En procédant d'après la même substitution
relativement à la valeur de N, on aura ]N= — ~, — =^>
quantité qui n'est autre chose qu'une inversion de
celle à laquelle conduit la supposition de eh plus
grande que ex. On tire de la même formule
Na:4-Ny-L-y n = -,
Pour trouver n\ on partira du rapport
mais d'une autre part, le décroissement qui donne le noyau hypothétique ayant lieu sur l'angle A du générateur , on aura
qe-.ey ::(«' + 1) VW- '-^- \^' (P- 3 • 0] donc
g' 12 \/'^::{n! + i)g\{2n—\)\/'^\ Substituant aux rapports entre ^^ et g^ et entre a' et a ceux de leurs valeurs algébriques, on aura
' nxy-\-x-^y
4o8* TRAITÉ
d'où l'on déduit
Il —— ^
expression qui ne diffère encore de celle que nous avons obtenue (p. 45o) que par le changement de + en — et de — en + dans le numérateur.
Mais il n'y a aucun changement à faire entre les sinus et les cosinus des incidences des faces du dodécaèdre, en sorte que relativement à celle des faces CXQ, CXB, qui dans l'hypothèse présente sont les moins inclinées l'une sur l'autre, le sinus sera encore au cosinus
et que relativement à l'incidence des faces NXQ, CXQ, qui maintenant sont les plus inclinées entre elles , le sinus sera toujours au cosinus
• • i/ (2nxy+x—yy^a''-j-{nxy—x-^yY4^: (^-fy) V^«*-
Je vais en donner la raison , en prenant pour exemple ce dernier rapport. Soit on (fig. 74) une ligne menée du milieu o de la diagonale ad^ perpendiculairement sur l'arête qx. Le rapport dont il s'agit sera le même que celui de la demi-diagonale g du rhombe ahdu ( ^g- 73 ) à la perpendiculaire on (fig. 74 )• ^*' 5 pendant toutes les variations que subit le rhomboïde ? soit que l'on ait eh plus grande que ex, ou ex plus grande que ehj g est constante, et la hgiie on, ea restant fixe par son extrémité Oy ne fait auti'e, chose
que varier dans sa direction et dans sa longueur. Donc les quantités dont est composé le rapport conservent leurs fonctions, en sorte que n change seulement de valeur. Le même raisonnement s'applique à la ligne jT'i, menée du milieu de ^.9 perpendiculairement sur le prolongement de xg^ et considérée comme cosinus de l'inclinaison relative au premier rapport, dans lequel on a aussi pour sinus la demi-diagonale g du générateur.
123. Dans la construction représentée par la figure 74, le noyau hypothétique a ses demi-diagonales g' et p' dans un rapport différent de celui des demi-diagonales g el p du générateur. Or , à mesure que le dodécaèdre approche de l'état où il se trouve composé de deux pyramides droites , le rapport g' \p' diffère de moins en moins du rapport ^.'p, en sorte qu'il y a un terme où les deux rapports deviennent égaux, c'est-à-dire qu'alors le noyau hypothétique est semblable au générateur. On a donc alors (p. 44^)
OU
d'où l'on tire
r o 3 \nry — x -i- y/
Mais
donc
ar-l-ay — nxy
nxy — X -\-y '
d'où l'on déduit
'jxy Ainsi 5 il j aura toujours une loi susceptible de remplir la condition proposée.
Connaissant la loi qui donne le dod 'caèdre rapporté au nojau hypothétique, il est facile de trouver les valeurs numériques de p, x et y dans la supposition présente. Car si l'on considère le noyau hypothétique comme faisant à sou tour les fonctions de générateur , et celui-ci comme étant le noyau hypotliétique , la loi qui le donne sera désignée par N , qui est censé connu, et celle qui donne le noyau hypothétique am^a n pour exposant. Or, d'une part,
^a•y à l'ordinaire (p. 449)- ^^^i^ à cause de la similitude entre les deux noyaux, n-=^^- — '— . Donc
^ Q.xy
Isy '\-x-\-y 2jr-+-y
d'où l'on tire
