I. Décroissemens sur les bords supérieurs
9. Ces décroissemens donneront en général des dodécaèdres à faces triangulaires, dont trois arêtes prises alternativement coïncideront avec les arêtes «6, «y, a^, etc., du noyau (fig. i), et les autres s'élèveront au-dessus des diagonales obliques «r/, aq , etc. De plus , il est évident que l'axe sera le même que celui du noyau.
Soit adsg{^^^. 5 ) la coupe principale de ce noyau, am l'arête du cristal secondaire qui s'élève au-dessus de la diagonale ad^ et doit nécessairement être sur le plan qui passe par «, c?, s) sm l'arête inférieure conespondante, qui coïncide avec le bord sd du
rliomboïde primitif. Soit azt le triangle mensurateur que nous considérons ici comme si les décroissemens se faisaient sur l'angle a, en observant qu'à une rangée de soustraite vers les bords ab, af { Og. i } , répond une diagonale obli([ue de molécule , qui mesure la quantité dont une lame de superposition dépasse l'autre.
Commençons par déterminer le rapport entre les côtés az et tz de ce triangle. Soit a l'arête d'une molécule, et p' sa demi-diagonale oblique. Nous aurons, en nommant n le nombre de diagonales soustraites,
az : fz :: 2jy X ni a;
et parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du noyau,
azi tz :: 2np : v/^'^H-/^*-
Déterminons aussi le rapport entre mu , perpendiculaire sur Taxe relative au dodécaèdre secondaire, et la partie au de l'axe comprise entre le sommet et cette perpendiculaire.
i"*. Pour mu. Les triangles semblables msu, dsr^ donnent, cls \ dr ',', sm \ m.u. Or ,
reste à cliercber sm^ ou seulement sa partie dm^ puisque l'autre est connue.
Les triangles sembiables azt^ adm, donnent
azl tz II ad l dm,
Ou,
2 np : s/^+]? ::2p:dm='- s/g^+p^- Donc
Donc la proportion ds : c?/- :: sin '. mu devient
2''. Pour «w. Cherchons su que nous retrancherons de sa.
ds '. rs :* sjn \ su y ou
Donc
Donc 77i?^ : a^^ :: (n-^ i) \/|^^'.^^~ Voi»'' — %'•
10. Soient maintenant b'ain^f'am ( lig. 6) deux faces voisines situées vers le sommet supérieur du dodécaèdre secondaire ^ et tellement choisies, que les arêtes ah\ af' se confondent avec celles qui sont marquées des mêmes lettres ( fig. i ) , auquel cas Farête am (fig. 6), sera celle qui s^élève au-dessus de la diagonale ad (fig. i ).
Etant donné lei demi-diagonales g elp du noyau ^ avec la quantité n des décroissemens, proposons-nous de déterminer i^incidence de b^am (fig. 6) sur fam^
DE CRISTALLOGP.APIÏÏE. 295
€t celle de h'am sur la face qui lui est adjacente de l'autre côté de ahl .
Concevons un plan Vyf ^ qiii soit perpendiculaire sur Taxe ao. Menons Vo^fo^yo^ qui coïncident avec ce même plan \ menons ensuite f r et fp perpendiculaires l'une surj^o, l'autre sur ay^ et joignons les points j9, r, par une droite. L'angle/ pr sera la moitié de celui qui donne l'incidence de b^ ay suv f'ay (i). D'une autre part menons ye , yh perpendiculaires l'une sur h'o^ l'autre sur ab\ puis joignons les points e^ h , par une droite. L'angle y/z^ sera la moitié de celui qui mesure l'incidence de Uay sur la face adjacente à aU (2). On aura donc les deux incidences proposées, en cherchant le rapport entre le sinus y V et le cosinus pr de l'angle /^y;r, et le rapport entre le sinus j^e et le cosinus eh de l'angley^^.
(1) Si l'on conçoit une ligne menée de U enp , elle sera perpendiculaire sur ay, ainsi que /'p , puisque tout est égal de part et d^autre. Donc ap étant elle-même perpendiculaire tant sur Ud que sur f'p , Test aussi sur le plan h'pf^ , et par conséquent sur le plany'pr qui se confond avec le précédent , puisqueyV prolongée irait tomber en b\ Donc pr qui passe par le pied de apserâ perpendiculaire sur elle. Donc puisque fp Test aussi sur cp, l'angle f'pr sera égal à l'incidence de fay sur ayOy c'est-à-dire, à la moitié de l'incidence h'ay iuvfay.
(2) Cela se prouve par un raisonnement semblable à celui que nous avons fait dans la note précédente, relativement à l'angle h'pr. Nous aurons souvent occasion d'employer des constructions de ce genre.
Ayant prolongé gn (fig. 5) jusqu'à la rencontre cle am, nous pouvons supposer, pour plus de simplicilé, que le plan byfo (fîg. 6) soit à la même hauteur que ^^r (fig 5), en sorte que l'on ait ao ( fig. 6) =an (fig. 5) ; dans ce cas, on aura aussi y'o ou ô'o (fîg. 6) =gn ( fig. 5) 5 etj^o (fig. 6) z=nx (fig 5).
Cherchons séparément^ V et pr.
1®. Pour f'r. Il est évident que cette ligne est la moitié de celle qui joindrait les points b%fj et puisque ces points sont censés être la même hauteur que gx , ils coïncident avec les points ô,y*( fig. i) , d'où il suit que/V(fig.6)=/c(fig. i)=g.
^*. Pour yt?r. Les triangles aoy^ rpy (fig. 6) sont semblables, d'après leur position respective jointe à l'égalité des angles aoy et rpy qui sont droits tous les deux. Donc , ay '. ao 'l yrl pr.
Cherchons successivement ay, ao etyr.
«r= Viyo/'-hiaoy. yo:=7ix (%. n ).
au \ mu :i an l nx.
Ou
g -V'9/''— ^^"••(«+ ' Vîg' :: In/o/^ - V
«0=- \'o,if — • 3^"^. Désignons par a , pour plus de sinjplicité , la \ aleur de l'axe, V'gp'' — ^g''- iNous
e. lirons ay^-sj (£^7/3 â' ■+■ ïï^*- ^^"^^ venons de
DE CRISTALLOGRAPHIE. sgS
trouver ao , qiii était la seconde des quantités à chercher. Reste j^r.
L'angle /'or étant de 60^5 et Fangle/Vo de 90^,
Donc la proportion ay \ ao llyrlpr devient
Qn — 1
Donc f '"'•pr','. g:
\/(-^VOV+i-'
Passons au rapport entre le sinusye et le cosinus eh de l'angle j^/ie.
1'. Pourj'^. Nous avons
je=\/çyoy^(o'^, Cro)*=(^-^)V.
d'après le calcul précédent. De plus, à cause de éqx=6o^ etyeo = go^j oe=jyo.
2.*. Pour eh. Les triangles semblables h'oa^ h'he donnent, ab'lao :: h'e\eh.
ao = \^^a* . Ue^^b'o — oç = Vf ^*
-(^)Kï?=[.-G-^:)]v/i?
Donc la proportion aJ} : r/o :: Z>'6 : e/z devient,
'tg'+\
: s/ia' ::
An-
îg^
Vl5'+i«'
Donc
1 1 . Parmi les variétés de la cliaux carbonatéc , il
DE CRISTALLOGRAPPIIE. 297
en existe plusieurs que je ferai coimaitre dans la suite, et qui offrent, vers chaque sommet, six facettes produites en vertu d'un décroissement par trois rangées sur les bords supérieurs du noyau. Mais ces facettes se combinent avec d'autres qui sont dues à des lois différentes de décroissement. Pour appliquer les formules précédentes aux facettes dont il s'agit , il faut
faire /^ = 3, g-=\/^ ^p=i\ 2.
En substituant ces valeurs, on trouvera,
1°. yV'/;r:: V^g! \/o, ce qui donne 79^35^47" pour l'angle //77', et i59'^ii'34'' pour l'incidence de Uam sur f^am.
2**. j^ : eh :: \/2Ô * \/3, ce qui donne 68^ 49' 4^" pour l'angle j/^^, et 137^39^26'' pour l'incidence de h^am sur la face adjacente à ab\
12. Cherchons 5'il y a une loi possible de décroissement pour le dodécaèdre k triangles isocèles, ou composé de deux pyramides droites réunies base à base. Dans ce cas, jo = b'o. Donc aussi nx (fig. 5) = gn j ou bien
(F^oyez 10,2°). Ce qui donne n=2. Donc la chose est possible , en vertu d'un décroissement par deux
rangées.
A Fépoque où j'ai publié la première édition de mon Iraité, je n'avais pas encore rencontré ce cas dans la nature; mais des variétés de chaux carbonatée que j'ai observées depuis en offrent des exemples ,
entre autres celle que j'appelle stènonome ^ et sur laquelle je reviendrai à l'article des formes secondaires composées.
i3. A mesure que l'arête am se relève par son extrémité inférieure, en faisant des angles toujours plus ouverts avec l'axe ^ro (fia. 6), l'angle que fait h'am avec la face adjacente à aU va lui-même toujours en augmentant, et il y a un terme où ces faces se trouvent sur un même plan. Le cristal secondaire devient alors un rliomboïde, dont les diagonales obliques se confondent avec les arêtes ah\ af\ etc.
Pour trouver la loi qui donne ce rhomboïde , j'observe que dans le cas où il a lieu, le cosinus eh s'évanouit. Donc (lo) alors ""^S/ ^^'^' ==0; ou ^ ^ a/i — 1 V 1 sg^a 4- «
simplement n — 1=0. Donc 72=1, ce qui est d'ailleurs évident, d'après ce qui a été dit plus haut. Déterminons les deux demi-diagonales du rhomboïde dont il s'agit; soient g et p ces deux lignes. sm (fig. 5) étant la diagonale obHque du rhomboïde , mu sera la perpendiculaire sur l'axe. Donc
Mais (9, 1°. ) d'une autre part.
mu
Pvemarquons maintenant que dans le même cas la ligne 777^/ est relevée de manière qu'elle se trouve sur la direction de pu. C'est une suite nécessaire de ce
que «7/î est la diagonaie oblique. Donc alors su = is?\
et sm=2sd. Donc 2p=2\/g''+p\ oi\p'= V^g*+P'- CesUà-dire que la demi-diagonale horizontale g est double de celle du noyau, et que la demi-diagonale oblique p' est égale à l'arête du noyau.
Ce cas existe dans plusieurs espèces de substances minérales. Mais jusqu'à présent la chaux carbonatée est la seule qui l'ait offert sans mélange d'aucunes facettes produites par d'autres lois de décroissement. J'ai développé plus haut (pag. 100), à l'aide de la synthèse, la structure de la variété qui s'y rapporte,
et que je nomme éqiiiaxe. Ici ^= v3' Pv^? donc g'z=\/ii^ et p ==- V/'S, ce qui donne pour l'angle obtus de chaque rhombe, ii4^i8'56"; pour l'angle aigu , 65^ 4 ^ ' 4"? ^ouv la plus grande incidence des faces, E34^25'38";pour lapluspetite,45^34'22''; pour les angles de la coupe principale, 139*^23' 5 2'' et 40^36' 8".
14. Concevons maintenant une suite de rhomboïdes qui aient de telles dimensions , que chacun soit susceptible d'être produit par le suivant considéré comme noyau , en vertu de cette même loi qui a pour expression B. Si nous désignons par g et p
les demi-diagonales de l'un d'eux, qui soit compris entre les extrêmes , et que nous appellerons générateur ^ nous aurons deux séries , l'une descendante , composée des rhomboïdes plus petits que le générateur; l'autre ascendante, composée de ceux qui le
5co TRAITÉ
surpassent en volume. Déterminons généralement en fonctions de ^ etp les demi-diagonales de l'un quelconque des autres rhomboïdes compris dans chaque série , le rang de celui-ci étant désigné par r pour la série descendante, et par /-' pour la série ascendante (i).
Soient y et tt les demi-diagonales du rhomboïde dont il s'agit , en supposant qu'il fasse partie de la série descendante. Si r= i , on aura g=.o,y^ d'après ce qui a été dit plus haut (pag. 298). Donc y = ^g. Si r= 2 5 on aura^ par la même raison , y=z^g'^ si r:=:3 , on aura yz=z^g. Donc , en général,
ir^et^^
Maintenant , puisque l'axe est constant, on a
\/g7t'—5y''= V'9p'—3g% ou Stt^ — >' = 3p*— g^ Donc Stt* — 'y^ = 3p^ — g^ j d'où l'on tire
3^^=3p^^l^,^^^ el7.=\/ ^^+-^' -
Supposons que le rhomboïde soit compris dans la série ascendante , et désignant ses demi-diagonales par^' etTr', faisons r' successivement égal à i, 2, 3,etc, Les valeurs correspondantes de ^/'seront 2^, ^gy^g^ etc. ,
(1) M. Malus a fait usage de ce problème dans sa Théorie de la double réfraction (pag. 121 et suiv. ) , et l'a résolu p&r le calcul aux différences finies.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3ci
et en général on aura y' =2^ g. La substitution de cette valeur de ;.^dans l'équation 37c'^ — y^'zz^jp^ — g* donne
et ^' = ^^>+£^^^
Les perpendiculaires sur Taxe suivent le rapport des demi-diagonales y et y' , en sorte que l'on a généralement V V? = ^Vli^ et v/^= 2^ \ V.
Si dans les équations y=: —^ et vr =\/ p^-J- -7^~^*
relatives à la série descendante, on suppose r infinie, la valeur de y devient infiniment petite , et comme
l'unité s'évanouit dans la fraction ~7^—~ , la valeur
de TT se réduit à \/p^ — ^g'' ou \j ^ -z^— ? q^i i'^" présente le tiers de l'axe, dont l'expression est
d'où il résulte que , dans ce cas , la diagonale oblicjue se confond avec l'axe , en sorte que le rhomboïde ^e trouve converti en une aiguille dont la longueur surpasse infiniment l'épaisseur.
D'une autre part , si dans les équations
'=2^^,et7r'=v/p^ + ~
yp'-^—^ë^
3c 2 TRAITÉ
qui se rapportent à la série ascendante , on suppose r infinie 5 la valeur de y^ devient elle-même infinie, et les quantités j7* et — i s'évanouissant dans la valeur
de 7i\ on a y ; tt' :: 2'^ : \J -^ g'W \JV* i \ c'est-ù-dirc
que le rhomboïde qui répond à cette limite se réduit à un simple plan qui s'étend à l'infini, et que les angles qui représentent ceux du sommet , et qui se trouvent sur le même plan, sont cliacun de i20'^
Dans la chaux carbonatée, le rhomboïde que j'ai nommé équiaxe offre le premier terme de la série ascendante; je prouverai dans la suite que le rhomboïde binaire du fer oligiste donne le second terme,
rsous trouverons aussi les deux premiers termes de la série descendante dans les variétés de chaux carbonatée appelées inverse et contrastante. Tous ces rhomboïdes nous fourniront diverses applications d'un problème qui est lié au précédent, et dont le but est de déterminer la loi de décroissement , en vertu de laquelle le générateur produit immédiatement un rhomboïde quelconque appartenant à l'une das deu\ séries, et dont le rang r ou / est donné.
î5. Il me reste à démontrer diverses propriétés géométriques qui dérivent des décroissemens sur les bords supérieurs, et qui sont tellement liées entre elles, que l'une étant donnée, les autres en deviennent la suite nécessaire. Mais il faut auparavant indiquer la position d'un solide que l'on peuJt toujours concevoir comme inscrit dans la forme secondaire
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3o3
qui présente ces propriétés, et auquel uae partie d'entre elles se rapportent.
Soit sz (fig. 7) un rhomboïde aigu faisant la fonction de nojau , et soit sz ( fig. 8 ) un dodécaèdre à triangles scalènes produit en vertu d'un décroissement sur les bords supérieurs de ce noyau, de manière que s/i , 5772 , soient les lignes de départ qui répondent à scij se (fig. 7) et ainsi des autres. Si l'on fait passer des plans, l'un par les arêtes Ih, Im ( fig. 8 ) , un second par les arêtes jnl , mn ; un troisième par les arêtes ttz/z, 7zo, etc., ces plans, au nombre de six , intercepteront un rhomboïde que nous désignerons par le nom de rhomboïde hypothétique, pour le distinguer du noyau. Cela posé, voici l'énoncé du problème à résoudre.
Tout rhomboïde aigu dans lequel le rapport de g^ àp*est rationnel, est susceptible de produire, en vertu d'une loi de décroissement sur les bords B , laquelle dépend du même rapport , un dodécaèdre 5:1 ( fig. 8 ) qui réunira les propriétés suivantes :
1°. La plus petite incidence de deux faces de ce dodécaèdre, telles que hsl^ hsr sera égale d'une part à la plus grande incideiice de deux faces du noyau, telles que sabc , ahzf ( fig. 7 ) , et d'une autre part à l'angle plan obtus hlm du rhomboïde hypothétique.
2°. L'incidence de deux faces adjacentes telles que? hls^ hlz^ prises vers les deux sommets du dodécaèdre, sera égale d'une part à l'angle plan obtus sab ou saf (fig. 7) du noyau, et d'une autre part i) la plus grande
3c4 TRAITÉ
incidence de deux faces du rhomboïde hypotlié-'
tique.
16. Démontrons d'abord qu'il y aura toujours une valeur rationnelle de l'exposant n du décroissem.ent , qui satisfera à la condition que la plus petite incidence des faces du dodécaèdre soit égale à la plus grande des deux faces du noyau.
Soit pceg (fig. 9) une coupe transversale de ce noyau, menée par le point p (fig. 8) , pris à volonté sur la ligne sm^ qui coïncide, comme nous l'avons dit 5 avec un des bords supériem^s du même noyau ^ et soit px (fig. 9) la section du prolongement du rliombe pceg sur le j^lan du triangle 5772/ (fig. 8 ). Soilpfdle triangle mensurateur, qui sera semblable au triangle pcx. Désignant par r la dimension qui , sur la molécule, répond au côté du rhombe pceg , nous aurons pf'*fd l'.jiX ri rlln' i.
De plus , si nous menons cz perpendiculaire sur pg, pz sera le cosinus de la plus petite incidence des faces du noyau, lé rayon étant représenté par cp. Donc cp ' pz II 2 p"" l p" — g^. Or, les triangles czp et pdf oiipxc^ sont semblables : car l'angle epx qui mesure la moitié de la plus petite incidence des faces
du dodécaèdre , étant par l'hypothèse égal à - — , on
aura, en retranchant d'une partc/;^, et de l'autre jc/?^", epx — cpe , ou cpx-= ^{pce — cpg. ) D'une autre part, l'angle droit ecz étant la demi-somme des anglespc^ et cpgj qui sont complémens Fun de l'autre ^ l'angle
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3o5
pcz en sera la demi-diffërence. Donc
pcz-=z'~{pce— cpg) =cpx.
D'ailleurs, cpz=pcx, à cause des parallèles p^, ex', donc les triangles czp et pxc étant semblables, nous ' aurons cpicx ou pflfd:: cpipz', et m i :: 2p^:p^--g^^
ce qui donne 72= -^l-^. et ainsi la première propriétè est démontrée possible, d'une manière d'autant plus remarquable, que la valeur de n se trouve représentée par le rapport rationnel entre le rajon et le cosinus de la plus petite incidence des faces du noyau.
Il résulte de la démonstration précédente , que chacun des triangles du dodécaèdre, par exemple celui qui coïncide avecj^x, est perpendiculaire sur la face du noyau adjacente à celle sur laquelle nait le décroissement qui donne le triangle dont il s'agit, c'est-à-dire sur celle qui est dirigée suivant pg.
La formule fait connaître que la propriété qu'elle représente ne peut avoir lieu qu'autant que p est plus grand que^, c'est-à-dire que le noyau est nécessairement un rhomboïde aigu. La hmite de celte prrpriété répond au terme ohp étant égal A ^, le rhomboïde devient un cube. On a alors n— '-^, quantité infinie, ce qui indique que les faces du dodécaèdre se confondent avec celles du noyau cubique.
17. L'égalité suivante est celle qui a lieu entre l'incidence des mêmes faces hsl, hsr, et l'angle plan
3o6 TRAITÉ
obtus hhn dvi rhomboïde hypothétique. Désignons par g\ p, les demi-diagouales de ce rhomboïde. L'iucideuce de hsl, hsr étant égale à la plus grande des feees du noyau , ou à l'angle pce , comme nous venons de le prouver, et le rapport du sinus py au cosinus cy de la moitié de cette dernière incidence étant celui de v/3//— ^' : \''W+?^ '« problème sem résolu, si , dans riiypolhèse de n — ^-. on a
Supposons deux perpendiculaires menées sur l'axe du dodécaèdre sz (fig. 8), l'une d'un des angles latéraux supérieurs, tel que m, An rhomboïde liypothetique , l'autre de l'un de ses angles latéraux inférieurs, lel que ,-. U est facile de concevoir que la partie de l'axe qu'elles intercepteront sera égale au tiers de l'a.xe du rhomboïde hypothétique. Servons-nous de la fioure 5, relative au.x décroissemens sur les bords supérieurs, en supposant que la coupe principale adsg du noyau appartienne, comme dans le cas présent , à un rhomboïde aigu. Les points p, m , étant les analogues des points m, r (fig- 8), hu (fig. 5, représentera le tiers de l'axe du noyau hypothétique, et l'on aura
D'une autre part ,
Donc
Ajoutant chaque antécédent à son conséquent, et divisant les deux nouveaux conséquens par 3 ,
et mettant à la place de n sa valeur — ^'— ,
:: {3p^-^g^)gK ^4+ (3p^^g^)Lg^ :: 3//-^- 1^^
Donc, g':p' :: ^3^^"!^^ y/'^^W^, ce qu'il fallait trouver.
Puisque Fangle hlm ou />^rest égal en même temps à Tanglepc^ (%• 9)5 et à celui que font entre elles les fac^s ksi, hsr (fig. 8), il résulte de cette dernière égalité , que Tarête hs est perpendiculaire sur le plan auquel appartieni Fangk Ihr, d'où il suit encore que les angles ski, shr, et les autres semblablement situés sont droits. Ainsi , tous les dodécaèdres renfermés dans la formule nz=i-^^^ ont cette autre propriété
remarquable, que leurs faces sont des trianoles rec-
5o8 TRAITÉ
tangles. Par une suite nécessaire, les faces du dodécaèdre , telles que hsl^ hsr , font des angles droits avec la face du rhomboïde liypothétique qui leur est adjacente, c'est-à-dire, dans le cas présent, avec celle que termine l'angle Ihr. On voit ici reparaître , dans la relation entre les faces du dodécaèdre et celles du noyau hypothétique, la même incidence perpendiculaire qui a déjà été observée dans les positions respectives des faces du dodécaèdre et de celles du noyau.
i8. Passons aux analogies qui dérivent de l'incidence des faces hls^ hlz^ prises vers les deux sommets. Cette incidence est d'abord égale à l'angle plan obtus sah^ ou ««/(fig. 7) du noyau, et cela par une suite nécessaire de ce que les angles shl^ shr (fig. 8), sont droits. Pour le prouver, d'un point quelconque x de l'arête hl^ je mène les lignes xt^ xyy perpendiculaires sur cette arête , et couchées sur les faces shl , Izh. L'angle ski étant droit , tx est parallèle à hs^ qui coïncide avec le bord supérieur as du noyau (fig. 7). Par la même raison, xy (fig. 8) est parallèle à h , qui coïncide avec le bord inférieur bz du noyau ( fig. 7 ). Mais bz est parallèle à af., donc xy ( fig. 8) est aussi parallèle à «/ ( fig. 7 ). D'ailleurs tx (fig. 8) est parallèle à as ( fig. 7 ); donc l'angle ixy (fig. 8 ) est égal à l'angle saf{fig. 7).
Pieste à prouver que l'incidence de hls sur hlz est aussi égale à la plus grande incidence des faces du liiomboïde hypothétique. Désignant par s le siiuis
de la moitié de rincidence de hls sur hlz ^ et par c le cosinus, nous aui^ons, d'après ce qui vient d'être dit^
La question se réduit donc à promer que l'on a
d'une autre part p:g\\ Vg^'+F^ * \/3p'*— ^'% puisque ce dernier rapport est celui qui a lieu entre les demi -diagonales de la coupe transversale du noyau hypothétique.
Nous avons eu plus haut ^
ou ^^:p'^::Zp^^g^:g^+p\
Or, il est facile de transformer cette proportion en celle que nous cherchons. Car, ajoutant chaque conséquent à son antécédent , nous aurons
et retranchant les antécédens des conséquens,
Donc p :g :: Vg'+p"" • \/^P^—g'% ce qu'il fallait trouver.
Ce résultat comparé à celui d'où nous l'avons dé-
duit, et qui donne g' : p' Il \/3p* — g^ : Vg^^+p"" ? nous fait connaître que les angles plans du noyau sont égaux aux angles saillans du rhomboïde hypothétique , ou à ceux de sa coupe principale et réciproquement, ce que l'on exprime en disant que
chacun des rhomboïdes est l'inverse de Faulre. Cette
inversion est donc aussi une propriété inhérente à la
valeur de 7Z, et offre une nouvelle preuve de
sa fécondité. Je traiterai directement , dans la suite , de ces sortes d'inversions , dont plusieurs rhomboïdes de chaux carbonatée ofîrent des exemples.
ig. Je n'ai observé jusqu'ici aucun dodécaèdre produit en vertu d'un décroissement sur les bords supérieurs d'un rhomboïde aigu, qui réaUsàt complètement les résultats démontrés précédemment. Nous verrons cependant que parmi les formes secondaires originaires du tétraèdre régulier , dont la cristalhsation rentre dans celle du rhomboïde , il en est une qui participe des propriétés d'où dépendent ces résultats. De plus , nous ferons connaître un dodécaèdre de chaux carbonatée , qui ne diffère de celui dont il s'agit ici , qu'en ce que le rhomboïde que nous avons considéré comme le noyau , et celui que nous avons nommé hypothétique, y changent de rôle, de manière que le décroissement qui donne le dodécaèdre a lieu sur les bords inférieurs du second rhomboïde.
