IV. Décroissemens intermédiaires sur Vangle A

154. Cette espèce de décroissement est distinguée des précédentes surtout par l'égalité qui existe constamment entre l'axe du rhomboïde acln's (fig. io4), qui y fait la fonction de générateur et celui du dodécaèdre secondaire alNB^. Il en résulte que les extré^ mités du même axe sont les seuls points qui soient communs aux deux solides.

So\\.adsg ( fig. io5) la coupe principale du générateur 5 et a», 5» , aA 5 5A , les quatre arêtes du dodécaèdre situées dans le même plan que cette coupe^ En comparant cette figure avec la 74*5 pi. 21, on voit que la ligne r/rtr, qui dans celle-ci mesure la distance entre les sommets des deux solides, disparaît dans Fautre- et que les lignes ay^ av ^ ou les proîongeniens de agj ad^ sont remplacées par les lignes dvyg^ (fig, io5), qui sont les prolongemens de l'arête et de la diagonale opposées à celles de la figure 74* Ainsi, au lieu des expressions des quatre données ap^ tzjc, aj^ av , à l'aide desquelles nous avons résolu les problèmes relatifs au décroissement sur E, nous D'aurons , dans le cas présent , que celles de dv , g^ , qui suffiront pour nous conduire au même but.

Si nous continuons de prendre pour terme de com-^ paraison les formules qui dépendent dU décroissement sur E, dans lequel x coïncide avec D, nous trou-* verons qu'en général ces dernières passent à celles du décroissement sur A, parla substitution dexày, et

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5ii

de — y à x, dans les quantités ou elles ne sont multipliées ni par n, ni Tune par i'antre. Je ferai connaîtra les exceptions à mesure qu'elles se présenteront.

i55. Soit as (fig. 106) le générateur, et Iff, ceff deux plans parallèles aux faces NaQ (fig. i o4) , CaQ, pris de manière que It^ ce, représentent les lignes de départ du décroissement. Nous aurons, en appliquant ici ce qui a été dit des autres décroissemens ,

et ,,/=v/?M=y^;

et parce que les triangles maf (fig. 1 06), adv (fig. i o5) sont semblables, «ttz :<7/'(fig. 106) Wad'.dv. Or, dans le cas particulier dont il s'agit ici, ces triangles font l'un à l'égard de l'autre les mêmes fonctions que les triangles tbc (fig. 96) et daj ( fig. 98) ; d'où il suit que l'expression de dv ( fig. i o5 ) sera la même que celle qui a été trouvée (p. 493) poui' aj)

e'est-à-dire que dv == ^^^^ V^g* ^~P*-

La construction de la figure 106 peut encore nous servir pour trouver l'expression de^3' (fig. io5). Car soit ir (fig. 106) une ligne située en sens contraire de la ligne tf^ et inclinée de la même quantité. Si nous menons tl et y/, les deux plans Itfj lir^ seront parallèles aux faces QaC,BrtC (fig. io4) du dodécaèdre. Menons /2 (fig. io6) parallèle à a^ et égale à afy puis «s. Les triangles semblables ato^ fzc j

h 12 TRAITÉ

donnent at '. afi: ao : oz = az — ao. Substituant à la

place de at et de y^= «fleurs expressions trouvées

ci-dessus , et à la place de az la quantité 2p , nous

aurons

d'où Ton tire

jiy'

Maintenant les triangles semblables alf(i\^. i o6)yagd' (ilg. io5), donnent

al= nx s/g"" +y * • CLO *^ ag \ ^3*,

nx \/g'-\-p * : j^;^^ :: Vg'+P' ' g^; donc .o^ = -^.

Cette expression j comparée avec celle deaj' (p. 49^)>

laquelle est — ^^^^j- ? et se rapporte au décroissement

sur ^, présente, comme par exception , les différences que nous avons dit avoir lieu généralement (p. 5io) entre les formules relatives au décroissement sur À et celles qui dépendent du décroissement sur E.

i56. Je commencerai les applications, comme à Fordinaire, en cherchant le rapport entre les demidiagonales^' et p' du noyau hypothétique dont la

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i3

coupe principale est représeate'e par le quadrilatère «'>15'A ( fig. 107). Ce rapport dépend de celui de aca à cas , et pour avoir ce dernier, il faut chercher successivement ceux de Wjù 2i oos ^ et de YiCù à a'Jù.

Ayant mené 3-J (fig. io5) perpendiculaire sur l'axe as^ nous aurons

Cherchons ^a et a t.

1°. Pour ^(T. Nous avons

sg : s3- :: gu : 3-j",

2". Pour a^.

^-O" : (Ts'=as — a7 : : gu t z/5 j

d'où l'on tire

a7=a — f^^y + ^-J-N .^ nxy+-r-3y ^ \ nxy -f- X / ^ 3/za7y + 3.t;

Ces expressions de S*!! et «t suhstituées dans la proportion y\co ; œsw^Œ \a7^ donnent

%ca>vjùs\\ {Ziixj + Zx -f- 3j) S/^g"" • ( o/zx/ + .r — 27)0 .

Le second rapport, qui est celui de 'i\ùù à aœ ^ dépend de la proportion r\oi>\ aùù\\v^\ ax.

Si 4 TRAITÉ

I*, Pour vr.

sd: sv=zsd+di>::dr:vry

^•. Pour ar.

vr : rs^=as — ar II dr l rs, ou

d'où l'on tire

Tiory " ônxy

Donc

, 72xy + x+y ^ /T— • 27i.ry — a; — y

yiû) : au) :: — =^^ -^ vt^'^ : — ^7? .«

:: (377crj + 3x+3j')f c» : {2n'Xf—x -^y)a ^ donc

«û) \ces\\ inxy — x — r : nxj'\-^x — iy.

Soit :inxy — j — xz=m et nxj^x — 2f:=7i. Nous aurons m+n'.inWas'.aoù. Et mettant à la place de ttz, tî, a*, leurs valeurs, puis réduisant,

ônxy — ôy : 2nxy — x — Y::a: aoùz=:-^ — -~^,a.

\ onxy — oy J ùnxy — oy

Maïs nous avons eu

Mettant à la place de cos sa valeur, et réduisant, on trouvera g^=g.'!^^^ quantité dont le dénominateur seul est afïécté de la différence indiquée plus haut (p. 5io).

La valeur de p' dépend de celle de a' qu'il faut d'abord trouver. Or, ac») — cos est le tiers de cette dernière- prenant la différence entre les expressions de acû et ù)s , et la triplant , on trouve

donc -^

\ nxy — y /

Mettant à la place de g-'" sa valeur, piiis dégageant;.', on aura

V \nzy-^x-l.y ) ^ ^ë \ nxy^y ) '

donc

rapport qui est le même, sauf la différence indiquée, que celui qui a été trouvé pour les décroissemens sur E (p. ^56), dans le cas où le dodécaèdre tourne, comme ici, ses arêtes les moins saillantes ^ers les faces du générateur.

5i6 TRAITÉ

157. Pour avoir N, on considérera que l'axe du dodécaèdre étant égal dans le cas présent à l'axe du générateur , la partie de l'axe du premier , qui excède

l'axe du noyau hypothétique est ^(a— a')==^^^^__~ »

toute réduction faite. Donc

Is — 1 nxy ' jixy—2x-^y

^-. nxy — X

x—y expression qui est la même que celle de N (p. 4^?)? dans l'hypothèse de ex plus grande que eh , en ayant égard à la différence indiquée. La même équatioa

, Nx — Ny -f- x

donne 72= •

id8. Concevons que les quatre côtés du quadrilatère a'r.s'À se meuvent parallèlement à eux-mêmes, en s'éloignant du centre, jusqu'à ce que les points a', s^, se confondent avec les points a, 5, comme on le voit. fio. 108. 11 est visible que le décroissement d'où résuheraitun rhomboïde semblable au noyau hypothétique agirait sur les angles supérieurs du générateur. Soit toujours n' le nombre de rangées soustraites. jNous aurons d'une part

Ti^r : ar:: >i^(tig. 107) :act):: Vl/* • |«^ et d'une autre part

Vr(fig. Io8):a^::(^^' + 0 V^^-VTT^^^

donc

S •S'^^a . —7-, — 'Cl.

Substituant aux rapports entre g et g' et entre a et a' ceux de leurs valeurs algébriques , on aura

nxy-{.x-^y : nxy--y::2nxy — 4x-^2y - -j^^ç^O^^'^y —y) ',

comme nous l'avons eu pour les décroissemens sur E (p. 458), en tenant compte de la ditférence ordinaire.

iSg. Pour avoir le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de l'incidence de NaQ sur CaQ, menons a y perpendiculaire sur ay) (fig. T07 ) , et du milieu o de a'y] une autre perpendiculaire sur la même ligne avi. Le rapport cherché sera celui de g^ à oh 5 moitié de af, dont il s'agit de trouver l'expression. Les triangles semblables a^aj\ arico ou avT (■fig. I o5 ) 5 donnent

ay]

: vr : : aa' : af, av = \/{ary -|- (j^ r)*

v/«t-^^P) +(^^Tlr (p. 5.4),

; =-{aS'-'as) = -,[a'-a)^a — a[^ „^^__^ ;

Mettant dans la proportion précédente à la place

5i8 TRAITÉ

de av^ vr et aa' leurs valeurs , et cherchant celle

de a'f^ on aura

in ^ -^ ^° nxy — y

Prenant la valeur de g' ou g. "'^^ ^ -^ pour le pre-

niier terme du rapport et la moitié de a'/ pour le second terme, on trouvera que le sinus est au cosinus de l'angle cherché

: : {/s^X^nxy — X --yy + {nxy + x 4-j)^4g' : (.oc-y) \/a^ , rapport qui conserve l'analogie ordinaire avec celui qui a été trouvé (p. 4^3) entre Ca et AS-,

i6o. Passons à la détermination de l'incidence respective des faces QaC, B«C. Si du sommet s^ (fig. 107) de Faxe du noyau hypothétique et du milieu l de la diagonale s^K nous menons s't et lu perpendiculaires sur l'arête «A, le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de l'angle qui donne l'incidence cherchée sera celui de^^à lu moitié de s't. Tout se réduit donc à trouver l'expression de cette dernière ligne. Or, les triangles semblables as't^aXji/* donnent

as' : s't :t «A : Aju::a3-(fig. io5): ^'«j,

as'-=-as — 'Ss'Cfig. I07) = a5 — aa'

=a — «(-^— ^ ) (p. 5i7)=a . '-^ -^ \nxy — y/ ^* ' ^ nxy — x^

DE CRISTALLOGRAPHIE. Sig

Mettant, dans la proportion précédente, à la place de as'^ «3" et 3* (7 leurs valeurs, et prenant celle de s'f^ on trouve

nxy

.V ^ nxy^y

■—..aV{nxy^x^y)H^^

V/ {nxy -h a: — 2yy^a^ + {nxy + a: -f- yf^.g-

Donc la valeur de^' étant le premier terme du rapport et la moitié de celle de s't étant le second , le sinus cherché sera au cosinus

:: \/{nxy-^x—2yy^a--{^{nxy-\-x-^y)4g^ l (;ix^— x) /a*.

Comparez ce rapport avec celui qui a été trouvé ( p. 452 ) entre Bco et œ^z.

161. A mesure que n diminue , l'angle que font entre elles les faces QaC , BaC augmente, et il y a un terme où ces faces se trouvant sur un même plan , le dodécaèdre se trouve converti en rliomboïde. On peut aussi considérer ce rhomboïde comme le résultat d'un décroissement ordinaire par renversement sur les angles A.

Soit adsg (fig. 109) la coupe principale du générateur, et soit aor le triangle mensurateur relatif au rhomboïde dont il s'agit. Soit n' la loi qui le produit par renversement. De plus , soit as ( fig. 1 10) le générateur,^/ etfh les directions des bords des lames qui subissent le décroissement intermédiaire, lorsque le dodécaèdre s'est converti en rhomboïde; soit gk une autre direction qui a heu sur la face agmii.

Dans ce cas al=:ali, Or^ aî:=y ; donc 7z= ^ =-•

On peut obtenir le mê^ne résultat en considérant que , dans le cas présent , le cosinus de la demi-incidence des faces QaCjBaC (fig. 104) s'évanouit. Donc (jixy — x) \/a^=o (p. Sig), ou simplement

nxy — a;=03 donc

nxj-=^x^ ny=iy et n=-,

Clierchons le rapport entre ga ou .r, et aZ ou j^, et menons auparavant /^, puis gt^ au point où /^ coupe la diagonale ad. Soit ^-^ (fig. 109) la même ligne que fig. 1 10. Les triangles semblables aor^ atg^ donnent

ag 'af::or:ao:: n\Jg'^-\-p^ : p.

Mais ag (fig. 109 et 1 10) = x \/^''+y% et at renferme autant de fois;?' qu'il y a d'arêtes de molécule renfermées dans al\, et puisque ce nombre d'arêtes esty^ nous aurons at=jp' -^ donc nous aurons au lieu de ag'.atW n! \,^g'^+^^ : p\

On voit combien il est facile de passer du décroissement ordinaire à celui qui est intermédiaire. Soit 72' = ! comme dans le cuivre gris mixte.

Alors A? : jK • • ^' : 1 1 : 3 : 2;

donc on peut faire or^S, j^=2; donc n' ^=^. Dans ce cas, le rapport entre le sinus et le cosinus

de la demi-incidence des faces du rhomboïde est égal au rapport entre le sinus et le cosinus de celle des faces NaQ , CaQ (fig. io4) ; c'est-à-dire au rapport

Mais^= VhP= V'3, a= \/i\, x=3,y=2, 7i=i, Donc

sin^incid. Icosin:; \/8(6— 5)'^H-(3+5/4 : ^24 :: s/^' n/6:: n/T7 : i.

D'une autre part , dans un rhomboïde ,

sin^incid Icos:: Vg^-^-p"" : \/3p' — g\

Or ici ; g = s/ S 5 p = V'3 j donc

sin |incid. l cos:: \/i i I \/i ^^

ce qui est le même rapport.

162. Le cas où aoo étant égale a cos , le dodécaèdre devient une double pyramide droite hexaèdre , peut aussi avoir lieu en vertu du décroissement dont il s'agit ici. On a alors

27ÎXy X y = 71XJ -i-x — 2y ,

d'où l'on tire

n = Z^ au lieu de 7ï=z- 1 ( p. 454 )•

Si l'on substitue cette valeur — — - de n dans celle

dea'qui esi aC^ """ ^ ^\ ou trouve a^=a( \

^ \ nxy — y P \2.r — oyj

ce qui doit être, puisqu'alors le noyau hypothétique

s'évanouit.

Si n diminue au-delà du terme qui donne la double pyramide , aoù deviendra plus petite que ods y et les faces iS aQ , CaQ ( fig. i o4 ) feront entre elles de plus petits angles que les faces QaC , BaC En même temps le noyau hypothétique tournera ses diagonales obliques vers les arêtes ds , ag , et ses arêtes vers les diagonales ad, sgy comme on le voit figTire 1 1 1 .

La valeur de^' sera la même que ci-dessus (p. 5 1 5),

c est-a-dire que ^' =£•. — ^ ^-.

1 O Ô jijcy y

Pour avoir celle dejj^ on mettra cos — acû à la place deaco — ù)s^0U2x — -j — nxyklâ place de 7ixy — 2x-{-y (p. 5 15), et en suivant la même marche pour le calcul, on aura

, 2x — y — nxy t nxy — y a ^=^a , ^ , ou a'=a . — ,

nxy —^y ^ 2.x — y — nxy

P —y 9^^ (^ nxy^y-J ^ 3^ l^ nxy--y ) ' donc

rapport qui diffère de celui que nous avons obtenu (p. 5i5), par le changement de signes des quantités qui forment le numérateur de la fraction multipliée

DE CRISTALLOGRAPinE. BsS

par |a*5 ce qui est conforme à l'analogie des autres décroissemens.

En poursuivant le calcid, d'après la même substitution 5 on trouv era

N= ^=^ aa lieu de N= î^^^- ,

nxy — X X — y

d'où l'on déduira n = - — :ir- — .

JNxy

Pour avoir l'expression de lï^ on supposera que les côtés de la coupe principale afis^K ( fig. 1 1 1 ) du noyau hypothétique se meuvent parallèlement à eux-mêmes en s'écartant de l'axe , jusqu'à ce que la coupe principale du générateur se trouve inscrite dans la précédente , comme le représente la fig. 1 12. 11 est facile de juger, à la seule inspection de celle ci, que le décroissement relatif à v! est censé agir par renversement sur l'angle supérieur de la face du générateur à laquelle appartient la diagonale ad.

Or, d'une part 5

AV \ar\\ A/.C (fig. 1 1 1 ) : «> : : V|^'^ : fr/; d'une autre part,

AV :ar(fig. 112) :: (/z'+i Vf? :— 3- •« (p. 3i7)^ donc

Mais

^ ^' nxy-^y ' " "^^^v — y

nxy -\-

et a!

nxy

Si dans la proportion précédente on met à la place des rapports entre g' et ^ , et entre a' et a , ceux de leurs expressions algébriques, et que l'on dégage n'^on

trouvera n! :=. — — ^^ valeur qui est la même

que celle qui a été trouvée (p. Siy) pour le cas où acà est plus grande que càs , parce que le décroissement se fait de part et d'autre sur l'angle A du générateur, en sorte qu'il ne tient qu'à la valeur de 71 qu'il agisse d'une manière directe ou par renversement. Le premier cas aura lieu toutes les fois

que n sera plus grande que la quantité — - (p. 52 1 )

qui donne la double pyramide droite, et le second toutes les fois qu'elle sera plus petite.

Quant aux rapports entre les sinus et les cosinus des angles qui donnent les moitiés des incidences des faces du dodécaèdre, ils restent les mêmes que dans le cas de aca plus grande que œs , par,une raison semblable à celle que j'ai exposée page 458.

i63. Si l'on s'en tient aux résultats admissibles en Gristallograpbie , rbypotlièse dans laquelle le noyau bypotbétique serait semblable au générateur ne peut être réalisée par l'espèce de décroissement dont il s'agit ici. Car il est facile de voir que pendant toutes les variations de x ^y et 7z, qui modifient les angles du dodécaèdre secondaire, l'axe du noyau hypothétique ne pouvant surpasser en longueur celui du générateur, et d'une autre part la quantité ncû

DE CRISTALLOGRAPHIE. BaS

\ lio-. 197 ) ou V^g"" étant toujours plus grande que dr (fig. io5) ou X/f^"', il n'arrive jamais que les dimensions du noyau hypothétique soient en rapport avec celles du générateur. Cependant, comme le calcul conduit à des formules qui représentent ce dernier cas, j'ai cru qu'il ne serait pas inutile de faire connaître ce que signifient ces formides , et de donner ici un nouvel exemple de ces sortes d'excursions (pie font les théories, au-delà des Hmites tracées par les résultats de la nature.

Concevons que l'axe du noyau hypothétique soit égal à celui du générateur. Faisant a=a, dans

/ 2x — y — nxy i'equation a = — ^-^ZT^ ? ^^^^^ aurons

nx —y — J^^y = 'Z'^j --y ?

«e qui donne ?i = -■ Si nous mettons cette valeur à

la place de zz, dans la quantité (nxy — x) \/a* (p. 5ig) qui représente le cosinus de la moitié de l'angle que font entre elles les faces QaC, BaG (fig. io4) du dodécaèdre secondaire, nous aurons pour résultat {x — x) \/a% c'est-à-dire qu'alors le cosinus s'évanouissant , les deux faces dont il s'agit coïncident sur un même plan , en sorte que le dodécaèdre se trouve transformé en rhomboïde. Les laces du noyau hypothétique se confondent avec celles de ce rhomboïde, en sorte que le nombre de rangées soustraites désigné par N devient iniini. Effective-

SsS TRAITÉ

ment, si dans l'équation N = '-^^^^;;^ (p. 523), on