partie sur le rhomboïde , la solidité de celui-ci sera

h. d^',\a\a a — a ou Wa", «. Or, la soli-

dite du dodécaèdre entier est a+2cZ*j donc celle du rhomboïde est à celle du dodécaèdre

et il est facile de voir que ce rapport est aussi celui des axes.

Ce même rapport réduit à sa plus simple exprès-

sion 3 est — — - , d'où l'on voit que pour avoir sa valeur numérique dans chaque cas particulier, il faut diviser l'exposant de la loi du décroissement, diminué d'une unité, par le même exposant augmenté d'une unité.

36. Voici une autre propriété dont la détermination est le sujet d'un problème qui peut être énoncé de la manière suivante : Tout rhomboïde obtus , dans lequel les carrés des demi-diagonales g et p sont en rapport rationnel , peut être transformé , à l'aide d'un décroissement sur les bords inférieurs , dont la mesure dépend des valeurs de g etp, en un dodécaèdre dans lequel le grand angle pfd de chaque face est égal au grand angle bafàxx noyau, et la plus pelite incidence de deux faces voisines, telles que dpf^ gpf est égale à l'incidence de deux faces situées vers un même sommet du noyau, telles que bafd , gafq.

Remarquons d'abord que l'égahté des angles plans et celle des angles saillans ou des incidences, sont tellement liées entre elles , que l'une ne peut exister sans l'autre. Car les angles dfp , gfp , par exemple , étant égaux à l'angle dfq , il en résulte que les trois faces dpfy qpf^ ^fil^i dont les deux premières appartiennent au dodécaèdre , et la dernière au novau .

noyi

ont la même situation respective que celles qui se réunissent vers lui même sommet a du noyau , et par conséquent l'incidence de dpf sur qpf^ est la même que celje de deux faces quelconques prises

DE CraSTALLOGRAPHîE. 029

autour du sommet a. Cela posé , nous pouvons faire dépendre la solution du problème de cette seule condition , que l'incidence de dpf sur dfqs , soit égale à celle de ahdf sur la face située le long de ah derrière le rhomboïde.

Soit amhl ( fig. 19) la coupe transversale de ce rhomboïde, prise par un plan qui en partant du point a, coupe perpendiculairement Faréte df. Ayant prolongé Z<2, menons my ^ de manière que l'angle ymh soit égal à mal ou mhl , auquel cas my sera sur la direction de la face dpf {^^. 17), en sorte que l'angle j^m/z t^fig. 19 ) représentera l'incidence de ^/(fig- 17) sur dfqs ^ et Fangle mal (fig. 19) celle de abdf[û^. 17) sur la face dont ab fait la jonction avec ce rhombe. Or, my et hl étant inclinées de la même quantité entre les parallèles hm, Z;^, on a 77iy=kl=am. Menons 772^ perpendiculaire sur ay ^ et qui la divisera en deux parties égales. Les formules générales relatives à la valeur du cosinus de la plus petite incidence respective des faces d'un rhomboïde , dans lequel g'' et p^ sont des quantités rationnelles (6, 2°. ) , donnent

772a \at:: 2p : g — p

donc 7na lay II 2/?* : 2^* — 3^/ :: p* l g'* — p*. Soit mbc le triangle mensurateur ; désignant par n le nombre de rangées soustraites, et par /'la dimension qui j sur la molécule , répond à m,a , nous aurons

mb\hc::n>c^r\r:\ ma \ ay Wp"'. g"- — p*^

o3o TRAITE

D'où Fou tire, n\ i ::// : g" — p* , et 72 =

c'est-à-dire que la valeur de zz est la moitié du rapport entre la ligne am prise pour rayon, et le cosinus de l'angle amh.

37. La propriété dont il s'agit ne peut convenir qu'à un rhoniboïde obtus, en sorte que sa limite répond au cas où le noyau est un cube. Alors ^=j?,

et 7z = — , quantité infinie.

Passé cette limite , l'égalité ne peut subsister entre les angles d/q^ dfp et qfp{^^- 17), sans que les faces du dodécaèdre ne s'abaissent en dessous de celles du rhomboïde. Pendant ce mouvement , celles qui étaient les moins inclinées, telles qiiepfdjpfq continueront de faire entre elles des angles saillans , égaux aux incidences des faces prises vers un même sommet sur le rhomboïde ; mais les plus inclinées y .telles que pfd^pbd, feront entre elles des angles reatrans, en sorte que la supposition présente sort des bornes entre lesquelles sont renfermées les lois de la structure qui excluent ces sortes d'angles dans les cristaux simples. •

38. On parviendrait au même résultat, en partant de l'observation que Fanglti dke f fig. 17 ) doit être égal à l'angle mar (fig. 19), dans le cas de la propriété dont il s'agit , le premier étant la moitié de l'incidence relative aux faces du dodécaèdre, et le second étant la moitié de celle qui a lieu pour les

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3oi

faces du noyau ; et parce que l'on a mr=cle^ïi^. 1 7^ on aura aussi ek = ar ( fig. 1 9 ) ; or ,

am Donc ar ou

v(ïSF>.-T=^/iel.^.=^/|tl^.

Donc, pour résoudre le problème, il suffira d'égaler cette valeur à celle de ek , qui est

(S)+ir

Substituant dans celle-ci gp"* -^ 3^* à la place de a*,. et faisant les opérations convenables, on trouve

comme ci-dessus. Mais «ette solution est beaucoup moins simple que la première.

39. L'espèce de décroissement qui nous occupe a fourni le sujet d'un autre problème qui ne diffère que par le générateur auquel il se rapporte, de celui dont la solution nous a servi à développer les propriétés du dodécaèdre sz (fiii;. 8). Dans ce dernier solide, le noyau est le rhomboïde dont les faces se confondent avec les plans hsin^ rnso, osh , etc. , et le décroissement a lieu sur les bords supérieurs de ce noyau.

L'autre rliomboïde dont les faces coïncident avec

les plans hlm , mno^ orli , etc., a élé considéré comnip n étant qu'hypothétique. Ici les lois de la structure suivent l'ordre inverse, en sorte que le problème ramené à ce nouveau point de vue doit être énoncé de la manière suivante.

Tout rhomboïde obtus , dans lequel le rapport de g^ à jf est rationnel , est susceptible de produire, en vertu d'une loi de décroissement sur les bords D , dont la mesure dépend du même rapport, un dodécaèdre dont voici les propriétés.

i*^. La plus petite incidence de deux faces du dodécaèdre, telles que hsl^ hsr (fig. 8), sera égale soit à l'angle plan obtus Jilm du noyau, soit à la plus grande incidence des faces du rhomboïde hypothétique , par exemple de celles qui se .confondent avec les plans hsm^ Izii. Par une suite de la première propriété, les plus grands angles sJil ^ hlz^ etc., des faces du dodécaèdre seront droits, et ses arêtes les plus saillantes, telles que sh^ seront perpendiculaires chacune sur la face.MZ du noyau , vers laquelle cette arête est tournée.

o*. L'incidence de deux faces adjacentes, telles que hls^ hlz^ prises vers les deux sommets du dode'caèdre, sera égale, d'une part à la plus grande incidence de deux faces du noyau, el d'une autre part à Fangle plan obtus des faces du rhomboïde hypothétique , ou ce qui est la même chose , au supplément de l'angle hsm.

Nous avons vu que ces diiTérentes propriétés sont

liées à la condition que l'exposant du décroissemenfe sur les bords supérieurs , que nous désignerons maintenant par 7z^, ait une valeur rationnelle enfonctiou des demi-diagonales g et p' du rhomboïde qui dans le cas présent devient hypothétique. Or, en laissant subsister ici celte condition , il ne nous reste qu'à prouver qu'il y a aussi pour l'exposant n du décroissement sur les bords inférieurs, une valear rationnelle dépendante du rapport entre les demi-diaoonales ^ et p du véritable noyau. Or , il est très facile de s'en convaincre, en faisant attention que les angles shl , shr, étant droits , chacune des faces Ish^ rsh^ est nécessairement perpendiculaire sur le plan 77z/. Car soit malh (fig. 19) la coupe transversale du noyau, prise de manière que le pohit ni coïncide avec le point x (fig. 8). Menons mt (fig. 19) perpendiculaire sur le prolongement du côté la, et qui coïncidera avec tx ( fig. 8 ) perpendiculaire sur îil, en sorte que l'angle droit tmh (fig. 1 9) sera celui que forme la face Ish {^^.8) avec le plan rhl qui appartient ù l'une des faces du noyau. Soit mou (fig. 19) le trianqle mensurateur, et rla dimension qui, sur la molécule, répond à 772c7. Le calcul relatif à la valeur du cosinus at du petit angle amn de la coupe trans\ ersaie donne 772a \at:: D.p^ : g' —p- : : mo lou:: n' -F 7' : 7- ;

d'où l'on tire , 7i' = -~:, ce qui est l'expression du cosinus du petit angle saillant du noyau , laquehe est seQîblable à celle que nous avions trouvée pour n

( p. 3o5 ). Cette conformité entre les deux expressions est une suite de ce que chaque face du dodécaèdre, telle que hls^ fait un angle droit avec la face soit du noyau , soit du rhomboïde hypothétique , située de l'autre côté de l'arête sur laquelle naît le décroissement qui donne hls.

4o. On peut obtenir immédiatement la valeur de n 5 en égalant jp au cosinus de la moitié de la plus petite incidence des faces du dodécaèdre ; mais , dans ce cas 5 le calcul est beaucoup moins simple. Supposons que les faces dont il s'agit soient représentées par dpf, qpfiS^^' 17 ). On aura (32, 2».) ek=Lp,

ou

Elevant au carré , ^^7:^11)^^^^')^ ^^^ '

Substituant à la place de a* sa valeur gp* — 3^*, et divisant tout par 3, puis réduisant,

' g^- ^gY -i-p'^g' - '-gf + P' Si l'on divise les deux termes de la fi^action qui multiplie n\ par g* — p% on aura

n'^ ^l>iéPl H él^l = o.

g^-p^ g'—^gy^-\-p'

Or . le nremier membre est un carré parfoit , dont la

racine est n r^T- Donc ji=-^ — ^ comme

ci- dessus.

4i. Si l'on substitue cette valeur de n dans le rapport de mx à bm ( fig. i8) , ou

quia été trouvé plus haut, et qui donne Tincidence de deux faces adjacentes situées vers les deux sommets du dodécaèdre , on aura

Or, ce rapport est celui de ao à Z>o (p. 285 ), comme cela doit être, puisque l'incidence dont nous avons parlé est égale à l'angle que font entre elles deux faces situées vers un même sommet du générateur, ainsi que nous l'avons déjà prouvé.

Lorsque g=p, on din'=- -^, ce qui signifie que

la limite de la propriété dont il s'agit répond au cas où le noyau est un cube.