Pour trouver le rapport de n' à tz, je reprends

l'équation us' ou ap^=.a' , . D'une autre part^

considérant le dodécaèdre comme produit par im décroissement sur les angles latéraux du noyau hypothétique 5 nous aurons

Donc — r = ,

ce qui donne

71 = , et n:

Il reste à déterminer n'. Pour y parvenir, j'observ que la diagonale obhque a'd! du noyau hypothétique étant parallèle à l'arête pg du dodécaèdre, si l'on imagine que le rhombe auquel appartient la pre-

mière se meuve parallèlement à lui-même, jusqu'à ce qu'il se trouve en contact avec la seconde, il est facile de voir que le noyau hypothétique se trouvera situé à l'égard du générateur dont la coupe est adsgy comme un rhomboïde produit en vertu d'undécroissement inverse sur les angles e de ce générateur.

Donc pg répond à la même ligne (fig. 4^?pl' ^^)^

Donc «p(fig. 66,pl. 2i)=:|-^^^.a(p. 371);

mais ap rapporté au dodécaèdre a pour expression

donc

i—n" n — 1 ^ d'où l'on tire

n ==- et 72 = -TT' n n

Soit encore ^=\/3 5/?= V^, «=V9jet 72=2. Nous aurons

/y::v/3: V5. 72^=1, et n'=i',

c'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable

au rhomboïde inverse (p. 36i ), et que le dodécaèdre

peut naître du décroissement E^'^E rapporté à ce

rhomboïde.

La variété progressive ( fîg. 67 ) de la chaux carbo-

3 3 natée, dont le signe est E*'ED^, offre la réunion des

faces du rhomboïde dont il s'agit avec celles du dodé-

caèdre métastatique et celles du rhomboïde contrastant, en sorte que l'on a ici une espèce de conflit entre deux noyaux hypothétiques dont chacun serait susceptible de produire le dodécaèdre.

108. Il existe parmi les cristaux d'argent antimonié sulfliré une variété f[ui a beaucoup de rapport avec la précédente. La forme primitive de cette substance métallique est un rhomboïde obtus (fig. 62, pi. 20) 5 dans lequel le rapport de g ixp est celui des nombres V^5 à \/3, ce qui donne 109^ 28' pour la plus gi^ande incidence des faces, et 70^82' pour la plus petite. Dans le même rhomboïde, les angles plans sont l'un de io4'^28', et l'autre de 75^32^'La variété dont il s'agit , qui est représentée ( fig. 68 ) ,

se nomme u/iibinaire , et a pour signe DE"E, en

sorte qu'elle ne diffère de la première , relativement aux lois de la structure, que par l'absence des faces analogues à m^ m (fig. 67). En appliquant ici les formules relatives aux décroissemens sur les bords inférieurs (p. 824 et 325), on trouve pour l'incidence de h sur h (fig. 68) , 1 44"^ ^4'? ^^ pour celle de h sur h\ io5^4S'* La première de ces incidences n'excède que d'environ un demi-degré celle de r sur r (fig. 67 ), et la seconde de i^ j, celle de r sur la face adjacente à y, dans le dodécaèdre métastatique , qui résulte de

la même loi D. Cependant la différence est de 5^ entre les incidences des faces primitives, dont l'une est de ioçj^2^'j et l'autre de 184^^28'. Mais cette ditfé-

rence s'atténue en passant dans les résultats des dé-

croissemens qui donnent les formes secondaires.

Si l'on cherche le rapport entre les demi-diagonales y, TTj du noyau hypothétique auxquelles appartiennent les faces i (fig 68), en employant les formules que nous avons données (p. 429)? on trouve

ce qui donne d'une part 80^26% pour l'angle plan au sommet du rhomboïde, et 99^ 34' pour l'angle latéral; et d'une autre pari 98^13' pour la plus grande incidence des faces, et 80^^26' pour la plus

petite. La loi E"E ou e, d'où dérive le même rhomboïde, ne pouvant être dans le cas présent, comme pour la chaux carbonatée , celle qui produit l'inverse du générateur , si l'on cherche cette dernière à Taide

de la formule n=^^—^~ (p. 398), on trouve 71=2^

ni t

c'est-à-dire que l'inverse du véritable noyau de l'argent antimonié sulfuré résulterait d'un décroissement direct par quatre rangées sur les angles inférieurs e de ce noyau. Ainsi, l'existence de ce rhomboïde inverse est dans les limites des lois ordinaires de la structure, quoique jusqu'ici on n'en connaisse aucun exemple.

109. Prenons maintenant pour noyau hypothétique le rhomboïde dont les faces sont parallèles aux arêtes les moins saillantes se (lig. 61, pi. 20), si, etc. , du dodécaèdre; et désiguons par g', /?, g% p, les

bE CRISTALLOGRAPHIE. 433

mêmes lignes que ci-dessus (p. 427), et par tz, n\ ri\ les exposans des lois relativ es aux mêmes parties , soit du générateur, soit du noyau hypothétique. Nous nous servirons de la figure 69 , qui est semhlable à la figure QiÇ)^ avec la différence que dans la première la coupe principale «'JV^' du noyau hypothétique a ses côtés d et ^g^s\ parallèles aux arêtes dp^ gu^ comme cela doit être. Nous aurons égard à cette différence dans la solution du problème, qui d'ailleurs suivra la même marche que le précédent.

Cela posé, dr (fig. 69 ) : pj< I In : aji , ou

D'une autre part ,

DU dr:^-^^::\'W-us'+\a'.

La première proportion donne

et la seconde

dr-=-

Egalant les deux valeurs de dr^ puis réduisant^

d'où l'on lire

/ f ^ us:=za

D'uwe autre part j

donc

ce qui donne

mais clr ou

Substituant à la place de a' sa valeur , nous aurons j on -\- 2

La même valeur de a' peut être mise aussi sous cette forme ,

/ r ^^T-TT !^" -4- i n + i

et élevant tout au carré, puis laissant la quantilé/?' seule dans le premier membre ,

donc

g':p'::g{67i—6):\/aX2n'-{-iy-ti2o\n—i)%

rapport qui ne diflere de celui que nous avons trouvé, pour le cas précédent, que par le facteur de a"", qui est d'une part 7z + 2 , et de l'autre 272+ i .

1 1 o. Pour trouver la relation de n à 72, reprenons

l'équation us' ou ap:=:z ^~——, Si nous considérons

le dodécaèdre comme le résultat d'un décroissement sur les angles latéraux du noyau hypothétique,

nous aurons an = —, a (p. 35i ). Donc —7 = . — ;

d'où l'on tire

= ■ — et 7Z = .

Maintenant pour avoir n'^ imaginons que le rhombe auquel appartient la diagonale a'd' .sq meuve parallèlement à lui-même , jusqu'à ce que cette diagonale coïncide avec dp\ le noyau hypothétique se trouvera situé à l'égard du générateur, comme un rhomboïde qui naîtrait d'iui décroissement direct sur les angles inférieurs e de ce générateur. Donc pd répond à la même ligne (fjg. 42 , pi. 18). Donc

Mais la valeur de ap rapportée au dodécaèdre est

.a\ donc —

ce qui donne ji =:n.

1 1 1 . La cliaux carbonate^ nous fournit encore linë application de ces divers résultats, dans une variété

représentée figure 70, qui porte le nom de àïen-

nèaèdre^ et dont le signe est D{?. On voit, par la

seule inspection de la figure , qu'elle offre l'aspect d'un solide produit par un décroissement incomplet, qui donnerait les faces y^ y\ en agissant sur les angles latéraux du rhomboïde auquel appartiennent les faces ztz, m > Mais si l'on cherche les angles de ce solide dans l'hypothèse du véritable noyau, c'est-àdire si l'on fait g = ^3 , az=iZ^ et /z = | , dans les formules relatives aux décroissemens sur les bords inférieurs (p. 324 et 325), on trouve que l'incidence de y sur y est de 1 34*^^ 20' 2'', et celle de y sur j'', de io8^56'2'^ En faisant les mêmes substitutions dans l'expression générale du rapport entre les diagonales^^ etp' du rhomboïde hypothétique (p. 435), on aura g' \jp' \\\/Z ; V^^i 7 5 de plus, la formule

7/ = donne 11^=^^.

et à cause de n'=^n , on a zz^^rf; c'est-à-dire que le noyau hypothétique est le rhomboïde contrastant (p. 378) , et que le dodécaèdre peut être produit en vertu d'un décroissement par cinq rangées sur lés angles latéraux de ce rhomboïde.

112. Si l'on imagine que les faces ^5^ (fig. 6r, pi. 20) , GsUj etc. , en restant foes par leurs bords ^^,

en^ etc., se relèvent par leur sommet 5, de manière à faire des angles toujours plus petits avec l'axe du dodécaèdre, il y aura un terme oii elles lui deviendront parallèles , et alors celles qui sont situées de part et d'autre d'une même arête ge ^ en^ etc., étant dtr niveau, le^ douze faces n'en feront plus que six, qui se trouveront situées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier. Dans le même cas, les arêtes es ^ ns, etc., étant aussi parallèles à l'axe, chacun des deux noyaux hypothétiques se trouvera transformé en un prisme triangidaire équilatéra.l d'une hauteur infinie. iVlors la quantité n étant la même de part et d'autre dans les formules

aura

ce qui donne ?2 = i , comme cela doit être, d'après ce qui a été dit (p. 34 1). Maintenant si l'on reprend l'une quelconque des formules qui donnent les valeurs de 7^', par exemple celle-ci, 7i'== — - — , et

que l'on fasse /2=i , on trouve n=^, c'est-à-dire qu'alors le dodécaèdre est censé être produit en vertu d'un décroissement représenté par J , sur les angles latéraux de l'un ou l'autre noyau hypothétique. Yoici ce que signifie ce résultat. Supposons que l'hexagone régulier akodfg (f^g. 71) représente la

458 TPcAÏTÉ '

coupe horizontale du dodécaèdre; le triangle éqnîlatéral ao/ représentera en même temps celle de l'un ou de l'autre des noyaux hypothétiques. Soit kh une perpendiculaire sur r/o, et soit oxz le triangle qui est censé faire ici la fonction de mensurateur. Il sera Tanalogue du petit triangle hnm ( fig. 27, pi. 17), qui est relatif aux décroissemens sur les angles latéraux. On aura donc

ox : xz * \ hn : nm (p. 349) : : in \ \J -—

Or> dans le cas présent, 7? = f ; et de plus la diagonale ^7 étant infinie j la quantité g* s'évanouit. Donc

ce qui s'accorde avec l'hypothèse présente, puisque ce rapport V 3 • i ^st celui de oh à hk^ par une suite de ce que akodfg est un hexagone régulier. Mais ce résultent est purement idéal, le prisme triangulaire équilatéral étant exclus du nombre des formes primitives employées par la cristallisation.

n. DES DÉCROISSEMENS INTERMÉDIAIRES RELATIFS AU RHOMBOÏDE.

1x3. Les décroissemens nommés intermédiaires^ dépendent de deux élémens variables qui doivent entrer dans leur calcul. L'un est le rapport entre les nombres d'arêtes de molécule soustraites sur les deux côtés de l'angle vers lequel se fait le décroissement.

L'autre est le nombre de rangées soustraites,. ou la distance entre le même angle et le bord de la première lame de superposition. La fraction - représentera le rapport dont je viens de parler, et je continuerai de désigner par n le nombre de rangées soustraites.

4l mesure que j/' diminue à l'égard de r, le bord de chaque terme s'incline toujours davantage sur l'arête dont X fait partie , jusqu'à ce qu'enfin il se confonde avec cette arête, au point où y s'évanouit. D'une autre part, à mesure que j^ augmente à l'égard de x, le bord de chaque lame décroissante approche davantage du parallélisme avec la diagonale opposée à l'angle vers lequel se fait le décroissement, et lorsque j/ devient égal à a:, on a un décroissement ordinaire sur les angles.

Il suit de là que cette espèce de décroissement n'est autre chose que le dernier terme de la série des décroissemens intermédiaires, en sorte que dans les formules générales qui représentent ces décroissemens, et dont la recherche est l'objet de cet article , il suifira de faire jr=x, pour avoir les résultats relatifs aux décroissemens proprement dits sur les angles. Je n'ai pas laissé de donner des formules particulières pour ces derniers décroissemens , qui sont plus fami-^ liers à la cristallisation , parce que l'usage de ces formules revenant à chaque instant, il est plus commode de les trouver toutes préparées, sans être obligé de les simplifier, en faisant disparaître x et j'.

44o TRAITÉ

Les décroissemens intermédiaires relatifs au rhom-. boïde peuvent agir, soit sur les angles latéraux E, et cela de deux manières différentes , suiv ant que x ré-. pond aux bords inférieurs D^ eiy aux bords supérieurs B , ou que c'est l'inverse cp.ii a lieu ; soit sur l'angle inférieur e, soit sur l'angle supérieur A. Dans ces derniers décroissemens ^ x et y répondent toujours l'un et l'autre aux deux bords D ou B , adjacens à l'angle qui subit le décroissement. Je vais exposer successivement les résidtats relatifs à ces quatre modifications,

I. IDécroissemens întermédiaiT^es siu* les angles E ^ X étant dans le sens de D, et y dans le sens de B.

1 14. Soit aï.db (fig. 72, pi. 21) une des faces supérieures du rbomboïde qui fait la fonction de générateur, et yXjTTÏ^àexw parallèles aux bords produits par le décroissement. 11 est facile de concevoir qu'ici comme dans les décroissemens ordinaires sur les angles latéraux , le solide secondaire sera en ^^^néral un dodécaèdre à triangles scalènes. Soil XH (îig. yS) ce dodécaèdre, et as le noyau rbomboïdal qui lui est inscrit 3 soit de plus adsg (Iig. 74) la coupe principale du noyau • soient gx , gh , les mêmes arêtes que QX , QH (fig. 73 ), dont la dernière passe par l'angle d^ et l'autre se forme à une certaine distance au-dessus de la diagonale «fZ(fg. 74). Quant aux lignes vx^ vli^ elles représentent les arêtes opposées aux précédentes sur le dodécaèdre. Menons c^ pai^allèle à cix\

DE CRISTALLOGRAPHIE. 44 f

elle sera située comme la diagonale oblique d'un rhomboïde résultant d'un décroissemerit sur l'angle cZ, dans lequel la distance d'une lame à l'autre, prise dans le sens de cla , serait la même que pour le dodécaèdre dont il s'agit. Soit dhfÏQ triangle mensurateur rapporté au ^Vdi\ pds • A/ représentera une arête de Hiolécule, c'est-à-dire que si nous désignons par ^' la demi-diagonale horizontale, et par p la demi-diagonale oblique de la molécule , nous aurons

Reste à trouver l'expression de clk.

Pour y parvenir, concevons que la position de la hgne ^A (fig. 72) soit relative au cas oii il n'y aurait qu'une rangée de soustraite par l'effet du décroissenient intermédiaire sur l'angle u. Menons A,a parallèle à cla , y^^ perpendiculaire sur A/^t , cU parallèle à yX , puis ayant pris t^- égale à uy , menons ^v parallèle à Je, et enfin ^^ parallèle à au. U est clair que dc^ et enfin v^ répondront aux bords de deux lames consécutives, et par conséquent dv sera la distance d'une lame à l'autre, prise dans le sens de da , en ne supposant toujours qu'une ranime de soustraite. Ainsi l'on aura dv .n^=dk (fig. 74). La question se réduit donc à trouver rexpression algébrique de dï' (fig. 72).

Or, XfJL mesure autant de fois la demi-diagonale oblique d'une molécule , qu'il y a d'arêtes de molécule contenues dans uX'\'itiJ.=:2x\/g''+p'' y donc

011 peut représenter A/^ par ip^x. D'une autre part.

Or, les triangles semblables œvd^yfiX^ donnent

yfjL'./'fx :: cùv : dv ^ ou

Donc donc

ou , parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du nojau ,

Si nous prolongeons ga jusqu'à la rencontre y de dp , nous aurons, aussi

cla : ay : : ^J : s/Y+f^ ■■■•W-^f V^+P-

Donc, puisque da = 2py nous aurons

iiD.Qierclions aussi le prolongement av de da^ jusqu'à la rencontre de vx.

Soit as ( fig. -p) le même génératem- que fîg. 74;

soient f m ^ f/4? les lignes de départ du décroissement considéré sur la face audb^ et tu celle qui leur correspond vers l'angle h considéré sur la face ahng. Bornons-nous à considérer ce qui se passe à l'égard àetme\. tu^ et menons my^ ty, ue^ te, de manière cpie les plans tmy, tue soient parallèles aux faces CXQ , CXB (fig. -jS). Soient enfin mftb (fig. 75), rthu , mlyh, bexu, les parallélogrammes qui ont pour diagonales les lignes tm, tu, my, eu. PSous aurons ez^=.hy, et yz = be. Menons la diagonale bz du rhombe bezy, et par le point c où elle coupe ue et my, menons et, 11 est aisé de voir que le triangle bot est semblable au triangle lag (fig. 74). Car si l'on suppose que le rhomboïde as (fig. 76) soit tourné de manière que l'angle b coïncide avec l'angle g (fig. 74 ) ? ^^ ( fig. 74) tombera sur gs (fig. ^j^) ,bt sur ga , et et sera parallèle à l'intersection vx des deux faces qui se réunissent sur cette même arête.

Or bm et ^^(fig. 75) renferment autant de fois, Tune la quantité x s/g" +p ^ , et l'autre la quantité j' vV^'+PS qu'il y a de rangées soustraites j donc

bm =72x v^^'^+y% et btz=ny \/g"+p''

De plus , by étant égale à la différence en hauteur entre deux lames consécutives de superposition, prise dans un sens parallèle à bu, il est visible que by est égale à X/(fig. 74). Donc Ir^'— Vg^-i-p"-

Les triangles semblables bmc ^ yzc (fig. -jo ), donnent

bm\yz = hy\:hc\cz^ ou hm\hj:\bc\hz — hc.

Substituant les valeurs algébriques, et faisant attenlion que bz:==2p\ par une suite de ce que

on aura

nx \^§''+f^ : s/g'-'-^p' ::bc: 2^ — ^^cj ^

d'où l'on tire

bc-=~^.— .

nx-\- \

Donc

Mais

donc av ■=■ — ^— .

nxy-\-y

î i6. Cbercîions encore ap et «.r.

1*. Pour «y??. Les triangles semblables pq;^, /j^fZ^

donnent ap : ay \\ap-^ as : c/^ ,

t)E CRISTALLOGRAPHIE. 44^

^'où l'on tire

Cy — X-I-J

2". Pour «.T. Les triangles xav , a'5^, étant sembla-^

bles , on à ou

ce qui donne

ax ■=. ; — . a,

nxy — X -\- y

117. Avant d'appliquer les données précédentes, j'observe que si l'on fait passer dans le dodécaèdre six plans coupans , dont chacun coïncide avec deux arêtes latérales contigues , telles que CQ, CB , ces plans intercepteront un rhomboïde inscrit dans le dodécaèdre , comme le rhomboïde calcaire primitif l'est dans le cristal métastatique ( voyez p. 4i )•

J'ai à prouver que ce rhomboïde peut être substitué 5 comme noyau hypothétique , au générateur , de manière à en faire dériver le dodécaèdre, par une loi ordinaire de décroissement sur les bords inférieurs , et que le même rhomboïde est susceptible à son tour d'être produit par le générateur comme forme secondaire.

Cherchons d'abord les expressions des demi-dia- £fonales g etp' du rhomboïde dont il s'agit. Soit yq^^

(fig. 74) sa coupe principale. La ligne qe^ perpendiculaire sur l'axe, étant représentée par \/|^*j son expression en fonction de x^y^ a et p^ nous donnera la valeur de y.

Or, d'une part, dr\lir\\qe\eh^ et d'une autre part , dr\pr \\qe\ex'^ donc eh \ex\\ hr\pr.

Ayant trouvé le rapport entre eh et ex^ et connaissant la somme as'+'2ax de ces quantités, nous en déduirons la valeur de 2/z, qui, étant mise à sa place dans la première des proportions précédentes , nous donnera l'expression de qe.

Maintenant

7 II ^ .1 nx y -\- 9.x -\- y

/ii^z=:ax'jr^a= ,a+\az=;r-^^- — ~ a]

■* nxy^y — x ' ^ ùnxy-\-ùy — ox ^

• , fl / X — y , 2\ Q.nxy-\-x — v.

/ /^i «i \nxy-\-y — x ùj 3/2.ry— 3x+3j. ^

donc

eh'^ex\':nxy'\-2X'^y\inxy'-\-X'-^y.

Maintenant, soit /2.r^ + 2x+j^== 7;^^ , et ... . :>.nxy'{'X' — y=:n' . Nous aurons

m' -\--n:m'y'hx=^as'\~2ax\eh',

et mettant à la place de ni ^ 72/, as et «x, leurs valeurs

'onxy+Zx\7ixy+2x+y::a + - , .a

•^ ' ^ ' nxy — X'\-y

nxy'^x-\~y . j

nxy — X 4- V '

DE CRISTALLOGRAPHIE. ^y

donc la propoiliuu drlhry.qelek deviendra.

^ ^--"^ 5nxy + 5x ' d'où l'on tii'e

° ^ ' nxy + x '

Pour avoir la valeur de;?', commençons par clierclier celle de ye ou de a, qui est le triple de la différei.ce entre eh et ex.

rsous avons eu plus haut

eh:ex::nxj-\-2X'{-y:2nxy'{'X-'y; donc

eh 4- ex : eh — e x : : 3nxj -}- 3 x : x + 2/ — nxj. Mais

eh + e.v ou /ix = ^?21±i:±J:.^.

iixy — X -j-y

Substituant cette valeur à la place de eh -h ex et ja' à la place de eh — ex^ nous aurons