X :y :: 6r4-2 — m : 6r+2 — m — 6mr:: 4 : — i
ce qm indique im décroissement sur l'angle e.
On fera donc x = ^^ y^=[. Mais ]\=3. Donc la
formule n=— ~- — ~(p- 49^) deviendra n= 2,
On pourra vérifier ce résultat, en supposant que le rhomboïde équiaxe fasse la fonction de générateur , et en cherchant dans cette hypothèse le rapport entre les demi-diagonales ^' et j^' du noyau hypothétique. Faisant donc^= V^i^, «=3, 72 = 2, a; = 45j'= 1 5 on aura (p. 497)
ainsi que cela doit être, puisque c'est le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée qui est censé faire la fonction de noyau hypothétique.
176. Prenons pour générateur unrhomlx)ïde dan^ lequel on aurait g == \/^S , /:? =: \/ 1 7 , ce qui donne a =3. Supposons de plus .S = 4, et proposons-nous de déterminer la loi en yeitu de laquelle
le dodécaèdre serait produit par le rhomboïde de io4'^^5 considéré de nouveau comme noyau hypothétique. iSous aurons g = \/o , et a' = 3, Choisissons le cas où les arêtes les plus saillantes du dodécaèdre seraient tournées vers les faces du noyau dont nous venons de parler.
Dans cette supposition,
D'après cela, on trouve par la formule ci -dessus (p. 537) X :y:: — i : 5 , ce qui indique un décroissement sur A. Ainsi il faudra faire xly :: 5 ' i. La formule relative à zz (p. 523) donnera
^ Nx -f- -^ — V Q
Ces résultats ne sont autre chose qu'une inversion de ceux qui ont été exposés (p. 532), et dans lesquels le rhomboïde de io4^^ a été pris pour générateur , tandis que celui cpii a ses demi-diagonales dans le rapport de V/4^ à \/i 7 a fait la fonction de noyau hypothétique.
177. Pour faire une nouvelle application, choisissons le dodécaèdre résultant du prolongement des faces A, A ( fig. 118), qui appartiennent à la chaux carbonatée isométrique (p. 542). Ce dodécaèdre est représenté séparément (fig. 119). Si nous prenons pour noyau hypothétique le rhomboïde inverse dg
la même substance , et si nous lui donnons sa position naturelle, relativement au générateur, il est facile de voir que ses faces seront tournées vers les arêtes les plus saillantes, telles que €, du dodécaèdre. Cela posé, nous aurons gz=: \/3, a:^3 , N=3, g = v'3 , a =6 y donc
D onc la proportion xlyy, 6r — m-h2 :6r — 7n-\-2 — 6mr de^iendra xlylli ^2, d'où l'on conclura que le décroissement intermédiaire a^it sur les andes E du rhomboïde inverse, de manière que.r coïncide avec B, et^ avec D. Faisant donc .r=:2,j/=: i , nous aurons
178. Tout restant d'ailleurs dans le même état substituons avi dodécaèdre qui résulte du décroisse-
ment D , le metastatique dont le signe est D , auquel cas nous aurons iN=2.
Dans cette hypothèse, on trouve
N4-2 ao;' , ,
r ou
ce qui fait connaître que, dans ce cas. on a aussi
sz (fig. ii5)==03
d'où il suit que le point z se confond avec le sommet 5,
et que la diagonale du noyau hypothétique est pa-
rallèle à Fai^ête 7is. Si l'on fait r=o, clans îe rapport de A:àj^, on aura x Ij* :: 2 — m : 2 — jn^ ou x=yy d'où l'on conclura que le décroissement qui donne le dodécaèdre est du nombre des décroissemens ordinaires sur les angles E. Pour avoir tz, on peut choisir
à volonté entre la formule n = -^T"^ -^ (p. 449) 5 relative au cas où x est dans le sens de D , et la formule 72 = — ^— (p. 4S5), qui se rapporte au
cas où X est dans le sens de B. L'une et l'autre donneront n=-2.
Nous avons présenté plus haut le même j^roblèmCj sous une autre forme (p. 4^0 ) , en cherchant la loi en vertu de laquelle le dodécaèdre métastatique serait produit par un noyau hypothétique dont les faces seraient parallèles aux arêtes les plus saillantes de ce dodécaèdre. Nous avons eu alors pour la valeur de n l'unité , c'est-à-dire une quantité sousdouble de celle que nous venons de trouver, parce que 71 désignait le nombre des diagonales soustraites, au lieu qu'ici il indique le nombre de rangées soustraites.
179. Les résultats précédens peuvent être employés avec avantage pour faciliter et simplifier la détermination des formes qui dépendent des décroissemens intermédiaires. Supposons, par exemple, qu'ayant observé la chaux carbonatée numérique (fig. 81 ), on ait reconnu que le rhomboïde dont elle porte l'empreinte est celui de la chaux carbo-
DE CRISTALLOGRAPHIE. 54/ natée éqiiiaxe, ce qui est d'autant plus aisé que Foa peut mesurer immédiatement les incidences des faces de ce rhomboïde. On cherchera la loi de décroissement en vertu de laquelle le dodécaèdre auquel appartiennent les faces y^ y^ serait produit par le rhomboïde dont il s'agit. Cette loi, comme nous l'avons vu, a pour exposant |. On considérera ensuite le même rhomboïde comme étant le générateur, et le rhomboïde primitif comme étant le noyau hypothétique , et appliquant ici les formules qui donnent le rapport entre oc ety ( p. 53g ) , et les valeurs de m et de r, dans le cas où le dodécaèdre tourne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du noyau hypothétique, on fera g=:\^i2j a = 3, N=|,^' = Yvï, a' = 3, ce qui donnera r = î, 771= ;|, et a;:j^::3 la» Mettant à la place de N , x et j^, leurs valeurs numériques, dans la formule n= ■^ ^ -, on trouvera 7z = I , et l'on sera ainsi parvenu par une méthode indirecte , mais expéditive , à un résultat qui aurait pu exiger de longs tâtonnemens , si l'on avait cherché immédiatement la loi du décroissement intermédiaire.
De cli perses formes secondaires Jerivées du rhomboïde.
Parmi les nombreuses variétés de formes originaires du rhomboïde , que nous offre la cristallisation, surtout dans l'espèce de la cliaux carbonatée, j'ai choisi, pour les résultats que j'avais à exposer,
548 TU'AITÉ
celles qui m'cnt paru se prêter le mieux aux applioatioiis de la théorie dont ces résultats ont été les sujets. Je vais en décrire encore quelques-unes qui n'ont point trouvé place dans les articles précédens, et que je crois dignes de l'attention des géomètres.
i8o. La première, qui appartient à la chaux car- Lonatée, porte le nom (^analogique , à cause des propriétés qui mettent en rapport ses difierentes parties, soit entre elles, soit avec d'autres formes remarquables par leur symétrie, comme celles qui oflrent des ans^les droits, ou des angles de 60 des^iés. Les figures 121 et 12:2 représentent cette variété dont
le signe rappollé au noyau (fig. 120) est é-DB. Sa
erg
limite géométrique est celle que montre la fig. 121 . où toutes les faces sont des quadrilatères; mais il arrive assez souvent que les unes prennent respectivement plus d'étendue que les autres , d'où résultent diverses modifications accidentelles; dans celle que l'on voit (fig. 122) le cristal est censé avoir subi, dans le sens de son axe , un allongement qui change les trapézoïdes c, c (fig. 121 ) en hexagones.
Les différentes faces qui composent la surface de cette variété sont situées si avantageusement , que la connaissance acquise d'ailleurs des angles que forment entre elles celles d'un même ordre , suffirait pour vérifier les lois d'où dépend la forme du cristal. Mais en faisant abstraction de cette connaissance, je me propose de déterminer ici d'abord les angles plans
DE CRISTALLOGRAPHIE. B^g
du cristal ramené à sa limite, et ensuite les incidences des faces d'un ordre sur celles de Fordre voisin. Soit c/73(%. 1 23) une des faces verticales c (fig. 121), cypr^ C5.92;(fig. 12 3) deux des faces r (fig. 121) qui appartiennent au cristal métastatique, eiyain (fig. I23) une des faces g de l'equiaxe. Soient de plus dof^ qof^ chifyÇufÇ^^. 123) quatre faces du cristal métastatique supposé complet. Menons l'axe ourles deux diagonales ci, rzdu trapézoïde criz, la grande diagonale yr du trapézoïde cypr^<, et les deux cf/^, y s du trapézoïde yccfx.
Commençons par criz. Les points 7-, z étant situés au milieu des arêtes clf, qf, qui sont conmiunes au cristal métastatique et au noyau , il est" évident •cjue rz:=^g=z \/3.
Donc 77/=\/|. Soit h (fig. 124) le même point que figure i23. Si nous menons hc parallèle à l'axe, cette ligne sera aussi la même que figure i23. Or, le point h (fig. 124) est situé au ^ de la diagonale oblique//: d0nc//z=^p. Mais //s : ft II hc \ to. De plus ^o = 2a=6: donc la proportion devient
donc i^c=|; donc (fig. i23)M:/zc- \/|-7Î'i*V5; donc le triangle rcz est équilatéral.
D'une autre part, 7ii (fig. 124) est égale à la mêm.e ligne (fig. i25), et en comparant les triangles semblables y7zf,yi^, on en conclura que /zf=:^/z/ = |; donc hi(ï\^. i23^ = 4:/2-. D'anrês ces données on
56o TRAITE
aura rcz = 60^, cri ou czi = 100^ 53' 37"; W^ = 98^ 12' 46'' (1).
Déterminons ,ten second lieu , le trapézoïde yci}X. Soient ou^ ofyiif^ c[x (ilg. i2v^), les mêmes lignes que figure i23; par le point Ç" (fig. i25), qui est le même que figure i23, menons oj prolongée indéfiniment. Cette ligne est évidemment dans le plan y os. (fig. 123), ou 3 ce qui revient au même, dans le plan doq j donc elle passe par le milieu de la diagonale qui va de d en q. Soit 3" (fig. i25) ce point du milieu. Menons ^(p^ cJ^ ^v perpendiculaires sur l'axe, puis Çt perpendiculaire sur c^. 11 s'agit de faire voir qiie,c^ = 2^jEi.
Les triangles semblables cr^ , c7f^ donnent
cr Ircr :: c^\ C^.
Donc on aura cÇ*=2^^,s'il est prouvé que cr=2r^. Cherchons successivement les valeurs de cr et de rcr.
1**. Pourcr. cr=;=cA + Ar.
cÀz=:c7=z7X.
Pour avoir C7A , j'observe que la ligne 3*ip étant la demi- perpendiculaire sur Faxe par rapport à l'un des rhombes inférieurs du noyau, sa position est la même que gn (fig. 1 24) ; donc
OCP (fig. I25) = 0^(flg. I24) = 0Û5 +«^=3+2 = 5.
(i) On conclura aisément de ce qui précède, qu'en gé-
neral rli Icn ,, . - , et rh l in '.'. 2: l ~~ . -.
DE CRISTALLOGr.APHIE. 55i
De plus, a^p (tig. i25)=\/î^=i. Maintenant, les triangles semblables o7X , o^d" donnent
Reste à chercher o 7. Si du point c (fig. 124) nous menons une perpendiculaire sur Faxe^ elle tombera à l'extrémité a de cet axe. Car cf=\of'^ donc, puisque ca est parallèle à /r , la distance ar sera ^ de or. Donc ar^^^ao.^ d'où il suit que l'extrémité a de la perpendiculaire se confond avec celle de l'axe du noyau. Donc, puisque la ligne ct (fig. i25) correspond à ca (fig. 124)5 le point (7 (fig. i 2.3 ) est tellement situé , que o7 est l'excès de Taxe du métastatiqiie sur celui du noyau; donc o3" = 3; donc la proportion oT *. cA :: 5 : ï devient 3 I C"À :: 5 : 1 ; donc C7A = |.
Cherchons maintenant c7 ou son égale ac (fig. 1 24 j. or 'fr::ao:ac, ou 4 • ^ • • 3 : ac == f= ct ; donc l'équation cA = c7 — jA devient cX= | — | = ^%.
Reste à chercher Ar. Les triangles crÇ" et cJpt donnent cT : T^ :: c7 : c"/^ , ou cA+ At : t^ - ca* : 7/>c-. Or , d'une part, tÇ'= 5Ar , parce que ces quantités sont proportionnelles à o7=3 et o'A = |.
D'une autre part, appelant g' et p' les deux demidiagonales de l'équiaxe, on a
ccr:^^::v/i^':i\/9p'*-.3g'-:v/|.i2:H4)-^— 3 12 :: V4- >/'^-2:i.
EiifiD, c?^=~s ] donc la proportion cX+Xr :rÇ::co-:o-/>t devient i^+Ar : 5Ar :: 2 : i ; d'où l'on tire At=^. Donc , substituant à la place de cA et de Xr leurs valeurs dans l'équation ct=cA+At5 on aura
^•. Pour TO".
T^ = c^ — cA-Ar = |^-^=^ = i.
Donc cT = 2r(7; donc aussi c^ = 2Ç)tC; ce qu'il fallait prouver. Maintenant , puisque
nous aurons
ce qui est précisément le rapport entre les deux demi-diagonales du rhomboïde inverse. Ainsi , des deux triangles 6/^5/, ecy ^ l'un appartient à l'équiaxe et l'autre à l'inverse- et les deux hauteurs c'C^(^^ de ces triangles ont entre elles le même rapport que les hauteurs cA, ih des triangles qui composent le trapézoïde irez.
Passons au trapézoïde cyp?^, et cherchons d'abord les expressions des trois côtés du triangle cyr.
1**. Pour c^.
çy = V(çOM-(K)^ Cr (fig. 135)= \\orr^(rq = \/(cr)^-h(5Ar)^= Vi-i-i^ = Vi+^=V-4- De plus,
