ry-f.T-f y
d'où Ton tire
a' = a -'^4-2y-;z.ry zzrv-f x-fy
O;?'^— 3o'^ = a* /r -f sv - 77rv\ y/zry -f x-f yy \ nxy-^y J \nxy^x-j-yj '
Et menant à la place de g ' sa valeurg ^ nxy+Tj '
puis dégageant p'' et simplifiant ,
donc
Il 8. Voyons maintenant s'il est possible que le dodécaèdre résulte d'im décroissement sur les bords inférieurs du noyau hypothétique. Soit IN le nombre
1 f Ci
de rangées soustraites. On aura ;-'v;=^— ^.^ • ^r?
— ^^^[^nxyx-^y \ nxy+x Anxy—x-^yJJ
/n ry — y n-ry-f ^4-^N
— ^nxy-^x ' nxy — x-^-yJ'
Donc l'équation yx=-^^^^a' devient
^„.xy-y nxy±x±y\i__ Jx+:^y-nxy nxv+x±y\ 'Xnxy^x'nxy—x-^-yJ N-i' \ nxy-^-x nxy-^x^yj
ou
d'où l'on tire N = ''-^z^'- ï^o"^ -> puisq"^ ^'^ :^' ^^ ^ sont des quantités rationnelles , il y aura toujours pour -N une valeur qui sera elle-même rationnelle.
La formule précédente donne aussi ^='-^7V^ ■-•
119. Le dodécaèdre étant également susceptible d'être produit , comme forme secondaire, par le générateur et par le noyau hypothétique , nous pouvons déjà en conclure que ce dernier est lui-même forme secondaire relativement au générateur. Mais pour le prouver directement, concevons que les lignes py^ ps, cjc^ yq^ se meuvent parallèlement à elles-mêmes, en s'éloignant du centre, jusqu'à ce que le quadrilatère adsg se trouve inscrit dans le quadrilatère yq^-^v , comme on le voit figure 76. Sïl existe un décroissement admissible , en vertu duquel le générateur puisse produire le noyau liypothétique, on voit, à la seule inspection de la figure, que ce décroissement doit agir par renversement sur les angles inférieurs du générateur. Soit n' le nombre de rangées soustraites. rSous aurons cette série de rapports :
donc
Mais en comparant les valeurs de^' et de a' , que nous avons données plus haut (p, 44?) 5 on en conclura que
f . /, . . . /.ïr 4- 9.V — " ^'v\
45o TRAITF
donc
yt m » rr * o x-»J ^
et
2?i'-f-i , /r-f-2y — 7ij:y\
o 1 — n "^ \nxy — a;-f-y/'
(JT + 2y — ^J^y\ '-^ri^ + î nxy — ^4" y / 1 — nf '
nxy — X -\-y d'où l'on déduit
