Dêcroissemens sur les bords inférieurs

3o. Les solides secondaires qui naissent de cette espèce de décroissement sont toujours des dodécaèdres à faces triangulaires scalènes, dont un des côtés se confond avec une des arêtes latérales bd^ df^fq 5 etc. (fig. I ) du rhomboïde primitif.

Soit afZ^^ ( fig. i6) la coupe principale de ce rhomboïde, pu l'axe du dodécaèdre secondaire , y^^, du deux arêtes contiguës de ce dodécaèdre. Soit dho le triangle mensurateur, dans lequel ho sera égal à une arête de molécule ^ et dh k autant de diagonales obliques de molécule qu'il y aura de rangées soustraites. Soit n le nombre de ces diagonales, p' la moitié de l'une des mêmes diagonales, et g' la moitié de la diagonale horizontale.

Nous aurons ho:= \^§''-\-p'' et dh:=.'mp .

3i. Déterminons d'abord la partie ap de l'axe du cristal secondaire, ou la quantité dont cet axe dépasse de chaque côté celui du noyau.

Ayant prolongé ga jusqu'à la rencontre de dp , nous aurons les triangles semblables pal^psd^ qui donnent ds \ps \\ al\ ap.

Or, \\ ds =:\^^^y.

2*. ps=- ap 4- as = ap + s/op'' — 3§ ^

3". Pour al. Les triangles semblables dho , dal , donnent dh : oh :: ad : al.

Ou 2.p': V^^+jr'::ap:al=l \/^^..

32a TRAITÉ

Et parce que les dimensioDS des molécules sont proportionnelles à celles du noyau , on aura , en substi-

e-^-fp^ ^'^4-p'^ tuant le rapport - — -^-^ au rapport ' ~- ,

Donc la proportion ds Ipsllal : cip devient

D'où l'on tire op = ' V9P* — %*•

32. Déterminons maintenant les incidences resj)ectives des faces du dodécaèdre, aux endroits des arêtes contiguès aux sommets. Soit as (fig. 17) le noyau 5 et bpcl^ ^^Pf^fP^J trois des faces du dodécaèdre. Menons la demi-diagonale horizontale de du rhombe dfqs, puis ayant prolongé ^t?/", menons dk perpendiculaire sur ce prolongement , et joignons les points A', e, par une droite. L'angle dke mesurera la moitié de Fincidence de dpf sur fpq.

D'une autre part, menons la demi-diagonale horizontale/c du rhombe abdf, puis^k perpendiculaire sur dp, et joignons les points c, js, par une droite. L'angle fzc mesurera la moitié de l'incidence du tnangle^j^fZ sur bpd, et il est facile de voir que cette incidence sera toujours plus grande que la première.

Cherchons d'abord de et ek.

11 est évident que de=g. Reste à trouver eh.

Soit pg (fig. 16) l'arête qui passerait par les

DE CRISTALLOGRAPHIE. SaS

mêmes points (fig. 17), et qui sera égale à /?/. Menons ^jK.(fig. 16) perpendiculaire sur le prolongement de pg^ et par le milieu e de sg une autre perpendiculaire ek sur le même prolongement. Celle-ci sera la même que ek ( fig. 1 7 ) , et nous aurons sa valeur , au moyen de celle de sy qui en est le double. Les triangles semblables png , pys , donnent

pglgnWpslsy,

1'. Pour j^g-. Nous avons /7^= V'(p/^/^-(g/^)^

'"^' y/sp'-^t (30-

2"*. Connaissant déjà gn , cherchons p^. Or ^5=«;?-f-a5 = ^-^\/a" + \/a* = ^-j/;?. Donc, la proportion pglgnllpslsy devient

n / 4ay^

V (3,7Il-3)«" + t.-''

Prenant donc la moitié de cette expression pour la

valeur de eA: (fig. 17) , nous aurons

de : ek :: û' :

Cherchons aussi fc et cz. ,

fc=^g. Reste à trouver cz.

Du pomt a ( fig. 16 ) pris à l'extrémité de l'axe, et du point c pris au milieu de ad, menons ax et cz toutes deux perpendiculaires sur dp. cz sera la même ligne que fig. 16 , et ax en sera le double.

Or, les triangles semblables /?rrf,/?xa donnent

dp l drll ap l ax.

dr et ap étant déjà connues, il ne faut plus que che relier dp.

Nous avons dp= \/(^pry^{^clrY.

Pr=ap + ar=~ V^ + î V^^^^ "sf ^3 V"^^ {pqyez 3i ).

Donc la proportion devient,

Prenant la moitié de la valeur de ax , nous aurons cz

(fig. 16); et

fc .cz ..g. Xy 75;;+-r

33. Déterminons encore l'incidence de l'une quelconque dpfÇû^. 17) des faces situées vers l'un des sommets , sur la face adjacente, de l'autre côté de df^ vers le sommet opposé.

Soit abcdÇfi^. 18) la coupe transversale du noyau, et bzx le triangle mensurateur. Du point x abaissons xm perpendiculaire sur la diagonale bd^ et par le point z menons zt perpendiculaire sur xm. Soient g\ p les demi-diagonales qui , sur la molécule , répondent kbo et <^o , et soit r la dimension qui , sur la même molécule, répond à ab. Nous aurons bz=-nr\-r^ et xz'=^r-=.sz\ de plus st ou tx-=p^ et tz^=g' ; et il est facile de voir que l'angle xbm mesurera la moitié de Fincidence chercliée. La question se réduit donc à trouver le rapport entre le sinus mx et le cosinus bm de cet angle.

Les triangles semblables ^5772 , tsz donnent bslszllmslstj ou, bs:2sz::7ns:2st et bs-^-^sz^ ou bz-\~sz', 2SZ :: jns-{'2st ou mx l 2sf. Donc /2r+ r : 2r : : jnx l 2p\ ou tz + i .* i : : mx ', p. Donc 7nxz=.{n+ I )p . D'une autre part, les mêmes trianr gles donnent bs Isz : : bm ', tz^elbz — sz ou

727' — r'. r : : hm l g' ; ou , 7z — i .' i ! : bm .' g^. Donc hm = {n — i)^'. Donc mx ', bni '. \ (n-\- i^p : [n — 1)^'> 34. Voici une autre manière de parvenir au même résultat. Ayant prolongé xz jusqu'à la rencontre h de bd^ j'observe que mx contient autant de fois p' que xz ou r est contenu de fois dans hx. Mais

hx:=hz'\- xz:=^bz-\-xzz=nr-\-r:=^(ji-\-i)r.

Donc mx=^{n + i)p. D'mie autre part, bm contient autant de fois g que r est contenu de fois dans 65 j maisè5 = Z>z — szziz.nr — r-={n — i)r.

Donc bm z=.{n — i )^'.

Donc 772 jc : bm : : (72+ i)p' : (72 — i)^'.

Or 5 les formules relatives aux propriétés générales des rhomboïdes (p. 285 ) donnent

d'où l'on conclura que

772;c : ^772 :: (^+ i)v/3p^— g^* : (72 — Os/^'+P*-

35. Avant d'appliquer les différentes expressions que nous venons de trouver, je vais démontrer plusieurs propriétés générales relatives au mode de décroissement que nous considérons ici.

La première consiste en ce que le rapport des solidités du solide primitif et du dodécaèdre secondaire 5 est le même que celui des axes , quelles que soient d'ailleurs les valeurs de y? et de ^.

Pour le démontrer , faisons passer un premier plan

par clps 5 et un second par spf', ces deux plans joints à dpf et dfs intercepteront une pyramide triangulaire, dont nous supposerons le sommet en/, d'où il suit que la base sera dps.

D'une autre part, nous aurons dans le rhomboïde une pyramide correspondante , dont les faces seront dasj safy daf et dfs. Supposons de même le sommet en /; la base sera das. Or cette base est à la base dps de la première pyramide comme

as \jJsM a\ a-i a.

Donc puisque les deux sommets se confondent , les^ solidités des pyramides seront entre elles dans le rapport des mêmes quantités. Mais la partie du dodécaèdre dont il s'agit ici est composée de six pyramides, ainsi que le rhomboïde. Donc la solidité du rhomboïde est aussi à celle de cette partie , comme

Donc si l'on désigne par d^ l'excès de cette même