La figure 129 représente une autre variété

de chaux carbonatée dont le signe est ^D(E^D'B^)eB.

eu ^ '•j t

Je lui ai donné le nom limitative , parce que les faces '^ et >î , dont l'une résulte d'un décroissement intermédiaire, et l'autre d'un décroisseoient mixte, ont été produites, pour ainsi dire, à l'imitation de celles qui, dans d'autres vaiiétés , sont dues à des lois difiérentes et en même tenq^s plus simples.

Les premières , si elles étaient prolongées jusqu'à s'entrecouper j composeraient la surface d'un dodé-

caèdre semblable à celui auquel appartiennent les iàcesy^j (fig. i3o) de la variété dïennéaèdre , les-

quelles dépendent du décroissement D.

Pour démontrer la relation qui existe entre les deux décroissemens , supposons que pu (tig. i3o) représente le dodécaèdre dont il s'agit. 11 est évident

que , dans rbypotbèse du décroissement D , lé générateur tournera ses faces vers les arêtes les moins saillantes, telles que y. Mais dans le dodécaèdre qui résulterait du prolongement des faces ^y'^ (tig. 129); ce seraient au contraire les arêtes les plus saillantes , telles que e (fig. i3o), qui répondraient aux faces dii générateur (i). Ainsi la question se réduit àcliercber la loi de décroissement intermédiaire en vertu de laquelle le générateur, considéré comme noyau liypotbétique , produirait le dodécaèdre , avec la condition que les arêtes 6 fussent tournées vers les laces de ce novau.

En appliqiiant ici les formules que nous avons données ci-desstis ( p. 538 ) , nous aurons

ce qui donnera

r=|, m = l, et xif',:^ l 1,

(i) Dans le cas présent, ces arêtes sont celles qui naîtraient de l'interàection des faces ■^,4'; situées en avant.

On trouvera ensuite 7z=f, résultats qui s'accordenk avec les indications du signe du cristal.

D'une autre part , les pentagones » , >! , ayant leurs grands côtés sensiLlement parallèles entre eux, il est facile de voir que dans le rliomboïde qui résulte de leur prolongement , les diagonales obliques sont parallèles aux arêtes les moins saillantes du dodécaèdre auquel appartiennent les faces •>}/, '^'. Cherchons d'abord le rapport entre les demi-diagonales g^ etp du rhomboïde dont il s'agit.

Soit toujours adsg (fig. 16, pi, 16) la coupe du générateur, et dp une des arêtes les moins saillantes du dodécaèdre. ISous avons, dans le cas présent,

«pou ^.a=^- = 6;

donc pr=S.

Mais dr : p?^ :: 2 : S y, i ; /^',

donc g' : VV"-â" •• ^ :4?

ou g'"" : y —g" :: I : 165

d'où l'on tire

g':p':: VT^:V3,

ce qui indique que le rhomboïde est le contrastant

Or, le dodécaèdre étant placé à contre-sens de celui que représente la f]g. 46, pi. 19, ses arêtes les moin>ô

saillantes, et par conséquent les faces du rhomboïde sont tournées vers les bords supérieurs du véritable générateur , d'où il suit que le rhomboïde est produit par renversement sur les angles inférieurs de ce générateur, et que la loi qui le donne a pour exposant -p3, comme je l'ai démontré (p. 378). Ainsi le décroissement a lieu par 7 rangées en largeur et par 5 en hauteur , comme l'indique le signe. J'ajouterai ici les mesures des principaux angles du cristal. Incidence de c sur c, 120^^; de c sur Uj i5o*^; de -^ sur 4., 108^ 56' 2"; de ^|/ sur 4', 134^25^2"; de >i sur », 65^ i!\i' 4"-> ^^ ^ sur 4 ? 1^7^ 12' Si^'jde / sur t\

i85. La variété qui va maintenant nous occuper appartient au fer oligiste. La fig. 1 3 1 la représente , et son signe rapporté au noyau (fig. i32) est

DPE^^EE^EA. Je la noinuiefer oligiste soustractif^

parce que l'exposant 3 de la loi qui donne les faces 71 est moindre d'une unité que la somm€ 4 des autres exposans. En exaininant son signe, ou concevra que sa surface est composée de six faces verticales A*, A, situées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier; de douze autres faces tz, tz, n% 7i% qui étant prises six à six et prolongées jusqu'à se rencontrer par leurs parties supéiieures, formeraient deux pyramides droites dont les bases se confondraient avec celles du prisme; de six pentagones P, P, parallèles aux faces du noyau ^ de six autres 5,5, placés trois

à troiii aux extrémités du cristal, et enfin de sis quadrilatères u qui interceptent les angles solides à la rencontre des faces A' et n. J'ai à prouver que ces dernières facettes sont desrliombes, et que leur figure symétrique peut avoir lieu dans une infinité de cas ^ sous une condition qui diffère de celle à laquelle est soumise la même figure dans la variété euthétique de chaux carbonatée (p. 5o5). Voici en quoi elle consiste :

Soient hxqz (fig. 133), qztl^ etc., six faces verticales analogues aux pans d'un prisme hexaèdre régulier, et phzy une pyramide droite qui repose sur la base de ce prisme; soit de plus drsk un quadrilatère qui remplace l'angle solide t^ et qui ait ses deux bords supérieurs dr , dk^ parallèles aux arêtes pj::, py^ de la pyramide. Ce quadrilatère sera un rhombe, quelles que soient les inclinaisons des faces de la pyramide sur la base.

Pour le prouver, je mène le rayon oblique et de la base, ensuite zj yet je prolonge le plan zpy, jusqu^à ce que ses deux sections sur les pans ztlq , ytlu , se rencontrent en un point n de l'arête tl. Il est évident que les quadrilatères drsk^pzny^ sont semblables; il suffit donc de démontrer que le dernier est un rliombe. Si l'on mène j9^ à l'endroit où zy et cf s'entrecoupent^ et qu'on la prolonge indéfiniment, elle passera par le point ^^, puisqu'elle restera nécessairement sur le plan du quadrilatère pzny^ qu'elle divisera en deux parties égales pzn^ pjn. Or, les triangles gcp^ §^^>

sont évidemment semblables; mais de plus cg=^gtj parce que la base du prisme est un hexagone régulier; donc les deux triangles sont non-seulement semblables, mais égaux; donc ^/7=§7ï; d'où il suit que le quadrilatère pz^ est un rhombe , et ainsi du quadrilatère d?^sk.

Or, les bords supérieurs des facettes u (fig. i3i) étant parallèles aux arêtes que remplacent les faces P, ou , ce qui est la même chose , aux plus longs bords de ces dernières faces, et cela par une suite de ce qu'elles proviennent du décroissement E''E, il en résulte que ces facettes sont aussi des rhombes, et l'on juge aisément que cette figure ae dépend point du rapport entre les diagonales du générateur , mais qu'elle tient uniquement à une combinaison de lois de décroissement d'où résulte le parallélisme dont j'ai parlé. Yoici les principaux angles du cristal :

Incidence de k sur k, i20^ ; de ]t sur n, i5o^ 2& ; de 71 sur n, 128^28'; de ii sur ^' , 120^02'; de P sur ;?, i54*^i3'; deP sur .9, 144*^8' ; de s sur 5, i^4^j de P sm- u, 128^39'.

186. Je n'ajouterai plus qu'une variété cpie je choisis dans l'espèce du fer sulfaté , non qu'elle oifre des propriétés remarquables, mais parce que les décroissemens dont elle dépend agissent à la fois sur ses différentes parties, et ont toutes une même mesiu^e , ce qui est très rare dans les solides dérivés d'un noyau rhomboïdal, qui n'ayant pas un caractère -particulier de régularité, comme le cube et l'octaèdre

à triangles équilatéraux, n'exige pas que les lois qui

jDroduisent ses formes secondaires participent de sa

symétrie.

Le rhomboïde primitif P (fig. i34) du fer sulfaté, qui est aigu, a ses diagonales g ^tp dans le rapport de s/"] à y/ 10. La forme secondaire dont il s'agit est représentée figure 135, et a pour signe PDE^EBA,

d'oîi l'on voit que les décroissemens qui lui donnent naissance ont lieu par une simple rangée sur tous les angles du rhomboïde primitif Je nomme cette variété fer sulfuré pantogène y c'est-à-dire qui tire son origine de toutes les parties de son noyau. Voici les mesures de ses angles.

Incidence de P sur P , 8 1^^ 28' ; de P sur 77, 1 1 ^^5^^ ; de P sur o, 123^24'; de P' sur o, i35^4^'5 ^^ P ^^^^ ^? ï3o^4i' • de P ou P' sur 5 , 139^18'.

Je n'ai point parlé de la tourmaline dont la forme primitive est aussi un rhomboïde , et qui ofH^e plusieurs variétés intéressantes, parce que cette substance est du nombre des corps naturels qui s'électrisent par la chaleur , et dont la description fera le sujet d'un article particulier.

Formule pour la détermination des angles des formes composées.

187. J'ai donné des formules générales pour déterminer immédiatement les incidences mutuelles

DE CRÎSTALLOGRAPHIE. 067

des faces qui appartiennent aux formes secondaires simples, produites en vertu d'un seul décroissement par un nombre quelconque de rangées soustraites sur tel bord ou tel angle d'un rhomboïde primitif

Les surfaces des formes que j'appelle composées étant des assemblages de facettes de différens ordres ^ qui se rencontrent et s'entrecoupent dans différentes directions, la complication qui en résulte semble d'abord écarter l'idée d'étendre à ces formes les avantages qui naissent des formules générales , relativement à la détermination des premières. Il ne reste plus alors que des méthodes particulières, qui ne conduisent au but proposé qu'à travers les détails prolixes d'une opération que l'on est obligé de recommencer tout entière, chaque fois qu'il survient un nouveau problème à résoudre. Ce n'est que depuis peu de temps que j'ai conçu l'idée de généraliser, autant qu'il serait possible, les applications de la théorie à la recherche des angles des formes secondaires composées , et les résultats de mon travail , que je vais exposer, m'ont fait regretter que cette idée ne se soit pas offerte dès le commencement.

Les angles dont il s'agit sont produits par le concours tantôt de deux faces situées sur deux rhomboïdes différens , tantôt d'une face de rhomboïde et d'une autre face qui appartient à un dodécaèdre, tantôt enfin d'une face située soit sur un rhomboïde , soit sur un dodécaèdre , et d'une seconde qui est perpendiculaire ou parallèle à l'axe.

è.SS TRAITE

La détermination du premier de ces angles souffre peu de difficulté. C'est vers celle des deux autres angles que j^ai dirigé mes recKerches , et je suis parvenu à circonscrire les diiférens cas auxquels elle se rapporte (i) dans une même formule , qui s'applique directement à l'un d'eux , et n'a besoin que d'être plus ou moins légèrement modifiée, pour donner tout d'un coup la solution du problème dont chacun des autres offre le sujet. Elle m'a même paru mériter d'autant plus d'être publiée, qu'indépendamment de l'avantage qu'elle a d'apporîer une économie de temps et de travail dans les applications de la théorie, elle peut être employée au développement de plusieurs propriétés remarquables, que réalisent une partie des formes dont j'ai parlé, et que je ferai bientôt connaître.

i88. Mais avant d'exposer cette formule il est nécessaire d'entrer dans quelques détails sur les différens *cas auxquels elle peut s'appliquer , et sur les quantités qui m'ont fourni les données d'où je suis parti pour arriver à mon but.

La construction de cette formule dépend du rap-port entre trois coordonnées , dont l'une est une perpendiculaire menée d'un des angles solides latéraux

(i) J'ai exclus de mon plan le cas où l'angle est formé par la rencontre d'une face de rhomboïde avec une face perpendiculaire ou parallèle à l'axe, parce que ce cas est si simple qu'il serait superflu d'y employer une formule.

du dodécaèdre, pris à volonté, et les deux autres sont les sous-divisions de l'axe situées de part et d'autre de cette perpendiculaire. Je vais indiquer ces coordonnées relativement à chaque cas particidier.

Je supposerai d'abord que les dodécaèdres dont il s'agit aient été produits par les déci'oissemens ordinaires. Il pourra arriver que ces décroissemens aient eu lieu sur les bords inférieurs du rlionxboïde primitif, ou sur ses bords supérieurs ou sur ses angles latéraux. Dans le premier cas on voit , par la seule inspection de la fig. 16, pi. 16, dont nous avons déjà fait usage pour la théorie de l'espèce de décroissemeut dont il s'agit, que les trois coordonnées sont les

ligaes rZr, pr et ur^ qui ont pour expression V t,§% (2/1 4- 1) a / 7î -f- ?. \

3 « -i ou a \ ~, QX\a A ou a ( . u

^ n — 1 6'.i — û ■^ ' Il — i \T/i — 0/

Dans le second cas, aclsg (fig. 5, pi. i5) étant îa coupe principale du générateur, et cunsp celle qui lui correspond sur le dodécaèdre , les trois coordonnées sont mu^au^ us^ que nous avons représentées

algébriquement par les expressions " ^- Vig^ ?

a, et

3ft ' 8/1

La figure a été tracée dans l'hypothèse où le dodécaèdre tournerait ses arêtes lés moins saillantes vers les laces au noyau. Alors au est plus grande que us.

Lorsqu'elle est plus petite , ce sont les arêtes les plus saillantes du dodécaèdre qui répondent aux faces du noyau. Mais il n'y a de changé que le rapport entre les expressions des coordonnées, par une suite de ce que la quantité n se trouve diminuée.

Le troisième cas exigera un calcul particulier pour mettre les expressions des coordonnées sous la forme qui convient à la formule. Dans la figure 29, pi. 17, qui est celle dont nous nous sommes servis pour les résultats relatifs aux décroisse mens sur les angles latéraux, les lignes ozj/jxne coïncident pas sur une même direction avec les lignes //z, dr'^ elles sont situées au-dessus ou au-dessous , suivant que le dodécaèdre tourne vers le noyau ses arêtes les plus saillantes, ou les moins saillantes. Cette différence de position est une suite du parallélisme qui a lieu entre to et ad. Nous n'avions besoin alors que des expressions de In et dr. Mais ici il est nécessaire de chercher celles de oz et dr^ qui sont les véritables coordonnées^ prises sur la direction de l'axe.

Soit toujours as^^a- jXous avons déjà c?/'= S/^g^^

De plus,

oz \ dr :: oi ' dl •* it'» ia ,

oz : vi^-« + - : a+- :\2n+2 1271+1 ,

donc

Or , d'une part ,

tz: ozWar: dr y* ^a: \ f^' :

donc

D'ime autre part , donc

oz .. zr : dr .: — r — a . \ ^i

oz

Dans la figin^e 29, fn est plus petite que iz, par une suite de ce que le dodécaèdre toiu^ne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du générateur. Si elle était plus gTande par une suite du contraire , les expressions des coordonnées resteraient les mêmes : il n'j aurait de cliangé que leur rapport.

Si le dodécaèdre est produit par un décroissement intermédiaire, on substituera le noyau liypotliétique au véritable , et l'on prendra les coordonnées dans la coupe du dodécaèdre qui naîtrait d'un décroissement sur les bords inférieurs de ce noyau bypotliétique ; ce qui fera rentrer le cas dont il s'agit dans le premier de ceux que nous venons de considérer.

189. Je vais maintenant donner la construction de la formule générale dans laquelle les expressions des trois coordonnées n'ont besoin que d'être remplacées dans cbaque cas particulier par leurs valeurs numé-

riques pour conduire à la solution du problème proposé.

Soit ?fjt. (fîg. i36) un dodécaèdre produit par un décroissement ou réel ou hypothétique sur les bords inférieurs ah^ hh^ etc. , d'un noyau rhomboîdah et dont les sommets soient remplacés par les faces ^ScTA, etc., et d'un rhomboïde quelconque originaire du véritable noyau. On propose de déterminer l'incidence de l'une des mêmes faces sur les faces adjacentes /', r, du dodécaèdre. PSous sup])Osons ici que ces faces naissent sur les arêtes longitudinales les moins saillantes du même dodécaèdre.

Parles angles a, ^, faisons passer un plan ash parallèle à l'axe, et coupons-le par un autre plan agh perpendiculaire au même axe. Soit achttg (fig. iS^) la pyramide donnée par ces plans, et hgk un plan parallèle à la face ^AcTê ( fig. i36). Menons ^p prolongée convenablement, et abaissons sr perpendiculaire sur ^k prolongée, puis sz. L'angle szr sera le supplément de l'iiicidence cherchée.

Soit odmz {ï\^. i38) la coupe du générateur j et du^ dt^ deux arêtes longitudinales du dodécaèdre. Les deux lignes ku^ kt^ seront. les coordonnées dont nous avons parlé plus haut, et qui ont pour expressions Générales ^a-A , \a^ . Représen-

tonS'les , pour abréger, par 5 et t'^ et enfm exprimons par ni^h^ les deux lignes cg ^ cp^ dont le rapport est celui de g' : V%'* — s'^^S ^^ P étant les

demi-diagonales du rhomboïde dont une des faces est yhj'e.

Cela pose, clierchons successivement ^ret j^z, qui sont Tune le sinus, et l'autre le cosinus de l'angle szj\

i**. Pour sr. Les triangles seii^iblables pcg , prs ,

donnent sr » pr :: cg ; cp \\7n \ b] donc sr:=:r Xpr, Calculons /;r.

pr : cp :: ps^ ou es — cp : gp-^

donc

pr: b : : es — b : "S/in^ -[" ^' ; mais

Gs (fig. 1 3 7) : 0° : : Aw : £/A'(fig. 1 3S), ou c^ : /tî : : * : V'f^^ d'où l'on tire

ras es =

t/tr'

donc

y io ce qui donne

hms ,

pr~^

Multipliant cette valeur àepr p^ï'-r? ou a

^ m {ms — b\/^^s^' )

2'. Pour 7'r.

rz : ,§/' : : ^a.- . ^^ , d ou rz = '-^-'

Or,

bms

gf~gp +pr= s/m^ + b^ + T7~-iri2 m(rn\/J^-\-hs)

D'une autre part,

pk : cb i: ps l es y ou pk ', g \\ es — h \ es ^ d'où l'on tire

De plus ,

^/m^s\m^ + b^-\^^ims-b V^t,^0.

Tn^s^-"

Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression de j^z , on aura

\/ fê't"^' + b^) \^m^s%m^-\-b'-)-\-cr-{ms^b y Tg^j

Maintenant , si nous prenons le rapport de sr à rz^ simplifié par la suppression des facteurs commun* aux deux quantités, nous aurons

sr: rz\:\/ m^6\m^'^b^)~\-3^\ms^b\/ ^g;^) ^SK'^V IS'+^s). 190. 11 est aisé d'introduire dans cette formule la

seconde coordonnée t ; pour cela , remarquons que le point c (fig. iS;) étant situé au milieu de la diagonale oblique du noyau, es (fîg. iS-) est la moitié de ap (fig. i6jpl. i6). Or,

ap = 2pn — un c=zit — 5 j donc c" = î£zif ^

Ta

aisnous avons trouve plus haut C5= - /— - ; donc

et

Si Ton substitue cette valeur de m'^^* dans la formule, celle-ci prendra la forme

sr : rz :: \/\'it^s;\^m'-\-h^)-\-(^ms — 'ih\/^; : :im\/ï^+bs (A) (i).

191. Les faces du rhomboïde, en s'inclinant dans un sens ou dans l'autre , subissent des variations qui se rapportent à certaines hmites dont chacime présente sous un nouvel aspect géométrique le cristal qui s'y rapporte. Mais il est facile de conserver à la formule sa généralité, en la modifiant d'une manière assortie à ces variations.

(0 Pour faciliter les applications aux différens cas qui peuvent avoir lieu, je déii-nerai cette formule et les suivante.^par les lettres A, B, G. . . . qui ser\ârontde renvois.

Supposons d'abord que les trois faces situées vers ciiaque sommet restant fixes par leurs angles inférieurs ê(fig. i36) s'abaissent par leurs parties supélieures, en formant entre elles des angles toujours plus ouverts. 11 y aura un terme où elles coïncideront sur un même plan perpendiculaire à l'axe, comme on le voit fig. iSg. Alors la quantité b s'évanouit, et la formule devient

sr \rz\\ \/{it — 5)^ + 35^ : 2g (B).

192. Concevons maintenant que les mêmes faces se relèvent par leurs parties supérieures, en faisant avec l'axe des angles toujours plus aigus. Leurs diagonales obliques finiront par coïncider avec les arêtes ih (fig. 1 36) du dodécaèdi-e , et si l'on suppose qu'ensuite elles se meuvent vers l'axe parallèlement à elles-mêmes , la forme se présentera sous l'aspect d'un dodécaèdre (fig. 140) dans lequel les arêtes longitudinales les moins saillantes seraient remplacées par des hexagones /, /, dont les plus longs bords cT, cP, seraient parallèles. L'incidence de ces faces sur leurs adjacentes dans le dodécaèdre est centée être donnée d'avance , comme étant égale à la moitié de celle de r sur r, plus à 90^. Mais si l'on voulait appliquer la formule à ce cas , on ferait attention qv.'alors le rapport de 777 à 5 devient égal à celui de \/%g^ à ,ç, et par la substitution de ces secondes quantités aux premières ^ la formiUe ordinaire se ré-

duirait à

sr : rz : : \/{2t-s)'i[ig'+s') : 4 Vig' + s\ (a).

jg3. Les faces du rhomboïde continuant de s'incliner dans le même sens, interceptent les angles latéraux du dodécaèdre , en sorte que la forme devient semblable à celle qu'on voit (fig. i40' ^^ construction à laquelle se rapporte la figure lo-j se change alors en celle que représente la figure 142, et qui ne diffère de l'autre qu'en ce que le triangle hsk y est situé en sens contraire de la position qu'il a dans celle-ci. Le rapport entre les deux côtés de l'angle qui donne l'incidence proposée, est alors celui de gr : 7^z (fig. 142), et si l'on cherche ce rapport , en assimilant la marche du calcul à celle qui a été suivie à l'égard de la construction de la figure i^i j on trouve

gr : rz :: \/{2t--^y^{m^ + b^j + [2b Vi/* — ms/

lequel rapport est le même que celui qui est indiqué par la lettre (A) , excepté que dans celui-ci le second membre du premier terme est (jjis — 2b \ ig^/, où il y a inversion dans les signes.

J94. Au-delà du terme précédent , les faces du

rhomboïde, en se relevant de plus en plus par leurs

parties supérieures, arrivent au parallélisme a\efi

l'axe, et à ce terme la forme présente l'aspect d'un

dodécaèdre dont les faces se combinent avec les pans

d'un prisme hexaèdre régulier, produits en vertu

du décroissement e (i), ainsi qu'on le voit fîg. i43. Dans ce cas m devient nul^ et la formule (^C) se change en la suivante :

:: \/{2t—sy'+-^g' : s \/3 (D).

On peut remarquer que des deux triangles dont chaque trapézoïde c est rasseniblage, l'un, tel que AZ/z, est tourné vers une face du générateur , tandis que l'autre, fo/z , correspond à l'un de ses bords contigus aux sommets. 11 en résulte deux incidences dif-^ férentes d'un même trapézoïde sur les faces adjacentes du dodécaèdre , que l'on détermine à l'aide de la formule, en faisant successivement 5 plus petite et plus grande que tj ou réciproquement.

195. 11 est facile, en faisant subir un léger changement aux formules précédentes, de les rendre suscep-

(j) J'omets le cas où les pans du prisme résultent du décroissement D, parce que l'angle que font entre elles deux faces du dodécaèdre, telles que r, r" (fig. iSg), situées des deux cotés d'rne même ar^te latérale, étant censé connu , il suffit d'en prendre la moitié et d'y ajouter 90^^ , pour avoir l'incidence de l'une quelconque de ces mêmes faces sur le pan adjacent,

DE CKISTALLOGRAPHIE. 679

tibles d'être appliquées au cas où le dodécaèdre a pour faces des triangles isocèles ; il suffit de considérer qu'alors les quantités 5 et ^ deviennent égales , d'où il suit que, dans le premier terme, il faut mettre s à la place de 2t — 5.

196. Je vais maintenant faire des applications des quatre formules à des variétés de formes que je choisirai parmi celles qui appartiennent aux trois cas que le dodécaèdre est susceptible d'offrir.

La variété analogique de la chaux carbonatée ( fig. i44) fournit deux exemples du premier cas, dont l'un concerne l'incidence des faces r du dodécaèdre vSur les faces g de l'équiaxe, et l'autre celle des mêmes faces sur les pans c^ c ^ parallèles à l'axe. Son signe rapporté au noyau que représente la

figure 145 est eDB.

erg

Ici les arêtes les plus sai]lantes du dodécaèdre sont tournées vers les faces du rhomboïde, d'où il suit que t est plus grande (jue .9. Nous aurons donc, d'après les expressions générales de t y s, m et b, et la formule (A) ,

et (A)

sr :rz:: V3Sx5-fL(B~2)»/5]*: (44-4) v/'3:: \/3 : |/ïï, ce qui doit être, j)aice que l'incidence proposée est égale à la moitié de l'angle obtus du rhombe primitif, plus à 90^; c'est-à-dire fpi'elle est de i29'^i3'54''

:SSo TRAITÉ

L'autre exemple offre deux incidences différentes, dont l'une est celle de la face r\ et l'autre celle de la face r sur le même trapézoïde c' .

Nous aurons pour la première ^

t=z5, 5 = 4, g:=^ V^; ce qui donne

{\))gr\rz:: \/4b:4\/3,

d'où l'on conclut gr'=^rz\ c'est-à-dire que l'incidence dont il s'agit est exactement de 1 35^ , ainsi que je l'ai annoncé en traitant de la variété dont il s'agit ici.

Pour la seconde ,

/ = 4, 5 = 5, g= V^3donc

gr\rz:: V/y-.S,

d'où l'on conclut que l'incidence proposée est de

ig-y. Les deux exemples suivans seront tirés du dodécaèdre auquel appartiennent les faces .r, x^ de la variété paradoxale de la même substance, combiné avec des Faces les unes^, jf', obliques, les autres c, c' parallèles à l'axe (fig. i46)? ou a^'^c des faces g' et y ( fig. 147) toutes obliques à l'axe. Ce dodécaèdre étant produit par un décroissement intermédiaire, on j/cut, comme je l'ai dit, l'assimiler k ceux qui sont compris dans le premier caSj en sub-

stitnant le noyau hypothétique au véritable. La dernière variété, que j'appelle articulée y a pour

signe/'E'B'D*\DE"EB. Celui deTaulrej qai porte le \ ^ K f g

nom à^itératii^e , est ^/*E'B'D^\E"E. Le noyau hy-

pothétique étant le rhomboïde inverse dans lequel g-=i V^S, «=6, et l'exposant du décroissement étant 3, l'axe du dodécaèdre sera égal à 12 , et les valeurs de 5 et de / seront 7 et 5.

iNous avons à déterminer, dans la variété articulée (fig. 147)5 ^^6S incidences de y et de g sur x. Le rapport de ni k b, qui est celui de 2 à i, étant ajouté aux valeurs qui viennent d'être indiquées, la formule devient, relativement à la face ^,

(A)sr:rz::\/'.

d'où il suit que l'incidence est de iSi*^ .[' h''.Fouy avoir celle de^sur v, nous nous servirons des mêmes expressions, excepté le rapport de 771 h 6, qui est ici celui de 2 à i . iNous aurons ainsi .s/- ! r^ : : V 6 *. 8 , ce qui donnera 162^ 5b' 2'' pour l'incidence cherchée. En conservant h s el t les mêmes valeurs, nous aurons pour l'incidence de x' sur c, dans la variété itérative (fjg. 146), (D)gr:rz:: i :'■; y et l'incidence sera égale à 169'^ 18'. Faisant .9 = 5, et t=jj pour celle de x sur c, nous aurons gr' 7'z ''* \/3i : 5, ce qui donne i3i^^3f 8".

Les deux variétés que nous considérons ici offrent la réunion des faces r^g^ c^ de la variété analogique , et la manière dont ces faces se combinent avec les faces .T, X, donne naissance à des rapports mutuels qui me paraissent mériter d^éire remarqués. Dans l'analogique , les trapézoïdes qui remplacent les sommets du dodécaèdce sont composés de deux triangles réunis par leurs bases , dont l'un, tel que o/z/(!ig. 1 44)? qui est semblable à la moitié d'une face du rhomboïde équiaxe, entre dans l'ordre de la structure, et l'autre, tel que o/z/, qui est semblable à la moitié d'une face du rhomboïde inverse , ne se rencontre là que par l'etfet des intersections des faces g avec les faces r. Dans la variété articulée (fig. 147) les mêmes triangles qui sont aussi accolés l'un à l'autre, ont leurs positions respectives déterminées par les lois de la structure, en sorte qu'ils forment entre eux un angle de 143^7^49'.

Les triangles obtus qui font partie des faces c àe la variété itérative (fig. i4^) sont semblables à ceux qui leur correspondent sur la variété analogique, en sorte que leur base est à leur apothème dans le même rapport de \/4 ^ \/^j '^^^^^ l'apothème du triangle aigu, dans la variété articulée, est à celui du triangle obtus comme 3 est à i , au lieu que dans l'analogique il n'en est que le double. C'est luie suite de ce que les apothèmes sont entre eux dans chaque dodécaèdre comme l'exposant n du décroissement est à l'unité.

DE CRISTALL0<5RAPHIE. 583

1 98. Je choisirai , pour dernier exemple , un des cas où les flices du dodécaèdre sont des triangles isocèles, comme les faces Ç, ^ de la variété synallactique (fig. 148), qui se combinent avec celles de la variété analogique (fig. i44)' ^^ dodéq^èdre a pour signe

VED^B* / Son noyau hypothétique serait le pnsme hexaèdre régulier, qui dépendrait des décroisse-

mens DA, et aurait une hauteur égale à Taxe du véri-

table noyau; et le signe du dodécaèdre rapporté à ce

prisme serait B, B représentant le côté de Fhexagone. On trouve, à l'aide du calcul, que le rayon de la base commune des deux pyramides , dont le dodécaèdre est l'assemblage , est à l'axe de chacune d'elles dans le rapport de i à 3 ; et parce que ce rayon est égal à la ligne dr (^lig, i ) dont l'expression est 2 , on a ici 5=6. Pour avoir maintenant l'incidence de Ç sur gj on mettra dans la formule (A) 5 à la place de 2t — 5, puis substituant à 5 sa valeur 6, à ^ la quantité V^3, et au rapport m a b celui de 2 à i ? qui a lieu dans l'analogique, on trouvera

st :/•-:: v/8: \/o,

ce qui donne pour l'incidence cherchée, 128*^ i9'44''-

Celle de ^ sur c sera tirée de la formule (D) avec

les mêmes substitutions, ce qui donnera gr'rz::2:3,

d'où l'on conclura que l'incidence est de 1 46^ 1 8' 87 '.