Une seconde variété qui est représentée

ligure 1285 et dont le signe est ^é?D, a ete appelée

c in n

ascendante ^ parce que les trois lois dont elle dépend suivent la marche indiquée par ce nom, en partant des angles et des bords inférieurs du générateur (i). Toici les mesures de ses angles saillans. Incidence de c sur c', 120'^; de c sur m^ ou de c sur in\ i65^5i'49''3de z/z sur m ^ ii4^U8'56''; de 72 sur tZ;, 161^48' 18"; de 7Z sur la face de retour, 101^32' i3".

Cette dernière incidence est égale à l'angle au sommet du rliombe primitif. Je vais prouver que cette égalité peut avoir lieu relativement à tous les rhomboïdes obtus dans lesquels les carrés des expressions des demi-diagonales sont des quantités rationneiies, quelles que soient d'ailleurs les mesures de leurs angles, en sorte que la loi qui la donne dépend, pour chaque rhomboïde , du rapport entre les diagonales dont il s'agit.

Il est d'abord facile de voir que le sinus de la moitié de l'incidence égaie à l'angle du rhoinbe pri-

(0 J'ai déjà indiqué, p. 34o, celle de ces loii qui donne lea faces tï, 77.

mitif étant alors au cosinus comme g : p, et leur rapport étant le même que celui de de (p. 32 4) ^^ de g à eky on aura l'équation

ek

^-;r:^Vgr^

d'où l'on tire, en mettant à la place de a* sa valeur Qp* — 3^*5 et en faisant les opérations convenables ,

ou en simplifiant,

Extrayant la racine du premier membre , on a ce qui donne

182. 11 y a une manière beaucoup plus simple de démontrer Ja même propriété. Elle est fondée sur l'observation que quand la plus petite incidence de deux faces du dodécaèdre, telles que dpf^ qpf (fg. 17, pi. 16), est égale à l'angle dfq du générateur , la bgne dk perpendiculaire sur pf prolongée se confond avec l'arête df^ puisque l'on a €k=:pc=ef, l\ en résulte que les angles dfp^gfp sont droits, et

D]^ CRISTALLOGRy^PHIE. 55r)

par conséquent les triangles dpf^ qpfsonl perpendiculaires sur le plan cl a rliombe clfqs.

Soit toujours a/nkl^a^ iQ) -^^ coupe transversale du générateur, prise par un plan perpendiculaire aux arêtes «6, df(ii^ 17). La ligne mf{û^. 19) étant perpendiculaire sur le prolongement de /a, coïncidera avec la face dpf (fig. 17). du dodécaèdre. Soit mou (fig. 19 ) le triangle mensurateur , dla dimension qui sur la molécule répond à am^ et zz le nombre de rangées soustraites. La ligne at étant le cosinus du petit angle du rliombe primitif, nous aurons

om \ ou',', dyc.n I d\'.arti\at :: ip^ '^^""P* (P'^9^)^ ou

donc

Ainsi la valeur de n est égale au rapport qui représente la valeur du cosinus du petit angle du rliombe primitif. Nous avons déjà vu que les valeurs correspondantes relativement à d'autres formules qui généralisent la propriété du dodécaèdre métastatique (p. 33o) et du rbomboïde inverse (p. 399), dépendaient du même rapport , en sorte que celui-ci sert à lier toutes ces propriétés doublement intéressantes , soit en elles-mêmes, soit par leur réunion autour d'un point commun de ralliement.

5do traité

1 83. Si Ton fait ^=\/3, p-=.\/ 1 , on trouve 7z=4 , comme dans la variété qui est le sujet de cet article.

Si l'on suppose ^= \/5,p= v/3, comme dans l'argent antimonié sulfuré , on aura /z = 3.

En faisant gz=z \/2 ,7:?= SJ i^osx trouverait 72=2, ce qui a lieu , comme nous le verrons dans la suite, dans vme variété- du dodécaèdre rliomboïdal , c'està-dire d'une forme primiti\ e dont la théorie peut être ramenée à celle du rliomboïde.

Lorsque^ est égale àp, comme dans le cube, on

a 7Z=-, c'est-à-dire qu'alors n devient ijifmie, en

sorte que le dodécaèdre se confond avec le générateur. Passé cette limite, le générateur devenant un

rhomboïde aisu, on a 72= ~- — - , c'est-à-dire

qu'alors la valeur de n devient négative.