VV-tIvV^-3^-:i
D'oùl'ontire, 99^*=i47jc>% et^r^:: v/l4^V99- Ce rapport donne 104*^2' pour la plus gi-ande incidence des faces du rhomboïde primitif. Or, cette incidence mesurée avec soin est sensiblement plus grande j et ainsi, en mettant dans l'observation des angles la précision convenable , on reconnaîtrait encore que l'aspect de la forme n'offrirait qu'une fausse ressemblance. Au reste, il ne serait pas impossible que des variétés relatives à des espèces très-distinguées d'aïUeins l'une de l'autre, ne se rapprochassent Jellement par leurs formes extérieures , que la diffé-
DE CRISTALLOGRAPHIE. ^gç^
rence échappât aux mesures mécaniques. Mais ces analogies qui par elles-mêmes sembleraient répandre du vague dans la considération des formes cristallines, serviraient à mieux prouver les avantages et la fécondité de la théorie , lorsqu'elle nous découvrirait des structures et des lois particuhères cachées sous une identité apparente, et propres à faire ressortir nettement ce corps que l'œil abandonné à lui-même serait tenté de confondre.
78. M. Smitlison , célèbre minéralogiste anglais ^ s'étant procuré des cristaux de la variété qui nous occupe ici, reconnut bientôt que c'étaient des rhomboïdes aigus dans lesquels la plus petite incliuaisou des faces n'était que d'environ 88^. De plus, il remarqua que le rhomboïde se divisait par des coupes (pu, en partant des sommets, interceptaient les arêtes situées comme op (fig. 43), en faisant des angles égaux avec les faces adjacentes à ces arêtes, ce que l'on concevra aisément, par l'inspection de la fig. 53, qui représente le rhomboïde et son noyau inscrit. Cette observation lui indiqua que le déci'oissement qui donnait ce rhomboïde agissait dans le sens de la hauteur sur l'angle inférieur du noyau, et le calcul lui fit connaître que l'on avait dans ce cas «=f , c'est-à-dire que le décroissement se faisait par quatre rangées en largeur et par cinq en hauteur.
Si l'on cherche d'après cette donnée le rapport entre les demi-diagonales du rhomboïde secondaire, on trouve y : tt' :: \/T2 : s/75 , ce qui donne
87^47' 4^^' P*^^"^^ l'incidence de h sur h (fig> 53), et 92^ 12' 1 5'' pour celle de h sur h! . Je donne à cette variété le nom de chaux carhonatée cuboïde^ pour indiquer qu'elle n'offre que l'apparence d'un cube.
79. Je vais, à l'occasion de cette même variété, donner une idée de la méthode de tâtonnement à l'aide de laquelle on peut déterminer la loi d'où dépend une forme dont les angles sont connus par approximation. Le rhomboïde étant un peu aigu, comme je l'ai dit, il faut que le rapport entre les lignes qui correspondent à dr et ur ( fig. 4^ ) soit un peu plus grand que le rapport i à s/^. , et cju'en même temps il soit simple ; il faut , de plus , qu'il soit commensurable 5 dans l'hypothèse de^= \/3 , et/7 V^2, puisqu'alors c?r!r5 :: 2.' i , et que us doit être lui-même en rapport commensurable avec rs.
Or, en substitviant successivement au rapport 1 : y 2 , leurs égaux V^ : v/4; \/~6\\/6) \/4 : \/8, je m'aperçois qu'il suffit, dans cette dernière expression, d'ausnienter d'une unité le nombre 8, en faisant
V'4 • \/9 ? pour avoir le rapport commensurable 2*3, qui sera un peu plus grand que le premier , et aura d'ailleurs toute la simplicité convenable. J'essaie donc ce rapport, en supposant que l'on ait
dr : z^r : : 2 : 5 ,
vV:Ër^y£tf''-%=" = :3.
Et à cause de g=^\/'^ et pz=:\/2 ,
d'oà l'on tire
3 — 3/z = 27z4-i, et 7z=if,
conformément à ce qui a été dit plus haut.
Il est souvent plus court de supposer successivement différentes valeurs à n, jusqu'à ce qu'il s'en trouve une qui conduise aux mesures d'angles observées. Mais dans les cas où ces mesures elles-mêmes fournissent un rapport très simple entre les lignes qui servent de données, comme nous venons de le voir, cette simplicité annonce seule, avec une grande probabilité, que la loi qui dépend de ce rapport est la véritable, et l'on se saurait ici d'autant plus de gré d'être parti de ce même rapport, que Ton aurait évité, par ce moyen, les divers tâtonnemens qu'il eût fallu faire pour arriver à la loi mixte qui produit le cristal cuboïde.
80. J'ai promis de revenir sur une variété de chaux carbonatée, ayant la forme d'un rhomboïde aigu , que l'on voit figure 46, et à laquelle j'ai donné le nom de contrastante, à cause d'une propriété qu'il s'agit maintenant de faire connaître. Elle consiste en ce que cette variété a les mêmes rapports avec le rhomboïde équiaxe, que ceux qui existent entre le iliomboïde inverse et le primitif. Mais je vais d'abord
considérer la chose sous un point de vue général , et démontrer qu'un rhomboïde quelconque dont on suppose les demi-diagonales représentées par g et p, est susceptible de produire , à l'aide d'une loi de décroissement, qui dépend du rapport entre g et p, un autre rhomboïde dont telle est la forme ; que ses angles plans sont égaux aux angles saillans du rhomboïde générateur, que réciproquement ses angles saillans sont égaux aux angles saillans du générateur, et que les coupes principales des deux rhomboïdes ont les mêmes angles.
Ces deux conditions, dont l'une consiste dans Finversion des angles plans et saillans des deux rhomboïdes , et l'autre dans l'égalité des angles des coupes principales, sont tellement liées entre elles, que l'une étant supposée, l'autre en devient une suite nécessaire. C'est ce que je vais prouver en prenant pour donnée la seconde condition.
Soient adsg , aosl (fig. 54), les coupes des deux
rhomboïdes qui doivent être telles que l'on ait
ads-=oal ^ et par conséquent cIag=aos. Je donne ici, pour plus de simplicité , un axe commun aux deux rhomboïdes, parce que si l'on suppose ces axes inégaux, la démonstration reste la même.
J'observerai ici que l'un des deux rhomboïdes est nécessairement obtus et l'autre aigu. C'est une suite de ce que le grand angle oal de l'une des coupes est situé au sommet du rhomboïde auquel celle-ci appartient, tandis que dans l'autre coupe le petit angle dagy
qiii est égal au supplément du premier, correspond de même au sommet du rhomboïde auquel cette coupe se rapporte.
Soient g, p les demi-diagonales du rhomboïde aigri dont la coupe est adsg^ ^^ § -> p' t celles du rhomboïde obtus dont la coupe est aosl] ds sera Tarète du premier, os celle du second, et ad^ ao ^ seront les diagonales obliques. Or, les triangles asd^ Ixa ^ sont semblables par une suite de ce que les angles ads ^ lax sont égaux , et de ce que les perpendiculaires dr , an^ menées des sommets sur les bases, divisent celles-ci en deux parties dont Tune est double de l'autre (i).
; (1) Supposons deux triangles bic (Gg. 55) , et xzy (fîg. 56), tracés d'après les conditions que les angles bci et xyz soient égaux , et que les perpendiculaires et (fig. 55) , yq ( Bg. 5?), abaissées de ces angles sur les bases, divisent ces dernières en deux parties fz' , bt (fig. 55), et (73, xq (fig. 55 )j qui
soient entre elles dans un même rapport exprime par —, Je
dis que les deux triangles sont semblables. Pour le prouver , concevons que le triangle xz\ (fig. 56 ) se superpose sur le triangle b'ic ( fig. 55) , de manière que yr se trouve sur la direction de cb , et yz sur celle de ci. Soit k le point de la ligne cb auquel se termine le côté^>'x. Si l'on mène /e/(fig. 55) parallèle à la base bi , il est évident que les triangles bic, kfc, seront semblables, et que de plus la base kfse trouvera divisée par la perpendiculaire et en deux parties ef , ke , qui seront entre elles dans le même rapport que ti et bt , ou que qz etqx (fig. 55). Or, on ne peut mener du point k (fig. 55 )
DoDC, ad: ds :: al : ax^
ou np : Vg'+p' :\ s/g'^+p"" :/,
ou 4^^•^-+p-:^/^+^^* ;p^..
Si du second terme de chaque rapport on retranche la moitié du premier , la proportion devient
ou :>p^ : g^—p^ : : g'^ +/^ : /^ ^g\
Or, le premier rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle saillant du rhomboïde aigu ,
dans l'ouverture de l'angle Z>cf aucune autre ligne qui ait les mêmes propriétés. Car imaginons que la ligne substituée à kf, 5e relève au dessus de celle-ci, en prenant la position kf, La perpendiculaire ce' menée du sommet sur kf sera évidemment plus petite que ce ; donc puisque l'on doit avoir
Xkey + (cey = dkey -^ (ceY = (cA)%
fi e' sera nécessairement plus grande que ke) mais la ligne entière f(f est plus courte que kf, donc le rapport ej'\ke est
plus petit que — . On prouvera par un raisonnement analogue
que si la ligne kf" substituée à kfj s'abaisse en dessous de celle-ci , le rapport entre les parties ef", ke" de kf divisée
par la perpendiculaire ce" est plus grand que—. Donc, dans
]? superposition du petit triangle sur le plus grand, la ligne jcz (fig. 56) coïncide avec la ligne ^(fig. 55) , d'où il suit que les deux triangles sont semblables.
DE CRISTALLOCPlAPHIE. 3^d
et le second rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle plan du rhomboïde obtus. Donc les angles plans de ce dernier rhomboïde sont égaux aux angles saillans de l'autre.
Si dans la proportion
on ajoute le second terme de chaque rapport au premier, elle devient
g'-hp'-g'—p'::2p'':p''—g"-
Or, dans celle-ci le premier rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle plan du rhomboïde aigu, et le second rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle saillant du rhomboïde obtus; donc les angles saillans de ce dernier rhomboïde sont égaux aux angles plans de l'autre
8i. Connaissant le rapport entre les demi-diagonales de l'un des deux rhomboïdes , il est facile de trouver celui qui existe entre les demi-diagonales de Tautre. Supposons que l'on connaisse^' et /?', et que Ton cherche ^ et ^. Je reprends la proportion
dont je dispose ainsi les termes ,
Ajoutant au premier terme de chaque rapport la
SqS TRAITÉ
moitié du second , on a
ou
,».o,-»a»» P 6 . (yfi\-,Ja.
d'où l'on tire ,
Si l'on suppose au contraire que les demi- diagonales connues soient g elp, on trouve
^•':/::v/3p^— ^^Vr+P%
proportion dans laquelle les termes du second rapport sont des fonctions de ^ et de p semblables à celles de g' et de p' que présente le second rapport de la proportion précédente , en sorte que l'une des deux, prise à volonté, donne le résultat proposé, quel que soit celui des deux rbomboïdes dont on suppose les diagonales connues. Cette identité dans les fonctions de^-, p, et g\ p\ provient de ce que par une suite de l'inversion qui existe dans les angles des deux rbomboïdes, la coupe transversale de cbacun d'eux est semblable aux faces de l'autre, ou, ce qui revient au même, le rapport entre les demi-diagonales de la coupe transversale de l'un est égal au rapport entre ]es demi-diagonales des faces de l'autre. Or, on trouve, en employant les formules du n" 6, que le rapj)ort entre les demi-diagonales de la coupe
transversale d'un rhomboïde est en général celui
de \/3;?* — p''\ \/g^+P% la qnantité s/^p"" — g'' étant l'expression de la plus petite des diagonales , si le rhomlioïde est obtus, et de la plus grande, s'il est aigu. Maintenant, lorsque dans la comparaison de deux rhomboïdes dont chacun a ses angles plans et solides réciproques à ceux de l'autre , celui dont on cherche les diagonales est aigu , auquel cas le second dont les diagonales sont censées connues est obtus, si l'on désigne par g et p^ les demi-diagonales que l'on cherche , et par g et p celles que l'on connaît , g' étant alors plus 2:)etit quep', et \/3/^^ — ^^ devant être aussi plus petit que s/g^'-j-p^'y on aura
g':p':: \/dp^—g^: Vg^+p^-,
et lorsqu'au contraire les demi -diagonales censées connues sont celles du rhomboïde obtus , auquel caé celui dont on cherche les diagonales est aigu , si l'on continue de représenter par g' et /?', les demi-diagonales inconnues , et par g et p celles que l'on connaît, g' étant plus grand que ^/, et \/3/?* — g^ devant être de même plus grand que Vg^'-i-p''^ on aura encore , g' : p' : : \/3yy* — g^ l y^* 'hp^ ? ^'o^^i l'on voit que la proportion satisfait aux deux cas indiqués.
82. Concevons maintenant que le rhomboïde obtus fasse à l'égard de l'autre la fonction de noyau, et cherchons la loi de décroissement en vertu de laquelle
il est susceptible de produire l'autre , ce décroissement étant censé agir sur l'angle inférieur du noyau dont il s'agit. Soit aosl (fig. 54) la coupe de ce noyau, et soitprw/z une coupe semblable à adsg^ prise par des parallèles aux côtés de celle-ci , et que nous supposerons être celle du rliomboïde secondaire. Les triangles 0777, anl^ sont semblables, orp étant lui-même semblable à dra.
Donc
Donc
et 4/=?^r(3>^^-"r)3 /l
d'où l'on tire
Concevons au contraire que ce soit le rliomboïde aigu qui fasse à l'égard de l'autre la fonction de noyau, et supposant que le décroissement en vertu duquel il produit celui-ci agisse sur l'angle A , cherrions la loi de ce décroissement. Nous pouv ons alors considérer ad^g comme la coupe du noyau, et aosl comme celle du rhomboïde secondaire.
Les trianglei semblables axn^aor^ doaneat
ir/^:«/i::or:«r::(7z+i)v/g^:î^i.a.( voyez 21}. Depliis, les triangles semblables axn, sdr, donneat xn lani: rsl dr \\ \a : v/|^ •
(«+OV'î?:^-.a::fa: v^k^.
donc Donc
OU
11 est remarquable que les deux rapports qui eiprimeat les valeurs de n soient la moitié de ceux qui expriment les cosinus des petits angles plans" dans deux rhomboïdes dont l'un est obtus et l'autre aigu. .Nous avons déjà vu le rapport qui représente le cosums du petit angle saillant d'un rhomboïde obtus, ou plutôt la moitié de ce rapport, se reprodmre de même dans le développement des analogies qu'offrent les résultats des décroissemens sur les bords inférieurs.
83. Dans l'hypothèse d'un rhomboïde obtus pris pour noyau, on peut aussi considérer le décroissaient qm donne son inverse comme agissant par rea-
4oo TRAITÉ
versement sur l'angle inférieur ; désignant alors par n^ l'exposant de la loi qui se rapporte à ce décroissement , il sera facile d'en trouver la valeur d'après la
formule n! = - -—- (65) Si le noyau est un rhomboïde aigu 5 on pourra aussi supposer que le décroissement qui produit son inverse agisse par renversement sur l'angle supérieur, et désignant de même par n' l'exposant de la loi relative à ce décroissement, on en trouvera la valeur à l'aide de la formule 72'=
84- Avant de passer aux applications , proposonsnous encore de résoudre le problème suivant. Etant données les demi-diagonales g et p d'un rhomboïde considéré comme noyau , et la loi de décroissement qui produit un rhomboïde secondaire, en agissant directement sur l'uu des angles A, e, trouver la loi qui produirait le rhomboïde inverse de celui-ci, à l'aide d'un décroissement sur l'autre angle.
Soit V l'exposant de ^a loi qui agit sur l'angle A, et v^ celui de la loi qui a lieu sur l'angle e.
Le triangle xag (fig 5, pi. i5^), qui appartient au rhomboïde produit par le décroissement sur A, est semblable au triangle j[7/72W (fig. 4^ , pi- 18), relatif au rhomboïde qui naît du décroissement sur e ; c'est une suite de ce que les coupes des deux rhomboïdes ont les mêmes ange ; donc aussi les triangles xan (fig. 5), et 7nzu (%. 4^)? sont semblables.
Donc X7i\an (fig. 5 ) ou /zzwlaz^ :: mz (fig. 4 2 y*uz. Or, d'une part,
Soit y la demi-diagonale horizontale du rhomboïde produit par le décroissement sur e. Nous aurons d'une autre part
:-::Vf7':<.+7^-T>=K:^4>-
Donc
OU
(2.-i)a:(6r+%v4::25.VÏ:i(Hr7)«'=
mais >=^-q--^^.
Donc
Prenant le produit des extrêmes et celui des moyens, puis réduisant,
4o2 TRAITÉ
d'où Ton tire
ce qui conduit aux deux équations finales
2/(g- -f p°) --ggM-pl .
85. Pour appliquer les résultats précédens, supposons d'abord que l'on veui le déterminer les demidiagonales du rhomboïde qui présente l'inverse du primitif, dans la chaux carbonatée , et la loi de décroissement dont il dépend. Dans ce cas , les^ demidiagonales du primitif étant désignées par g et p' , €t celles de l'autre rhomboïde par g et p, si l'on fait g' = V 5 , p' = V'2 5 et si l'on substitue ces valeurs dans la proportion
on aura g'.p.'-y'^lK^.
Soit n l'exposant du décroissement , en supposant que celui-ci agisse directement sur l'angle e durhomboïde primitif. Nous avons n = ^2I^^' aoncTZ— ^ , c'est-à-dire que dans l'hypothèse présente le décroissement se fera par cinq rangées sur l'angle e. Si nous supposons au contraire que le décroissement agisse par renversement sur le même angle , alors n desi-
gtiant le nombre de demi-diagonales soustraites en largeur, on aura zz'=^-^= 1. J'ai fait voir plus haut que cette dernière loi est la véritable, et j'ai déterminé les rapports entre les angles du rhomboïde primitif et ceux de la variété dont il s'agit ici, à laquelle j'ai donné le nom de chaux carboncitée L verse.
86. Si l'on prend au contraire pour noyau le rhomboïde qui présente cette variété, et que l'on cherche esdenii-diagonales^',/, de celui r^i fait à son égard la fonction d'inverse, et la loi qui serait susceptible de produire ce dernier, la proportion
devient
§' 'p' :: s/n : \/s :; Va : y^â ,
ainsi que cela doit être. Soit n l'exposant du décroissèment qui est censé ici être direct sur l'angle supérieur ; la formule relative à ce mode de décroissement étant n z= ^^^^- , on aura n=2 , ce qui indique un décroissement par quatre rangées en largeur; et SI l'on cherche le décroissement inverse qui produirait le même rhomboïde, désignant par n' la loi de ce décroissement, et employant la formule «'=^^^. on voit que n' devient f , ou infiniment petit; c'elta-d,re que dans ce cas le rhomboïde est le même que
4o4 TRAITÉ
celui qui naîtrait d'un décroissement par une rangée
sur les bords supérieurs de l'autre rhomboïde.
87. Adoptons pour noyau le rhomboïde de i34'^è que J'ai nommé équiaxe y en continuant d'employer les mêmes formules, et faisant ^'= V 12, />'= v/5, on trouve que dans le rhomboïde qui fait à son égard la fonction d'inverse, le rapport entre les demi-diagonales ^ et p est celui de V3 à V175 que l'exposant n du décroissement direct sur l'angle inférieur, susceptible de le produire , est ^, et que l'exposant n' du décroissement inverse que l'on peut substituer au précédent est |.
88. Si l'on adopte au contraire pour noyau le rhomboïde aigu dont les demi-diagonales^ etpsont entre elles dans le rapport de s/Z à V 17, on trouve que dans celui qui présente son inverse ,
que l'exposant n du décroissement dont ce dernier dépend , et qui est censé être direct sur l'angle supérieur , est I , et que l'exposant 71 du décroissement inverse qui peut être substitué au précédent est|.
8g. Pveplaçons maintenant les deux rhomboïdes que nous venoïïs de comparer, parmi les formes secondaires du rhomboïde de io4*^^, qui est le noyau indiqué par la division mécanique, et supposant que l'on connaisse l'exposant du décroissement direct qui est susceptible de produire celui des deu.\ i^iomboïdes
.DE CRISTALLOGRAPHIE. 4aS
qui est obtus, en agissant sur l'angle A, cherchons l'exposant y' du décroissement qui produirait l'autre en agissant de même directement , mais sur l'angle e. Il faudra substituer 2 a v^ y 3 à ^- , et V^ à p , dans
la formule p =^,^;.^ +<V + p-) ^ "" '^''' ^^^' nera/=:^ = f
Cette loi est la même que celle dont nous sommes partis ci-dessus, pour trouver le rapport \/3 à y 17 entre les demi-diagonales g' et p' du rhomboïde qui nous occupe. C'est ici le lieu d'expliquer le nom de chaux carbonatée contrastante que j'ai donné à la variété à laquelle appartient ce rhomboïde. 11 est tiré de ce qu'il offre , à l'égard du rhomboïde équiaxe , la même inversion d'angles que le rhomboïde inverse comparé au primitif, inversion qui forme ici une sorte de contraste , en ce que l'un des rhomboïdes est très aigu et l'autre très obtus.
En appliquant au cas présent le calcul que j'ai donné plus haut , à l'occasion du rhomboïde inverse, et en faisant successivement ^= \/i2,/7= V'5, pour le romboïde équiaxe , et ^= y 3 , /? = V 1 7 ? pour le contrastant, on trouvera que dans le premier, le rapport entre le rayon et le cosinus du petit angle plan est celui de 17 à 7 , ce qui donne pour cet angle 65^ 4i'4'S ^t que le rapport entre le rayon et le cosinus de la plu£ petite incidence des faces est celui de 10 à 7 j ce qui donne pour cette incidence
4gS traité
45^ 34' 32''. C'est le contraire dans le rliomboïde contrastant; la mesure du petit angle de ses faces est de 45^ 34' 22" , et leur plus petite incidence est de 65^4^ 4"' ^^ plus, on trouvera que le rapport entre le sinus et le cosinus du petit angle de la coupe principale est de part et d'autre celui de 6 à 7 , ce qui donne pour cet angle 40^ 36' 8".
go. Reprenons les deux suites de rhomboïdes qui naissent successivement les uns des autres , à l'aide d'un décroissement par une rangée tantôt sur les bords B , tantôt sur l'angle e ( voyez p. 366 ). Nous avons vu que le rhomboïde de iS^^^ étant pris pour générateur, l'équiaxe était le premier terme de chaque série ascendante, et l'inverse le premier de chaque série descendante (61). Le contrastant fournit le second terme des mêmes séries. Car, dans les décroissemens sur les bords supérieurs on a , en désignant par ^ et -^T les demi-diagonales d'un rhomboïde du rang r, dans la série descendante,
et en faisant r=2 , g=\/3y p=\/2 , on a 7 = i\/3, et 7r=\/ÏI=yT^.
Donc ^'tTr:: y/ 3: \/i7, ce qui est le rapport entre les demi-diagonales de la variété contrastante.
D'une autre part, le décroissement étant supposé avoir lieu sur l'angle e, on a, en désignant par les
mêmes lettres les demi-diagonales d'uQ rhomboïde du rang r pris dans la série descendante,
y =(}rg et ^=3' ^p'+'-0g' ■ et en assignant les mêmes valeurs à r,g ^p,
y=l^,7r=gVH = '^\'^;
ce qui donne encore }/:7r:: v3 : \/i7. Ainsi, les quatre rhomboïdes nommés équiaxe y primitif ^ in^ verse et contrastant, sont doublement remarquables par leur filiation dans chacune des deux séries dont j'ai parlé , et par les inversions qu'ils présentent , dans leurs angles plans et saillans, lorsqu'on les rapproche deux à deux.
91. Les résultats relatifs aux deux suites de rhomboïdes , peuvent donner matière à de nouveaux problèmes , qui consistent à trouver la loi de décroissement en vertu de laquelle celui que l'on prend pour générateur produirait immédiatement l'un quelconque des autres dont le rang serait connu.
Considérons d'abord les rhomboïdes qui naissent les uns des autres, en vertu du décroissement B, et
bornons-nous à ceux qui composent la série ascendante.
Soit adsg (fig. 5n , pi. 20) la coupe du rhomboïde générateur; il est facile de voir que ad'sg ^ a^sy^ ad'sg", etc., repréî^enteront les coupes des rhomboïdes suivans, puisque la diagonale obhque de chacun
4cS • TRAITÉ
d'eiix se confond avec l'arête de celui qiii est censé le produire. Or, parmi ces riiomboïdes, les uns, tels que aj^sy, aS^sy\ résulteront d'un décroissement en largeur sur l'angle A du générateur considéré comme leur novau conunun, el les autres, tels que acr.^g\ ad'\^g", résulteront d'un décroissement en hauteur sur le même angle. Cherchons les formules relatives à ces deux cas.
i**. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement direct- soient g. p^ les demi-diagonales du générateur; ^, tt", celles du rhomboïde proposé, et ji la loi du décroissement susceptible de produire ce dernier. En général y=:g.2 (voyez page 5oi ).
Donc \,^'(y'=2'\'§^.
D'une autre part, si nous prenons pour exemple îe rhomboïde dont la coupe est aJsy^ nous aurons
Mais on a aussi
<^n:an II \/|/:f Vçy — 3y^ = l VV — %% à cause de l'égalité des axes. Donc
ou
2^ 12 lin -+-1 12/1 — i; ^'^'ii :: /2-f- 1 : o/? — i-
Donc n
2°. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement inverse. Soit r le rang du terme proposé. jNous aurons toujours ^=^.2'', et prenant pour exemple le rhomboïde dont la coupe est acC'sg"^
cï'rlar:: uy:au (p. Siy) :: (^+i) Vîg'^—^- \V. Mais de plus ,
Donc
ou 7z + 1 : 1 — 27Z : : 2'' 1 2 3
Ctn-\-1^= 2'" 27? . 2'"' 5
et n.
92. Passons tout de suite aux rhomboïdes qui naissent les uns des autres, en vertu de la loi £"£, et bornons-nous de même à ceux qui sont compris dans la série ascendante.
Soit adsg (fîg, 58) la coupe du rhomboïde générateur. Les coupes des autres rhomboïdes seront suc-
4io TRAITÉ
cessivement les quadrilatères a'd's'g' ^ a'd!'s^g^'\ a'"d!"s'"g"' , dans chacun desquels la ligne a' g* , a" g" y etc. , qui représente l'arête supérieure , est parallèle à la diagonale oblique ad, o!(ï , etc. , du rhomboïde précédent. Parmi les di\ ers rhomboïdes de |la série, les uns, tels que d'dl's'g^' ^ tourneront leurs diagonales vers celle du noyau, et résulteront] d'un décroissement en largeur sur l'angle g; et les autres ^ telsque a'^'.s'^', a'"d'"s'"g'" ^ auront leurs bords supérieurs tournés vers les diagonales du noyau, et insulteront d'un décroissement en hauteur sur l'angle e. 1°. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement direct. Soient g et p les demi -diagonales du générateur • ^ , tt , celles du rhomboïde proposé , et r le rang du terme auquel il répond. En général,
7=(iyâ',etv/97r'-3^»=3' \/^p'-Zg^^i'a (60).
Menons du parallèle à la diagonale oblique infé* j ieure du rhomboïde proposé. On aura
drouv1?=(!)'v'|>";
de plus Or,
Donc
DE CPJSTALLOGRAPHÏE. 4i i
et
It; • .• 1.2.0 ,
don Ion tire 2= :
2 2rt'
et enfin , n = -7-7- — r .
2°, Pour les rhomboïdes produits par un décroisseinent inverse. Soit dp une ligne parallèle à la diagonale oblique du rhomboïde proposé. iXous aurons encore
V|?=(3yv1>% et v/9^^^37=3^«.
De plus
d'où l'on tire
et entin n = —, — ^ .
4i2 TRAITÉ
C)?). Les formules auxquelles nous sommes parvenus, pour les séries ascendantes, s'appliquent, en sens inverse , aux séries descendantes , en sorte que nous sommes dispensés de chercher directement celles qui ont rapport à ces dernières séries.
Soit adsg (fig. 69) le même quadrilatère que fig. 57, et qui est, comme nous l'avons dit, la coupe principale du générateur relative aux rhomboïdes qui naissent les uns des autres, en vertu du décrois- ^ émeut B. 11 est facile de voir que la coupe du rhomboïde qui donne le premier terme de la série descendante, sera le quadrilatère aG^D, qui a le même axe que adsgj et dans lequel les lignes «G, 5D, qui représentent deux bords supérieurs se confondent avec k'S diagonales obliques ad, sg.
Or, nous avons vu (p. 36;) que le même rliomboïde qui est produit par tel autre en vertu du décroissement B , peut à son tour en produire un semblable à celui-ci, à l'aide du décroissement E"E; donc, si par les points g, c?, on fait passer la coupe ctd's'g' du rhomboïde produit en vertu de ce dernier décroissement, par celui auquel appartient «fZ<s^^, le rhomboïde dont il s'agit sera le premier terme de la série ascendante relative au décroissement E^'E , c'est-à-dire que ad's'g' sera semblable à a d's'g' (fig. 58).
En faisant le même raisonnement par rapport aux rhomboïdes suivans j on en conclura que les for^
DE CRISTALLOGRAPHIE. 4i3
mules relatives à la série ascendante pour les décroissemens dont le signe est E^E, s'appliquent à la série descendante, pour les décroisseniens qui ont pour
siffne B.
D'une autre part, soit adsg (fig. 60), le niêuic quadrilatère que fig. ^^ , qui est la coupe du générateur, relative aux rhomboïdes produits les uns par les autres, à l'aide du décroissement E"E. Oji concevra aisément que la coupe du rhomboïde qui donne le premier ternie de la série descendante , est le quadrilatère ADSG, dans lecpiel l'axe AS est le tiers de as , et les lignes AD , GS , qui représentent deux diagonales obliques, sont parallèles aux bords supérieurs ag , ds , du générateur.
Or, la propriété inverse de celle qui a été énoncés plus haut est également vraie; c'est-à-dire que le même rhomboïde qui naît de tel autre , à l'aide du décroissement E''E, est susceptible à son tour d'en produire un semJDlable à celui-ci, en vertu du décroissement B ; donc si par les points « , 5, on fait passer
la coupe ad' s g' du rhomboïde qui résulte de ce dernier décroissement rapporté au générateur àonladsg représente la coupe , le rhomboïde dont il s'agit sera le premier terme de la série ascendante relative au décroissement B , ou , ce qui revient au même , adsg
sera semblable à ad'sg' (fig. 07 ).
Le même raisonnement s'étend aux rliomboïdes suivajus, d'où l'on conclura que les formules relatives
4i4 TRAITÉ
à la série ascendante , pour les dëcroissemens B , donnent également la loi à laquelle est soumise la série descendante, pour les dëcroissemens dont le signe est E^'E.
94. Pour faire quelques applications, prenons d'abord la formule
2'--' dt 1
qui se rapporte soit à la série ascendante pour les décroissemens B , soit à la série descendante pour les
décroissemens E"E; les signes supérieurs ayant lieu pour les décroissemens directs, et les inférieurs pour les décroissemens inverses.
Si l'on égale r successivement à i , 2 , 3 , 4 ? 5> , on trouve
72=1, 7Z=I, 72=i, ri=^j n=^.
La première valeur de n^ qui est nulle, indique que la diagonale oblique du rbombuïde produit se confond avec l'arête du générateur , ce qui a lieu dans la variété de chaux carbonatée nommée équiaxe^
La seconde valeur de 72, qui est l'unité, convient à la variété de fer oligiste appelée binaire , et que j'ai décrite plus haut (p. 3 1 2 ). Les deux valeurs suivantes de 72, savoir -j et j, quoiqu'elles rentrent dans les limites des lois connues , ne se sont point encore rencontrées dans les résultats de la cristallisation; et
quand à la dernière valeur ^^ qui s'éloigne déjà de la simplicité des lois ordinaires, elle n'est probablement qu'hypothétique.
g5. Passons à la formule -7— r , relative soit
à la série ascendante pour les décroissemens E*'E, soit à la série descendante pour les décroissemens B,
les signes supérieurs ayant lieu dans le cas des décroissemens directs, et les inférieurs dans celui des décroissemens inverses.
En égalant de même successivement la quantité r à 1,2,3, 4j5,on trouve
Si l'on continue de prendre pour générateur le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée , la première valeur de tz, qui est j, donnera le rhomboïde inverse (p. 36i)j la seconde, qui est f, donnera le^ rhomboïde contrastant (p. 378).
Quant aux trois suivantes, leur défaut de simplicité semble leur donner l'exclusion parmi les produits de la cristallisation.
96. Les résultats precédens conduisent, par une marche différente, à la même filiation, entre les rhomboïdes nommés équiaxe ^ primitif ^ inverse et contrastant, que nous avons déjà déduite des rapports entre les demi-diagonales de ces rhomboïdes ( 14).
Je terminerai cet article par la solution d'un genre de problèmes qui achèvera de mettre dans tout
4i6 TRAITÉ
son jour la dépendance matuellc qu'ont entre eux les cristaux d'une même espèce, en faisant voir sous combien de faces une même forme se présente à la théorie pour en varier les applications.
97. Soit «/(fig.ôi ,pl. 20) un dodécaèdre à triangles scalènes. On peut concevoir dans l'intérieur du solide cinq rhomboïdes diftérens, dont chacun soit susceptible de le produire, à l'aide d'un décroissement simple. Le premier est celui dont les bords inférieurs analogues à D ( fig. 62 ) , se confondent av ec les lignes ge^ en^ nl^ etc. (fig. 61), et, dans ce cas, le dodécaèdre résultera d'un décroissement sur les bords, dont il s'agit. Le second est celui dont les bords supérieurs B (fig. 62) se confondent avec les lignes gs^ sn (fig. 61 J, c'est-à-dire avec les arêtes longitudinales les plus saillantes du dodécaèdre, prises deux à deux, en partant du sommet, et lesquelles deviendront alors les lignes de départ des décroissemens. Le troisième est cehii dont les bords supérieurs B, coïncident au contraire avec les arêtes les moins saillantes es ^ sl^ sur lesquelles agiront de même les décroissemens. Le quatrième aura ses faces parallèles aux arêtes les plus saillantes gs , ns , prises solitairement , et dans ce cas le dodécaèdre résultera d'un décroissement sur les angles latéraux E, E ( fig. 62 ) , de ce rhomboïde. Les faces du cinquième seront parallèles aux arêtes les moins saillantes es ^ Is (fig. 61), prisés aussi une à une, et le décroissement qui donnera le dodécaèdre aura lieu de même sur les angles E.
Or, il suflit que le dodécaèdre puisse être produit par l'un quelconque des rhomboïdes dont il s'agit , pour que chacun des quatre autres soit également susceptible de faire à son égard la fonction de noyau. Dans la même hypothèse , si l'on choisit deux quelconques des cinq rhomboïdes, chacun pourra donner naissance à l'autre, ou naître de lui, en vertu d'uu décroissement sur les angles supérieurs ou inférieurs. INous nous bornerons ici aux résultats qui dérivent du premier rhoml^oïde considéré comme générateur, c'est-à-dire de celui dont les bords inférieurs se confondent avec les lignes ge^en^nlj etc.
98. Supposons d'abord que le noyau qu'il s'agit de substituer à ce générateur, pour en déduire hvpothétiquement le dodécaèdre , soit celui dont les faces passent l'une par les lignes sg ^ sn, une seconde par les lignes sn^ sy ^ etc.
Désignons par ^,p, les derai-dîagonales du générateur, par g\ p ^ celles du noyau hypothcti(|ue, par n la loi de décroissement qui donne le dodécaèdre en agissant sur les bords inférieurs du générateur , et par n celle qui le produirait en agissant sur les bords supérieurs du noyau hypothétique. Etant donné g ^ p el n^ cherchons d'abord g ei p.
Soit «J.9g' (fig. C3) la coupe principale du générateur, dp ^ gii^ deux des arêtes les moins saillantes du dodécaèdre , o[)posées entre elles , et gp^ du , les deux arêtes saillantes situées dans le même plan. Soient dr^gc^ des lignes perpendiculaires sur l'axe, I. 27
4i8 TRAITÉ
Si par le milieu c de la diagonale ac nous menons/)///, elle sera une des diagonales obliques du noyau liypo' thétique , et um sera l'arête adjacente à cette diagonale vers le sommet inférieur.
Or, en reprenant ici ce qui a été dit plus liant , au sujet des décroissemens sur les bords supérieurs (p. 290) , il est aisé de voir que la ligne mo perpendiculaire sur l'axe répond à ^Z/- (fig. 5 , pi. i5 ). Donc
mais
/7W=a5 4-2ap==«+a.^--j-==]^-^^<p. 369).
Donc uo étant le tiers de l'axe pw, on aura
^\n — 1/ on — o
uo'.ur W 7710 • dr'y
* n — 1 ^ on — o
ur
Donc
«:^^.«-*-- Vk'":Vk';
o 71 -ha^'
Mais
pu OU V9P'*~3^'^ = ;j— ^«
Donc
donc donc
Cherchons maintenant le rapport de n k n. La ligne dr étant la même que mu (fig. 5, pi. i5) , pr (fig. 63, pi. 20) sera la même que az^(fig. 5, pi. i5}.
Or,
PKfig.63)=(;;i:^)N/97=3p=|±i V97=3i^.
Donc
Mais Donc
Zn n — i 3/1 — 3 '
7/ = 7Z-|-l5 et n-==:7i' I.
gg. Soit maintenant n' l'expression de la loi qui donnerait le noyau hypothétique, comme forme secondaire du générateur, en agissant sur l'angle inférieur e de ce dernier. Si nous menons dh parallèle à cp , la première ligne sera une des diagonales obliques du noyau hypothétique , et nous aurons
oA = -^-r/(p. 369).
Mais ap\ah\\ac\ad\\\\i\
donc
- Ci 2a
ah—:iajp, et ^^r^r,^ V^^'
D'ailleurs le générateur étant ici un noyau commun au dodécaèdre et au rhomboïde qui fait la fonction de noyau hypothétique , nous avons fl' = a. Donc
n — 1 ce qui donne
100. Soit g'=\/Z 5 77= \/i 5 comme dans la chau:^ carbonatée , et 72 = 2. Le dodécaèdre sera celui qui porte le nom de métastatlque (p. 336). Dans le même cas on a
g-./rrVS: \/Î7,72'=3 et7/'=f.
Ainsi le dodécaèdre est susceptible d'être produit en vertu d'un décroissement par trois rangées sur lei
DE CRISTALLOGRAPHIE 4ai
Lords supérieurs du noyau hypothétique, dans lequel le rapport entre les demi -diagonales est celui de v/3 à V^i7 5 et ce dernier, considéré comme forme secondaire du générateur, dépend d'im décroissement par trois rangées sur les angles inférieurs du même générateur ; c'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde contrastant
I o I . On connaît une variété de chaux carbonatée, représentée ( fig. 64 , ph 20), dont le signe rapporté
au véritable noyau est eD , et qui offre la réunion du
noyau liypotlié tique dont je viens de parler avec le
dodécaèdre auquel il donnerait naissance en vertu
du décroissement B. Assez souvent les faces m ont
une étendue qui semble les rendre prédominantes, comme on le voit sur la figure, en sorte qu'ici les apparences sont pour l'iiypothèse dans laquelle l'inverse serait le générateur du cristal.
102. Supposons maintenant que le noyau hypothétique soit le rhomboïde dont les faces passent , l'une par les hgnes sk, se , ime seconde par les lignes se, si, etc., et continuons de nous servir de la figure 63. Si par le milieu k de la diagonale ^5 nous menons yr?.r, elle sera une des diagonales obliques du noyau hypothétique, et ux sera l'arête inférieure contiguë à cette diagonale. De plus , si du point x nous menons une perpendiculaire xo sur l'axe pu , il est évident qu'elle sera sur la directiou de la p^>
42a TRAITÉ
pendiculaire 7720, relative au cas précédent, puisqu'elle doit aussi couper Taxe au tiers de la longueur de celui-ci.
Soient encore g'^ p\ les diagonales du nouveau noyau hypothétique, et n la loi qui le produirait en agissant sur ses bords supériem^s. Déterminons d'abord^' et p', INous aurons
xo— V^l^'% et uo=^^^a, comme ci-dessus.
uo\ un \\ xolgri'^
mais
Donc
72+1:272+1:: V!^'^: Vl^^
d'où l'on tire
^ are 4- 1 ^* D'une autre part ,
comme ci-dessus , et à cause de
Donc
io3. Passons au rapport de ?i à n. La ligne gn étant la même que mu (fig. 5 , pi. i5), pzz (fig. 63, pi. 20) sera la même que au (fig. 5, pi. i5). Or,
^;z(fig.63) = (^ + i)a = |^a.
Donc
Mais d'après ce qui a été dit (p. 4^ 0 >
Donc
ou —^-7— .(^+0=^ + 2;
ce qui donne
/z = et 72= -r-
Maintenant désignons par n" Texpression de la loi qui produirait le noyau hypothétique , comme forme secondaire du générateur , en agissant par renversement sur l'angle inférieur e de celui-ci. Si nous menons gl parallèle à px , gl sera ime des diagonales^ obliques du noyau hypothétique , et nous aurons
D'une autre part, les triangles semblables skp,
sgl, donnent
sp : si :: sk i sg :: i : 2;
donc sl = 2sp, e{ pl=sp;
donc puisque al^^ap-^pl, on aura aussi
al=ap+sp = 2{as)+ap=(^-'{' ly^z'^a,
et égalant les deux valeurs de al,
1 — /i" """ yT-TI ?
d'où l'on tire
104. Supposons de nouveau que le dodécaèdre secondaire soit le métasta tique. Nous aurons encore
n=2,g = \/'d,a=\/^', donc
g''.p''.:\ v/3 ^^/ï:îrJ:^, .. ^3 ; ^^
Dans le même cas,
n' — l, et Ti'=l',
c'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde mixte fp. 386), et que Je dodécaèdre peut résulter d'un décroissement par ti:}is rangées en largeur et deux en hauteur sur les bords supérieurs de ce rhomboïde.
La variété sextrisjésimale de cliaux carbonatée
(fig. 65), dont le signe est ^eeDB, présente la
c ms r g
réunion de ce même rhomboïde et du précédent avec le dodécaèdre métastatique , c'est-à-dire celle des deux noyaux liypothéticfues avec le solide auquel chacun d'eux pourrait servir de générateur. Cette variété renferme en même temps les pans du prisme hexaèdi^ régidier, et les faces du rhomboïde équiaxe.
io5. Concevons maintenant que le rhomboïde qui peut être substitué au générateur , dans la production du dodécaèdre , soit celui dont les faces seraient parallèles aux arêtes les plus saillantes 57Z (fig. 6i ) , .s-^,.9)^, etc. Soient toujours ^,/7, les demi-diagonales du générateur , g\ p , celles du noyau hypothétique, n Texpression de la loi en vertu de laquelle le généra leur produirait le dodécaèdre, n celui de la loi qui aurait lieu sur les angles latéraux du rhomboïde hvpothétique substitué au générateur, et 7z" celui de la loi à l'aide de laquelle le générateur produirait le noyau hypothétique. Etant données g^ p, n, il s'agit de trou\ er les autres quantités. Cherchons d'abord g' et p'.
Soient adsg (fîg. 66, pi. 21), et dpgu les mêmes quadrilatères que fîg. 63, pi. 20, et soit a et s' g (fig. 66) la coupe principale du noyau hypothétifpie. Ayant mené g'n'l perpendiculaire sur Faxepz/, nous aurons , à cause du parallélisme des lignes
4qS. traité
Or,
donc substituant ,
D'une autre part ^
gn ".un:: d'r l ur' = iis'+r's' :: \/|p^: us -h ^a'.. Mais
donc substituant ,
La preriiière proportion donne
çt la seconde
Egalant les deux valeurs de gn, et supprimant les facteurs commims aux deux membres, on trouve
d'où l'on tire
D'une autre part ,
us' =pu — ps'=^pu — ap — a s z=:—^^a — us^ — a ,
donc
!2(us ) = a — a y
et
n'xus j = =a . — T— -;
d'où Ton lire
ji — 1 on -f-2
Mais nous avons eu g?i ou
donc
et substituant à la place de a sa valeur ,
De plus , nous avons eu
ou, ce qui revient au même,
Et mettant à la place de g'"" sa valeur,
d'où
donc
g:p::g(6n-^6): \/a\n-i'2y-hi2g%n—iy.
io6. Dans toutes les recherches du genre de celle-ci, je détermine d'abord les valeurs absolues de ^ et de/?', pour en conclure ensuite le rapport de ces lignes, parce que les solutions des problèmes en sont plus complètes. On abrégerait beaucoup le calcul en se bornant à trouver immédiatement ce rapport. Par exemple il suffirait, dans le cas précédent , d'avoir la proportion
gn ou v'f7 : i^E-" '•• Vïi^:|a'(p. 427),
qui se cliange en celle-ci ,
Elevant tout au carré, et égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, puis transposant, on,
bE CRISTALLOGRAPHIE. 429
trouve
d'où Ton tire
donc
ce qui est le même rapport que ci-dessus.
