Il 272xy 4-:c-f-y
uh:=:ax'i-\a=^a.:= — 5 — Hr- p
^ ônxy — âx — 6y
, , nxy — 9.x — y
Ces deux valeurs étant substituées à la place de uh et de pu, on trouve
ex \eh : : '2.nxj'\~x +J' : nxy + 3a;.
En suivant la même marche que dans le calcul relatif
t)E CRISTALLOGRAPHIE, 497
au décroissemerit sur E(p. 44^)^ ^n aura
, na:v4--^+V Q/zry-f-x + y
nxy — X — y oaxy -f- ox
Substituant cette valeur ainsi que celle de uJi dans la proportion
et dégageant g ^ on trouvera comme page 44? ?
^ " nxy-^x
Maintenant ,
eh -{-ex : eh — ex \ : Znxj + 3x : 7z:r;^ — x-\- ij.
D'une autre part ,
eh-\-ex'=-hx'=-as -\- i{ax)-=^a , —^— ^,
^ ^ /2xy — x — y'
et (eA — 6x)==|«.
Ces deux rapports combinés donnent
, 77XV -f >3: 4- y nxy — x 4- sv
Tiarj' — X — y nxy -f- a:
Egalant cette dernière quantité à q//"* — '^g^ -, et mettant à la place de^' sa valeur, puis dégageant/»'^ on aura
V — SJ 9^\^nxy^x-^y)^^^^ A\ nxy ^ x )'
donc
rapport qui ne diffère que par les signes qui pré^ cèdent j^ de celui que nous avons donné page 44^* 1 49. L'expression de N se déduit comme ci-dessus,
page 44^? ^^ l'équation >^ = jû^" ^^'j o^
Ayant mis à la place de hx et de a! leurs valeurs algébriques , ou aura
/ X — V nxy-\-x-\-y\ 1 //i.r y+x-f;)' /ijry— oH-syN
Xnxy-^-x' nx^ — x—y) JN — 1 \nxy—x—y' nxy -\-x /*
et réduisant, puis dégageant N, on trouvera
^nxy-k.y x-^y*
comme à la page l^^% ^ sauf la différence déjà indiquée. La même équation donne
Nx — Ny — y
Pour avoir v! ^ concevons que les lignes vy ^vi^ q*.^ ^^, se meuvent parallèlement à elles-mêmes , en s'éloignant du centre, jusqu'à ce que le quadrilatère adsg se trouve inscrit dans le quadrilatère yq^^v^ comme le représente la figure 100. Nous aurons cette suite de rapports ,
qQ (fig. 38) : ey \ \ q'e (fig. 1 oc) : ey ! : V^fe^ la'lldrl Ty
DE CRISTALLOGRAPHIE. 493 le décroissement qui produit le noyau hypothétique étant censé agir directement sur l'angle e du générateur. Donc ^':^:: 2a' \ , .a. Mettant à la place
i^i^s rapports entre g et g^ et entre a et a ceux de leurs \aleurs algébriques, et faisant les autres opéra-
tions convenables, on trouvera 7^ = — ~ 1-^,
comme à la page ^^o. avec la différence ordinaire,
i5o. 11 ne reste plus qu'à déternâner les incidences respectives des faces du dodécaèdre. En commençant par le rapport Ciy ; ft'ft qui est celui du sinus au cosinus de la moitié de l'angle que font entre elles les faces ISXQ , GXQ , on a d'abord Co) ou
On cherchera ensuite y S" (fig. 98), qui est double de cjù}x^ en se servant de la proportion dx\dr\ \ yx'.yS'. Or,
Substituant à la place de dx , dr et yx leurs valeurs algébriques , et prenant la moitié de la valeur de ^cT, on aura celle de cùpL , et l'on trouvera g^ ou
Cu> : c^u : : \/{2nxj + x +j;\a^ + {nxj — .v — jO^fë"
rapport qui est le même, sauf la différence ordinaire, que celui qui a été trouvé page 4^3, pour les faces les
5oo TRAITÉ
plus inclinées du dodécaèdre, lorsque dans les dé-
croissemens sur E , ex est plus grande que eh.
Pour avoir ensuite le rapport BA ou^' à AS* (fig. 97), ou celui du sinus au cosinus de la moitié de l'angle que font entre elles les faces CXQ, BXC du dodécaèdre , il suffira de trouver l'expression algébrique de la quantité fÇ (fig. 98) double de A3-. La proportion qui y conduit est gp \ gu 'A ex '" é^. Or,
Mettant à la place depU , gUj a et yx leurs valeurs* on déduira de la proportion celle de la moitié de €^ ou de A3- , et l'on aura définitivement
BA:A3-:: S^nxj -\-ix —jy\a' + {nxj — x —ff^g"- '.{jixj-^jWa^
rapport qui est encore le même, à l'exception des signes de jr, que celui auquel nous sommes parvenus (p. 452), relativement aux faces les moins inclinées du dodécaèdre produit par le décroissement sur E.
1 5 1 . Les résultats qui vont suivre dérivent des propriétés particulières à l'espèce de décroissement dont il s'agit ici. Le point dàe l'arête qx (fig. 98) ayant, comme je l'ai déjà remarqué , une position fixe , pendant les variations que subit le dodécaèdre, si l'on suppose que la valeur de n augmente de plus en plus, la quantité ax ira au contraire en diminuant, et au terme où n sera infinie, l'arête qx se confondant avec la diagonale oblique ad^ les faces du noyau hy-
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5oi
pothétique se trouveront sur les mêmes plans que celles du générateur, ce qui ne pourra se faire sans que les bords NQ, CQ, etc. (fig. 97), ne coïncident avec les arêtes du^ db, etc. li en résulte qu'alors^ s'évanouit, et c'est effectivement ce qu'indique la fjrmuîe relative à ce cas. Pour le prouver, servonsnous encore des rapports entre les diagonales du noyau hypothétique et du générateur, qui donnent la proportion suivante :
et parce que 3p* — g"" représente le tiers du carré
de l'axe, ( ^-^ ^ '"iZ ) -—^.çq q^.^ donne, toute ré- ^\ nxy — X — y y ' '
duction faite , j/ := o.
132. A l'égard du cas où le dodécaèdre se trouverait changé en une double pyramide droite, il est facile de juger , à la seule inspection de la figure 98 , qu'il ne peut avoir lieu en vertu du décroissement que nous considérons ici , puisque le point d de l'arête qx étant toujours plus éloigné du sommet x que du sommet h , quelque position que l'on donne à cette arête, jamais on n'aïu^a qx^=qh, ou ex^=-eh. Yoyons ce que donne la formule relative à cette équation. Si nous substituons à la place de ex et
Boa TRAITÉ
de eh leurs valeurs algébriques , naus aurons
2/2ay +.r -^-y = nxy + ix — y ;
d'où l'oH tire 7z = ^ -. Mettons à la place de n
xy A
cette valeur dans les équations
aj = ^-±y V7+? et av = -^"^ ; ^ nxy ^ * ^ nxy — ^y ^
la première devient aj== ~~f-'\/g'-+p''j et la se-
conde av =: — ^-^—^~. On voit que toutes les fois que or
surpassera 2;^, la valeur de aj sera une quantité rationnelle plus grande que l'unité j la même chose aura lieu ]X)ur la valeur de av ^ tant que x surpassera Zy. Donc , dans tous les cas de l'un ou l'autre genre, aj ou av étant plus grande Tune que l'arête ds^ et l'autre que la diagonale acl^ les lignes qx et gp se rejetteront vers la partie opposée de l'axe, en prenant des positions telles que js, vt (fig. 1 00) , et la ligne gp (fig. 98) entraînant avec elle sa parallèle vx^ celle-ci passera à la position (pjz (fig. loo ). Le mêitie changement aura lieu à l'égard des lignes ph , qh (fig. 98), qui se rejetteront vers la partie supérieure de l'axe. Il en résulte qu'alors le dodécaèdre sera devenu un€ double pyramide droite par un effet analogue àcelui des décroissemens ordinaires produits par renversement.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5o3
En effet , d'une part ,
ou
ee qui donne
D'une autre part ,
st: gsWat : av'^ ou 5^ : 2/7 :: a+5^. ^g-i
ce qui donne Donc
Or, les denx rapports étant identiques, il en résulta que les lignes ^s, et vt^ ou sa parallèle (^Zy sont également inclinées en sens contraire, ce qui indique la double pyramide droite.
La loi qui donne cette double pyramide rentre alors parmi les décroissemens intermédiaires qui ont lieu directement sur les angles latéraux dba , n^ba ( fig. 96) 5 par une suite de ce que la ligne et au lieu
de se rejeter vers le sommet 5, comme auparavant, s'incline vers le sommet a. Tant que hm est plus grande que ht^ le décroissement se fait de manière que X est dans le sens de D et j dans celui de B. Lorsque ht devient égale à hm^ on a l'équivalent du décroissement ordinaire sur les mêmes angles , d'où résulte la double pyramide; et parce que ce décrois» sèment a lieu par trois rangées ( p. 355) , on a
l:)m'==.ht'=-'M)y .
Dans 1 équation 5;f=r/f—7r-;—J ou st^=^a[ — ^ — j,
la valeur de st s'évanouit alors , c'est-à-dire que l'aréte vt se confond avec la diagonale gs^ d'où il suit que (pr devient parallèle à cette diagonale , comme cela doit être dans le cas présent.
Lorsqu'ensuite ht devient plus grande que hm^ on a l'équivalent d'un décroissement intermédiaire sur les angles latéraux, dans lequel x coïncide avec B, et j^ avec D. Il y a un terme où ht devenant infinie , è/7z s'évanouit 5 et la ligne et devient paralMe à l'a- ^•êtp ha. Ce terme répond au cas où, dans l'équation sz ( fig. ioo)=a ( — :^ }? -^ ^'^^ double dej', ce
qui donne sz-==--^ — ; c'est-à-dire que sz étant nulle ,
Farête^'s coïncide avec ds. On a alors l'effet du décroissement ordinaire par deux rangées sur les bords B du générateur , d'où résulte la double pyramide droite (p. 297}.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5oS
Au-delà du même terme, x devenant plus petit
que 2j\ la valeur de sz ou a( — ~. j ^^^ négative,
alors les lignes J'j:: , (pz se réunissent en un point situé entre les sommets s, a, et le résultat est censé appartenir aux décroissemens intermédiaires sur l'angle supérieur A du générateur , qui feront l'objet de l'article suivant.
i53. La cristallisation ne m'a encore offert qu'une seule forme à laquelle l'espèce de décroissement qui vient de nous occuper soit applicable, savoir, celle dont on voit la projection (fig. loi ) , et qui a pour
signe e(ED D'D'D )D B. Les facettes v qui depen-
dent du décroissement intermédiaire sont interposées entre les faces r de la variété raétastatique et les. faces c qui appartiennent au prisme hexaèdre régulier. 11 résulte de cette disposition que la figure des faces c, qui serait celle d'un trapézoïde, si elles existaient solitairement , devient un rhombe par Feffet de ses intersections avec les facettes i^, p. Je prouverai plus bas que l'existence de ce rhombe peut avoir lieu pour un rhomboïde quelconque, et en vertu d'une infinité de combinaisons différentes de deus. décroissemens, l'un ordinaire sur les bords inférieurs du générateur, l'autre intermédiaire sur les angles compris entre ces bords. De plus, le cristal est ter-, miné <le chaque côté par les iaccites t, t, dont les
5o^ TRAITÉ
intersections avec les faces r, 7', sont sur un même plan horizontal, et je ferai voir que cette propriété est de même indépendante des angles du générateur, et peut exister en vertu d'une infinité de combinaisons de deux décroissemens ordinaires, l'un sur les bords inférieurs, l'autre sur les bords supérieurs d a générateur. C'est du caractère de symétrie qu'impriment à cette variété les deux assortimens dont je viens de parler, que j'ai emprunté son nom de chaux carboiiatée euthètique , c'est-à-dire qui offre des positions heureusement combinées.
Si dans le rapport des demi-diagonales ^' etp' du noyau hypothétique (p. 49?)? on fait 72 = |, ^=3 , yz=.\^ on trouve g^ \p\\ \/3 : \/i7, ce qui fait connaître que le noyau dont il s'agit est semblable à Ja variété contrastante (p. 378). Les mêmes substitutions donnent N = 3 , ce qui est l'indice d'un décroissement par trois rangées sur les bords inférieurs du noyau hypothétique; et 7z' = f , comme nous l'avions déjà trouvé par une autre méthode (p. 3-8 ). L'incidence de v sur f.', ou de v^ sur v sera de 152^28' 22''; celle de v sur v\ de 88^ 55' 8"; et celle de c sur v^ de 164^ 3' 16"^.
J'ai maintenant à démontrer les deux propriétés qui ont été énoncées plus haut. La première consiste en ce que les facettes c, c ont la figure d'un rhombe, par une suite de la manière dont elles sont coupées par les plans v , r.
Concevons que l'une quelconque de ces facettes
DE CRISTALLOGRAPHIE. hzj
soit divisée par nne 'diagonale horizontale en deux triangles isocèles dont cette diagonale sera la base couiîiî'ine, et dont l'un, que nous désignerons par T, proviendra du décroissement ordinaire sur D, et l'autre nr.i sera indiqué par S , résultera du décroissemeni intermédiaire sur e. Soit b la base commune des deux triangles, h l'apothème du triangle T j h' celui du triangle S, 7i la loi relative au décroissement sur D , et n celle qui se rapporte au décroissement sur e.
Maintenant adsg (îig. 102) étant la coupe principale du noyau, et dp^ fZr, deux arêtes contiguës du dodécaèdre produit par le décroissement sur D, si parle milieu o de la diagonale oblique ad nous menons oz parallèle à l'axe /?/, nous aurons
D'une autre part , si nous menons cù^ { fig. 98) paj-allèle à l'axe hx^ nous aurons
•• „ 'Î51±^+y ' ■„ nxy + x+y x— ^ ^ n xy-\- X * n xy — x — y n xy -f- a; , X — V
" * nxy — X — y On aura donc , dans le cas du rhombe ,
nx^ — x—y
5o8 TRAITÉ
d'où l'on tire
, Qnx—T -^y , y — x
71=^ -. et 71-=— ,~ .
nxy ^ n xy — Q.X
Dans le cas présent j: = 3,j^=i, 7z'==f,n = 2, ce qui donne f pour chaque membre de la première équation, et 2 pour chaque membre de la seconde.
Reste à démontrer la propriété en vertu de laquelle les faces des deux dodécaèdres qui proyiennent l'un d'un décroissement sur D, l'autre d'un décroissement sur B, se rencontrent de manière que leurs intersections se trouvent sur un même plan perpendiculaire Il Taxe. Il est d'abord facile de concevoir que les intersections dont il s'agit ont leur origine aux angles solides E, E du générateur. Soit am (fig. io3) celle des arêtes du solide provenant du décroissement sur B, laquelle répond à la diagonale oblique ad du générateur. Si l'on mène gu perpendiculaire sur l'axe, et qu'on la proloxige jusqu'à la rencontre x de am^ le point ce situé vis-à-vis du point g^ qui est un des angles latéraux du générateur , sera le point d'intersection de l'arête ajn avec celle qui lui correspond sur le dodécaèdre produit par le décroissement sur I>; soit pd (fig. 102) cette dernière arête. Si nous prolongeons de même gu jusqu'à ce qu'elle coupe en f l'arête dont il s'agit, le point t devra se coniiondre avec le point x (fig. io3) , c'est-à-dire que ux=.uL Soit n' le nombre de rangées soustraites relatif au décroissement sur B, et n celui qui se rapporte au dé-
croissement sur D , nous aurons
ux (fig. io3) = ^4i-T VÎT (P- 394).
D'une autre part ,
«p(fig. 102)=::— ^-.ây prldrr.pulut'^ ou
donc
d'où l'on tire n' = n-\- i .
Parmi les différentes lois de décroissement qui déterminent les formes des variétés de chaux carbonatéé , on en connaît huit , dont quatre ont pour ex-
pressions B, B, B, B, et les quatre autres D, D, D, D,
ce qui donne les combinaisons suivantes, DB , DB,
DB, DB, qui toutes réalisent la propriété que je viens
de démontrer. Mais jusqu'ici il n'y a que les deux lois représentées* par la seconde cpii soient associées dans une même cristallisation, qui est celle de la variété eutliétique ; les autres agissent solitairement dans la production des formes qui en offrent les ré- ^idtats.
