X : ywls-^i : 2iV
Ayant trouvé les valeurs numériques de ^ et j' , et les
substituant dans l'équation n = , on aura
l'expression numérique de n.
DE CRISTALLOGRAPHIE. ^ç,
126. Supposons maintenant e/i=2 (ex). Dans ce cas, le solide secondaire sera un rliomboïde qui aura la ligne ge pour perpendiculaire sur l'axe. On aura donc nxj+2x+j=2{2nxy-hx-j){çqyezp. 446), d'où l'on tire «=1, expression qui aura toujours lieu, quelque valeur que l'on donne à j-. Voici ce que signifie ce résultat. Soit «;z (Cg. ^q) „„ ,1,^^, boide qui ait ses sommets en a et en n. Supposons un decroissement ordinaire par plus d'une rangée sur l'angle bcif, et soit osr un plan parallèle à la face quienrésidtera.Ce dëeroissement en entraînera deiis intermédiaires sur les angles bdn,fdn, des faces adjacentes ; et il est facile de voir que si l'on considère par eMmi>le, celui qui a lieu sur l'angle bdn , où aurarfo=x, ds=.j. De plus, le décroissement se lera en hauteur, de manière que dr représentera le nombre de rangées soustraites dans le même sens. , Donc SI l'on désigne par n la distance entre det os •on aura«=-. Mais dr=do=x: donc «=], ce qui aura toujours lieu, quelle que soit la valeur de ds ou de^-. Le cas dont il s'agit ici se rapporte donc implicitement à l'elfet d'un décroissement ordinaire
dans lequel le déeroissemenl intermédiaire aoit sui>sidiairement. °
Si l'on fait .r=2, on aura n = i. Supposons de plus^- = I . On trouve dans ce cas
ce qui indique que l'axe du rhomboïde est infini 3 et ainsi les faces produites sont disposées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier. Ce cas est celui de la chaux carbonatée prismatique, dans laquelle les décroissemens intermédiaires qui secondent l'effet du décroissement principal ont lieu , en effet, par des soustractions de deux rangées en hauteur. C'est ce que l'on concevra aisément , si l'on fait attention que le décroissement principal ayant lieu par deux rangées, on a (fig. 79)c?o oujk = 2, et 6?r=2; donc n
ou -T- = ^=-. A regard de ds ou dej* , il est visible
qu'elle égale l'unité.
127. Pour faire quelques applications, je commence par la variété de chaux carbonatée que j'ai nommée ^paradoxale y et qui est représentée (fig. 80). Son signe
est (E"EB'D^)DE''E, c'est-à-dire que les faces rc, a;,
étant celles qui sont données par le décroissement .. intermédiaire , les faces r , r appartiennent au dodécaèdre métastatique , et les facesy,yau rhomboïde inverse.
On a donc, dans le cas présent, rv;=2,j"=i, 7Z=i . La quantité n étant ici plus petite que la fraction f ,
donnée par la formule n := — - -, relative au cas du
dodécaèdre à double pyramide droite (p. 4^4) i ^'^ voit que le solide produit par le décroissement intermédiaire tourne ses arêtes les plus saillantes vers^les
faces du générateur, comme dans la figure 78, où, ce qui revient au même, eh est plus orande que Jx (%;74).
^i Ton cherche, d'après les données précédentes, le rapport entre les demi-diagonales^', p\ du noyau hypothétique, on trouvera (p. È^^^)g\\p' v/3: V^TS^ d'où l'on conclura que ce noyau est semhlablJ au rhomboïde inverse. Dans le même cas, la for-
'^^^'" ^ = ^^y CP' 44S) donne N = 3, d'où il suit que le dodécaèdre est susceptible d'être produit en vertu d'un décroissement par trois rangées sur les bords inférieurs du noyau hypothétique.''
De plus, la formule 7/=^±Zz:!!£Xdonne 7z'=i, ce qui fait connaître que le noyau hypothétique peut résulter d'un décroissement par une rangée sur les angles inférieurs du générateur • attelle est effectivement la loi qui convient au rhomboïde inverse.
Si dans le rapport de B^ à oùjj. (p. 452) on substitue les valeurs de a; , j-, a , ^ , on trouve
B^:^-^:: \/53:v/3, ce qui donne pour l'incidence de CYB sur CXO (%. 73; i53^ii3'58"- et si l'on fait les mêmes sul> stitutions dans le rapport de CA à Ad- (p. ^y^ ^ ou trouveCA:Ad:: v/29 : v/^^, ce qui donne cy^i ,ç^^ pour l'mcidence de CXQ sur NXQ.
U est remarquable que les plus lonirs bords dos
faces r, r (fig. 80), qui appartiennent au métaslatique soient parallèles entre eux. Cette propriété dépend de ce que l'arête o, qui est parallèle à qx (fig. 74)7 ^ ^^ même inclinaison que l'arête dp (fig. 6, pi. 16) qui lui correspond sur le métastatique. Car on a, dansce dernier cas, «p=a=3, et «7'=|a=2 . Donc p^= 5 . De plus , rZr= s/^g" = V | .3 = 2; donc dp\pr\\i\^. Maintenant, dans la fig. 74? on a aussi
^r=2, ar=2, r//?=:— ^;— ^-j-^.«(p. 445 ) = 3.
Donc aussi/7r==5 5 ce qui conduit au parallélisme dont j'ai parlé.
128. Si l'on observe attentivement la forme de la variété qui nous occupe , on trouve que la substitution d'un no jau hypothétique au générateur , est en quelque sorte aidée par l'aspect des facettes y, y, qui sont celles d'un rhomboïde seaiblable à ce noyau. Mais, d'une autre part, les facettes ?', ;', appartiennent au métastatique, et leurs arêtes inférieures /, /, sont dans le sens des arêtes latérales du générateur. Le cristal porte donc l'empreinte de deux noyaux , l'un réel, l'autre hypothétique, relatifs aux deux dodécaèdres; et quoique la cristalUsation n'ait travaillé que sur le premier noyau, elle se prête, relativement au second , à un résultat idéal, plus simple que celui qui a lieu en ejQTet, puisqu'il dépend d'une des lois les plus ordinaires, tandis que l'autre sup-
pose une loi intermédiaire. C'est de cette sorte de résnltat inattendu, ou àe paradoxe qu'offre la variété dont il s'agit, que dérive le nom àe paradoxale que je lui ai donné. Cetfe variété a été trouvée par M. Tonneliier , dans une carrière de craie située à l'extrémité des faubourgs de Saint-Julien-du-Sault, département de l'Yonne.
12g. Une autre variété que )'ai nommée chaux carbonatée numérique , et dont on voit la projection
figure 81 . a pour signe E B^D-^ (r). En 'appliquant ici les formules qui ont élé données précédemment, et en faisant attention que l'exposant | de E , plus petit que | qui convient au cas de la double pyramide droite (p. 462) indique que le dodécaèdre tourne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du générateur, on trouvera que le rapport ^' : yt?' des demi-diagonales du noyau hypothétique est celui de \/ 11 à V 5 , d'où il suit que ce noyau est semblable au rhomboïde équiaxe. On trouvera de plus
]N = | 5 et quand à la valeur de n ou de ^ ' -XHiLf? ^
elle devient |, quantité infiniment petite qui fait
(i) Le nom de numérique est tiré des propriétés de nombres que pré-ente ce sii^ne , dans lequel la somme 2 plus 3 des exposans de B et de D est égale au numérateur 5 de lexposant de E . et leur produit est cga! au dénominateur 6 du même exposai. t. J'ai déjà fait connaître cette variété sous un autra rapport, p. 344-
connaître que les faces du noyau hypothétique sont parallèles aux arêtes a^, ds (fig. 74) ^^^ générateur. C'est effectivement ce qui a lieu dans Féquiaxe. Oii aura enfin pour l'incidence de y sur y'^ 1 1 5^ 1 ' 44^ ^^ pour celle de y sur y, 14^^24' 6". M. Mabru, minéralogiste très instruit, qui a découvert la variété dont il s'agit près de Clermont-Ferrand, département du Puy-de-Dôme, avait très bien remarqué qu'elle présentait l'aspecrdu rhomboïde équiaxe, dont les six bords inférieurs seraient remplacés par autant de biseaux.
i3o. La variété qui va maintenant nous occuper offre un résultat que j'avais donné comme purement hypothétique , dans la première édition de mou Traité (i), n'ayant vu jusqu'alors aucun cristal qui le réahsât. 11 consistait dans la possibilité que la forme du dodécaèdre métastatique fût l'effet d'une loi intermédiaire de décroissement , que j'avais déterminée. Ce résultat s'est présenté depuis à mon observation dans des cristaux dont on voit la projection (fig. 82). Les faces 3", 3", qui appartiennent au dodécaèdre dont je viens de parler s'y combinent avec celles du rhomboïde inverse , savoir 5/5/, et avec les pans c, c' du prisme hexaèdre régulier. Le signe
est(VB'D*)E^'E^.
Le métastatique ordinaire tourne ses arêtes les (1) Tome II, page 35.
moins saillantes v ers les faces du générateur , tandis qne ce sont au contraire les plus saillantes qui ont cette position dans le dodécaèdre produit par une loi intermédiaire. D'une autre part, le rlioniboïde inverse ordinaire a ses faces tournées vers les bords supérieurs du noyau. Mais il j a une loi, savoir, celle dont
l'expression est e^ susceptible de donner le même
rhomboïde , avec la condition que ses faces correspoiident à celles du noyau. Il suit de là que l'aspect du cristal qui nous occupe peut également résulter de la combinaison des lois indiquées par le signe donné ci-dessus , ou de celles qui le sont par cet autre
signe \)ee. La division mécanique fait disparaître
l'ambiguité, en prouvant que c'est le premier cas qui a lieu. De là le nom de chaux carbonatée ambigub que j'ai doimé a la variété dont il s'agit.
Les formules de la page 460 fournissent lui moyen simple pour trouver les exposans de la quantité qui , dans le signe, représente les faces 3", 3", d'après la condition que le cristal secondaire soit semblable au dodécaèdre métaslatique : car alors on a ]N=2 j donc la proportion x .*j^ : : ÎN + 2 : 2iN — 2, devient x'.yWi".!,
Faisant a: = 2 etj"=i , dans l'équation n-=^— — ^ ^ on trouve Ai = | , comme dans le signe.
i3i. J'ai fait connaître (p. 355) une variété de corindon que je nomme ternaire , et dont la forme qui est celle d uu dodécaèdre composé de (leu\ pyra-
4o8 TRAITÉ
îTjides droites, résulte du décroissement É^Œ. Le corindon nous offre d'autres dodécaèdres du même genre, produits par des lois intermédiaires sur les angles E. L'un d'eux , dont on voit la projection figure 83, et que j'appelle corindon assorti ^ a pour signe (E"ED^B'). Dans le cas présent on a x-=^2^
y = I , si dans la formule 72= "^ -^ relative au dé-
croissement qui produit la double pyramide droite
hexaèdre (p. 4^4)? ^^^ ^^^^t à la place de x et de^
leurs valeurs numériques , on trouve 72 = 2 , comme
l'indique le signe. Substituant les mêmes valeurs et
celle de n dans le rapport de dr à pr ( fig. 74 ) ? qui
est celui de V %g ^ ^7 — =^ — ~JI\ '^^ ^^^ trouve dr:pr:: \/^:.a,
ce qui fournit un moyen simple pour déterminer les incidences respectives des faces du dodécaèdre.
Soit syrz (lig. 84) la pyramide supérieure, c étant le centre de la base, et se la hauteur. Menons le rayon cr^ ensuite co perpendiculaire sur tr^ puis os. Nous aurons
C7':cs :: c/p:j>7'(fig. 74)'* \/^g''\a'^àoncco*.csllg:a*
Or, dans le corindon, ^r=\/i5, pz=:\/i^-^ donc
a= \/io8 j donc co : es :: v^i5 : \/io8 :: v/5 • 6. D'après ces données, on trouve pour l'incidence
DE CRISTALLOGP.APHIE. 4%
de h sur h (fîg. 83 ) 1 24^6' , et pour celle de h sur h/
'3cy6'(i).
i32. Lne seconde variété, qui est représentée figure 85 , réunit les faces r, r de l'uniternaire avec celles d'un dodécaèdre produit par une loi intermédiaire différente de la précédente , en sorte que le
z z signe du cristal est (E^ 5i^D^B')E^^E. Si nous suppo-
sons que sjî^tz{^^. 84) soit encore une des pyramides cpii résulte du décroissenient intei-médiaire ,
^ . -, , /T-— . 27Î ry-f-x — V ,
et si dans le rapport y f^ • p^ — -r • a ou dp . pr
nous faisons a' = 55 j^*= I, /z=^, nous aurons
dp Ipr :: V^g^ l 2a :: cr : cs-^ donc col es :: g : 2a y
rapport double de celui qui donne la variété décrite précédemment. En faisant usage de ces données , on trouve 121^6' pour l'incidence de l sur l, et i58^ 5^' pour celle de / sur Z'. Quant à celle de r sur /, on la trouvera de 161^21', d'après les mesures indiquées (p. 355), pour la variété ternaire.
On voit ici que la loi intermédiaire qui donne les faces /, /, et qui pourrait paraître peu admissible par
(1) Le nom de corindon assorti que j'ai donné à cette variété est tiré de ce qu'elle offre l'acc.-^rd ou l'assortiment d'une loi de décroissenient qui e^t une des plu- simples de ce genre, avec un rapport également simple entre les dimensions de la pyramide ^ prises dans le sens horiz^ontal et dans le sens yertical.
sa coinplication , dépend d'un rapport très simple, pris dans les dimensions du noyau, savoir, g'.ia. Il arrive assez souvent que ces lois qui, considérées en elles-mêmes, sembleraient propres à faire naître des préjugés contre la théorie, ont un côté qui les ramène à l'analogie des résultats ordinaires qui, en général, sont remarquables par leur simplicité.
i33. Il arrive souvent que la combinaison des faces qui résultent d'un décroissement intermédiaire , avec d'autres faces produites par des décroissemens ordinaires, imprime à la forme qui en dérive des caractères de symétrie dont on peut tirer avantage pour simplifier et pour abréger les calculs. C'est ce qui a lieu en particulier dans la variété pa^doxale(fig. 80), et je \ais faire voir comment son aspect géométrique suffit seul pour fournir des données à l'aide desquelles on arrive, sans aucun tâtonnement , à la détermination du décroissement intermédiaire qu'elle présente.
Supposons que l'on ait reconnu que les faces f. f appartiennent au rhomboïde inverse, et les faces r, r au dodécaèdre métastatique. En observant attentivement ces deux ordres de faces, on s'apercevra d'abord que les arêtes inférieures des premières sont si sensiblement parallèles aux arêtes /ï, h du dodécaèdre dû au décroissement intermédiaire , que l'on est fondé à en conclure que le parallélisme est rigoureux. Il en résulte que le rhomboïde ia\ erse est le noyau hypothétique du dodécaèdre dont il s'agit.
De plus y on s'apercevra du même parallélisme entre les longs bords des faces r, r, d'où il suit que les arêtes qu'elles remplacent sur le dodécaèdre sont inclinées à l'axe de la même quantité que celles qui , sur le métastatique , séparent les faces r, r, et qui sont les moins saillantes parmi les six contiguës à ua même sommet.
Cela posé, il est d'abord facile de trouver la valeur de N. Car adsg ( fig. 86 ) étant toujours la section principale du véritable noyau, soient dk^ dl ^ les arêtes du métastatique qui ont l'angle d pour point commun. Désignant l'angle as par 3 , nous aurons
dr'=^i , ar=; 2 , ak=.Z \ donc dr*' rk W 2:5,
lequel rapport est aussi celui de qe à ex. (fig. 74). Soit qe-=i\ dans la coupe principale qyvi du noyau hypothétique, nous aurons ey=^qe=:^i ] donc yx=^.
Mais ^€=6; donc Féquation >^=i>r2r" devient
^r.^— -, d'où l'on tire N = 3,
ï33. On peut, au nwyen des formules ordinaires relali\es aux décroissemens sur les arêtes D, vérifier tout de suite la justesse des données prises dans l'aspect géométrique du dodécaèdre dont il s'agit ici. Mais il restera à connaître la loi intermédiaire dont il dérive; et pour y parvenir il suffira de chercher le rapport entre rtr et ^ , parce que ce rapport étant donné on aura la valeur de 72 , à l'aide de la far-
imile n = --^r — - • Pour dispenser ceux qui vou-
draiept. faire cette recherche de recommencer chaque fois le calcul compliqué qu'entraîneraient ici les méthodes particulières , je vais généraliser le problème, pour arriver à une formule qui soit applicable à tous les cas.
' Soient asb^ gsb (fig. 87) les mêmes faces que NXQ, CXQ (fig. 73), limitées par le plan horizontal aô^ C%- ^7)9 ^^ P^'' ^^ P^^^^ vertical asg. Je mène agy ensuite bc perpendiculaire sur ag., puis sc^ qui sera aussi perpendiculaire sur la même ligne. ÏSous supposerons, pour plus de simplicité, que le point b coïncide avec le point Q (fig. 73), ou avec le point q ( fig. 74 ). Je prolonge bç (fig. 87) , jusqu'à ce qu'elle soit égale à qe ( fig. 74)5 P^^is je mène af{ fig. 87 ) ; ensuite je fais passer par le point b un plan obz^ parallèle à la face awf/6(fig. 73) du générateur. Enfin je mène ojs, et par le point où elle coupe es , je mène br.
Cherchons d'abord le rapport entre bfet af. Si nous prolongeons qe (fig. 74) jusqu'à la rencontre de l'arête vx^ le prolongement el étant la distance entre le point e de l'axe et l'arête vx , qui est une des moins saillantes, il est évident que dans la supposition présente on a ^(fig. 87 )=^g(fig. 74). On am^a, d'une autre parl,<7/(fig.87)::=:6/^fig. 74)5 puisque bs fait partie d'une des arêtes les plus saillantes du dodécaèdre 3 et que as est prise sur une des moins sail-
lantes. Or, qe (fig. 74) ou son égale
Donc aussi ,
i/(fig.87):«/::2N+i:N+2.
134. Maintenant nous avons à déterminer le rapport entre br et o/', dont l'une est dans le sens de la diagonale oblique du noyau, et l'autre est parallèle à la diagonale horizontale. Cherchons d'abord br. Soit bf=^2.'S-\- 1 5 on aura a/==>-j-2, et à cause de l'angle acf=i6o^,
^f= -.^^f= -^-^ bc=bf-'cf=2y+i ^— =— '
3X Mettant à la place de bc sa valeur —, on trouvera
D'une autre part
f SX
Donc c/*=— . -\/t ,
et mettant à la place de a* sa valeur gp'* — 3^* ,
Reste à chercher or^ au moyen de la proportion or \rs\\ ac l es.
1*. Pour rs'y nous aurons
2**. Pour acj nous aurons
3*. Nous avons déjà eu
Si nous substituons ces valeurs dans, la proportion précédente , elle devient
ou
or:[(N+2)j:-(2N-.)?]v^::i r-j'j
d'où l'on tire
DE CRISTALLOGRAPHIE. 4y^
Supprimant dans les expressions de br et de or le facteur commun ~ \^3 , on aura
br:or:: '-^ : [(^ + ,^^-{,^-2)^^ g ^ ^ ^g
Supposons ^'=^, et soit m le nombre qui, dans cette hypothèse, exprime le rapport entre a' et a, en sorte que l'on ait a=ma. La proportion précédente deviendra
ir:or::5^-:N+2— (2N~2)-::3Np:(N4-%--2(N— 2)^
: : 3Nmp : (N ■+- 2)gm — (2N — 2)g ,
et faisant les multiplications indiquées , puis réduisant ,
br lori: 3^mpÇS77i + 277Z — ■ 2^' + 2)^'.
11 reste maintenant à prouv er que a; est à y comme la somme des coëfficiens dep et de^ est à leur différence.
Soit obz (fig. 88) le même triangle que figure 8-7, et biku (fig. 88) le rhombe dont ce triangle fait partie. Soit hl le bord situé vers l'angle i de la première lame de superposition , lequel sera parallèle è bo. X el j seront en même temps les nombres d'iîrêtes de molécule contenues dans hi et il. Soient X et \ ceux que renferment bi et io. Soit de plus 5 le nombre de fois que la demi-diagonale oblique/?" de
la molécule est contenue dans br ou ôn^nr^ei t le nombre de fois que la demi- diagonale horizontale g' est contenue dans or. Il est évident que le premier nombre 5 est égal à celai d'arêtes de molécule renfermé dans èi+ io , et que le second nombre t est égal à celui d'arêtes renfermé dans okz=.ik — io^=hi — io ; donc 5=X + Y et /=:X — Y; et parce que les nombres d'arêtes de molécules contenues dans hi et il sont proportionnels à ceux que renferment hi et io , s:t *,: x-^-j : x — J. Or, br = sp^'^ et or=tg^;
donc sp" : fg" : : SN/zzp : ( IN77z + 2772 — 2IS + 2 )^ ; et parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du noyau, slt., ou bien
x+j :x — j'i 3N77Z :Nm+2772 — 2N+2.
Si dans la proportion X+z : .v — f'^sl t on ajoute le second terme de chaque rapport au premier , on aura
2x:x — ■j'::5+^:^; ou, 2x1 2x — 2)^ n s-}-t:2t.
Si dans cette nouvelle proportion on retranche le second terme de chaque rapport du premier , elle devient
2x : a/lls-i-tis — tj ou X :y y.s-^t :s — ty
c'est-à-dire que x est kj comme la somme des coèTficiens de p et de ^ dans le rapport de br à or trouvé plus haut est à leur différence. Mettant donc ces coelliciens à la place de 5 et de ^, on aura
.Y:jr::(2N+i)77î— N+i:(N— i)7;z+N— 1.
Maintenant 5 clans la variété paradoxale, N=3,
g == \/3 5 « = 3 , et si l'on fait g'z=zg=.\/^jOn aura
d'où il suit que in^=zi. Substituant à la place de N et de m leurs valeurs, dans la proportion précédente, on trouve x\j\\i\\. Donc on peut faire a:=2,
yz=^\, PiejDrenant la formule zz = " ^ ^ ' -^-^ , et
mettant à la place de N, a;, j^*, leurs valeurs, on aura 7z=f =1.
i35. Lorsqu'un des décroissemens qui ont lieu sur les angles E donne la double pyramide droite, le noyau hypothétique devient le prisme hcxXaèdre régulier. L hypothèse la plus simple est celle dans laquelle le rapport entre la perpendiculaire menée du centre de la base du prisme sur un des côtés, et la hauteur du même prisme est égal à celui qui a lieu entre la demi -perpendiculaire \/f§* sur l'axe du rhomboïde et la longueur de cet axe (1). Dans ce cas, le décroissement ordinaire relatif au prisme hexaèdre étant donné, il est bien facile d'avoir la loi du décroissement intermédiaire qui lui correspond dans le rhomboïde. Je supposerai toujours que x soit dans le sens de D , et j^' dans le sens de B.
(1) Le prisme alors est censé résulter d'un décroissement par une rangée sur les bords D du rhomboïde.
Soient asg^ hsg ( fig. 89), deux faces contiguès sur la pyramide, limitées par le plan vertical ash^ et par le plan horizontal agh , et soit mgl un plan qui coïncide avec la face du noyau qui regarde l'arête ^5. Je mène ah , ensuite so perpendiculaire sur ah, puis ok perpendiculaire sur gh, et enfin sk et gn.
Le triangle kos pourra être regardé comme mensurateur, relativement au décroissement qui en agissant sur le bord de la base du prisme alligné comme gh, donne la face^\s>^.
Soit go= V-^g'"' ^o^^s aurons 07i=i\/9/)''— 3£% gn:=p, aolgo ou \/lg': l \/5: 1 , ao=g. Soit z l'exposant du décroissement relatif à la face gsh , considéré dans le sens de la largeur. go=\/jg''ok sera=l^-. Mais dans Fliypothèse où ok égalerait^ et go serait \/^g*y lîi hauteur du prisme aurait pour expression s/g;?* — jg^. Donc, si nous supposons comme ici ok:= — . la hauteur sera exprimée
par i /âp^-^? ? ^^^^ ^^ = h ^9^' ~ ^^' '
ns=zos — oji=^^\/gp''—3g''-^Vgp''—og%
Cr.~§y9P^-% -^V9/^^-3,o^ Or,
)s l ao, ou — g —
ms :mn:: os: ao, ou — g^~ Vof"" — %' • ^^
d'où l'on tire
donc
gn.mnwp: —^—,g..^p:(3—2z)g.
Or, d'après ce qui a été dit aillem^s, x Ij comme la somme des facteurs de ;? et de ^ est à leur diâférence ,
:: 3+3— 2z : 3 — 3+22 ::6—2z : iz :: 3— 2 : z.
Ayant le rapport entre x et j, on aura le nombre
de rangées soustraites par la formule 72 = ^^22!.
xy
i36. Choisissons pour exemple le corindon, et supposons que la pyramide résulte du décroissement B. On aura -= i ;
Donc le signe du décroissement intermédiaire sera (E"ED=B*). C'est le corindon assorti.
Supposons que le décroissement rapporté au prisme
soit B. On aura
z^\ et x:y::3-2:s::3— ^:^::G:i, n^^-^~=.i,
Donc le signe du décroissement intermédiaire sera
( E^ ^ED^B'). Ce signe appartient à douze des faces du
corindon di-dodécaèdre.
Supposons pour le prisme B. On aura
48o TRAITÉ
c'est-à-dire que le décroissement devient ordinaire. Et comme 7z=3, il a lien par 3 rangées, parce qu'ici 3 exprime le nombre de rangées soustraites, et non pas le nt-mbre de diagonales soustraites. '
Passé ce terme, le problème appartient à une autre hypothèse dans laquelle x est dans le sens de B etj* dans le sens de D.
IL Décroissemens intermédiaires sur les angles Ey X étant dans le sens deh^ety dans le sens de D.
iS-j. Soit ahdu (fig. 90) la même face du générateur que celle qui est représentée figure 72. Les lignes yX. tt^ (fig. 90), parallèles aux bords produits parle décroissement, seront nécessairement tournées en sens contraire de celui qui a lieu dans la figure 72 ; b'A et TTu (fig. 90), ou X, X, qui sont dans le sens deB, B, étant plus grandes que by ^ u^ oujr, 7", q^û sont dans le sens D , D. 11 en résulte que dans le dodécaèdre HX (fig. 91 ) à triangles 5calènes qui est i'eftet du décroissement, les arêtes XQ, XB, etc., qui correspondent aux faces du générateur, div ergent avec ses diagonales obliques, en allant du sommet vers les parties inférieures, au lieu que c'est l'inverse dans le cas représenté (fig. 73). La figure 92 devant être alors substituée à la figure 74, on voit, en les comparant, que les arêtes situées comme xp^ liq (fig. 92), passeront encore par les angles c?, g du générateur, et que les aiêles xq^ liv se formeront aussi à une certaine distance au-dessus des diagonales
obliques ad^gs. Mais la ligne al parallèle à xq part du sommet , et non plus de l'angle cZ, comme dans la figure 74 5 ^^ sorte que ap et aj disparaissent , et que la dernière se trouve remplacée par le décroissement dl (fig. 92 ) de l'arête sd. Quant à la ligne avy elle sera la même que figure '-4-
Soit rt^(f]g. 92) le prolongement de ga jusqu'à la rencontre de qx^ les trois lignes dly av et at seront celles qui, dans le calcul relatif au cas présent , font l'office des lignes ay, av et ap (fig. 74)5 employées à la ééterminatiou du dodécaèdre précédent.
La différence entre les deux cas dépend des positions de X et de j- f[ui sont inverses l'une de l'autre. La plupart des résultats portent l'empreinte de cette difl'érence, en sorte que si l'on met x à la place de j', et réciproquement dans ceux qui se rapportent au premier cas , on a les formules relatives au second. Il faut en excepter la valeur de aj' (lig. 74)? q^i se change en celle de A3' (fig. 91 ), sans aucune substitution, ainsi que la valeur de^' ou de qe (fig. 74 et 92 ) , qui n'offre la différence dont il s'agit que dans le dénominateur de la fraction représentative de celte valeur, ce qui n'empêche pas que le rapport de^' à p' ne participe, sans aucune restriction, à la difiérence dont j'ai parlé.
i38. La marche du calcul étant presque la même dans les deux cas , je me bornerai à indiquer en général celle qui se rapporte au dodécaèdre que nous I. Jl
coDsidérons ici, et je ne la développerai que dans les
parties où elle diffère de la précédente.
Dans le triangle niensurateur akf (fig. 92) qui répond à dkf(û^, •^4) ? on aura toujours
et si l'on applique littéralement à la figure 90 tout ce qui a été dit de la figure 72 (p. 440? ^^^ trouvera que
«A:A/(fig.92)::^^:Vr+7s
et parce que ak : kfllad; dly on aura
expression qui doit être la même que celle de aj'^ ainsi qu'il est facile de le concevoir, avec un peu d'attention.
Pour avoir le prolongement av de da, on substituera la figure 98 à la figure 76. La seule dififérence entre les expressions des lignes tracées sur ces deux
figures consiste en ce que bm qui était 7za'\/^''' + i^^ devient jij Vg^+p'^y et quant à hy^ elle sera toujours {/g''' +p^- D'après les substitutions indiquées, le même calcul donne av=. — '^- — , au lieu
de av = — ~ — , conformément à ce qui a été an» nonce ci-dessus (p. 4Si).
L'expression de ax sera i^ ,a.
Pour trouver celle de at , on prendra les triangles semblables xta^ als, qui donnent axlatllas : Is. Or,
donc
nxy-^x — y nxy ^ • r ?
d'où l'on déduit
iSg. Pour appliquer les données précédentes, A s'agit d'abord de cbercher les expressions de g et de p*. On aura comme ci-dessus dr'*hr\\qe\eh. Mais a la place de la proportion drlprlUje'.ev, dont les deux premiers termes n'existent pas dans le cas présent, on prendra h : azlUjel ex. De plus
Iz* Is :i drldsy ou
donc
nxy '
donc la proportion Izlazuqeiex^ peut être mise sons celte forme
Mais nous avons eu
dr\ lirW qe \ eh'^
en . ex \\ nr\ t- X az.
nxy-\-x — y
Maintenant
;,,.,^ I l^, 5> I ^,,— J nxy^x-\-^y\
m—ax-^ ^^'■— nxy+:r--y^ ^''''^^X^nxy-Y'àx-'ày) '
7 7 -7 nx\-^x — y ^ «- = «5 — sz^sz.srvJz\dr\ mais/j2= — ^^-^ ^ X«r;
donc
nxy-^-x — V
nxy cj^nc
/nxy-^x — y\ 2nxy — a:-f-V
az:=^a — ( — ^ -)a =i= =^ -,ai
\ onxy / ônxy ^
n xy
donc la proportion eh : ex '.'. hr ^ zr^lT" ^ ^'^
devient
\o«^^-H3a7 — 6y/ nxy-^-x — y \ onxy / 1
eh : ex ; : nxy + a; -|-- 2/ : 27z.ry — a; +J*. Continuant l'opération comme ci-dessus, on trouve
nxy -f- ^
donc
i4o. 11 n'y a rien à changer dans la marche du calcul qui donne Texpression de iS\ On trouvera
IS = — , d ou Ion tire n = ^ ■^.
nxy — x^ iNxy
A l'égard de n , on observera que le décroissement qui s'y rapporte agit ici comme dans le premier cas par renversement sur les angles ijiférieurs du générateur. On aura donc encore ^''lsr::2a' ' — --^a.
Et en poursuivant comme ci-dessus (p, 449) ^n trou-
j x-{-y — nxy
ver a n
IMème manière d^opérer pour avoir la plus grande incidence des faces du dodécaèdre. Le rapport entre le sinus et le cosinus de sa moitié, ou entre Bco=g'^ ( %• 9^ ) ^^ ^f^ (%• 9^ ^ 92 ) j sera celui de
X/(nxy'i~x+2yy-,a'+(^nxy-h^—yy4g' à (/zjry— x) y/?.
Quant au rapport entre le sinus et le cosinus de la plus petite, ou entre g^ et Xd", on y parviendra de la manière suivante. Les triangles semblables alz^ e^x^ donnent al'lz'l éx l é^. Or ,
êjc = a -{- yx = ai '—^— . — )
\ nxy -j-y nxy -j- x — y/
, /nry-f-r+y nx.y—x\ nry-^-x-^y .r-fy
-f-r?( — ^ . — \zzza, — =^ — ; ==- . '- — t
\nxy-hx—y nxy-^y/ nxy-^-x-^y nxy-f-y
Substituant dans la proportion précédente les valeurs
de a/, Iz et €ar, et prenant la valeur de ^e^=A3'3 ^^
trouve
Mais on a toujours
donc
g' : A,^ : : V h^\^nxy-x-i^yy+{nxy^x-yY4g^: (x-f-j') v^^-.
Pour le cas où le dodécaèdre est composé de deux pyramides droites , réunies base à base , on trouvera ,
en égalant les valeurs de ex et eh. n=z — ^^.
Il y a aussi un terme où le noyau hypothétique devient semblable au générateur. Pour trouver dans ce cas la valeur de « , on fera
Et opérant comme ci-dessus ( p. 4^9 ) , on trouvera
Qxy
1 4 1 . Si l'on suppose ex plus grande que eh , auquel cas le dodécaèdre tourne ses arêtes les moins saillantes vers les faces du générateur , on aura toujours
V=o. 2^y±£±y^ ^ ^ ' nxy -ty ^
mais on trouvera
, (nxy — 2r — y nxy -f- .r Ary\
\ nJcy-\-y nxy + x—yj
La quantité N sera ""^^V^? ^'^^^ ^'^^ déduira
Pour avoii' tz', on fera attention que dans le cas présent, yq (fig. 92) représente la diagonale oblique du noyau hypothétique ; on aura donc
qeley:: VW^W^i
et parce que le décroissement qui donne le noyau hypothétique agit sur l'angle A du générateur ,
donc
Et substituant à la place des rapports entre g' et ^, et entre a^ et a ceux de leurs valeurs algébriques , comme on l'a fait (p. 457 )^ on trouvera
, jixy — X — y n =:—^ -^.
A l'égard des rapports entre les sinus et les cosinus
des angles qui mesurent les moitiés des incidences des flices du dodécaèdre, il n'y aura aucun changement à y faire, par une raison semblable à celle que nous avons exposée ci-dessus (p. 458).
142. Je n'ai encore rencontré qu'un seul exemple d'une loi analogue à celle dont il s'agit ici. Le cristal qui la présente appartient à l'argent antimonié sulfuré. On voit (fig. g4) la projecdon de ce cristal, dont le signe rapporté au noyau ( fig. gj ) est .... .
D(»E^B3D^)AA. Sil'onfait g= \/5,p=\/^, x = 3,
^ = 2 , 72 = I , on trouve pour l'incidence de x sur x i3i'^ 16% et pour celle de x sur x' i58^^ 12'. Dans le noyau hypothétique on a
De plus N==|, et n'=: — ~, ce qui indique que la diagonale obhque yp du même noyau fliisant un angle plus ouvert avec l'axe que Faréte ag^ le décroissernent désigné par n agit par renversement sur l'angle A du générateur (p. 455). La véritable formule rapportée à cet angle sera donc n^=^.
Les facettes 5, 5 (fig. 94) sont inclinées l'une sur l'autre de i58^i2'. A l'égard des facettes f, leurs plus longs bords étant parallèles entre eux, on voit que les diagonales obliques du rhomboïde iju'elles formeraient par leur réunion sont inclinées à Taxe de la même quantité que les arêtes qv qi' elles remplacent. Désignant donc par g' la demi- diagonale
horizontale du rlioniboïde dont il s'agit, et pat a" son axe, on aura qe '. ex ou
Mais d'une autre part
g": \/3p"^ — g:^ ::mu : a^^::(3^+3) \/tr
1 • :(27z— i)v/^(p. 3ii)^
donc
d'où l'on tii^e 72= 3 , ce qui indique un décroissement par six rangées sur l'angle A du générateur. L'incidence des mêmes facettes t sur les faces voisines Xy x^ sera de i55^58'.
lïl. Décroissemens intermédiaires sur les angles e,
143. Nous avons fait voir, dans l'article précédent^ qu'il existe entre les deux espèces de décroissemens qui ont lieu sur les angles E une relation cpii permet de suivre à peu près la même marclie pour les calculs qui concernent les uns et les autres. Cette relation s'étend aux décroissemens qui ont lieu sur les angles inférieurs, abstraction faite de quelques différences qui dépendent de celle que présentent les positions des quantités x et j situées toutes les deux sur les bords D, D, au lieu que dans les décroissemens sur E, l'une coïncide avec B et l'autre avec D. Kous
49o^ TRAITÉ
prendrons pour terme de comparaison avec l'espèce de décroissement dont il s'agit ici, celle qui se rapporte à E , de manière que x est dans le sens de D et^ dans le sens de B.
Supposons d'abord que le générateur as (fig. 'jS ) prenne une position renversée, comme on le voit (fig. g6). Les droites ue ^ mj deviendront alors les lignes de départ du décroissement. Soit XH (fig. 97) le dodécaèdre produit en vertu de ce dé|jroissement , et soient uet , myt ( fig. 96 ) deux plans parallèles aux faces QXN , QXC (fig. 97 ). On voit d'abord que les angles inférieurs c?, n\ etc. du générateur (i) étant situés à la naissance du décroissement , ces angles coïn. cideront toujours avec des points pris sur les arêtes les moins saillantes QX, BX, qui sont tournées vers les faces du générateur, tandis que les arêtes les plus saillantes NX , CX se formeront constamment à une certaine distance au-dessus des bordsa^^,a&, etc., du générateur. Ainsi les unes et les autres conserveront les mêmes positions relatives à l'égard du noyau> au lieu que dans les deux décroissemens précédens , les arêtes les moins saillantes, par exemple, pouvaient être tournées tantôt vers les faces du généra-
(1) On a rétabli ici la position du générateur, conformément à celle qu'il a dans la figure yS, îe renversement qui a lieu ( figure 96 ) n'étant destiné qu'à faciliter un calcul commun aux deux espèces de décroissement , ainsi qu'on le verra bientôt.
teur , et tantôt vers ses bords supérieurs, suivant que le nombre des rangées soustraites était plus grand ou plus petit. Par une suite nécessaire , les résultats relatifs aux décroissemens sur e se trouvent resserrés entre des limites plus étroites que ceux qui dépendent des deux premiers décroissemens , ainsi que je l'exposerai plus bas.
Soit maintenant hx (fig. 98 ) un système de lignes qui aient avec le dodécaèdre (fig. 97) les mêmes relations que celles qui composent la figure 74 , avec le dodécaèdre que représente la figure 73. En comparant les deux systèmes, on voit que^/7 (fig 9S) parallèle à vx remplace dp (fig. 74) parallèle diqx^ et que dp (fig. 74) qui en partant de l'angle d se dirige parallèlement à ^jur, est remplacée par dx (fig. 98), qui en partant du même angle est l'analogue de qx (fig. 74). Par une suite nécessaire, ay qui était limitée par dp (fig. 74) 9 s'étend jusqu'à ce qu'elle rencontre qx (fig. 98 ). De plus , eh qui était tantôt plus grande et tantôt plus petite que ex^ dans les résultats relatifs au dodécaèdre (fig. 78), sera constamment plus petite, comme on le voit (fig. 98), dans ceux qui se rapportent au dodécaèdre (fig. 97).
i44- La différence générale entre les formules de part et d'autre consiste en ce que la quantité y, toutes les fois qu'elle n'est point multipliée par n^ prend dans les calculs qui vont nous occuper un signe contraire à celui dont elle était affectée dans ceux qui ont pour objet le dodécaèdre (fig. 73). Du reste, les
49 s TRAITÉ
valeurs de ay et de av sont les mêmes, et celles de ap et de ax présentent l'inverse l'une de l'autre ^ conformément à ce qui a été dit plus haut.
Quant aux valeurs de N , tï et tz^ , et aux rapports entre g* et p\ ainsi qu'entre les sinus et les cosinus des angles sous-doubles de ceux qui mesurent les incidences respectives des faces du dodécaèdre , ils ont la même conformité avec ceux qu'offrent les quantités analogues , pour les décroissemens sur E , dans les cas où l'on a ex plus grande que eh , ainsi que cela doit être d'après l'observation ci-dessus. La seule quantité qui ne participe point de la différence des signes qui précèdent j", est celle qui donne la valeur absolue à^ g ,
La marche des calculs qui concernent ce décroissement se trouve comme tracée d'avance par tout ce que nous venons de dire, et sera facile à suivre, en prenant pour objet de comparaison celle qui conduit aux résultats des décroissemens sur E, dans lesquels x coïncide avec D et j^ avec B.
i45- Cherchons d'abord l'expression de ay^ que nous tirerons de la fig, 96 comparée avec la fig. 73 , qui avait donné au contraire l'expression de av ( %"• 74)- ^^ous avons eu (p. 443 ) ,
hm = nx\/g'^+p'^ (fig. 70), bt=ny\/g''+p'-.-
et by= Vg^T^'
Dans le cas présent, 5/n (fig. 96) sera touJours^ égale
DE CRISTALLOGRAPHIE. ^gS
à nx\/g^+p'^] mais
ht= \^g''-\-p^ et hj=ny\/g'^+p'\ SiiLstitiiant ces valeurs dans la proportion
bm\jz-=:bj:\hc\cz^ ou hm\hj\\bc\hz — hc ^
et observant que hz=-i^'ny^ puisqu'il renferme autant de diagonales ijj que hj renferme de fois v/^'* -f-p'i nous aurons
nxs/^^-^-^^ : ny \/g''+p":: bc : ipnj—bc^ ce qui donne bc = -^-.
Mais bt:bc::aj (fig. 98 ) : ad y ou
donc a^= —- s/g^-^-p'^j quantité qui étant comparée à celle que nous avions obtenue (p. 442)7 offre, relativement au signe de/, la différence que nous avons annoncée (p. 491 )•
146. Passons à l'expression de av. Soit//? (fig. 96) la ligne qui correspond à 772^ vers l'angle u opposé à b. Le plan ttz^;^ étant parallèle à la face QXC ( fig. 97 ) du dodécaèdre , si nous faisons passer par yA (fig. 96) lin second plan parallèle à BXC (fig. 97), et si nous supposons que les deux plans se prolongent en allant de 772^ vers fh (fig. 96), leur réunion se fera sur une ligne parallèle à l'arête CX (fig. 97 ). 11 suit de là que nous pouvons considérer la formation de cette arête,
4^4 TÊAITÉ
ou plutôt de celle qui répond à gp (fig. 98), paraiièlement à CX ( fig. 97 ) , comme étant l'effet d'un décroissement hypothétique qui agirait sur les angles b^ u (fig. 96) de la face dhau^ parallèlement aux lignes mt^fh^ en suivant une certaine loi que nous déterminerons dans un instant.
Soient »7r , /-/, deux lignes parallèles, l'une à mt ^ l'autre à/Zt, et tellement prises que dy\ égale la quantité dont le bord de chaque lame de superposition est dépassé par celui de la précédente , dans le sens de la diagonale da j soit de plus di une portion de l'arête ds égale à la dimension en hauteur.
Maintenant duah (fig. 99) étant le même rhombe que figure 96 , soit Xy la ligne de départ du décroissement située vers l'angle h , en supposant une seule rangée soustraite. Appliquons ici la construction représentée (fig. 72), en menant Xjw parallèle à da^ '^tt perpendiculaire sur A^, de parallèle à ^A, puis i^p, autre parallèle à la même ligne , et située de manière que l'on ait €3- = ^^. Dans ce cas dv sera la distance d'une lame à l'autre prise sur da. On aura donc
Jy X/z = c?/2 (fig. 96).
Maintenant hX étant la ligne qui répond à bm (fig. 96), dont l'expression est uKS/g'^'+p'^ ^ et la figure 99 étant construite dans l'hypothèse d'une seule rangée soustraite, on aura bK^^xs/g'^'-i-p^. Par la même raison, by étant l'analogue de bt (fig. çp)^ dont
lexpression est \/g'^+p*j on aura, en divisant
celle-ci par tz, by=:~y^g*-+-p'^ (fig. 99). D'ailleurs
hjJi égale à 5A a aussi pour expression ^V'^'^+y*- Donc
De plus
^^=z2p'x, a,y=by=l \/^"+p^ Or,
donc
donc t//2 (fig. 96) =;^^.
Mais di , qui représente la dimension en hauteur , esl égale kby ou. 3Lnj Vg^'i'p''^' ^^ P^^^s , le triangle ndl est semblable au triangle vag{ii^. 98). Donc
di:dn(f\^.96) :: ag-.av (fig. 98) :: £7:«7>/?Hy% ou
donc puisque a^=\/o^''+P% ^^^ ^^^'^
«y = -^— , au lieu de — ^-^ (p* 44 î)-
147. 11 est facile maintenant de déterminer les expressions de ax et de ap.
1*. Pour ax. On a axlctj llax-^-asl cis. Substituant à la place de aj sa valeur, et faisant as=a et ds:=. Vg^'hp'' j puis dégageant ax^ on trouve
aoc=- -~ .a,
nxy — X — y
C'est l'expression de «p(p. 44^)? dans laquelle les signes de jr sont changés.
2*. Pour ap. INous avons «p ' aj^ : : «p + as ^ ^5. Faisant de même les substitutions convenables , on
oc trouve «D = . C'est l'expression de ax
' nxy — y — x '-
( p. 445 ) 5 ^^ec un changement de signe relativement à la quantité j".
148. Pour avoir les expressions des demi-diagonales^' et/?' du noyau hypothétique, on se servira des deux proportions^^: uh\\qe \ex^ et gu :pu : : geieh, d'où l'on tire ex' eh^'^uh '.pu. Or
