I :ï + — ^^-:: vV:-^=5-^— Vk
ox — '^y ^ 3x — 2 y 3S
ou
• 2 y « . 9.ax
ox-—2y ^ ùx — - 2 y '
CiTT Z=a ;:; , a = a[ -5 ^— ).
3°. a^===aV'^<7v,
I t r 1 1 ^ 4-ûf
donc
r/G-= jci == — g — ,
donc la proportion a7r : ^tt \\a(T : ttV devient
Et mettant à la place de a sa valeur a . -; — -- ;
ce qui est l'expression de ttj ou V|^ *. Donc le* points tt' et •;t se confondent.
bE CRISTALLOGRAPHIE. §3,
^ i6o. Je n'ai rencontré jusqu'ici aucun exemple d'un décroisseraent intermédiaire sur A. Mais pour avoir une application au moins hypothétique des résultats précédens, choisissons d'abord le cas où aa est plus grande que a>s, et faisons ;§•= v/3,p= s/^t a = V'g, comme dans le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée ,elx = ô,y=i, «=3.
Dans le cas où le solide secondaire que je supposerai être représenté par la fiaure 104, tourne ses faces les plus inclinées vers les rhombes du générateur, on trouvera g' : p' :: \/4^ ; v/53 , ce qui donne pour les angles plans dn rhomboïde hypothétique ii8'J2'4", et 61^0;' 50'. On aura, dans la même hypothèse, N = f et «'=|. Le rapport entre le smus et le cosinus de la moitié de l'angle qui mesure la plus grande inclinaison des faces du dodécaèdre sera celui de V^^ : \/\, d'où il suit que l'artgle dont ,1 s'agit est de i63<i4i'54'. Le rapport analogue ,j)our k plus petite inchnaison, sera celui
de v'1-4 k 5, et l'on aura poiu- cette inchnaisoa iSS-i 28' 54''.
Dans le cas de la dovhh pyramide droite hexaèdre, on trouvera /z=|.
Si l'on suppose ensuite que a« soit plus petite qne m, ou, ce qui revient au même, que le dodécaèdre tourne ses faces les moins inclinées vers les faces du générateur, et si, en continuant de làire
ou désigne n par la fraction f , on trouvera
et pour les angles du rhombe qui dépend de ce rapport, ii8'^29'4'', et 61^ 3o' 56'^; pour N le nombre 4 ? et pour n! la fraction \ , sur quoi il est à remarquer que le rhomboïde produit par le décroissement inverse que désigne cette fraction est semblable à celui qui résulterait â'un décroissement direct par deux rangées sur l'angle A du générateur ; car la
formule nz=----r-^ — (p. 3ig) donne, dans ce cas,
Le rapport entre le sinus et le cosinus de l'angle qui mesure la plus grande inclinaison des faces du dodécaèdre secondaire sera celui de V^ig : i , ce qui donne pour cette inclinaison 172^ 16' 6", et le rapport correspondant, pour la plus petite inclinaison , sera celui de \/5 1 à 2 , d'où l'on conclura que cette dernière inclinaison est de 148*^ 4^' 54"*
J'ai choisi le rapport 5 à i pour celui de a: à y y parce qu'il donne des quantités positives pour l'axe du noyau hypothétique et pour les autres lignes qu'il s'ag^it d'évaluer , lorsque l'on veut pousser les applications du calcul jusqu'aux résultats de pure curiosité dont j'ai parlé (p. 01S et sùiv.). Ainsi , dans le cas où le noyau hypothétique devient semblable au gé-
nérateur, comme on le voit (fig. ii3), on trouve
^ OU JD-. — =13 Vo, et a ou a . — =ioX3.
Si l'on fait a: = 45 J'^= ^ 5 <^^^ trouve <:/v = 5 Vg'+p%
^^ = i.2p, et r/:
e'est-à-dire qu'alors l'axe du noyau hypothétique devient infini. En voici la raison. Nous avons, dans le cas présent, ad : clv W ip \ ^sj g" 4-/?* , et
Donc les triangles adv , ^ga étant semblables , les lignes a7t\ ay d'une part, et sy\ stt* de Tautre, coïncident sur une même direction, d'où il suit que ay' devenant parallèle à sy^ et aTr' à s7r\ les points de concours de ces lignes, ou, ce qui revient au même, les angles y^vr du noyau hypothétique sont censés être à une distance infmie de l'axe as. Donc l'axe Çu devient lui-même une quantité infinie. i66. Je terminerai la tliéorie des décroissemens intermédiaires relatifs au rhomboïde, par la solution d'un problème analogue à celui qui nous a. occupés pages 4i6 et suivantes. Dans ce dernier, j'ai supposé un dodécaèdre produit par un décroissement quelconque sur les bords inférieui's d'mi rhoml30Ïde pris pour générateur , et j'ai prouvé que l'on pouvait con-
sidérer dans ce dodécaèdre plusieurs noyaux hypothétiques, dont chacun était également susceptible de lui donner naissance. Mais les décroisseniens qui se rapportaient à ces divers noyaux étaient de ceux qui ont lieu, d'après les lois ordinaires , soit sur les bords B ou D, soit sur les angles E, A ou e. Le problème dont il s'agit ici est d'une beaucoup plus grande généralité , en ce que l'on peut assigner aux faces du rhomboïde hypothétique une infinité de positions , dans chacune desquelles la loi qui en fait dépendre le dodécaèdre est du nombre des lois intermédiaires.
Toici donc Ténoncé du problème : Etant donné le rapport g\p entre les demi -diagonales d'un rhom* boïde considéré comme générateur , l'exposant N du décroissement qui produit un dodécaèdre, en agissant sur les bords D du générateur, et le rapport g\p* entre les demi-diagonales d'un noyau hypothétique quelconque qui soit seulement une forme secondaire relativement au générateur, prouver qu'au défaut d'une loi ordinaire il y en aura toujours une intermédiaire susceptible de produire le dodécaèdre , comme forme secondaire dérivée du noyau hypothéticpie, et déterminer les quantités .r, jk et n^ dont les deux premières représentent les nomb^-es de molécules soustraites sur l'angle du noyau hypothétique , auquel se rapporte le décroissement, et la troisième le nombre de rangées soustraites, en vertu du même «Jécroisseraeut.
167. Soient hsh^ gsh (fig. ii5), deux faces du dodécaèdre limitées par un plan horizontal hhg^ et par un plan vertical bsg. Supposons d'abord que hs soit une des arêtes les plus saillantes. Soit uht la section de la face du noyau hypothétique, laquelle est tournée vers hs. 11 est facile de concevoir que, dans le cas présent , le dodécaèdre est censé résulter d'un décroissement sur les angles E du noyau hypothétique , de manière que x est dans le sens de D, et^ dans le sens de B. Mais nous verrons que les formules auxquelles on parvient s'appliquent également soit au cas où x serait dans le sens de B, soit à celui où le décroissement agirait sur un autre angle A ou e.
Concevons que bh^ ho soient deux perpendiculaires sur l'axe du dodécaèdre , puis menons bg^ tu y ensuite se perpendicidaire sur bg^ et hz à la rencontre de tu et de se.
Soit bo^=m ,ho^ m étant une quantité que nous déterminerons bientôt. L'angle boc étant de 60"^ , on aura
oc=:\bo'==-\Tn . ho^
ch'=:=iho'-^oc^:zho -^^m . Ao= . ho\
donc ^0= — -- — .
Mettant cette valeur à la place de 'ho dans l'équa-
536î TRAITÉ
tion hcz=.Tn ,ho , \/%^ on aura
Supposons que cz représente le tiers de Taxe du noyau hypothétique ; nous aurons
cz = ja* et ch= Vig"-
Soit sz zrz ra, r étant une quantité que nous d,éter-i minerons plus has : nous aurons
Or, les triangles semblahles suz^ sbc donnent
. t / . o! -\-'5ra' ,.
sz \sc\\uz\ oc y ou ra , ,1
d'où l'on tire
D'une autre part, il est évident qu'a cause de ch=y/^g'\ on a
hz'=^p \ donc
/,.:..::p':^-3^^^::(3r+0(.-my:3>-.â''"-
i68. Soit amnh (fig. ii6) le rhombe dont le triangle w^f (fig. 1 15) fait partie. Nous aurons
ah (fig. 1 16) : au ".: X \y.
Soi^a^=^, au ==y 3 liz renferme autant de diago-
DE CRISTALLOGRAPHIE. Bo/
nales obliques de molécule qu'il y a d'arêtes de molécule contenues dans ah+au^ et uz répond à autant de diagonales horizontales de molécule qu'il
V a d'arêtes de molécule comprises dans
um-=^am — au=^ah — au. Donc
hz : uz :: (^+jOp' • G^— rV^
donc
x-^-y Icc — y :: (3r+i)(2 — m) l 3r . 7?2.
Mais X ' y comme la somme des quantités x -jr-y et X — y est à leur différence j donc nous aurons aussi
a;:jK::(3r+i)(2 — /7z)+3/'.77z:(3r+iX2— -/Tz) — 3r.77i. ::6;' — m^2 ' 6r — 771-^-2 — 67nr.
Or, la quantité ttz, qui exprime le rapport entre ba et Ao (fi<^. 1 15) est évidemment une quantité rationnelle, puisque ces deux lignes sont en rapport commensurable avec la diagonale ^3 d'une autre part, le noyau hypothétique étant une des formes secondaires dérivées du générateur, son axe a est eu rapport commensurable avec l'axe a du générateur , et par conséquent la quantité r qui exprime le rapport entre sz et a est aussi ime quantité rationnelledonc le rapport entre xety sera toujours lui-même im rapport rationnel. Bailleurs on a
expression dans laquelle tout est rationnel. Donc, il y aura toujours une loi admissible de décroissement , en vertu de laquelle le dodécaèdre pourra être produit par le générateur.
