Les formules 72 = —^ — : et n = -r— ~i^ sont

susceptibles d'une infinité d'applications différentes , sui\ ant les diverses valeurs que l'on peut supposer pour g et p. Mais parmi ces applications, les seules admissibles sont celles où les valeurs de n et dô n

n'excèdent pas la mesure des décroissemens ordi-^ naii es. Nous allons voir que quelques-uns des rhomboïdes obtus offerts par la nature se prêtent à cette condition , et qu'il existe même des cristaux secondaires, qui jouissent des propriétés que représentent les formules dont il s'agit.

Si l'on fait ^= \/5 , p = \/2 , comme dans la chaux carbonatée, on trouve 72=2 et 7z' = 4. Le premier de ces résultats a lieu dans une variété représentée (fig. 46, pi. 3), et dont j'ai développé plus haut la structure , à l'aide de la synthèse. Je l'appelle chaux carhonatée métastatique , c'est-àdire de transport , parce que la loi dont elle dépend semble avoir transporté sur elle les angles de la forme primitive.

43. Si l'on substitue les valeurs précédentes de g et de p dans les formules relatives aux angles saillans du dodécaèdre, on trouve

fc: cz(fig. 17):: V^g: \/3, '

ce qui donne i44^ 20' 26" pour l'incidence àefpd sur hpdj et de'' eh'.', v'5 : \/3, ce qui donne 10^^ 2^^ ^o' pour l'incidence de fpd swy fpq\ la même que celle de bafd sur agqf^ ainsi que cela doit être , d'après ce qui a été dit.

Ce dernier résultat nous fournit un moyen très simple pour avoir l'inclinaison de l'une quelconque dpfdes faces du dodécaèdre sur celle qui lui est ad-

jacente, en dessous de l'arête clf. Car cette inclinaison est égale à celle de dpf sur dfqs , plus à la différence entre cette dernière et celle de bafd sur dfqs. Or, l'inclinaison de dpf sur dfqs est de io4^28'4o", d'après ce qui a été dit. Celle de bafd sur dfqs , supplément de la précédente, est de 75^3i'2o". La différence est donc 28^57' 20". Ajoutant cette diflférence à io4'^28'4o", on trouve i33^ 26' pour l'inclinaison cherchée.

4i . Soit maintenant bafd (fig. 20) le mêmerliombe que fig. 17. Menons ùy qui coupe afea deux parties égales. Je dis que le triangle bay est semblable à l'un quelconque dpf(û^. 17) des triangles du dodécaèdre secondaire, de manière que les côtés de celui-ci sont doubles de ceux de l'autre.

Evaluons d'abord les trois côtés du triangle jjdf Nous avons, 1'. df=: n/^^^+^ = V^5-

2°. dp qui est la même hgne que fig. 16

(voyez Sa, 2'.).

3°.p^(fig. iQ)=pg on pf(û^. 17)

(voyez 32, 2°.).

Evaluons pareillement les trois côtés du triangle bay

(fig. 20).

2°. Ayant mené ym perpendiculaire sur hf (fig. 20), nous aurons

= v/^^T7^'|T2==^v/29=if^iK%- 17)-

3'. «^(fig. 2o)=v/5 = iv/2C)=7p/(% 17)- Donc, etc.

On voit aussi que le moyen côté pf du triangle fZ/?/ est double du petit côté. Ces résultats sont particuliers à la chaux carbonatée métastatique.

42. Cette variété nous fournit encore le sujet d'im problème dont je donnerai dans la suite une autre solution. 11 consiste à déterminer, d'après certaines données, le rapport entre les deux demi-diagonales g etp du noyau, ce qui permet ensuite de calculer les angles tant de ce noyau que des formes secondaires , avec une précision rigoureuse.

Choisissons pour données l'égalité observée entre les angles p/J et clfq (fig. 1 7 ) , et la loi de décroissement par deux rangées, d'où résulte le cristal métastatique, ou, si on l'aime mieux, l'égalité entre la partie de l'axe de ce cristal qui excède celui du noyau de part et d'autre, et cet axe lui-même. H s'agit, d'après ces deux données , de trouver le rapport

entre ^ etp.

Pour y parvenir, j'observe que l'angle p/cZ étant égal à l'angle dfq, ou, ce qui revient au même, à

l'angle haf, les angles dfk et dfa , qui sont les supplémens des précédens, seront aussi écraux. Donc puisque df est égale à «/, le sinus dk de l'angle dfk sera égal au sinus am ( fig. i ) de l'angle dfa (fig. 1 7). Ovam=J^£fL^

Reste à trouver dk , pour mettre sa valeur en équation avec celle de am.

^ Le triangle dek est rectangle en e. Car le plan dfs étant perpendiculaire sur le plan afs , Test aussi sur le planp/? qui coïncide avec afs. Donc puisque de est en même temps couchée sur le plan dfs et perpendiculaire sur la commune section fs de ce plan R\ecpfsj elle sera aussi perpendiculaire sur ce dernier plan. Donc ke située sur le prolongement de pfs, et qui passe parle pied de de sera perpendiculaire sur cette dernière ligne. Donc le triangle dek est rectangle.

Donc dk = \/{dey^{ek)\

Or de=g. ek=^ /mHIZZZ

V(îa)--+&-

( voyez 46). Et parce que tz = 2 ,

Donc

dk = \ A» J- - ^<g' \- . /z^^F±^^

Egalant les valeurs des carrés de dk et am

Et substituant à la place de a* sa valeur gp* — 3^* 5

D'où l'on tire

et faisant disparaître les deux dénominateurs , puis réduisant et transposant,

Cette équation donne pour les deux valeurs de g^y

Dans le premier cas , g' p'' \/'^ - V 2 , ce qui est le rapport cherché entre les deux demi - diagonales du rhombe primitif. Dans le second cas,

ce qui convient à l'hypothèse dans laquelle le noyau et le cristal secondaire se confondraient sur un même plan , qui serait un hexagone régulier.

43. Le résultat qui donne 7z'=4 ^^^ réalisé par la cristallisation dans plusieurs variétés de la même substance, et entre autres dans celle que je nomme ascendcinU. Mais comjiie les facettes qui en dépen-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 34i

dent sont eonibinées avec d'autres f[ui appartiennent à des lois différentes de décroissemens , je me réserve à faire connaître k variété dont il s'agit y lorsque je traiterai des formes secondaires composées.

Faisons ^= \/5 et j9 == \/3 , comme dans l'argent antimonié sulforé ; nous trouverons /2=| j et 7z'=2 5. Je n'ai observé jusqu'ici aucun cristal qui offrît l'un ou l'autre de ces résultats: mais leur simplicité peut faire présumer que peut-être on les rencontrera dans quelqu'une des variétés qui seront découvertes dans la suite.

Lorsque ^= y 2 , et /?== 1 , on a ?z = 1 et 7z' = 3. L'incidence mutuelle de deux faces situées vers un même sommet sur le rhomboïde qui sert de nojau est alors de 120^^, et celle des faces produites par le décroissement, dans le cas de «= i , étant la même, il est facile d'en conclure qu'elles sont situées comme les pans* d'un prisme hexaèdre régulier , et que le solide secondaire est semblable au dodécaèdre rhomboïdal représenté ^(fig. 21 , ph 2). Mais dans les dodécaèdres de cette forme, qui sont connus jusqu'à présent, toutes les faces sont à la fois ou primitives ou secondaires, et il est très probable qu'il en est de même de ceux qui existent encore à notre insu dans la nature. Ainsi le cas dont il s'agit est étranger à la cristallisation. Mais Tautre cas où 7z'=2 nous fournira dans la suite une application de la théorie à l'une des formes originaires du même dodécaèdre,

celui-ci pouvant être alors considéré comme un assemblage de quatre rhomboïdes, dont chacun subit

le décroissement exprimé par D.

44- Le résultat 7z= i , que nous venons de voir être purement hypothétique , lorsque g=: s/z et/7= 1 5 s'étend généralement à tous les rhomboïdes, quel que soit le rapport*de g sl p. Pour nous en convaincre, reprenons Féquadon ap (fig. i6) = a.

Si l'on fait 7z=i, on aura ap=~y ce qui indique

qu'alors l'axe devient une quantité infinie, et que par conséquent les plans produits par le décroissement sont verticaux, et disposés comme les faces latérales d'un I risme hexaèdre réguher. Il arrive alors que ces plans sont limités soit par des faces parallèles à celles du noyau , soit par d'autres faces dues à une loi différente de décroissement.

La première combinaison existe dans une variété de chaux carbonatée (fig. 21) que je nomme prismée,

et dont le signe sera PD. L'incidence de u sur u étant

"^ Pu

évidemment de 120^, celle de P sur u sera le supplément de la moitié de l'angle que font entre elles deux faces situées vers un même sommet du noyau , c'est-à-dire qu'elle sera égale à

j8o^ 1--— 1-- j ou a 127^,45 40 •

Dans une autre variété représentée ( fig. 22 ) , les faces u^ u se combinent avec celles du rhomboïde

équiaxe. Le signe représentatif est alors DB, et

la variété prend le nom de pisunitaire. Mais on peut aussi supposer que son noyau soit semblable à l'équiaxe, et dans cette hypothèse elle résultera

encore de la loi D. L'incidence de g sur u , prise d'après la même donnée que ci-dessus , est égale à

180"^ , ou a 112^47 II •

45. Nous avons vu que quand les décroissemens qui agissent sm' les angles supérieurs d'un rhomboïde ont lieu par une rangée, il en résulte des faces perpendiculaires à l'axe , qui s'étendraient à l'infini , si elles n'étaient limitées par d'autres faces différemment situées. Dans plusieurs variétés qui appartiennent à diverses espèces, ces mêmes faces se combinent

avec celles qui proviennent de la loi D , et qui sont parallèles à l'axe , en sorte que l'on a ici deux quantités dont la tendance vers l'infini est arrêtée par leurs positions respectives.

La forme dont il s'agit ici, et qui est celle du prisme hexaèdre régulier, existe dans l'espèce du corindon. La figure 2 3 représente le noyau de ce minéral, qui est un rhomboïde un peu aigu, dans lequel le rapport des diagonales g^ p, est celui de v/i5 à V 1 7 , d'où il suit que l'incidence mutuelle

de deux faces prises vers un même sommet est de 86^38', et celle de deux faces situées de part et d'autre d'un même bord inférieur D de 98^22^ On voit (fig. 24) le prisme hexaèdre produit par le concours des deux lois dont j'ai parlé, et (fig. 3.5) le même prisme dont trois angles solides situés alternativement au contour des bases sont remplacés par des facettes P parallèles aux faces primitives qui proviennent de ce que les décroissemens n'ont pas atteint leur terme. La première variété, qui est le

corindon prismatique j a pour signe AD. Celui de la

seconde 5 que j'appelle coWwcZo^z bisalterne y est ADP.

o sV

L'incidence de P sur o est de i22^5o', et celle de P sur 5 est de i36^4^'- ^^^ conçoit, sans qu'il soit besoin d'en avertir, que le résultat donné par les

deux lois A, D, est général pour tous les rhomboïdes,

quelles que soient les mesures de leurs angles.

46. Pour citer encore un exemple des décroissemens sur les bords inférieurs, je prends la variété de chaux carbonatée représentée (fig. 81), et qui, par le prolongement des faces ^, y^ }/", y^\ etc. y devient un dodécaèdre à triangles scalènes analogue à celui que j'ai appelé métastatique (fig. 4^? l^^- 3), avec cette différence que le rhomboïde qui est censé lui être inscrit , est celui de 1 34^ ^ , auquel j'ai donné le nom d^équiaxe>^. Si nous adoptons

ce rhomboïde pour noyau, il est visible que le dodécaèdre résultera d'un décroissement sur ses bords inférieurs D ^ D. Ce décroissement est mixte ,

et a pour signe D.

y Si l'on applique ici les formules qui ont été données (p. 324 et 325) 5 en faisant g= y 12 , p== \/d et 7Z = f , ou trouve que le rapport de de à ek , ou du sinus de la moitié de l'incidence de y sur y , au cosinus, est celui de \/i85 à Vy^, ce qui donne 115*^ i'44'' P^^i' l'incidence dont il s'agit; et que le rapport àefc à cr, ou du sinus de la moitié de l'incidence de y sur y' ou de y" sur y^' au cosinus, est celui de \/233 à v/27, ce qui donne pour cette incidence, 142^ 24' 6". On trouvera aussi que celle de y sur y^' est de ii8^29'4^ Dans tous les cristaux, observés jusqu'ici (i), les sommets du dodécaèdre sont interceptés par des faces ^, ^ (fig. 8), qui appartiennent au noyau supposé, et dont l'incidence sur les faces ^ qui leur sont adjacentes est de i43^32'59". Nous verrons reparaître dans la suite cette même variété, comme résultat d'un décroissement inter-

(1) M. Mabru, minéralogiste d'un mérite distingué, a découvert cette variété dans le département du Puy-de-Dôme. Il avait très bien remarqué qu'elle présentait le rhomboïde équiaxe dont les bords inférieurs étaient remplacés chacun par un double biseau.

médiaire sur les angles latéraux [du rhomboïde de

47. Il existe des formes dans lesquelles les efFetrs des décroissemens sur les bords supérieurs B se combinent avec ceux des décroissemens sur les bords inférieurs D. Or, j'ai trouvé que les intersections mutuelles des faces qui naissaient des deux décroissemens simultanés formaient un hexagone situé sur un plan perpendiculaire à l'axe , toutes les fois que le nombre de rangées soustraites sur B excédait d'une unité celui des rangées soustraites sur D, en sorte que cette propriété avait lieu pour un rhomboïde quelconque 5 indépendamment du rapport entre les demidiagonales g et p.

Il est d'abord facile de voir que les intersections dont il s'agit ont leur origine aux angles latéraux E , E , du rhomboïde primitif. Cela posé, reprenons la figure 5 , qui nous a servi pour la théorie des décroissemens sur les bords supérieurs B. D'après ce qui vient d'être dit, le points , situé vis-à-vis du point g , qui est un des angles latéraux du rhomboïde primitif, sera le point d'intersectiou de l'arête am avec l'arête correspondante produite par le décroissementsur D. Maintenant, dans la figure 16, relative aux décroissemens sur les bords D , la ligne pd sera l'arête du dodécaèdre produit par ce genre de décroissement, laquelle en partant de l'angle d va rencontrer aTTz (fig. 5). Si l'on prolonge gn (fig. 16) jusqu'à ce qu'elle coupe en t l'arête pd, le point t

devra se confondre avec le point x (fig. 5), c'est-àdire cpie nx=nt. Soit n le nombre de rangées soustraites relatif au décroissement sur B, et tz celui qui se rapporte au décroissement sur D ; on aura

^^ (%• ^)=^fe V^fe^- (^'^7- ^o,.^>

Maintenant ap(û^. 1 6 ) = -^ v/gp^ — 3«\

/?r ou «p + ar : cZr : :pn l nt^

et substituant à la place des trois premiers termes leurs valeurs algébriques ,

Donc nt=-^^-^\/W=-^-VW'- D'où l'on

tire 7z'=7z+ i , comme nous l'avons annoncé.

Parmi les différentes lois de décroissemens qui déterminent les formes des variétés connues de cliaux carbonatée , on en connaît huit , dont quatre ont pour expressions B, B, B^ B, et les

quatre autres D, D, D, D, ce qui donne les combi^

naisons suivantes DB , DB , DB , DB , qui toutes

réalisent la propriété que je viens de démontrer. Mais jusqu'ici il n'y a que les deux lois représentées par la seconde , qui soient associées dans une même cristallisation j les autres agissent solitairement dans

la production des formes qui en offrent les résultats. Je citerai pour exemple de la combinaison des deux lois dont il s'agit , la variété de chaux carbonatée que j'ai nommée soustractlpe (fig. 26), et dans laquelle les pans du prisme hexaèdre régulier interviennent avec les faces produites en vertu de ces lois. Son

signe est eDB, Voici les mesures de ses angles, abs-

traction faite de ceux que font entre elles les faces du dodécaèdre métastatique , et que nous avons données plus haut. Incidence de c sur /', 135^^; de c sur r, 152^6^52"; de t sur t^ 137^39 26''; de f sur if\ i^çf 1 1'34''. Je parlerai dans la suite d'un autre variété qui réunit aux faces c^ r^ t d'autres faces dueîi à un décroissement intermédiaire.