époques très reculées. Les observations, à mesure qu'elles se multiplient, la font reparaître sous de nouvelles transformations. La diversité semble le disputer à la profusion, et c'est avec raison qu'on l'a nommée le Prothée des minéraux.

Mais ce qui ajoute beaucoup à l'intérêt que présente l'étude approfondie de ses formes , ce sont \ç^i propriétés géométriques remarquables que la théorie et le calcul nous ont dévoilées dans une partie des corps auxquels elle a donné naissance , et c'est principalement cette considération qui a déterminé la préférence que j'ai donnée à ces corps, qui composent

â82 IT.AÎTÉ

comme ielite des variétés du rlioiiiboïde , pour les faire servir au développement de ia tliëorie dont cette forme primitive est l'objet.

Avant d'exposer la méthode de déterminer les ibrmes secondaires qui dérivent du rhomboïde , il est nécessaire d'exprimer algébriquement les lignes principales que l'on doit considérer dans cette espèce de solide.

3. La fig. T,pl. i5, représente un rhomboïde obtus, parce que c'est le cas le plus ordinaire. Mais ce que j'en dirai s'applique également à un rhomboïde

aigu.

Ayant mené les deux diagonales hf^ acl^ de l'un quelconque des rhombes , je désigne par ^ la demidiagonale horizontale cb ou cf , et par p la demi-diap;onale oblique ca ou ccl.

4. Soit adsg (fig. 2 ) la coupe principale du rhomboïde , formée par les deux diagonales obliques oppo- ?^ée3 acl^ gs (fig. i), et par les arêtes ag^ dsy comprises entre ces diagonales.

Du point c? je mène rfr perpendiculaire sur l'axe as, et du point g je mène gn^ de manière qu'étant aussi ])erpendiculaire sur l'axe, elle se prolonge jusqu'à la rencontre de ad. 11 est clair que son prolongement tombera au milieu de ad. Car «i je mène les diagonales y^ et 6^ (fig. 1)5 la ligne entière ^-c, qui est la même que figure 2 , sera couchée sur le plan bfg (fig. I ), qui passe par le point c. On conçoit aussi que la partie en qui est une perpendiculaire menée du

DE CRISTALLOGRAPHIE. aSo

centre du Iriangle eqiiilateraî hfg^ est la moitié cle la partie gn qui va du centre à l'un des angles du même triangle. J'appellerai gn à l'avenir la peiyendiculaire sur Taxe , et c/z, la demi-perpendiculaire sur Vaxe.

5. 11 est facile maintenant d'exprimer en fonctions de g et dep, l'une quelconque des arèles du rhomboïde, la perpendiculaii'e sur l'axe et cet axe luimême.

I^ «^(fig. I )=: \J{hc)^ + («c/= s/g^+p^ \ donc telle est l'expression de l'arête.

12°. Le côté hf du triangle érpiilatéral hfg étant désigné par 2^, la ligne ng qui va du centre à l'un des angles, ou, ce qui revient au même, la perpendiculaire sur l'axe, aura pour expression y/F^ d'où il suit que la demi-perpendiculaire sur l'axe est égale

3". Remarquons qiie les perpendiculaires gn et dr (fig. 2) di\ isent l'axe en trois parties égales. Car les triangles semblables acn^adr^ àonnenl ad\ac'.\ar'i an. Or , adz= 2an \ donc, an=^nr. De plus, les triangles dsr^ gan^ étant semblables et égaux , on a rs =any donc , an ziz.nrz=:rs.

Maintenant an=: sj {acY — (cnf z=. \^p^ — |^:. donc en tripiant cette expression ,' on aura (i).

«-^=3VP" — jg'= VV-|^'=V9/'*-%"-

( I ) Il sera boa de retenir cette expression de Taxe, ainsi que

G. Proposons-nous encore , avant d'alîer plus loin , <Ie résoudre le problème suivant. Etant donné les deux demi-diagonales g et p^ déterminer d'une manière générale trois espèces d'angles, savoir, les angles plans du rhomboïde, les incidences respectives de ses faces ou les angles de sa coupe transversale, et enfin ceux de sa coupe principale.

1*. Pour les angles plans, soit mené can (fig. i ), perpendiculaire sur (7f, et qui sera le sinus de l'angle afd, en considérant a/ comme le rayon. Cherchons le rapport entre afet le cosinus mf.

rSous avons déjà af= V^^^^-pp^' De plus , a7n= --^^- = \/ -r^,- Donc

af: am ! : g"" +p* : 2gp y mais mf= \ af" — am*.

Donc

of.mf.-.g'+pK vV+p'^'- 4ffy :: g^+p^ : V54 2gY+p\ : : g' -i-p ■ d=g' =pp%

les signes supérieurs du dernier terme appartenant au cas où le rhomboïde est obtus, et les signes inférieurs à celui où le rhomboïde est aigu.

celle de l'arête qui est ^^^-{-p'^, et celle de la perpendirulaîre sur l'axe, savoir {/-^pç'j parce que comme ces expres- Hons reviendront à chaque incitant dans l'ex^^osé de la théorie^ rous nous dispenserons d'y met'"re des numéros de renvoi.

DE CHISTALLOGRAPHIE. 285

Le résultat précédent nous offre une }3ropriété remarquable du rhomboïde. Elle consisie en ce que dans cette espèce de solide le cosinus du petit angle plan est toujours une quantité rationnelle, pourvu que les carrés des expressions des deux diagonaleà soient eux-mêmes des quantités rationnelles.

:2^. Pour les incidences mutuelles des faces, par exemple, pour celle de abdf sur dfqs.

Soit amhl (fig. 3) la coupe transversale du rhomboïde, menée par la ligne am (fig. i ). Cherchons d'abord le rapport entre ]es demi-diagonales 7727^ el ar ( fig. 3). Soit mr=g' j et ar=p\ jNous aurons.

{amy ou g"+p"=^^,ei g'^=g';

donc donc

Et parce que V^3p' — g"" =1 V^o// — %' X Vh ^^ en résidte que le rapport entre les demi-diagonales mr et ar est le même que celui du côté du rhomboïde au produit de l'axe par Vy-

11 est évident que si g"" et p* sont rationnels , g^ etp'^le seront de même. Cela posé, ayant mené az perpendiculaire sur 7?ih , déterminons en fonctions de g et de p le rapport entre am pris pour sixiui

total et le cosinus mz de l'angle amh qui mesure la plus petite incidence des faces du rhomboïde. Ce rapport en fonctions de g et de jj est celui de g"" 4-//' à ^'* — p'^. Or, d'après la proportion trouvée cidessus ,

Si le rhomboïde était aigu , on aurait

g''+p'^:p"-g" :: ip-.p^-g^ (i).

On voit ici que la propriété relative à l'expression du cosinus souâ une forme rationnelle, qui a lieu pour les angles plans, s'étend à ceux qui mesurent les incidences des faces.

S'*. Pour les angles de la coupe principale, ak (fig. 2) sera le sinus de Tangle aigu g, en prenant c^pour le rayon. Or,

7 gn X as y/^X y/ .9^" — 5,4" {/d^p^' — g^

Donc ah: kg:: \/3^y—^^:=i=o■«rfcp^

(1) Dans le cas du rhomboïde aigu, ie sinus az se rejetera en dehors du rhomboïde, en conséquence de l'angle obtus que feront alors les deux faces abdf, dfqs (fig. 1 ) , et l'on aura le supplémerit de cet angle , c'est-à- dire , TincideDce des faces à l'endrcit des arêtes continues au sommet.

Dans le rhomboïde primitif de la cliaux carbonate^:,

on à g= VS? P= V^- Substituant ces valeurs à la

place de g et dep^ dans les rapports précédens , on

trouve

1°. af: mf{^\2^. I ) :: 5 : i , ce qui donne

/a/7z=ii^^32'i3";donc5«/=ioid32^5^

2°. am \ mz : 4 • i ? ce crui donne pour l'angle amz^

3*. aA: Â:^ (fig. 2 ) :: 3 : I j ce qui donne pour l'angle <7^<$, 71^ 33' 54''.

7, Je terminerai cet article par la solution de trois problèmes relatifs au rhomboïde, dont les sujets existent parmi les résultats de la cristallisation.

1°. Trouver le rapport entre g Q^v^ dans le rhomboïde qui a cette propriété, que quand son axe est vertical, chacune de ses faces est également inclinée par rapport à un plan vertical et à un plan horizontal.

Soïladsg (fig. 2) la coupe principale. Le triangle anc étant isocèle, on aura cn=^an ; et

Donc 2^^=3p* , et ^* :/? :: v/ 3 : \/2 , comme dans la chaux carbonatée.

2°. Trouver le rapport entre getp dans le rhomboïde dont la coupe principale est un maximwji , en supposant p constant.

Soit X la demi-diagonale horizontale. La surface

de la coupe principale sera

gn.asz=:\/±^.\/Q^p^ — 3T^=\/IOJ^^^'*— .4^4.

Je prends la dijBférentielle de cette quantité.

X {24p^x.dx — i^x'dx) = -^ -.

Dans le cas du maximum , cette différentielle doit être nulle, donc iip^xdx — bx'^dx^=Oj ou

i2p*xdx = Sx^dx 5 et 3p" = 2a;*.

D'où l'on tire x Ip : : K 3 t V^2 , comme dans la cliaux carbonatée.

On peut démontrer ce maximum, par la Géométrie simple. Car , le triangle ad?^ étant les ^ du triangle ads^ à cause de la hauteur commune c^r, et de. . . . «r=|rz5 5 sera par conséquent le tiers de la coupe principale adsg'^ donc il devra être aussi un maximum. Or, ce triangle étant nécessairement rectangle en 7^5 et sa base ad étant une constante, la question se réduit à trouver , parmi tous les triangles rectangles qui ont une base commune , celui dont la surface est un maximum. Or, si Ton suppose que la base soit le diamètre mn ( fig. 4 ) ^^^ cercle , il est évident que parmi tous les triangles rectangles mfn , mfri^ etc., que l'on peut construire sur cette base, celui qui donne le m^aximum est le triangle isocèle mfn] donc le triangle ard ( iig. 2) sera aussi uu

triangle isocèle , d'où il est facile de conclure, comme on l'a vu précédemment, que^ Ip II \/3 : V:^.

3'. trouver le rapport entre g et p dans le rhomboïde dont la solidité est un maximum j en supposant p constant.

La perpendiculaire «X- (fig. 2) pouvant être prise pour la hauteur du rhomboïde, la solidité de celui-ci sera égale k akx, igp. Or,

ad V 4p'^ '

et faisant g^=x. puis exécutant la multiplication in-

diquée , cd= \/~"^~~7~~~- Donc la solidité sera

quantité dont la didérentielle est

^(i 2p=a:^— 4a: V . d[i ip'x^—^x'jziz^l^i 2p^x^—^x'r z-/^, ^ o ^ / «i 7 \ lAp-x'^djc — I9.x^dv

Egalant cette différentielle à zéro, on a 2 4p*:c^ dx — i2x^dx=:o.

D'oii l'on tire 2p'' = x*, et xlp :: \/2 : i , ce qui a lieu dans le rhomboïde donné par la sous-di\ isioji du dodécaèdre rliomboïdal, ainsi que nous le verrons dans la suite. ,^^ ..

8. Je passe aux résultats des difleren tes lois de décroissement que le rhomboïde est susceptible d'olirir,-

Il y 85 en général, cinq espèces de décroissemens possibles , qui donneront des formes secondaires : savoir ,

Un décroissement sur les bords supérieurs àb^af\ Un second sur l'angle supérieur a\ Un troisième sur les bords inférieurs dh , df-^ Un quatrième sur les angles latéraux h ^f\ Un cinquième sur l'angle inférieur d.

De plus, les décroissemens sur les angles peuvent avoir lieu ou par des lois ordinaires , ou par des lois intermédiaires. Nous examinerons successivement ces différens cas, en commençant par les plus simples.