IL
ce qui indique la possibilité du cas dont d s'agit.
La figure ^4 ^ été tracée d'après la condition que la diagonale oblicjue yv du noyau hypothétique diverge moins avec l'axe hx que Farète ag du générateur. rSous verrons plus bas qu'il peut arriver que ce soit le contraire qui ait lieu, et que dans ce cas la même formule peut être encore employée pour déterminer la valeur de n! .
I20. 11 nous reste à trouver les formules qui donnent les incidences mutuelles des faces du dodécaèdre, aux endroits des arêtes QX' (fig. 78) , CX , BX, etc. Si nous menons les lignes BQ, CN, qui seront les diagonales liorizontales de deux faces du noyau hvpothétique , et si des points fie^, A , situés au milieu de ces diagonales , nous menons côfjt, , AS" , perpendiculaires l'une sur CX, et l'autre sur le prolongement de QX , le sinus de la moitié de la plus grande incidence des faces du dodécaèdre sera au cosinus :: Ba;:&jt^: et le sinus de la moitié de la plus pelile incidence sera au cosinus :: C?^ \^X,
Or , les quantités g^ p^x^ y, n^ étant supposées être
connues, il est facile, d'après les formules données plus haut, d'en déduire les expressions de g' -iP^ ^ , et parce que ^cà ou CA est égale à g\ on pourra trouver les incidences cherchées , en considérant le dodécaèdre comme produit par un décroissement sur les bords inférieurs du noyau hypothétique, et en se servant des formules ordhiaires relatives à cette espèce de décroissement (p. 824 et suiv.). Mais pour donner aussi une solution directe du même problème , nous allons chercher les expressions des rapports entre les sinus et les cosinus des angles du dodécaèdre, en fonctions de gjp^n^ ^?JK-
Commençons par le rapport entre Bco et œ/Ji, Nous avons déjà Bco ou
oc -f- nry 4- y
nxy -\-y
donc tout se réduit à trouver la valeur de ct)fi. Si nous menons yS" (fig. ^4) s^^î' ^-^'5 elle sera le double de oc/^. Or, les triangles semblables yj^x, gux ^ donnent gx XguWyx'.yS^, Mais
gxz^s/iuxy-^-iguY = \\hr; -^[gu)% gu =
Jirz=:ax+^a= ^^^^ ^^ -~;^- ,a:
OJixy ^ oy — ox '
donc
' \nxy 4- X nxy — x -^-y/
Mettant à la place de gx, gu , et yx leurs valeurs ,
et prenant la valeur de ^ y à', on a
V \ynxy -\-c>y — ox/ ' "^^
'xy
Les valeurs de Bûj et de fô^w ayant pour facteurs communs les quantités g et ^^S^^? ^^ ^'^" supprime celles-ci, on aura
^nxy^iy /-
V \.i7zxy-4-3y — 5x/
!iir±.>l\V4.^îg^:.i..£:LSy.-^V/|
3/zxy-i-.)y — oxy ^^ nxy-x-\-y "
: : {/'(nxy^'2x-\-yy-^a + (zi.ry ^y^xY^-" :(/2X)'— jy)\/^-.
Maintenant, pour avoir le rapport entre CX et AS" (fig. 73 ) , il sufîit de trouver la valeur de AS* , parce que CA=B^) , dont nous connaissons déjà la valeur. A3- ( fig. 74) étant la même ligne que fig. 78, du point 6 (fig. 74) menons éÇ* perpendiculaire sur tÇ", et qui sera le double de Ar^■. Les triangles sembla- Wes pclr^ xiC, , donnent dp \ clr : : et : ej ; mais
DE CRISTALLCGRAPniE. 4^3
tlûlîG
' I ^ x-\-zy—nxy nxy-\-x-hy
nxy — V nxy -f- a: 4- y ^ ^ ' nxy -}- X ' nxy — x + y
"^ nxy 4- a; nxy — x-^y'
Mettant à la place de dp^dr'et ex leurs valeurs, et prenant la moitié de celle de éÇ", on trouve
,^ .çv \nxy-\-x' nx^' -x-^\J^ ^^
V V3/zxj-3x + 3^r' ^^^
Comparant les valeurs de CA et de AS* (fig. 78 et 74) > et faisant attention qu'elles ont pour facteur commua
k^. , jixy-\-x-^y -,,
quantité^.— ^^ — X~ ' ^'■^^ peut supprimer ,
on aura
CA:A.^::i:a,2iy=^
// 2/7xy + a: — y V^. , a^*
.. . // 2nrv-l-x — V V x-i-v y
''\/(i2nxyj-x—yyia^ + (^nxy-^x-\-yy4g"
121. Dans tout ce qui précède , nous avons supposé que le dodécaèdre tournait ses arêtes les plus saillantes QX, BX, etc. (fig. ^S)., vers les faces du générateur, ou, ce qui revient au même, que eh (fig. 74) était plus grande que ex. Les choses étant dans cet état , si l'on imagine que la quantité n vienne à augmenter progressivement , les arêtes QX, BX, etc. (fig. 73), deviendront moins saillantes, tandis que les intermédiaires CX, NX, prendront plus de saillie , et il j aura un terme où les unes et les autres faisant avec l'axe HX des angles égaux , le dodécaèdre se trouvera composé de deux pyramides droites réunies base à base. On aura donc alors eh (fig. 77) = é'x, ou hr^=-j)r.^ ou algébriquement nxy -^-ix -^y ■=Linxy + x — y \ d'où l'on tire
xy
Ainsi, il y aura toujours une loi susceptible de satisfaire au cas dont il s'agit.
Si dans l'équation JN = — -î-^^— on met à la place
de n sa valeur -— t-— , relative à ce même cas, on.
xy ^
trouve IN=i. C'est effectivement ce qui doit être • car yx (fig. 74) étant alors égale à ex (fig. 77), l'équation ^.T = sriT" ^^' devient ex = ■- a' j et
parce que le noyau hypothétique se trouve réduit à un simple plan , qui est la base commune des deux
pyramides , o! s'évanouit; donc
^■^ = N~r> donc (N--i)(?:r= 0,011 N-~i = o, ce qui donne N = i .
122. A mesure que le dodécaèdre approche du terme où il se trouve composé de deux pyramides: droites , ia diagonale oblique yv (fig. 74) du noyau hypothétique diverge de plus en plus avec l'axe , et il y a un point où elle devient parallèle à l'arête ag du générateur. Alors la quantité n! s'évanouit , c'està-dire que dans l'équation 7z'=^ii>llZ^.>: ^n a
x+J—nxy^=zo^ et nxyz^x+y^ d'où il suit que le cas dont il s'agit a heu lorscpe
Au-delà du même terme, la diagonale yv faisant avec l'axe un angle plus ouvert que l'arête ag, le décroissement en vertu duquel le générateur produirait le noyau hypothétique ne peut plus se faire sur l'angle e de ce générateur. Il a heu par renversement
sur l'angle A. Mais la formule 72'=î±Z::ZlL2: ayant
xy ^
la même propriété que celle qui a été donnée pour
les décroissemens ordinaires (p. 378), avertit d'abord
de ce changement, en donnant pour tz' une quantité
négative, et cette quantité prise avec un signe coa-
traire représente la loi du décroissement.
4ôS TRAITÉ
123. Pendant les variations que nous venons de considérer, 72 continuant d'augmenter, le point v monte de plus en plus, tandis que le point q s^abaisse : alors le dodécaèdre tourne ses arêtes les moins saillantes, telles que qx ^ /zi' (fîg. 78), vers les diagonales obliques du générateur , et ses arêtes les plus saillantes vx , qh , vers les bords supérieurs du même générateur. Le nojau bypothétique dont c/yvc représente la coupe principale se trouve alors dans une position renversée, relativement à celle qu'il avait d'abord (fig. 74)? c'est-à-dire que ses diagonales obliques yq , 6t^ , et ses arêtes supérieures yv, fg, correspondent à celles du générateur.
Dans le même cas ex est plus grande que eh y et si l'on cliercbe les valeurs de g' et de p\ en opérant comme ci-dessus, on verra d'abord que celle de g'' reste la même , c'est-à-dire que
s ^ nxy-\-x
Mais pour avoir celle de j:;', il faudra mettre ex — eh à la place de eh — ex, ou 7ixj—x — 2j^, à la place de X 4- ^y — '?X/? ^^ ^'^^ trouvera d'abord
, nxy — X — 2y nxy'-^x-^ y
nxy-{~x iixy — JC-f-y
puis
P --{^^^^nxy-^x-i^yJ^-^^JK nxy + x J> donc
DE CRISTALLOGRAPHIE. '^Ij
râleurs qui ne diffèrent des premières que par la substitution de nxy — x — iy à x-^riy — nxy ^ provenant de celle de ex — eh à eh — ex^ et qui dépend d'un simple changement dans les signes + et — des quantités du numérateur.
