Décrois s eTUsns sur Vangle supérieur

20, Ces décroissemens donneront constamment es rhomboïdes pour formes secondaires. Continuons de nous servir de la fignre 5, dans laquelle ao représentera la diagonale oblique d'une des faces du

DE CRISTALLOGRAPHIE. Si i

rhomboïde secondaire, et 50 l'arête coniiguë de cette diagonale, en sorte que si du point o on mène une perpendiculaire sur l'axe, elle coïncidera avec cir. puisque le point o doit être situé vis-à-vis le tiers de Taxe. De plus, atz qui, dans le cas précédent, remplaçait le véritable triangle mensurateur, deviendra ici d'un usage direct; et la quantité n désignera toujours le nombre des diagonales soustraites, avec la différence qu'il faudra doubler ce noml3re pour avoir celui des rangées soustraites,

2 1 . Proposons-nous d'exprimer d'une manière générale les valeurs des deux demi- diagonales ^' et p' du rhomboïde secondaire, en supposant que Ion connaisse ^, p et n.

Nous avons d'abord

or: a,-:: V V : ! V V' - 3s'*-

Et parce que les expressions de jnu et au restetit les mêmes que dans le cas des décroissemens sur les bords supérieurs (g, i"*. et 2''»]

or : ar:: mu : au :: (ji+i) vli":— :r-V9P'—%*

Mais l'axe du rhomboïde secondaire est le même que celui du noyau; donc la proportion précédente devient, toute réduction faite, (77+ i)g*2n — î ::g^:2.

ou 1 on tu'c e = 2£ — ■ — -.

3i« TRAITÉ

Maintenant, à cause de l'égalité des axes ,

3/'-§-'"=3p"— g'; ou, 3p"=g'"+3p'-^»; donc aussi ,

/>'=v/^r(^î)'+P'-ir'

22. Supposons que le décroissement ait lieu par deux rangées , et que le noyau soit le rhomboïde du fer oligiste, représenté (fig. lo), dans lequel g=: \/g

etp= V^Oj ce qui donne 87*^9', pour l'incidence de deux faces prises vers un même sommet. Oh aura 7z=i , et la proportion deviendra

J'appelle y^r oligiste biriaire la variété qui offre ce résultat. L'incidence de deux faces 5, 5 (fig. ii), prises vers un même sommet A' est de i44^ 5 et celle de 5 sur la face adjacente du côté du sommet inférieur est de 56^.

Quelquefois le décroissement s'arrête, avant d'avoir atteint sa limite. Alors les faces produites par ce décroissement se réduisent à des triangles isocèles, «,5,5 (fig. 12), et il reste sur le cristal des faces P, P , P , parallèles à celles du noyau, et qui sont aussi des triangles, en supposant la forme ramenée à sa limite géométrique. Cette variété porte le nom de

fer oliglste rhomhoïdal. L'incidence de s sur P est de 144*^8' (i).

2.5. Si l'on fait 72=2 , auquel cas le décroissement aura lieu par quatre rangées, on trouve g' = '2g etp'= V^M-p"- Or ce rapport est aussi celui des demi-diagonales d'un rhomboïde secondaire qui résulterait du décroissement B, autour d'un noj^au

dont les demi-diagonales seraient g et p. Concluons de là que dans la série des rhomboïdes que nous avons considérée plus haut , et dont chacun est susceptible d'être produit par le suivant, pris pour noyau, à l'aide de la loi B, le même résultat peut

aussi avoir lieu en vertu de la loi A. Nous verrons

souvent reparaître, dans le développement de la théorie, ces doubles solutions d'un même problème , dont plusieurs sont réalisées par la cristallisation. Mais celle qui vient de nous occuper est jusqu'ici purement hypothétique.

(1) Pour avoir cette incidence , on fera attention qu elle est égale à la somme des angles amu (fig. 5) et dkn^ dont l'un mesure l'inclinaison de 5 (fig. la ) sur un plan horizontal qui passe par la base du même triangle , et l'autre celle de P sur le même plan. Le rapport de mu à ou que nous avons déterminé plus haut (pag. 3i 1 ), donnera la première inclinaison, et l'on aura la seconde en cherchant d'abord VsLu^leakn, d'après le rapport de kn à an , ou de^ à V^5/)* — ^^^ et^n-prenant ensuite le supplément de cet angle.

24. Faisons /2=|, ce qui est le cas d^iin décroissement par une rangée. La foruiule

deviendra jo' =\/|^' X | +p* — jg% ce qui signifie que la diagonale oblique ao (lig. 5) est ellemême infinie, et que par conséquent la face sur laquelle elle tombe est horizontale (i). Ce cas a Heu

(i) La construction suivante aidera à concevoir ce que signifient ces sortes de rapports que l'on dit être infinis lorsqu'ils expriment une quantité finie divisée par zéro , et infiniment petits dans le cas contraire. Soient nm, ec (fie:;. i4) , deux parallèles qui tombent à angle droit ou autrement sur une droite cp. Par un point d pris à volonté' sur n/n , menons odf qui fasse un angle quelconque avec cp, puis menons db parallèle à cette dernière ligne. Faisons ab^^x^

èd:=a, dmr=g. Nous aurons x \ a V, g 'J^ — -^- Si nous

supposons maintenant, que la ligne adf restant fixe par le pointe?, s'abaisse par son extrémité a, de maJère à prendre successivement la position odp, et d'autres positions qui soient telles, que le point o tende continuellement vers le pointa, la ligne a J/'approchera de plus en plus du parallélisme avec cp^ qui est la limite de toutes les positions dont il s'agit. En même

temps dans l'équation /m =-^, la quantité fm ira en crois-

iant, et la quantité x diminuera. Or, lorsque x s'évanouit,

anquel cas l'équation devient fin ^= —^ , le point a se confond

avec le point b , et^la W^ne fm est infinie , puisqu'elle ne peur

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i5

dans la chaux carbonatée, le corindon , le fer oligiste, la tourmaline, etc. Alors, ou bien il se fait un second décroissement d'où résultent des faces latérales dont les intersections limitent la face supérieure , ou bien il reste des faces parallèles à celles du noyau.

Le fer oligiste , entre autres , offre un exemple de cette dernière modification dans la variété que je nomme fer oligiste basé y et qui est représentée (fig. 1 5). L'incidence de P sur la surface o qui fait la fonction de base, est de 128^ i4'(0-

25. Si nous supposons que la ligne ao (fig. 5), qui représente en général la diagonale oblique des rhomboïdes secondaires produits par un décroissement sur l'angle supérieur du noyau, dépasse la limite qui répond à /2=^, et qui donne une face perpendiculaire à l'axe, elle se rejettera du côté opposé à celui où naît le décroissement, en prenant une position telle que ap (fig. i5). Les faces du

plus rencontrer la Hgne a/*, qui lui est devenue parallèle , e:i atteignant la limite de ses positions. On voit par là dans quel

sens on doit entendre qne le rapport ~ représente une quantité infinie. C'est sous ce point de vue que la diagonale a» ( fig. 5 ) du rhomboïde secondaire étant devenue parallèle , dans le cas que nous venons de considérer, à la ligne or , qu'elle rencontrait jusqu'alors, doit être considérée comme une quantité infinie.

(1) Elle est le supplément de l'angle alm ( lig. 5), dont la détermination est facile , d'après ce qui a été dit plus haut.

5iS TRAITÉ

iliomLoïde secondaire seront tournées alors vers les arêtes ag du noyau, au lieu de correspondre à ses diagonales obliques, comme dans les cas précédens. Je donne à ce mode de décroissement le nom de décroissement inverse y pour le distinguer de celui dont la figure 5 représente FefFet, et que j'appelle décroissement direct.

Dans le cas présent , le décroissement inverse , s'il est simple, sera toujours du nombre de ceux que l'on nomme décroissement en hauteur y ou s'il est mixte^ le nombre de rangées dont il déterminera la soustraction dans le sens de la hauteur, sera toujours plus grand que le nombre de rangées soustraites en largeur. C'est une suite nécessaire de ce que n est plus petit que \. Donnons aussi la manière de calculer les eflfets des décroissemens dont il s'agit ici.

.26. Soit azt (fig. i5) le triangle mensurateur. Si Ton prolonge ta au-dessus de ag , la ligne ay coïncidera avec la diagonale oblique du rhomboïde secondaire dont la coupe principale est apsk.

Ayant prolongé sg jusqu'à la rencontre de ap menons yu perpendiculaire sur l'axe as, 11 faut avant tout déterminer le rapport entre uy ^\. au.

Cherchons d'abord uy.

Les triangles semblables sgm^ syu donnent

sg=^2p. sy^=^sg-\-gy. Cherchons gy,.

L^s triangles semblables atz , ayg donnent

az'-tzy^gv '" ag 5

ou :ipXn : \/g^+p^\\gy\ \4"+/^^

Donc gyz=^inp'^ donc 5}^=2p+27Zj7.

De plus, §771= \/|§^

La proportion devient donc ,

np : 2p+2np :: y/fg^ : ^(r = (/2+ 1 VIF-

Pieste à trouver au.

Or au = as — us = V 9/?* — ^)g^ — us. Cherchons us. Les triangles semblables sfng^ sujy donnent sg ', sy y* sm ; us -^ ou

Donc us= — r.— \/a'^ ; donc

donc r/jr : «^ :: ( /z+ I )\/îg^, : ^^ v^^".'

27. Déterminons maintenant d'une manière générale les valeurs des deux demi-diagonales g' et p du rhomboïde secondaire. Il est d'abord évident que dans ce rhomboïde Im est la demi-perpendiculaire sur l'axe, et am est le tiers de cet axe; et parce

(1) La quantité a dérigiie Taxe du noyau.

3i8 TRAITÉ

que ml et am sont proportionnelles à uy et au^

nous aurons

Si l'on supprime les valeurs des axes qui sont égaux , et que l'on simplifie les autres quantités , la proportion devient, 2^(/2+ i)* i — 27z ::^'ii ; d'où l'on tire

Maintenant, à cause de l'égalité des axes, on a

OU

28. Les mêmes rhomboïdes qui résultent d'un décroissement direct sur l'angle supérieur , et dont les faces sont tournées vers les diagonales obliques du noyau, sont encore susceptii^les d'être produits en vertu d'an décroissement inverse, de manière que leurs faces correspondent aux arêtes du noyau. Cherchons une formule à l'aide de laquelle étant donnée la loi relative à l'un de ces rhomboïdes , on puisse connaître celle d'où Fautre dépend. Soit toujours n le nombre des diagonales soustraites dans le décroissement direct j désignons par Ji le nombre correspondant pour le décroissement inverse. Si l'on

compare les formules qui expriment, relativement aux deux rhomboïdes, les demi-diagonales^' etp', on verra qu'elles ne diffèrent que par le facteur qui

renferme la quantité «, et qui est d'une part ( — — J ,

et d'une autre part (—^ — 7) , n' devant être substitué à n dans la seconde. Donc puisque les diagonales sont égales , on aura