IV. Dècroïssemens sur les angles latéraux

48. Les formes secondaires qui proviennent de cette espèce de décroissement sont en général des dodécaèdres, dans lesquels trois arêtes contiguè's à chaque sommet sont parallèles aux diagonales obliques qui leur correspondent sur le noyau. C'est une suite nécessaire de ce que les soustractions se font par des rangées parallèles à ces mêmes diagonales.

49. Soit ti (fig. 27) un de ces dodécaèdres, et to l'une des arêtes parallèles aux diagonales du noyau. Soit b le point de l'arête th^ qui se confond avec Fangle solide latéral de ce noyau j ou qui est le point

de départ des décroissemens. Soit bc la demi-diagonale horizontale du rhombe sur lequel agissent les mêmes décroissemens. Menons be perpendiculaire sur to, et joignons les points c, ê, par une droite. Soit bnm le triangle mensurateur ; désignons par g' la demi-diagonale horizontale de la molécule. iNous aurons bn = 27ig'. Quant à Jim^ elle coïucide avec la face latérale correspondante de la première lame de superposition , et de plus elle mesure la liauteur de cette face. Soit as (fig. 28 ) le noyau représenté séparément avec une position analogue à celle qu'il a dans l'intériem^ du dodécaèdre. On conce\ra5 avec nu peu d'attention , que la face latérale dont nous venons de parler étant contignë aune suite d'arêtes de rrfoîécule , situées parallèlement à ag et ds , doit être ellemême parallèle à la coupe principale qui passe par ies points a , rZ, s ^ g. Et puisque niJi ( Gg. 27 ) mesure la hauteur de cette face latérale, elle sera égale à la hauteur d'une molécule, ou à la ligne ak (fig.2)5 en supposant que acisg représente la coupe principale de la molécule. Donc nous aurons

bn : nm II 2gn . \/ ^,— :: 2/2 : ^Z -— .-^ >

nm

en substituant^ à g' elp à p\ parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du noyau.

5o. Cherchons maintenant les incidences respectives des faces du dodécaèdre , en commençant par celle de pto (fig. 27 ) sm^ hto.

Il est facile de voir que l'angle bec est égal à la moitié de cette incidence , et parce que l'angle bce est droit, les deux triangles bnm^ bce, sont semblahles.

Donc

bclce :: bnlnjn II 2g7i:\/ ^^ T^ - ^tz:^,/ ^'T^\

Avant de chercher la seconde incidence , ou celle de otk sur rth, déterminons la partie de l'axe du dodécaèdj e , qui excède de chaque côté de l'axe du noyau.

Soit adsg (fig. 29) la coupe principale de ce noyau, to une arête du cristal secondaire parallèle à la diagonale ad^ et io l'arête mférieure contigxiê à la précédente. Du point a et du milieu c de ad, menons ax et ce perpendiculaires l'une et l'autre sur to.

Les triangles semblables axt, aks donnent

ak \ as'.X ax:=ce '. at.

Or, akz=L\J^^^\ ^\ as=V9p^— 3^'. ce étant la même ligne que fig. 27 , nous avons

bc=g:ce::2gn: y/5êï--Jl Donc ce = — \/^^^ r^'

Ainsi la proportion dévie adra

Supposons un plan oyr (fig. 27 ) perpendiculaire à l'axe. Soient oty ^ rty (fig. 3o) les portions des triangles otk^ rtk (fig. 27) interceptées par ce plan. Soit de plus tn la partie correspondante de l'axe, que nous supposerons égale à tn (fig. 29). Ayant menéoTz, rn ei yn (fig. 3o), nous aurons j^tz égale Si gn (fig. 29)5 et 071 ou rn (fig. 3o) égale à ni ( fig. 29) 5 ou au prolongement de gn jusqu'à la rencontre de to.

Menons oz (fig. 3o) perpendiculaire sur ty, op perpendiculaire sur ny^ puis joignons les points z^ /?, par une droite. L'angle ozp sera la moitié de celui qui mesure l'incidence de o^A' (fig. 27 ) sur rtk. Ciiei> clions le sinus op (fig. 3o) et le cosinus pz de l'angle ozp.

I*. Pour op. A cause de l'angle o7zp=6o*^et de l'angle droit op/z, op'=ion\/\. Cherchons on ou son égale ni (fig. 29). Les triangles semblables adr^ tin donnent

ar". dri: tn ' nl\\at'\-an InL

Ou Wâ'WW:: (-^+1) Va' : ni = 2" + 5. /Y-;

Donc o;, = '^-VI?Xv/|=£!L±-VF.

2*. Pour pz. Les triangles semblables tny^ pzy ( fig. 3o ) donnent ty'.tnWpy Ipz.

py

=t-(=î-)]v1?=5f5:2vi?.

Donc la proportion tj\tn llpylpz devient

:pz

(27^4-5) (6/z — 3) 4/î.bVz

Je»

Comparant op avec pz , on trouvera

. ... //an + Sy ;

H-fâ^:

Vèa\

5 1 . Les cristaux de chaux carbonatée et ceux de tourmaline fournissent des exemples de l'espèce de décroissement dont il s'agit ici. Mais les facettes qui en dépendent se trouvent combinées, dans ces cristaux 5 avec d'autres dont la détermination se rapporte à des lois qui ne seront démontrées que dans la

«ulte. Pour citer un exemple qui ne suppose rien que de connu, je clioisii'ai la variété de fer oligiste représentée ffig. 3i ) , et que je nomme unisénaire. Son signe, qui est PAE^^E , indique que sa surface

pi g

est composée de six pentagones P parallèles aux faces du noyau ( fig. 3^ ) , de deux triangles équilatéraux o ( fig. 3 1 ) , qui remplacent les sommets du même noyau, et résultent d'un décroissement par une rangée sur les angles A (fig. 32), et de dou^e triangles scalènes g^ g, etc. (fig. 3i), disposés deux à deux à la place des angles solides E, E (fig. 32), et produits par des soustractions de six rangées sur les mêmes angles. Le rapport entre les demi -diagonales^ et p du noyau étant, comme je l'ai dit plus haut, celui de \/g à \/io, on trouvera d'abord l'incidence de o sur P (fig. 3i), en prenant le supplément de l'angle tin (fig. 29), ou de son égal ac?î, d'après le rapport entre en et an, qui est celui de g à V3p* — g^^ ou de x/g à\/2i. Cette incidence est de i23^ i4'- Maintenant les formules relatives aux faces g, g (fig. 3i ) , donnent d'une part

bc (fig. 2'j):ce:: \/i2o: x/y ,

en faisant attention que 7z = 3 ; et d'une autre part ,

op(û^.3o):pz:: v/333: v'175.

D'après la première, l'angle 5ec=76^25'j ajoutant 90^, on a 166^^25', pour l'incidence de ^surP i. 23

(fig. 3i ). D'après la seconde, ozp (fi^. 3o)=54'^3 • doublant cet angle, on a 108^^6', pour rincidence de\o- sur ff.

53. A mesure que la loi du décroissement varie ^ trois des arêtes longitudinales contiguës à chaque sommet, telles que fo, tr^ etc. (fig. 27), conservent la même inclinaison par rapport à l'axe, puisqu'elles sont constamment parallèles aux diagonales obliquer du noyau , tandis que les trois arêtes intermédiaires ip^ tky etc. , changent continuellement d'obliquité à l'égard de l'axe , en restant fixes , par les points b , f, etc. , qui sont les termes de départ du décroissement. Supposons que les choses étant dans l'état T]ue présente la figure, la loi du décroissement devienne plus rapide j les arêtes to, tr, se rapprocheront des faces du noyau, en sorte qu'elles iront couper le prolongement de l'axe dans un point situé en dessous de t', d'où il suit que les arêtes tp^ tk^ etc., feront avec l'axe des angles plus ouverts. Supposons au contraire que la loi du décroissement devienne moins rapide ; les arêtes to , tr , s'écarteront des faces du noyau , en sorte qu'elles rencontreront le prolongement de l'axe au-dessus de t^ et ainsi les angles que font avec le même axe les arêtes i/7, ik^ se trouveront diminués. Il y a donc un terme où les six arêtes contiguës à l'axe étant également inclinées , les arêtes latérales po, ok^ k?*^ etc., se trouvent sur un même plan perpendiculaire à l'axe , de manière que k solide prend la forme d'un dodécaèdre com-

posé de deux pyramides droites réunies par leurs bases. Cherchons si ce résuhat peut être produit par une loi régulière de décroissement.

Il est évident que, dans ce cas, gn (fig. 29) = 72/,

ou V 1^''=— -^ V^î^* 5 ^^ ^^ donne 72= |; c'està-dire que le décroissement a lieu par trois rangées.

54- On connaît une variété de corindon que je nomme ternaire ^ et qui offre ce résultat dans toute sa simplicité. La figure 33 la représente , et l'on voit (f]g. 23, pi. 16) le rhomboïde qui est sa forme primitive. Les incidences des faces r, r (fig. 33) , situées vers un même sommet étant toutes égales entre elles , il suffit, pour les déterminer , d'employer une des deux formules trouvées précédemment. Si l'on choisit la première, comme la plus simple, c'est-àdire celle qui donne le rapport de bc à ce (fig. 27) , et que l'on fasse ^= \/ 1 5 , p== \/i 7 , 72 = | , on aura i28'*i4S pour l'incidence de r sur r. Quant à celle de r sur r', on la trouvera , en faisant attention que la ligne menée du centre de la base commune des deux pyramides à l'un des angles , est à la hauteur de l'ime ou l'autre pyramide comme /72 : in (fig. 29) , ou comme C72 : an. Or cn^=:- \/|^ = \/5 , «72=1 y/gp^ — 3^* = \/i2. D'après ces données , l'incidence de r sur r est de 121^34'.

55. Dans la variété de fer oligiste appelée trapéziennej et que l'on voit figure 34? l'effet de la même

loi se combine avec celui de la loi' qui donne des faces perpendiculaires à l'axe, en sorte que le signe rapporté au noyau (fig. 32) estE^^EA. L'incidence

de o sur n est de ii9'^34'; celle de n sur n est de 128^26', et celle de 71 sur n' ^ de 120*^ 52'.

Une autre variété de la même substance, que l'on voit fig. 35, et que j'appelle binoternaire^ a pour signe PE^^EA. Elle diffère de la variété birhomboïdale

(fig. 1 2 , pi. i5 ) déjà décrite plus haut, par l'addition des facettes n^n{ fig. 35 ) , qui tendent à produire le dodécaèdre pyramidal. L'incidence de P sur n est de 154^^13'.

Cette forme est celle que présentent le plus communément les cristaux de la célèbre mine de fer de l'île d'Elbe. Elle avait été regardée par Stenon (i) et par Rome de TIslc (2) , comme n'étant autre cliose qu'un cube diversement tronqué sur ses angles solides. Dans cette opinion, que j'avais d'abord suivie moi-même, les incidences des faces additionnelles sur les faces P , calculées d'après les lois qu'indique le signe représentatif, offraient des différences assez légères avec les véritables pour écliapper à l'attention. Par exemple , l'incidence de P sur n se trouvait de 154^^4^' ^^^ 1^6^^ ^^ 154"^ 1 3', et parce que les

(1) Collection académ. , partie étrangère, t. IV, p. 4^0,

(2) Cristallogr., t. III, p. 189 et suiv.

cristaux de File d'Elbe sont situés ordinairement dans leurs groupes, de manière qu'il est plus aisé de mesurer les inclinaisons des faces secondaires sur les primitives , que celles de ces dernières l'une sur l'autre , je m'étais cru dispensé de cette seconde mesure , et il semblait que le gonyomètre 'ne dut rien m'apprendre à cet égard que ce qu'on savait d'avance. Je fus tiré d'erreur par diverses considérations (i) , et entre autres par celle d'une espèce d'anomalie qu'offrirait, dans le cas présent, la forme cubique, en faisant la fonction de rhomboïde , de manière qu'il faudrait concevoir un axe passant par deux angles solides opposés, qui devraient être considérés comme sommets • et les lois de décroissement qui agiraient autour de ces sommets seraient différentes de celles qui se rapporteraient aux angles latéraux. Ayant rencontré enfin des cristaux sur lesquels deux faces P situées vers un même sommet se prêtaient à la mesure immédiate de leiu^ incidence mutuelle , \q trouvai c|ue celle-ci n'était que d'environ 87^^ au lieu de go'^, et cette observation, que j'ai répétée depuis un grand nombre de fois, fit rentrer la cristallisation du fer de l'Ile d'Elbe dans l'analogie des rhomboïdes , et prouva que la nature ne cessait point ici d'être d'accord avec elle-même.

Quelquefois les faces gy g {^^- 3 1 ) , s'ajoutent à

(i) Voyez le Traité de Minéral. , t. IV, p. 49 et suiy. ^ D-remière édition.

celles de la variété qui vient d'être décrite, comme on le voit ( fig. 36), en sorte que le signe devient PE^^EE^^EA. C'est alors le fer oligiste aclditif. Inci-

dence de P sur g^ 1 66^^25', et de g sur tz, 167"^ 4^'-

56, Si l'on fait varier les inclinaisons respectives des faces produites par un décroissement sur les angles latéraux , de manière que celles qui répondent à r, r, ou à r' , r (fig. 33) , et se réunissent deux à deux sur des arêtes x^ z, contiguès aux angles E, e' (fig. 23 5 pi. 16) du rhomboïde primitif, fassent entre elles des angles toujours plus ouverts , il y aura un cas où elles coïncideront sur un même plan , et alors le dodécaèdre se trouvera converti en rhomboïde. A ce terme le cosinus jjz ( fig. 3o ) de l'angle ozp s'évanouit. Repi'enant donc l'expression analytique de pz (voyez p. iSs) , et supprimant tout de suite son dénominateur , nous aurons

ou simplement , 6n — 3 =0 ; d'où l'on tire 72 = ^ , ce qui indique que le cas dont il s'agit a lieu indifféremment pour tous les rhomboïdes, en vertu d'un décroissement par une seule rangée de molécules.

Cherchons d'abord en général le rapport entre les deux demi-diagonales g' et p' du rhomboïde secon« daire. La ligne ot (fig. 29) étant l'arête de ce rhomboïde, si l'on mène oz perpendiculaire sur l'axe j on

aura

D'une autre part , ot étant parallèle à ad^ on aura

Or,

ai=— v/gp*— 3p*=V'9p"— 3^% à cause de 77 = ^.

Donc Taxe du noyau est le tiers de celui du rhomboïde secondaire. Donc v3p* — g''^==^^y^p''' — ^''** Donc aussi g==- ^ . 2^' , et ^' = ^g.

Si dans l'équation précédente on met \g^ à la place de g'^j elle devient i

Donc Qp° — 3g'=:p''' — fg'; d'où l'on tire , 57. Si l'on fait g= \/6 et p= \J i , on trouve

Ce résultat a lieu dans une variété de cliaux carbonatée que j'ai nommée im^erse ^ et dont j'ai développé plus haut la structure à l'aide de la méthode synthétique.

C'est à cette même variété que se rapportent les rhomboïdes connus sous le nom de grès cristallisé de Fontainebleau y et qiai , selon les expériences de

Seo TRAITE

M. Sage, contiennent environ | de matière quarzeuse sur f de chaux carbonatée. La formation de ces rhomboïdes , dont phisieurs sont isolés et parfaitement prononcés , ofli e un exemple remarquable de la grande puissance de la cristallisation. Ils ont été produits dans des cavités où la matière du grès , par l'effet d'une cause quelconque, avait subi dans sa contexture un relâchement qui l'avait réduite à l'état de sab]e. Un liquide chargé de chaux carbonatée, amené par l'infdtration dans ces cavités, a pénétré à travers les interstices des grains quarzeux, et les molécules calcaires ont ensuite enveloppé et saisi ces mêmes grains, sans rien déranger, en même temps qu'elles prenaient , relativement les unes aux autres , des position 3 conformes aux lois d'une aggrégation régulière, en sorte que les grains quarzeux n'ont fait qu'interrompre la continuité de la structure, en laissant subsister son mécanisme.

De plus, lorsque la matière calcaire rencontrait dans le sable un espace vide , elle y formait des cristaux purs et transparens , que Ton trouve quelquefois accolés à ceux qui sont mélangés de quarz. Il y a même des cristaux qui ont une partie à l'état de pureté et l'autre à celui de mélange, sans que ce défaut d'homogénéité ait nui au niveau des faces , non plus qu'à la direction des joints naturels que l'on suit de l'œil dans les deux parties, lorsqu'on fait mouvoir à la lumière les fractures des cristaux dont il s'agit.