DES PRI^XIPES GÉNÉRAUX DE LA THÉORIE
Formes primitives.
25. L'idée que tend à faire naître l'observation des diverses formes cristallines sous lesquelles se présente une même substance minérale, est qu'il en existe une parmi elles, qui peut être regardée comme le type auquel toutes les autres sont susceptibles d'être ramenées. En partant de cette idée, on concevrait que le solide qui fait la fonction de type fût composé de particules semblables à lui-même, ou dont la forme serait en rapport avec la sienne. Ce même solide serait inscrit dans chacun de ceux qui offriraient une configuration différente, et celle-ci dépendrait de certaines lois auxquelles auraient été soumises les particules de la matière enveloppante, en s'arrangeant symétriquement autour du solide intérieur.
Mais pour que cette idée s'accordât avec la réahté , il faudrait que la théorie dont elle aurait fourni la base, satisfît à deux conditions; l'une, que l'adoption de la forme qui serait considérée comme le type des autres n'eût rien d'arbitraire , et fut indiquée par la nature elle-même ; l'autre que l'existence des lois d'arrangement qui détermineraient son passage aux
autres formes fiiit démontrée avec une précision rigoureuse.
Mon but, dans cet article, sera d'exposer les résultats des observations qui me paraissent remplir la première condition. Je ferai connaître, dans les articles suivans ceux des recbercbes que j'ai entreprises? dans la vue de satisfaire à la seconde.
J'ai d'autant plus lieu d'espérer qu'on me permettra de raconter ici la manière dont j'ai été conduit à l'observation cjui m'a donné, pour ainsi dire, la clef de la théorie , qu'elle n'a point été cliercliée, et s'est présentée comme d'elle-même, en sorte qu'il suffisait de ne pas fermer les yeux sur le fait fondamental qui en était le sujet , et qui devait à son tour amener tout le reste.
26. Ce fait s'est montré sur un cristal prismatique de cliaux carbonatée, dont M. Defrance, amateur très éclairé , avait eu la bonté de me faire présent , au moment où il venait de se détacher d'un groupe qui faisait partie de sa riche collection.
. En examinant ce cristal, lorsque je fus de retour, je m'aperçus que la fi acture qui s'y était faite à l'endroit par lequel il tenait au groupe, avait emporté une des arêtes du contour de la base, et j'observai, au même endroit, une face êtoo (fig. 33) qu'il était facile de reconnaître , à la netteté de son poli et à la vivacité de son éclat, pour un des joints naturels situés entre les lames dontle prisme était l'assemblage.
La figure de cette face, qui était un trapèze, et 1»
direction de sa base st, qui était tournée vers l'art te opposée bc , indiquait que pour la faire naître , à l'aide de la division mécanique, il aurait fallu diriger le plan coupant parallèlement à l'arête If-, et en estimant la position de ce plan d'après celle de la face déjà observée, j'avais jugé qu'il devait être incliné sensiblement de la même quantité, tant sur la base du prisme, que sur la face latérale adjacente lff'l\i)- Supposant donc la chose faite, comme je viens de le dire, j'essayai d'intercepter les autres arêtes par de nouvelles divisions analogues à la première, et je trouvai qu'il n'y en avait que trois parmi les six du contour de chaque base, qui se prêtassent à cette opération. Ces arêtes étaient d'une part, //", mhy ccl (fig. 34), et d'une autre part Uc',f'd\ m'I'-, d'où l'on voit que , connaissant une des arêtes susceptibles d'être interceptées par des plans diviseurs, il fallait pour continuer l'opération, prendre les autres arêtes de deux en deux, autour de la même base, et de plus choisir autour de la base opposée les trois arêtes qui alternaient avec les précédentes • il en résultait que les trois trapèzes stoo , xnJik , vuhJi , mis à découvert autour de la base supérieure, et les trois autres iivu. x'n'ee^ 5'^'^^qui se montraient autour de la base inférieure, étaient parallèles chacun à chacun.
(i) Je reviendrai dans la suite sur cette égalité d'indinaison , qui conduit à des résultats interessans sous le rapport de la théorie.
Î54 TOAITÉ
En continuant la division vers le centre du prisme, je vis paraître de nouveaux joints naturels, dont les sections sur les bases se rapprochaient de plus en plus des centres de ces bases , et au terme où elles se trouvèrent réduites à deux points, qui coïncidaient avec les mêmes centres, les triangles dont elles formaient les bords ayant disparu , le prisme fut changé en un dodécaèdre (fi g. 35) à faces pentagonales, dont six, telles que AEooI, AG/zAE, etc., étaient le résultat de la division mécanique, et les six autres ooiOe^ cUiiy etc. , les résidus des pans du prisme.
Au-delà de ce terme , les pentagones extrêmes conservèrent leur figure et leurs dimensions, tandis que les pentagones latéraux perdaient continuellement de leur hauteur, jusqu'à ce C|ue les points o et é», o et ï, A et i , etc. venant à se confondre , ces derniers pentagones se réduisirent à de simples triangles, comme on le ^ oit (fig. 36).
Enfin , de nouvelles divisions ayant fait disparaître avec ces triangles les derniers vestiges de la surface du prisme , le solide qui me resta entre les mains , et qui était comme le noyau de ce prisme, fut un rhomboïde obtus (fig. 07), dont les faces^ prises vers un même sommet étaient inclinées entre elles d'environ 104^ Y 5 ^^ ^^^^ lequel le grand angle EAI, ou EOl de chaque rhombe avait pour mesme, à peu près 10 1*^ 7.
2^. L'idée que devait naturellement me suggérer le résultat que je viens d'exposer , était qu'il n'ofirait
qu'im cas particulier d'une propriété commune k toutes les variétés de la même substance, en sorte que les cristaux de chacune d'elles renfermaient un noyau parfaitement semblable à celui qui était engagé dans le prisme sur lequel j'avais opéré 3 mais cette idée avait contre elle une difficulté qui paraissait d'autant plus embarrassante, qu'elle était suggérée par l'espèce de forme à laquelle appartenait le noyau dont il s'agit. Elle consistait en ce qu'il existe parmi les cristaux de chaux carbonatée divers rhomboïdes que j'ai déjà cités plus haut, dont l'un, qui est beaucoup plus obtus, a son angle plan du sommet de 1 1 4"^ 1 8', et les autres qui sont aigus , offi ent au même endroit un angle qui est successivement de 76^ 3i', de 45^ 34' et de 37^^ 3i'.
Il était difficile de concevoir comment la forme rhomboïdale, en supposant qu'elle fut toujours celle du noyau, serait restée semblable à elle-même, sans aucune variation, dans des cristaux qui la présentaient à l'œil sous des traits si différens des siens , et qui, comparés entre eux, n'avaient rien de commua que cette même forme prise en général.
Mais l'observation fit disparaître le paradoxe que semblait offiir le contraste entre les formes extérieures de ces rhomboïdes et celles de leur noyau , et elle prouva que ce noyau , en conservant ses dimensions et ses angles, était inscrit symétriquement dans chacun d'eux. 11 ne s'agissait pour l'obtenir que de trouver les différens sens suivant lesquels devait
se TRAITÉ
être divisé le rlioiiiboïde qui le renfermait; c'est ce que je vais éclaircir par des exemples,
28. Je choisirai d'abord le rhomboïde obtus de 1 14^^ 18', que je nomme équiaxe^ et que représente la figure 38, av ec le noyau qui lui est inscrit. Dans ce cas, les plans diviseurs doivent être dirigés de manière qu'ils interceptent les six angles solides latéraux j',p, r, X , etc. (f:g. 39), et que leurs intersections avec les faces du rhoniboïde soient parallèles aux diagonales obliques. Par exemple, le plan qui intercepte l'angle solide js(fîg. 39), doit couper les deux faces aprZy ciyxz^ suivant des lignes dbj dc^ parallèles aux diagonales a/' 5 «X, d'où il résulte que ce plan détachera ime pyramide triangulaire dont la base bcd sera parallèle à la face AEOI (fig. 38) du noyau. On concevra de même que le plan Vc'd'{ïi^. 39 ), qui' intercepte l'angle solide u opposé à l'angle z , doit détacher une pyramide triangulaire dont la base h'cd' sera parallèle à la face A'KGH ( %. 38) du noyau. En appliquant le même raisonnement aux autres plans, on aura le rudiment de la division mécanique, dont l'effet est de mettre à découvert six triangles isocèles parallèles aux faces du noyau, et il est à remarquer que déjà les angles aux sommets de ces triangles, tels que cdb^ cd!h\ sont égaux aux angles obtus EAI, tIA'K(fig. 38) des rhombes du ïioyau, et ont pour mesure toi*' 32% comme ceux du rhomboïde retiré du prisme hexaèdre régulier.
Si l'on continue la division, paraUèlement aux
DE CRISTALLOGRAPHIE. Zj
mêmes triangles, les joints naturels mis à découvert par les plans diviseurs finiront par coïncider avec les diagonales obliques ax^ ar^ ap^ etc. du rhomboïde arxa! (fig. Sg); et à ce terme, le noyau se trouvera isolé. Il suit de tout ce que je viens de dire, que l'axe du rhomboïde circonscrit est égal à celui du noyau , que les bords supérieurs de ce dernier se confondent sur une même direction avec les diagonales obliques du rhomboïde dont il s'agit, et que ses angles solides latéraux E, O, I, K, etc. (fig. 38 ) sont tournés vers les faces du même rhomboïde. De là naît une considération qui s'étend à tous les rhomboïdes dont j'ai à parler dans cet article. Elle consiste en ce que dans tous les solides de cette espèce les parties semblables situées trois à trois vers chaque sommet alternent entre elles, et parce que le noyau est toujours disposé symétriquement à l'égard du rhomboïde qui le renferme, la double alternative qui en résulte produit un assortiment de deux rhomboïdes dont l'un est inscrit dans l'autre.
:29. Je passe au second exemple , qiie je tirerai du rhomboïde aigu dans lequel l'angle plan du sommet est de 76^^ 3i', et que la figure 4o représente circonscrit à son noyau. Je le nomme chaux carbonatée inverse , pour une raison que j'exposerai dans la suite. Je me bornerai à indiquer la marche que doit vsuivre la division mécanique, pour en extraire le noyau, que l'observation prouve être semblable à celui que renferment les deux variétés précédentes.
Un coup-d'oeil jeté sur la figure suffît pour faire juger que les bords supérieurs acZ, at^ ah du rhomboïde circonscrit, et ceux qui leur correspondent vers le sommet opposé, sont parallèles aux diagonales obliques du noyau. Ainsi, les plans diviseurs doivent être dirigés parallèlement aux bords dont il s'agit, en faisant des angles égaux avec les faces adjacentes. Il en résulte que les trois plans qui interceptent les bords supérieurs contigus a un même sommet a (fig. 4i ), mettent à découvert trois pentagones alongés flsor^ xuzos^ ypzor^ dont les parties supérieures se réunissent en un angle solide semblable à celui qui est contigu au sommet A ( fig. 4o ) du noyau. A mesure que l'on continue la division mécanique, les pentagones s'élargissent d'abord en se rapprochant du noyau, puis s'entrecoupent, et finissent par se confondre avec les rhombes du même noyau.
Le troisième exemple se rapporte au rhomboïde que représente la figure ^i circonscrit de même à son noyau. L'angle baf de son sommet n'est que de 45" 34'. Ce n'est pas cette grande différence entre ses angles et ceux de son noyau cjui m'a suggéré le nom de chaux carhoiuiiée contrastante que je lui ai donné, mais une propriété remarquable dont il jouit et que je ferai connaître dans la suite. On juge aisément, à la première vue de la figure , que les faces de ce rhomboïde sont tournées vers celles du noyau, en faisant avec l'axe des angles beaucoup plus aigus. Cette cor-
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relation indique que les sections Im , Z.r, mx (fig. 4^^ des plans diviseurs sur les faces du rhomboïde, doivent être parallèles à ses diagonales horizontales; ces mêmes plans en partant des sections dont il s'agit, s'inchnent vers l'axe, de manière que les angles qu'ils font avec les faces bafr^ hauc , etc. du rhomboïde, sont de i49** 2', d'où il suit qu'ils forment par leur réunion une pyramide triangulaire Ixmy^ semblable à celle qu'on détacherait à l'aide d'un plan mené par les trois angles E, I, G (fig. 4^) du noyau. Dans les divisions ultérieures, les nouveaux triangles mis à découvert s'approchant de plus en plus du noyau , arrivent à un terme au-delà duquel ils s'entrecoupent par leurs angles latéraux , et passent par degrés à la figure du rhombe. Us ne sont plus alors distingués des faces du noyau.
3o. Le quatrième exemple me sera fourni par un rhomboïde encore plus aigu que le contrastant, dans lequel l'angle plan du sommet est de 87^ 3l^ C'est celui que représente la figure 44 ? ^1^ rapport de position avec son noyau, et auquel j'ai donné le nom de chaux carbonatée mixte. Ce rhomboïde présente le cas inverse du précédent, c'est-à-dire que ce sont ses bords obhques qui regardent les faces du noyau. Dans ce cas les plans diviseurs situés vers un même sommet 5, partent de trois points pris sur les bards dont il s'agit, et mettent à découvert trois trapézoïdes prsn^ utsn^ xtsr (fig. 4^), inclinés de i55*^ 5o' sur les mêmes bords, et dont les triangles
4o TRAITÉ
supérieurs composent les faces latérales d'une pyramide semblable par la mesure de ses angles et par sa position à celle que les plans analogvies font naître dans le rhomboïde contrastant (fig. 43);, et qui a son sommet au pointy. Le reste va comme de soi-même , et l'on conçoit aisément tout ce qui doit arriver jusqu'au terme où les trapézoïdes se trouvent convertis en rliombes qui se confondent avec ceux du novau.
J'ai choisi les quatre rhomboïdes que je viens de citer, parmi ceux que la nature présente isolément. La plupart des autres entrent comme élémens , avec des solides difîérens , dans des formes cristallines plus ou moins composées. Le nombi e de ceux que j'ai observés jusqu'ici est de seize , en y comprenant les quatre précédens.
En décrivant la manière de diviser mécaniquement ces derniers rhomboïdes , j'ai suivi une marche méthodique, d'après laquelle on voit s'opérer, pour ainsi dire , par la pensée , le passage gradué du rhomboïde circonscrit à celui qu'il renferme comme noyau. Mais dans la pratique on peut, avec de l'habitude et de l'exercice, arriver beaucoup plus nromptement au but proposé , et l'opération indique comme d'eileïnême les moyens de l'abréger.
3i. Tous les autres cri&taui: calcaires , d'une forme différente , qije je soumis successivement à la division mécanique, donnèrent des résultats analogues à celui que m'avaient offert les rhomboïdes. Je me bornerai à xm seul j qui sera tiré du dodécaèdre à triangles
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scalènes que représente la figure 46, circonscrit à son noyau. Je le désigne par le nom de chaux carhonatée mètastatique y dont l'interprétation sera donnée dans la suite par le développement des propriétés intéressantes dont il jouit. La manière d'obtenir tout d'un coup le rhomboïde qui fait ici l'office de noyau s'offrira comme d'elle-même , si l'on fait attention que les bords inférieurs EO, 01, IK etc. de ce rhomboïde se confondent avec ceux des triangles scalènes du dodécaèdre. Il en résulte que si l'on fait passer trois plans diviseurs par ces mèri.ies bords pris deux à deux, suivant l'ordre où ils forment des angles rentransEOI, IKG, GME, tournés vers le point S, ils mettront à découvert les trois faces contiguës au sommet supérieur A du noyau. On répétera ensuite la même opération, en reprenant les mêmes bords deux à deux, suivant l'ordre ahernatif , où leurs angles rentrans OEH, KIO, FLGH, sont tournés vers le poiut /, et l'on achèvera d'isoler le noyau.
Maintenant, comme la forme du dodécaèdre diminue uniformément de part et d'autre , en partant des bords inférieurs du noyau, si l'on choisit le long des arêtes obliques 05, ks^ hs (fig. 4?) ^^^ P^^^^ longues, trois points 72, a;, p, pris à la même distance du sommet 5, les plans jytu^ riixz^ rpnz , menés par ces points , parallèlement aux bords EO et 01 , IK et KG, GH et HE (fig. 46) mettront à découvert trois rhombes parallèles et semblables à ceux qui terminent le noyau du même côté. Le même résultat
aura lien en sens contraire, à l'aide des trois plans diviseurs r'p't'u' j rhtx'z, rp'jiz analogues aux premiers, et en continuant l'opération vers le centre , on aura nne série de rliombes croissans, dont chaque terme ofirira l'aspect du noyau. Au contraire, lorsque Fon sous-divise les rhomboïdes dont j'ai parlé d'abord, les joints naturels passent par degrés de la figure du triangle ou du trapézoïde à celle du rhombe , par une suite de la manière dont le noyau est engagé dans ces rhomboïdes.
Les cristaux de toutes les autres substances minérales, soumis successivement à la division mécanique, ©nt seiTi à prouver la généralité du résultat , à l'égard duquel la chaux carbonatée avait pris l'initiative. Ceux qui appartiennent à une même espèce donnent un noyau d'urne forme particulière et constante. Ainsi, dans l'amphibole, le pyroxène, le glaubérite, le plomb chromaté , l'arsenic sulfuré , c'est un prisme oblique rhomboïdal , dont la base est plus ou moins inclinée à l'axe , et dont les faces latérales font entre elles des angles plus ou moins ouverts , suivant l'espèce à laquelle il appartient. Dans la chaux phosphatée, l'émeraude, la cordiérite, la pinite, le cuivre sulfuré, c'est mi prisme hexaèdre régulier, dans lequel le rapport entre le côté de la base et la hauteur , déterminé par la théorie , varie de même d'une espèce à l'autre. Dans le corindon, le quarz , la tourmaline, la chabasie, le fer oligiste, c'est un rhomboïde plus ou moins obtus ou aigu. Dans Farragonite, le tri-
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p]iane,le plomb carbonate, le plomb sulfaté, le cuivre phosphaté, l'antimoine sulfuré, etc., c'est un octaèdre qui emprunte de même des caractères spécifiques du rapport de ses dimensions et de la mesure de ses angles. Les formes des molécules intégi^antes participent des diversités que présentent les solides qui en sont des assemblages.
32. La forme du noyau se rencontre, comme produit immédiat de la cristallisation, parmi celles des variétés de diverses substances , et un grand nombre de ces variétés présentent des faces parallèles à celles dunoyaurenfermédansleurintérieur, combinées avec d'autres faces qui dépendent des lois auxquelles est soumise la structure, ainsi que je l'expliquerai dans la suite.
33. Lorsqu'un cristal se prête difficilement à la division mécanique , on peut encore déterminer les positions de ses joints naturels par difFérens moyens, dont le plus simple est fondé sur Tobservation que je viens de citer. On reconnaît chacun des joints dont il s'agit , lorsque ayant fracturé le cristal de manière à laisser subsister en partie la face qui est parallèle à ce joint, on le fait mouvoir à une vive lumière. Il arrive alors qu'au même instant où le résidu de la face dont je viens de parler renvoie à l'œil les rayons réfléchis, on aperçoit à Fendroit de la fracture d'autres reflets qui partent des lames intérieures , en sorte qu'en faisant tourner le cristal en divers sens , on voit paraître et disparaître simultanément les rayons qui produisent les deux reflets. On en conclut qu'il e.xiste
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dans rintc'rieur du cristal un joint naturel sifué parallèlement à la face dont j'ai parlé.
34. Les formes des noyaux obtenus par la division mécanique de tous les cristaux connus, que j'appellerai désornms formes primitipes y se rapportent aux cinq genres suivans : ]e parallélépipède, l'octaèdre, le tétraèdre qui est toujours régulier, le prisme hexaèdre, pareillement régulier, et le dodécaèdre à plans rhombes, tous égaux et semblables.
Formes des molécules intégrantes.
35. Dans les résultats précédens, nous n'avons conduit la division mécanique que jusqu'au terme où elle avait isolé le noyau du cristal qui lui était soumis, parce que déjà la forme de ce noyau pouvait être considérée comme un lien comnuui, qui unissait toutes les variétés relatives à une même espèce. Nous verrons ce lien se resserrer davantage, et les rapports qu'il fait naître entre les mêmes variétés devenir plus intimes , à l'aide des observations suivantes et des conséquences qui en découlent.
La sous-division de la forme primitive, parallèlement à ses différentes faces, dont nous allons nous eccuper , présente plusieurs cas différens qui dépencleiit de l'espèce de solide à laquelle appartient celle que l'on considère.
Si c'est un parallélépipède, il est bien évident que sa sous-division donne de petits parallélépipèdes semblables à lui-même 3 mais toutes les autres formes
sous-di visées parallèlement à leurs faces, se résolvent en petits solides d'une forme différente. Prenons pour exemple le prisme hexaèdre régulier, et pour plus grande simplicité supposons que les plans di\i5eurs, parallèles aux faces latérales , passent par les centres des bases, le prisme se trouvera partagé en six prismes partiels qui auront pour bases des triangles équilaléraux; et si l'on multiplie les divisions suivant des directions parallèles aux premières, et suivant d'autres parallèles aux bases , on aura toujours pour résultat un assemblage de prismes triangulaires équiîatéraux, ainsi qu'il est facile d'en juger par l'inspection de la figin^e 48. Mais ce qii'il est essentiel d'observer, c'est que ces prismes sont tellement disposés, qu'étant pris deux à deux, ils forment des parallélépipèdes indiqués par AO?p,/?f; g, etc. {û^. 49), et qui, dans le cas présent, peuvent être considérés comme des prismes droits de 120^ et 60^^ ; et il est visible que le prisme hexaèdre régidier peut être conçu comme un assemblage de pareils prismes.
36. Proposons-nous encore de sous-diviser le dodécaèdre rhomboïdal parallèlement à ses différentes faces, en faisant passer les plans diviseurs par le centre du solide.
Soit ep (fig. 00 ) un de ces dodécaèdres. Supposons des plans coupans qui passent pai' le centre , et dont chacun soit parallèle à deux faces opposées du dodécaèdre. Il est d'abord é\ ident que ces plans seroiU au ûoml^re de six. De plus chacun d'eux , par exemple
celui qui est parallèle aux rliombes dlfn , bo/it, passera parla diagonale gy^ par les deux arêtes ye^ er, par la diagonale rq^ et par les deux arêtes qp,pg, c'est-à-dire que chaque plan passera par deux petites diagonales et par quatre arêtes. Or il y a en tout douze petites diagonales et vingt-quatre arêtes distinctes , dont chacune est commune à deux rliombes voisins ; d'où l'on conclura que les six plans opèren-t des sections sur toutes les arêtes et sur toutes les diagonales obliques du dodécaèdre. Donc il y aura toujours trois plans qui passeront par les trois côtés de chaque triangle, tel que y Ig, ou y og, qui forme la moitié d'un rhombe coupé dans le sens de sa petite diagonale; et puisque ces plans passent en même temps par le centre c , ils détacheront une pyramide triangulaire , ou un tétraèdre. Donc le dodécaèdre se trouvera décomposé en viogt-quatre tétraèdres dont chacun aura pour faces quatre triangles isocèles égaux et semblables. Pi.emarquons que ces tétraèdres , pris six à six , forment quatre rhomboïdes , dont chacun a l'un de ses sommets, tels que y, h, f^ ou r, situé à l'extérieur, et l'autre au centre c du dodécaèdre. La figure 01 représente séparément le rhomboïde dont le sommet extérieur est au point ^.
37. Je m'abstiendrai de parler ici de la sous-division des autres formes primitives, dont les résultats , moins sim|3Jes que les précédons, conduisent à des solides de deux formes différentes. Je me bornerai à dire pour le présent que ce défait de simplicilé n'inté-
DE CRISTALLOGRAPHiE. Ij
resse point la théorie, qui parvient aussi sûj^emenl a son but, dans ces sortes de cas, que dans ceux qui ont rapport au parallélépipède , au prisme hexaèdre régulier , et au dodécaèdre rhomboïdal.
Nous venons de voir que la sous-division de ces trois genres de solides, parallèlement à leurs différentes faces , conduit à trois formes différentes , qui sont le tétraèdre, le prisme triangidaire et le paiallélépipède. Or, comme il faut au moins quatre plans pour circonscrire un espace , il en résulte que les trois formes dont il s'atjit avant successivement leur surface composée de 4 ? 5 et 6 plans, sont les plus simples que l'on puisse concevoir. Nous verrons dans la suite que le tétraèdre est toujours un des deux solides offerts par la sous-division des formes primiti\ es , différentes de celles que j'ai prises pour exemples, et que l'on peut , à Taide d'une hypothèse plausible , donner l'exclusion à l'autre solide, ou le considérer comme nul.
Z^, Nous n'avons considéré jusqu'ici que les solides qui résultent de la sous-division des formes priiiiitives suivant des directions parallèles aux faces qui terminent celles-ci. Or j l'observation indique aussi dans certaines formes primitives des joints situés suivant des directions différentes de celles qui correspondent aux faces. Je me bornerai ici à ce qui rpgarde le parallélépipède, me réservant à faire connaître les résultats des observations relatives aux au^ très formes d^ns' les articles destinés pour la partie
analytique , oii je traiterai de ces formes. Voici quelques exemples qui se raj)portent au cas dont je viens de parler.
Le prisme droit rliomboïdal hh (fig. 02), qui est la forme primitive de la staurotide, et dans lequel les pans les plus inclinés M, M, font entre eux un angle de 129^ 3o', se sous-divise dans le sens d'un plan qui passerait par les petites diagonales bd^fh des bases, en deux prismes triangulaires isocèles égaux et semblables, d'où l'on voit que ces prismes sont réunis de la même manière que ceux qui composent les prismics rliomboïdaux , dont le prisme hexaèdre régulier peut être considéré comme l'assemblage. Dans la forme primitive de la baryte sulfatée, qui est un prisme de la même espèce, mais dont les pans M, M (fig. 53) sont inclinés l'un sur l'autre de toi"^,, îa sous-division a lieu dans le sens des deux dia^onales bi^ dk et xy^ hr des bases, ce qîd donne pour résidtat quatre prismes triangulaires dont les bases sont des triangles rectangles scalènes bok. boa^ etc. , égaux et semblables. Les prismes obiif[ues rbomboïdaux, qui offrent les formes primitives de l'aniplsibole et du pyroxène subissent des divisions analogues à la seconde de celles dont je viens de parler. D.tns le rhomboïde primitif A A'( fig. 54) de la tourmaiiiie, dont deux faces adjacentes prises vers un même sommet forment entre elles un angle de i33^26', chacun des plans diviseurs qui sont au nombre de six, passe par une diagonale oblique, telle que A Oj par Taxe A A',
et par l'arête A'o , comprise entre la même diagonale et Taxe , d'où il suit que les six coupes détacheiit autant de tétraèdres, dont les faces prises deux à deux, telles que AEo, AoE, et AEA', AoA', sont égaies et semblables. Il en résulte que ces six tétraèdres sont assortis entre eux de la même manière que ceux qui composent les rhomboïdes dont la réunion produit le dodécaèdre rhomboïdal.
Ces solides , les uns prismatiques , les autres tétraèdres, donnés par la sous-division d'un parallélépipède qui fait la fonction de forme primitive, étant les analogues de ceux dont j'ai parlé d'abord, me paraissent devoir être placés à côté d'eux , dans l'ordre de la structure.
3g. Maintenant la division physique d'un minéral auquel je fais subir une des opérations dont je viens de parler, par exemple celle de la chaux carbonatée, a nécessairement un terme , et si j'avais des oro^anes assez déhcats pour atteindre ce terme , j'arriverais à des corpuscules quelconques que je ne pourrais plus sous-diviser ultérieurement sans séparer les molécules de chaux et d'acide dont ils sont les assemblages. La supposition la plus naturelle que je puisse faire ici, est que la route que j'ai prise est celle qui conduit à ce terme, c'est-à-dire que ce qui est au-delà du point où je cesse de voir ressemble à ce que j'avais vu jusqu'alors. Or, dans cette hypothèse, les corpuscules dont je viens de parler seraient des rhomboïdes d'une extrême ténuité, et delà même ligure que ceux d'un
5o TRAITE
volume sensible que j'avais d'abord obtenus. Ainsi nous admettrons dans les minéraux deux sortes de molécules- les unes que j'appelle molécules intégrantes, et qui sont censées être les plus petits solides que l'on puisse extraire du minéral sans altérer sa nature, et les autres que j'appelle molécules principes, molécules élémentaires , et qui sont, dans le cas présent , d'une part celles de la chaux , et de l'autre celles de l'acide carbonique.
J 'observerai que si ces corpuscules auxquels j'arrive, en continuant, par la pensée, la division mécanique jusqu'à sa limite, ne représentent pas exactement ceux sur lesquels agit l'ailinité dans la production des cristaux , ils nous en offrent les équivalens ; et les résultats que nous obtenons, en les adoptant , sont si parfaitement conformes à l'observation, que nous ne serions pas censés nous être trompés , en prenant les molécules de la théorie pour celles de la nature.
ÎSous admettrons donc trois formes de molécules intégTantes employées par la cristallisation dans la production des corps réguliers qu'elle offre à notre observation , savoir , le tétraèdre , le prisme triangulaire et le parallélépipède. Ces formes si simples et en même temps si fécondes par la grande variété des résultats qu'elles sont susceptibles de faire naitre relativement à une seule espèce de minéral, semblent encore se multiplier par le rapport de dimensions qui distingue chacune d'elles comparée à elLe-mém* jdans différentes espèces.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i
3Iolécules soustractives.
4o. Nous avons vu que les prismes tiiangnîaircs donnés parla division mécaniqiîe du prisme hexaèdre régulier sont assortis entre eux , comme si étant lié:* in^ ariabîement deux à deux, ils formaient des prismes rliomboïdaux , en sorte que le prisme liexaèdre peut être conçu comme un assemblage de ces mêmes prismes. Le dodécaèdre rhomboïdal présente une struetnre analogue à la précédente. Les tétraèdres que l'on en retire, à l'aide de la même opération, sont arran* gés de manière qu'étant pris six à six , ils composent des rhomboïdes dont la somme équivaut à ce dodécaèdre. La même chose était faite, pour ainsi dire d'avance, à l'égard des prismes triangulaires et des tétraèdres offerts par la sous-division des diverses formes primitives qui se rapportent immédiatement au parallélépipède.
Or, les applications de la théorie aux formes cristallines dont les molécules intégrantes sont des prismes triangulaires ou des tétraèdres, soit que leur forme primitive diffère ou non du parallélépipède, s'assimilent à celles où les formes qu'elle considère oiit pour molécules des parallélépipèdes semblables au solide primitif, c'est-à-dire que , dans le pren:ier cas, la théorie atteint son but, en faisant faire aux parallélépipèdes composés de prismes triangulaires ou de tétraèdres , les mêmes fonctions que celles qui,
dans le second cas , dérivent de la forme propre des
jDarallélépipèdes indivisibles ou censés tels.
Je donne le nom de molécules soustractives à ces petits parallélépipèdes qui sont comme les élémens dont la considération suffit à la théorie, pour les distinguer des molécules intégrantes qui souvent les composent par leur réunion. Dans les cas où aucune observation n'indique la sous-division de ces parallélépipèdes, il est évident que la molécule soustractive est semblable à la molécule intégrante.
4i. Il suit de là que Ton peut considérer la molécule soustractive comme une unité sur laquelle opère la théorie , sans aucun égard à la sous-division qui pourrait avoir lieu de cette unité en fractions représentées par les molécules intégrantes. Ce point de vue qui a le double avantage de généraliser la théorie et d'en simplifier les applications, écarte de plus les difficultés que pourrait faire naître l'embarras de savoir si nous connaissons bien les derniers résultats delà division mécanique, ou ceux qui nous offiiraient les vcrital)les molécules intégraniesdans l'état d'isolement.
C'est par un motif fondé sur ce qui précède que, dans l'çxposé que je vais faire des lois auxquelles est soumise la structure des cristaux , je me bornerai aux formes dont le noyau est un parallélépipède, parce que je n'ai en vue que d'y donner une idée de la marche générale de la cristallisation, et de la manière d'agir des lois dont il s'agit. Je réserve pour la partie analytique les détails relatifs à la théorie des autres
formes qui ont pour noyau un solide diâerent dit parallélépipède , et pour molécules soustractiv es des assemblages de molécules intégrantes pnsmatiques ou tétraèdres.
Des lois auxquelles est soujnise la structure des cristaux,
42. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les matériaux qui entrent dans la construction des cristaux, et nous avons vu que les formes des molécules qui les ont fournis sont limitées à celles des trois solides les plus simples que Ton puisse imaginer. Il reste maintenant à expliquer comment la cristallisation par- \ient à faire sortir d'un espace si resserré cette multitude presque infinie de corps si diversifiés par le nombre, par les figures et par les combinaisons des faces qui les terminent.
Pour concevoir en général la marche des lois dont toutes ces diversités sont les résultats , observons que les lames que nous détachons lorsque nous divisons un cnstal, en partant des points les plus éloignés du centre, jusqu'à ce que nous arrivions au noyau, augmentent progressivement d'étenckie, à mesure qu'elles se rapprochent davantage de ce noyau. Or , pour se faire une idée du mécanisme de la structure dans le passage du noyau aux formes secondaires , il ne s'agit que de prendre les lames dauï^ l'ordre inverse, et il est bien évident que, prises de cette manière, elles décroissent progressivement, à mesure
qu'elles s'écartent du noyau, par la soustraction d'une certaine quantité de molécules destinées h les compléter, dans le cas où elles auraient enveloppé le noyau, qui n'aurait fait alors que s'accroître, en restant toujours semblable à lui-même. Et comme le décroissement se fait d'une manière uniforme et résîulière , puisque son effet est de faire naître des faces planes ou qui nous paraissent telles, nous en conclurons que les lames dont il s'agit et que j'appelle lames de superposition , subissent leur décroissement de îiianière à conserver toujours des figures rectilignes.
43. Avant d'aller plus loin, je ferai une observation importante pour l'intelligence de ce qui précède , et qui s'étend à tout ce que je dirai dans la suite. Elle consiste en ce que, dans la réalité, un cristal n'est autre chose depuis son centre jusqu'à sa surface , qu'un assemblage de molécules disposées synié-^ triquement, c'est-à-dire que la distinction entre le noyau et la matière enveloppante n'est qu'un moyen de faciliter les applications de la théorie. Comme le noyau donné par la div ision mécanique poussée jusqu'à un certain terme est une partie constante qui est commune à toutes les variétés d'une même espèce, nous considérons chaque cristal comme étant composé de cette constante, plus d'une variable dont la détermination est l'obi et de la théorie.
Je ferai voir dans un article à part que le cristal naissant est déjà semblable à celui que la nature nous présente entièrement formé, et qu'il ne fait
DE CRÎSTALLOGRAFHÎE. 55
eD^uite que s'accroître par une succession de couches qui se recouvrent niutueliement. La structure se combine avec cette augmentation de volume , et les choses se passent comme si la cristallisation avait i:ommencé par produire un noyau égal et semblable à celui que nous obtenons à l'aide de la division mécanique 5 et qu'ensuite ce noyau se fût accru par une superposition de lames analogues à celles que nous détachons succcssivemeiit, au moyen de la même opération. En un mot, je donne ici Tordre de la structure et non celui de l'accroissement, parce que la considération du premier est le véritable guide que doit suivre la théorie pour arriver à son but, en partant d'un fait donné par l'observation, qui est l'existence du noyau , et en ramenant à ce fait toutes les variations que subissent les formes dont la slruclure n'est que la continuation de celle du même noyau, soumise à certaines lois que je vais exposer. 44- ïl suit de ce que j'ai dit plus haut, que les faces des cristaux secondaires ne sont autre cliose que la .somme des nouveaux bords qui résultent de l'alignement des molécules aux endroits où les lames de superposition subissent des décroissemens, d'où l'on doit conclure que la différence entre une lame et la suivante, vers les mêmes bords , est toujours égale à une où plusieurs rangées de molécules soustraites. Or, on peut prendre ces rangées suivant diverses directions, que je commencerai par faire connaître y. avant d'arriver au développement de la théoiie.
5g TRAITÉ
Soit ABCD (fig. 55), une face crun novau que nous supposerons, pour plus de simplicité , être d'une forme cubique, sous-divisée en une multitude de petits carrés a, 5, c, <:/, etc. , qui soient les facettes extérieures d'autant de molécules de la même forme. D'après ce que j'ai dit plus haut, toutes ces molécules peuvent être conçues comme des unités employées par la cristallisation à la formation du noyau cubique , sans qu'il soit besoin d'avoir égard aux sousdivisions que ces unilés pourraient être susceptibles de subir, et qui conduiraient à des molécules intégi'antes d'une autre forme. Mais les différentes manières d'agir des lois auxquelles sont soumises dans leur arrangement les molécules qui produisent la matière surajoutée au noyau, exigent que nous considérions ces molécules tantôt comme continuant de faire la fonction d'unités , ce qui est le cas le plus ordinaire , tantôt comme formant des molécules d'un ordre supérieur, qui seront des assemblages des mêmes unités prises deux à deux, comme a et 5, c et c?, k et /, etc. , ou trois à trois, comm a, b et c^ d^ e etf^ kj Z et 772, etc., c'est-à-dire que dans ce dernier cas les forces d'où dépend la cristallisation agissent sur les moiécoîes composées dont je viens de parler, srii'- aut des lois analogues à celles qui ont lieu le plus communément par rapport à des molécules simple^;.
Or, des molécules soit simples, soit composées, sont censées former une rangée, lorsque les centres de leurs
DE CRÎSTALLOGRAPHTE. 5/
faces extérieures sont sur une même ligne droite. Si les molécules sont simples, il y aura deux cas qui satisferont à cette condition; dans le premier, la ligne qui traverse les centres, et à laquelle je donne, pour abréger, le nom de ligne centrale , est parallèle à Tua des Lords de la face primitive que l'on considère. Ainsi toutes les molécules désignées par a, Z> , c , c?, etc. (tig. 56), dont les faces extérieures ont leurs centres sur la ligne ï'G , forment une rangée. Dans l'autre cas, la ligne centrale est parallèle à l'une des diagonales de la même face ; ainsi les molécules désignées par v^ Xj y, z, q^fy dont les faces extérieures ont leurs centres sur la ligne ÎN"L parallèle à la diagonale AC, forment és^alement une rano^ée.
Lorsque les molécules sont composées , la ligne centrale n'est parallèle ni à un côté ni à une diagonale 5 mais elle fait avec l'un et l'autre un angle qui varie suivant le degré de' composition.
45. Supposons que les molécules simples soient liées deux à deux comme r/, 5 (fig. 67 ) ; menons OK qui coïncide avec la diagonale du petit rectangle relatif aux deux molécules, auc[uel cas elle passera nécessairement par le centre de ce rectangle; les molécules simples désignées par o et 5, ^ et i:, </ et 6, etc., formeront ime rangée de molécules composées, semblables à celle dont j'ai parlé, eu sorte que la ligne centrale TY sera parrallèle à OK.
Prenons les six molécides désignées par A', /, m j <2j by c, pour en composer une seule j dont la face
cxlérieiire aura sa diagonale dans le sens de PR. Les iiioîécules simples groupées six à six dans les es- ])aces désignés l'un par yèX^ ? ^^n second par Ç'^arTr , lin troisième par va^r ^ etc., formeront une rangée de lïiolécules semblables à celle dont la ligne PR traverse la base diagonalement , de manière que la ligne centrale LZ sera parallèle à cette même ligne.
46. On peut donc considérer les deux lignes centrales dont l'une est parallèle au côté et l'autre à la diagonale , comme les deux extrêmes entre lesquelles les positions des autres lignes centrales'peuvent varier ])resque à l'infini. Mais nous verrons dans la suite que cette variation est restreinte par la cristallisation de manière à ne pas dépasser un certain degré de simplicité^ en sorte qu'ici comme dans un grand nombre d'autres phénomènes , l'observation prescrit des limites à la théorie, qui n'en connaîtrait aucune si elle restait abandonnée à elle-même.
47. C'est par des soustractions d'une ou plusieurs rangées de molécules, soit simples soit composées, que s'opèrent les décroissemens des lames appliquées sur le noyau. On appelle décroissemens sur les bords ceux dans lesquels la ligne centrale est parallèle aux bords 3 décroissemens sur les angles ceux dans les- (juels la même îi^ne est tournée vers uue diagonale , et décj'oissemens intermédiaires ceux dans lesquels la jjosition de la ligne centrale est inclinée en même ten.'ps au côté et à la diagonale.
Venons maintenant aux applications :
DE CRISTALLOGRAPIIK-:. 69
Décroissemens sur les bords,
48. Soit AG (fii:;. 58 ) au prisme droit symétrique faisant la fonction de forme primitive à l'égard des cristaux d'une substance minérale ] ce prisme peut être conçu comme résultant de la superposition d'un certain nombre de lames carrées , situées parallèlement aux bases, et composées cliacune d'un égal nombre de petits prismes semblables au prisme total, et il est bien évident que si la superposition continuait avec la même uniformité en partant des deux bases, le prisme ne ferait autre chose que s'accroître dans le sens de sa hauteur , en conservant la même épaisseur.
Supposons une suite de lames appliquées sur la base ABCD , et soumise à un décroissement sur les bords qui soit le même pour tous. La première lame aura vers chaque bord une ou plusieurs rangées de moins que dans ]e cas où le prisme aurait continué de croître en hauteur, sans varier dans son épaisseur. La seconde comparée à la première en différera du même nombre de rangées , et ainsi de suite.
Or, il est facile d'abord de concevoir que l'effet du décroissement poussé jusqu'à sa limite sera de produire une pyramide droite quadranguîaire ABCDO ( fîg. 82, pi. 2) qui reposera sur la base ABCD, et dont les faces seront interrompues par des angles alternativement rentrans et saillans, semblables à ceux HTic foiit entre eux le-s degrés d'im escalier, en sorte
6o TRAITÉ
que dans la réalité elles ne seront antre chose qu'un assemblage de lignes situées aux endroits des arêtes saillantes. Mais telle est la ténuité des molécules, que les inégalités dont il s'agit échapperont à l'œil , en sorte que les faces de la pyramide s'offriront sous l'aspect de plans continus , du moins en supposant que la cristallisation ait atteint tout le fini dont elle est susceptible.
49. Je n'ai considéré l'efTet du décroissement que par rapport à la base supérieure ABCD de la forme primitive. Mais la symétrie avec laquelle agissent les lois de la structure exige qu'un pareil décroissement fasse naître sur la base inférieure luie autre pyramide égale et semblable à la première, et à laquelle on peut apphquer tout ce que j'ai dit de celle-ci.
Soient C/uvê , CéJ^y , C(j(,?^y ( fig. 5S ) les trois faces analogues à CDAB, CBLG, CDFG, sur la molécule située en G.
La petite ligne 'Cy perpendiculaire sur les arêtes C/Lij yX sera ce que j'appelle la dimension en hau~ leur ^ rapportée à la molécule, et leshgnes CjW, Cg, perpendiculaires l'une sur CB, l'autre sur CD, seront ce que je considère comme les dimensions en largeur relatives à la même molécule. Désignons Qy par h y et cfj. ou cé par l.
Soit emr s (fig. 69) le même plan que (fig. 58 )> lequel passe par les milieux des arêtes AD, BC, perpendiculairement à la base ABCD. Soit de plus cdig (fig. 56) la coupe de la première lame de superposi-
DE CRISTALLOGRAPHIE. €i
lion, prise sur le même plan yfkap celle de la seconde, Ituq celle de la troisième , etc. , 7ng indiquera la différence entre la première lame et la seconde, dans le sens de la largeur, en sorte que s'il n'y a qu'une rangée de soustraite, on aura jjig (fig. 59) = C/x (fig. 58)=/. S'il y a deux rangées soustraites, ou aura mg=2lj et ainsi de suite. Soit en général n le nombre de rangées soustraites- on aura mg-=:nxL 5o. Jusqu'ici nous avons fait abstraction de l'épaisseur des lames de superposition , et nous avons supposé tacitement qu'elle était égale à Cy ou à une hauteur de molécule. Mais il peut arriver que chacune de ces lames ait une épaisseur douJjle ou triple, etc. de celle d'une molécule , et que cette épaisseur se combine tellement avec la différence en largeur que l'effet du décroissement soit encore une pyramide. Dans ce cas , si nous désignons par 7z le nombre d'épaisseurs de molécules contenues dans celle de chaque îanî€, nous aurons gi (fig. 56) = 7z'x/2.
Si l'on mène les droites eo^ mo^ tangentes aux points rZ, ^, f, a, etc., elles seront les apothèmes des triangles DOA, COB (fig. 82), et si du point o (fig. 59) on abaisse ob perpendiculairement sur eni, l'angle 07?ib sera égal à l'incidence de l'une quelconque des faces de la pyramide DCBAO (fig. 82) sur la base: en lui ajoutant 90^ on aura l'incidence de la même face sur le pan adjacent; d'une autre part , l'angle mcb ( lig. 5i) ) mesurera la moitié de l'incijdence de l'une quelconque des mêmes faces, par
6a TRAITÉ
exemple Je la face COB (fig. 82 ) sur la face BOA située du côte opposé.
Il est évident que tous les petits triangles mgi ^ l'paj ctcjVj etc., sont égaux et seniblables entre eux , et de plus qu'ils sont semblables au triangle 772^0. Ou donne le nom de triangle mensuraieur à Fun quelconque de ces triai.gles, et spécialement à celui qui est silué à la naissance du décroissement , c'est-îidire dans le casprésentau triangle mgi.
5 1 . Supposons que la forme primitive soit un parallclépipede cb]i([uangleAG(fg. Go), auquel cas les faces ECGL, DCGF feront avec la base ABCD des angles inégaux que nous supposons ici être obtus. Soit vy la m.oiécule soustractive située en C: les facettes Cea;. , Cfeî€ étant alors des parallélogrammes obliquangles , les lignes QrX , CcT perpendiculaires l'une sur y y, , l'autre sur /wv, ne coïncideront plus avec les côtés ijy^ Cu. Soit jngi un triangle mensuratcur relatif à un décroissement sur le bord BC. On aura comme cidessus Tng=7ï X CcT = 7Z X /, et gi=n X Cit^r/z' X à; de plus l'angle igjn sera égal à l'angle cTCtT qui n:iesure fincidence de CBLG sur AECD. Donc, connaissant cet angle, ainsi que les lignes CJ^ , C-^, et de plus les quantités 7?, n ^ il sera facile d'avoir l'angle img, ou celui que fait la face produite par le décroissement avec la base ABCD. On voit aisém.ent ce qu'il y aurait à faire pour construire le triangle mensuratcur relalif à un second décroissement qui agirait parallèlement au bord CD. Les cotés de ce triangle anale-
£;ues à mg et gi seraient alors fonctions des perpendiculaires menées du point C sur iv et yX , et au lieu de l'angle mgi on aurait celai que fait CDFG avec ABCD.
52. Lorsque la relation entre nxl et ?i'x,h est telle que ji' étant égale à l'unité , 72 est égale a 2, ou 3 , ou 4 ? etc. le décroissement est dit avoir lieu en largeur y par 2,3,4 rangées, etc. , sur le bord qui lui sert de ligne de départ- lorsqu'au contraire n étant Tunité, n est égale à 2, ou 3, ou 4? etc. , le décroissement est dit avoir lieu eji hauteur ^ par 2,3,4 ^^^^~ gées, etc. Ainsi, cette expression, tel décroissement a lieu par 3 rangées en largeur sur tel bord ^ suppose taciiTment que l'épaisseur de chaque lame dfî superposition soit égale à une épaisseur de molécule ; et cette autre expression, tel décroissement a lieu par trois rangées en hauteur sur tel bord, emporte la condition (pie la quantité dont chaque lame décroit dans le sens de la largeur, soit mesurée par une rangée de miolécules.
Mais il peut arriver aussi que n et i^ soient égales à des nombres différens et tous deux plus grands que l'unité 5 par exemple, que l'on ait7z=3, ^' = 2, ou bien n-=^l\^ n'=^5 : alors le décroissement s'appelle 7nixte , parce qu'il participe des deux précédens.lJ^ns ]e cas où 72= I , et 7z'= i , on dit simplement que ]e tlécroissement a lieu par une rangée. Ce cas se rencontre dans plusieurs variétés qui appartiennent à diverses espèces de minéraux. Mais ia loi qui le donr.t
se combine avec d'autres , d'où résultent de nouvelles faces qui modifient soit les pyramides, soit le prisme interposé entre elles.
53. Soit AS ((ig. 6i), la forme primitive delà mésotype, qui est un prisme droit légèrement rhomboïdal dans lequel le rapport entre les demi-diagonales OH, ON de la base , est celui des quantités \/g et \/S , ce qui donne gct^ 22' pour l'incidence de M sur M. De plus, la liauteur NS est égale à la perpendiculaire Or menée du centre de la base sur un des côtés. SoitOH=\/9, on am-a
OS= ^/8etNS ou 0,-=25><ON^ /^^^^ (.,
li-N V 17 V 17
La ligure 62 représente une variété de la même substance que j'ai nommée pyinmidée y et dans laquelle le décroissement qui donne les pyramides terminales a lieu par une rangée sur les bords de la base. Proposons-nous de déterminer l'incidence des faces 0.0 des pyramides sur les pans adjacens M, M. Soit ^fUY (fig. 63) le triangle meusurateur. D'après ce qui a été dit plus baut, les côtés Sjx et jW,>?, qui répondent à mg et ^f (fig. 59) 5 seront entre eux comme A^^ (fig. 61 ) , menée perpendiculairement sur le côtéHN delà base
(1) Je parierai dans la suite des moyens qui m'ont servi à rectifier l'ancienne déternnijation que j'avais donnée de cetle forme , et d'après laquelle je Tayais co.".sidérée comme un prisme à base carrée.
est àNSjc'est-à-direcomme^Or : ÏSS, ou coiume 2 : i^ ce qui donne 1 16^ 33^, pour rincidence chercliée.
54. Je placerai ici une réflexion sur laquelle je me propose de revenir dans la suite avec de nouveaux développemens. J'ai déjà dit que la forme. primitive ou le novau d'un cristal n'était autre chose qu'âne donnée prise dans la théorie, pour faciliter la détermination des diiTérentes formes cristallines relatives aune même substance. Les dimensions de cette forme ramenée à sa véritable limite, lorsqu'elles ne sont pas données à priori , comme dans le cas du cube, du rhomboïde, du dodécaèdre rhomboïdal , etc., se déduisent de celles qu'il faut supposer à la molécule soustractive , pour que les décroissemens qui donnent les formes secondaires soient, en général, les plus simples possibles. Ce que je viens de dire sert à exphquer pourquoi, dans le cas dont je viens de parler, la cristallisation, qui ne consiste proprement que dans une réunion de molécides, soumises à un arrangement symétrique , substitue aux formes primitives indiquées par la théorie , des solides qui ont a la vérité leurs faces situées parallèlement à celles de ces formes, mais qui s'en écartent plus ou moins par le rapport de leurs dimensions. Ainsi, dans la variété de mésotype qui vient de nous occuper, le prisme a plus ou moins de hauteur relativement à son épaisseur, suivant les cristaux dans lesquels on le considère. 11 suit de là que quand on dit des pyramides sur-ajoutées à ce prisme, qu'elles naissent d\ui dé- 1. o
es TRAITÉ
croissement par une rangée sur les bords des bases de la forme primitive , la chose ne serait rigoureusement vraie que dans l'hypothèse où les dimensions de cette forme auraient entre elles le même rapport que dans les molécules soustractives. Mais comme les pyramides ressemblent parfaitement à celles qui seraient produites dans cette même hypothèse, les faces qui leur servent de support s'identifient, dans les apphcations de la théorie , avec celles qui leur correspondent sur la forme primitive proprement dite.
55. 11 y a des cas où, pour faciliter les applications de la théorie, on considère le triangle mensurateur dans des plans diôerens de ceux auxquels nous les avons rapportés jusqu'ici. On peut supposer, par exemple , que le triangle relatif au décroissement qui donne la pyramide ADCBO (fig. 32 ), soit situé dans un plan qui passerait par les arêtes CO, AO, en coupant la base dans le sens de la diagonale menée <le C en A. Soit ctx (fig. 63) le triangle dont il s'agit j l'expression du côté et, qui est censé appliqué sur la base ABCD (fig. 58), de manière que le point c (fig. 63 j se confonde avec le point C (fig. 58), renfermera autant de fois la diagonale et que le côté gm (fig. 59) renferme d'arêtes égales à C(W (fig. 58j.Donc désignant par d la diagonale dont il s'agit, nous aurons c^(fig. 63) z=nxd. Quant au côté tx , il est évident que son expression sera la même que celle du côté gi (fig. 5g) ^ auquel il est égal, c'est-à-dire qu'elle sera n' X h.
L'espèce xle triangle mensurateur dont je viens
de parler donne l'incidence de l'une quelconque des arêtes obliques de la pyramide (fig. 82) sur la base ABCD, et en ajoutant 90^ à cette incidence on a l'angle que font entre elles les arêtes CO, CG , ou CD, DF,etc.
56. Il arrive souvent que TefFet d'un décroissement s'arrête à un certain terme, en deçà de la limite vers laquelle il tendait. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si la partie ajoutée au noyau (fig. 58) par l'effet du décroissement qui agit sur les bords de la base ABCD, au Keu d'être une pyramide complète , s'offi-ait sous l'aspect d'une pyramide tronquée parallèlement à sa base. Dans ce cas, les faces produites par le décroissement seraient des trapèzes adjacens par leurs bases supérieures à une face terminale semblable et parallèle à la base ABCD.
57. La baryte sulfatée nous offi-e un exemple de cette modification dans une variété représentée (fig. 64), et que je nomme suhpyramidée. La forme primitive est im prisme droit rbomboïdal (fig. 65), dans lequel le rapport des demi-diagonales DP, CP et de la bauteur CG, est celui des nombres V^î^ , V 8 et \/2i. Le décroissement qui donne les faces -, 2, etc. (fig. 64) , a lieu par deux rangées en hauteur sur les quatre bords de la base ADCB (fig. 65 ).
Soient Céjy, CfiÀy, C^wre, les facettes extérieures d'une molécule soustractive située en C. Menons Cd perpendiculaire sur //.v, et dont le prolongement de sera aussi perpendiculaire sur AD.
Soit cesg ( fig. G6 ) la coupe du noyau prise par un plan qui coïncide avec CG, Ce ( fîg. 65) ^ et soit hdi/i ( fig. 66 ), la coupe de la première lame de superposition, fkcip celle de la seconde, etc.* cni représentera le triangle mensurateur dans lequel c7i = Cd (11g. 65), et ni=iCy. Or, parce que les dimensions de la molécule soustractive sont proportionnelles à celles du noyau, Cd : Qy :: Ce .' CG. Soit DP=: \/Tl, AP ou ;CP= S/5, CG= V2I. Nous aurons
AD= v^ [p^-f + ( AP)»= \/2o . Ce X AD=AP X DB,
ou Ce X V^2Ô= V/8.48. Donc Ce= VÇ. . . Donc Ce:CG:: s/Ç: v/I7::v/3i: \/35::CJ:C>. Donc C7z:72f (fig. 66) :: \/32 : 2 \/35 :: V8 : \/35. D 'ailleurs l'angle cni est dix)it ; d'après C€S données , TangLe icn est de 64^^26', et l'angle c/tz de ^5^34^ d'où il suit que Fincidence de z sur M (fig. 64) est de 154^26', et celle de z sur P de 1 15^34^
58. J'ai supposé que le décroissement qui donne les facettes 2, z avait une marche ascendante en dessus des bords CD, CB, etc. (fig. 65) , de la base du noyau, en sorte qu'il tendait à produire une pyramide au-dessus de cette base. Mais on peut supposer, au contraire, que le décroissement ait une marche descendante en dessous des mêmes arêtes , de manière que les faces qui en résultent , ayant le» mêmes inclinaisons que dans le cas précédent , tendent à se réunir sur des arêtes communes situées au-
dessus des lignes tx^ sx (fig. 64), qui divisent transversalement les faces M , M en deux parties égales. Alors la base P (fig. 65 ) sera censée rester intacte, et les lames de superposition partiront des faces M , M , pour s'appliquer les unes sur les autres. On conçoit aisément que si le décroissement atteignait sa limite , la surface du cristal serait composée, dans le sens latéral, de huit trapèzes accolés deux à deux. par leurs grandes bases, et compris entre deux faces terminales parallèles et semblables aux bases de la forme primitive. Ayant prolongé indéfiniment la ligne ic (fig. Ç)6)^ prenons sur cg une partie cz égale à £/z, et menons zo perpendiculaire sur cg. Le triangle czo deviendra mensurateur relativement au décroissement dont nous venons de parler, et il est évident qu'il sera égal et semblable au triangle inc^ e;i sorte que cz étant égale à //z, par la construction, oz sera égale à en. Donc , puisque in est double de Cy (fig. 65), le décroissement aura lieu par deux rangées en largeur, entre les bords BC, GL d'une part , et CD , GF de Fautre. Si dans le décroissement rapporté aux bases , comme dans la première lijpotlièse, il y avait trois rangées de soustraites en hauteur, celui qui lui correspondrait vers les faces latérales se ferait par des soustractions de trois rangées en largeur , et ainsi de suite pour les décroissemens plus composés.
59. Concluons de là que si Fou suppose deux déeroissemens qui agissent de part et d'autre d'une-
même arête, de manière à produire des faces qui soient sur un même plan, chacun d'eux sera l'inverse de l'autre. Ainsi , un décroissement mixte qui aurait lieu d'un côté par trois rangées en largeur, et par deux en hauteur, aurait pour analogue, du côté opposé, un décroissement par deux rangées en largeur et trois en hauteur.
Dans les cas semhlables à celui de la fig. 32 , pi. 2 , où l'ejffet du décroissement est de produire des pyramides appliquées sur les bases du noyau , il est naturel de considérer la marche du décroissement comme ascendante. Si, au contraire, les faces produites par le décroissement se réunissent sur des arêtes situées latéralement, en masquant les faces M, M (fig. 65) y il conviendra de considérer la marche du décroissement comme descendante.
60. Lorsque l'effet du décroissement se borne à faire naître à la place des bords CD, BC, des faces r, z (fig. 64) j qui ne parviennent pas à se rencontrer, il peut arriver que l'effet du décroissement soit beaucoup plus voisin de la limite à laquelle répondent les pyramides complètes , que de celle qui réside dans la réunion des faces z^ z^ au-dessus des arêtes tx et SX. Entre les deux limites il est une multitude d'intermédiaires que les différens cristaux de la même variété sont susceptibles d'offrir. Mais comme la manière de représenter le décroissement doit être uniforme, l'analogie peut, dans ces sortes de cas, indiquer celle qui doit être préférée. Ainsi, ayant remarqué
DE CRISTALLOGRAPHIE. jx
fjiie les facettes z , lorsqu'elles se retrouvent sur des variétés de baryte sulfatée , différentes de celle qui vient de nous occuper, y sont combinées avec d'autres facettes dues à des décroissemens dont l'expression la plus simple et la plus naturelle est celle qui suppose leur marche ascendante, j'ai assimilé à cette marche celle du décroissement qui donne les facettes r, en supposant qu'elle ait lieu dans le même sens.
11 peut arriver enfin que des faces analogues à z , r se prolongent de part et d'autre des lignes /r, r/z, jusqu'au point de masquer entièrement les bases P et les pans M, M de la forme primitive, auquel cas le solide secondaire sera un octaèdre rhomboïdal. Le choix entre les deux manières de représenter l'effet du décroissement devient alors indifférent en luimême. Cependant, si aucune raison particulière ne décide de la préférence , je crois plus convenable de la donner à l'expression qui suppose que le décroissement ait une marche ascendante, parce que l'idée que fait naître l'octaèdre dont il s'agit, d'après les relations de position qui existent entre ses différentes faces et son axe vertical, est celle d'un solide composé de deux pyramides jointes base à base, et qu'on se représente naturellement une pyramide comme un assemblage de lames décroissantes superposées depuis la base jusqu'au sommet.
6i. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'exposer un résultat général d'observation relatif à fin-» fluence qu'a sur les décroissemens le rapport qui
existe soit entre les côtés , soit entre les angles des différentes formes primitives. Ce résultat peut être ramené aux conditions suivantes :
I *. Si parmi les bords identiques qui existent sur ime forme primitive, un seul subit un décroissement d'une mesure donnée, ou reste libre, tous les autres, à son imitation , subiront le même décroissement ou resteront libres. Il en est de même des angles : ce qui a lieu par rapport à un seul des angles plans qui composent des angles solides égaux , se répète sur tous les autres. Car les bords identiques , et il en faut dire autant des angles égaux, pouvant être pris indiiiéremment l'un pour l'autre, il n^y a pas de raison pour que la variation , dans le cas où il y en aurait une , tombât plutôt sur l'un que sur l'autre; d'où il suit qu'ils ne seront pas non plus distingués entre eux dans les effets des décroissemens. 2'. Si deux bords ou deux angles solides différent entre eux, il pourra arri\ er qu'ils subissent tous deux la même loi de décroissement, ou qu'ils subissent deux lois différentes^ ou que l'un soit soumis à un décroissement tandis que l'autre restera libre. 11 n'existe à cet égard de dépendance nécessaire qu'entre les bords ou les angles, dont chacun est censé représenter tous les autres.
Les conditions précédentes sont liées étroitement à mie autre, qui exige que les parties de la forme secondaire qui répondent à des faces égales et semblables sur la forme primitive, soient aussi égales et semblables entre elles.
Je me borne à indiquer ici ce résultat aussi simple que général , auquel j'ai donné le nom de loi de symétrie ^ me proposant d'en développer toutes les conséquences dans un article qui lui sera spécialement consacré.
62. D'après les conditions énoncées ci-dessus, si parmi les douze bords d'iui cube AO' (fig. 67 ), que nous allons maintenant considérer comme forme primitive , un seul subit une loi de décroissement , tous les autres la subiront également. Supposons que le décroissement ait lieu par une rangée, les lames de superposition empilées sur les six faces du cube produiront autant de pyramides triangulaires , dont les bases se confondront avec elles, ainsi qu'on le voit (fig. 68), et il est clair que les faces de ces pyramides seront inclinées de 45^ sur celles du noyau. Or le cas présent , où les deux décroissemens qui agissent des deux côtés de chaque bord du cube ont lieu par une rangée étant la limile de tous les cas où les décroissemens sont inverses Fiui de l'autre, les faces qui en résultent sont aussi sur un môme plan. Donc les vingt- quatre faces qui composent la surface des six pyramides se réduisent à douze faces distinctes qui sont des rîîombes égaux et semblables sOti') sOEr, tOrO' , etc. (fig. 68 et 69). Le dodécaèdre rlîomboïdal que nous avons vu au rang des formes primitives se retrouve ici parmi les formes secondaires , et nous le verrons dans la suite reparaître sous le même titre comme modification de l'octaèdre régulier.
74 TKAiTE
La figure 70 offre une imitation en grand de la structure qui a lieu dans la variété qui vient d'être décrite. Elle a été tracée dans Fhjpothèse où le nombre des molécules qui composent le noyau serait de 49^ 3^ égal au cube de 17, et l'on s'est borné à j rendre trois des pyramides qui reposent sur les six faces du noyau , en laissant à découvert une des faces qui se présentent en avant (i).
63. Si l'on considère l'un quelconque des axes qui passent par deux angles solides tétraèdres, tels que 5, s' (fig. 68), le dodécaèdre aura toujours quatre de ses faces situées parallèlement à cet axe, telles que jOtO\ tlr'V, rAt'A'^ t%rYi\ et il est visible que ces faces fout entre elles des angles droits. Si, d'une autre part , on prend l'un quelconque des axes qui passent
(i) M. Belœuf , attaché à l'établissement du Jardin du Ptoi, exécute des imitations en bois des mêmes formes dont nous donnons ici les projections, et qui ont cet avantage, que l'œil, en les parcourant dans tous les sens, saisit plus facilement la manière dont se combinent les décroissemens qui donnent naissance aux formes dont il s'agit. D'autre» solides représentent le résultat de la division mécanique du noyau, et l'assortiment des molécules intégrantes dont il est Fassemblage. Le même artiste exécute des solides simples, sur le modèle de toutes les formes cristallines que nous avons déterminées jusqu'ici-, et telle est la précision à laquelle il est parvenu, que le gonyomètre ne donne aucune différence sensible entre les angles de ces solides et ceux des cristaux eux-mêmes.
par deux angles solides trièdres, tels que O, A', ie dodécaèdre aura six de ses faces situées ' parallèlement à cet axe, telles que rE'/O', O's'Vt, tVr'l, Ir'Asj sAt'E^ E^'EV, lesquelles, à cause de la régularité de la forme primitive et de l'action symétrique des décroissemens, font entre elles des angles égaux ; et comme la même disposition se répète dans tous les sens, il en résulte que l'incidence mutuelle de deux faces quelconques adjacentes est de 120'^.
La cristallisation nous offre un exemple du décroissèment dont je viens de parler , dans une substance pierreuse à laquelle j'ai donné le nom à\tplome. La même structure a lieu dans une variété de fer sulfuré où les faces du dodécaèdre rliomboïdal se combinent avec huit facettes triangulaires situées à la place des angles solides trièdres, et qui dépendent d'ime loi que je ferai connaître dans la suite.
64. Pour cpie la lame située au sommet de chaque pyramide se réduise à un simple cube, ainsi que le représente la figure 'jo , il faut supposer que le cùté du noyau soit composé d un nombre impair d'arctes de molécules. Dans cette hypothèse, qui est la plus naturelle que Ton puisse faire, les nombres de molécules des lames consécutives , en partant des sommets des pyramides, forment une série dont les différens termes sont les carrés des nombres impairs i , 3, 5, 7, 9, etc., et dont le terme général du rang n est {in — I )". Si l'on prend la série en sens inverse, c'est-à-dire en partant des faces du noyau ^ et si l'on
désigne par C le nombre d'arétcs comprises dans ie côté de ce'noyaii, et par n le rang d'un terme quelconque, les nombres de celles que renferment successivement les lames de superposition, formeront la
progression C — 2, C — 4? ^ — 6, C — 8, etc
C — in ^ et les nombres de molécules qui composent ces lames seront égaux aux carrés des termes de cette même série , de sorte que la somme de toutes les molécules comprises dans la lame du rang n sera
(c-wy. ■
La quantité C étant donnée, il est facile de connaître le nombre total N des lames de superposition qui composent une même pyramide, en faisant attention que N est le nombre des termes d'une progression arithmétique décroissante, C — 2, C— 4? ^ — ^j C — 8, etc.... , dont le dernier terme est Funité. En appliquant ici les formules relatives à ce genre de
progressions, on trouvera ]N = .
65. On peut déterminer de même en fonction de C le nombre de tous les cubes élémentaires dont îc dodécaèdre est l'assemblage. Pour y parvenir , j'observe que le nombre de ceux qui composent l'une quelconque des six pyramides superposées aux faces du noyau est égal à la somme des carrés des termes de la suite arithmétique 1.3.5.7.9. . . . C — 2 . Or , fti l'on désigne en général par a le prenùer terme d'une pareille suite , par u le dernier , pat r la différence entre deux termes consécutifs ^ et par s la
somme des carrés de tous les termes, on a la fcrmide
br
(1) Cette formule, dont l'usage s'étend à toutes les questions du genre de celle qui nous occupe, ne faisant point partie des élémens ordinaires de l'Algèbre, je crois utile d'en donner ici une démonstration simple , qui dispensera le lecteur de recourir aux ouvrages qui eji traitent d'une manière spéciale.
Soient a, b , c , d, t , u , ]es termes de la progression
dont il s'agit, et n leur nombre. Déterminons d'abord leur somme , que je représenterai par 5. 'Nous aurons b =a-\- r\
c:=.b-\-Tjd-=c-\-r\ u^=it-\-r\ et en élevant chaque
membre de ces équation^ au carré ,
b^^a^-^oar^f", cZ'=c^4-2cr4-r%
u'^ t^ -f 2tr -f- r\
Egalant la somme des premiers membres de ces équations à celle des seconds , supprimant le* quantités communes aux deux sommes , et transposant a^ dans la première , on a
Or,
a^b-i-c -{-d-j-. . .-{-îzzzs — u ; ^one
Mais ici û;= I 5 z^ = C — 2 , 7== 2. Si l'on substitue dans la formule ces valeurs de «, u^ et r, elle devient s' = ^ , On a donc pour l'ensemble des
six pyramides 6s —C^ — 5C*+2C , et en ajoutant C^, on obtiendra le nombre total des cubes élémentaires qui composent le dodécaèdre, savoir, sC^ — 3C*+2C.
ou bien, à cause de
n — 1 = — ; — , u* — a^ =!ir(i' — u) -f- (tt — a)r;
d'où l'on obtient
li" — a" — rCu — a) • — 2r
Maintenant, pour avoir /, nous suivrons la même marche, en substituant les valeurs des cubes à celles des carrés , noui aurons donc successivement
b^ = a'^-{- Za'r -f- Zar'' + r\
u3 — i'4-5iV-f-5i=+r^;
et en égalant la somme des premiers membres à celle des seconds, et faisant les réductions et transpositions analogues aux précédentes,
Mettant à la place de ^ — u et de /i — 1 leurs valeurs expri- Tiiées plus haut , et dégageant s\ on trouve
or
Si Ton suppose €=17 comme dans la figui e ^ le nombre dont il s'agit sera égal à Sgg3.
Si C devient infini, alors 3C* et ^C s'évanouissent devant 2O , ce qui indique que la solidité du dodécaèdre considéré comme corps géométrique est double de celle du noyau. Effectivement, si Ton mène par les arêtes du noyau des plans qui passent en même temps par le centre , ils détacheront six pyramides égales à chacune de celles qui sont le résultat du décroissement.
66. Supposons maintenant que chaque bord du cube serve de ligne de départ à deux décroissemens , dont l'un ait lieu d'un côté par deux rangées en largeur, et l'autre du côté opposé par deux rangées en hauteur. On voit d'abord que l'un des décroissemens étant l'inverse de l'autre, les deux faces qui en naîtront se trouveront sur un même plan, d'où il suit que l'on aura encore mi dodécaèdre , mais qui devra différer du dodécaèdre rhomboïdal par les figupes et les incUnaisons de ses faces. On conçoit de plus que le résultat sera variable suivant les diverses manières dont les directions des décroissemens seront combinées entre elles. Si l'on suppose, par exemple, que le décroissement en largeur agisse parallèlement aux quatre bords des deux faces AEOI, A'E'Ol' (%. 67), il produira deux pyramides qui reposeront sur ces mêmes faces. Mais les autres décroissemens qui auront lieu parallèlement aux bords des faces latérales ne pourront prodiùre de semblables pyramides. Ainsi,
8o TRAITÉ
relativement à la face OirO', le décroissement sur les bords 01, 01' étant lïmerse du décroissement par deux rangées en largeur qui agit de l'autre côté des mêmes bords, son efiet ne sera pas le même que celui du précédent, et de quelque manière que l'on arrange les choses par rapport aux bords 00', 11', la slmditude des parties qui répondent aux différentes faces du cube ne pourra avoir lieu, ce qui est contraire à la seconde des conditions exposées ci-dessus. Le seul arrangement susceptible de concilier les deux conditions est celui dans lequel l'un quelconque des decroissemens, considéré sur trois faces adjacentes à un même angle solide, comme EOIA, EOO'E' , 00 II, agit paraUèlement à des lignes PQ , RS , TN , menées par les milieux de deux côtés opposés, suivant trois directions perpendiculaires entre elles. Supposons que ce soit le décroissement en largeur.
67. Soient Thg, Tzl ( fig. 71), deux triangles mensurateurs, dans lesquels le point T est le même que(fig. 67). De plus, il faut concevoir le côté T/i (fîg. 71) situé sur le carré 01 AE (fig. 67), perpendiculairement à la ligne PQ, et le côté Tz (fig. 71 ) Situé sur le carré OH'O' (fig. 67), dans le sens de la ligne IN, d'où il suit que le triangle TJig (fig. 71 ) se rapporte au décroissement par deux rangées en largeur , qui a lieu en allant de 01 vers EA ( fig. 67 ) , et le triangle Tzl au décroissement par deux rangées en hauteur, qui est l'inverse du précédent^ et qui a lieu en allant de 01 vers O'I'.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 8i
Soient VuXy 'Pjm{û^. 72) deux autres triangles mensurateurs dans lesquels le point P est le nieme que (fig. 67), le côté Fu (fig. 72) étant dans le sens de PQX fig- 67) , et le côté Vy (fig. 72 ) étant situé sur le carré EOO'E' (fig. 6j ), perpendiculairement à la ligne RS; d'où il suit que le triangle Fym (fig. 72) se rapporte au décroissement par deux rangées en largeur, qui a lieu en allant de EO vers E'O' (fig. 67), et le triangle Fux au décroissement par deux rangées en hauteur qui est l'inverse du précédent , et qui a îieu en allant de EO vers AI (fig. 67).
68. On voit par la disposition de ces triangles que les faces produites en vertu du décroissement qui agit parallèlement aux bords 01 , EA , étant inclinées sur les bases d'une quantité égale à l'angle gTà (fig. 71) , tandis que celles qui résultent du décroissement dont les directions sont parallèles aux bords EO, AI (fig. 67), faisant avec les mêmes bases un angle beaucoup plus ouvert, mesuré par xPu{i\^. 72), les quatre faces ne se réuniront plus en un point commun, comme dans l'exemple précédent 3 mais les premières , qui convergent davantage l'une vers l'autre , iront se rencontrer sur une arête commune située au-dessus de PQ (fig. 67), en sorte qu'elles vseront des trapèzes lOpq^ AEjyq (fig. 78), tandis que les deux autres seront des triangles OEp, AI^ , qui auront leurs sommets aux extrémités de l'arête jc^çr. Les mêmes effels se répéteront sur les faces 011^0% EOO'E' (fig, 67); mais les lignes de jonction /?^^ 1- 6
in^ rs (fig. 73) des trapèzes relatifs aux trois faces (et il en faut dire autant des faces opposées) ayant des directions perpendiculaires entre elles , il en résulte que chacun des triangles, tels queOil, E/?0, etc., est sur le prolongement d'un trapèze situé de' l'autre côté du même bord, en sorte que la surface du solide secondaire est composée de douze pentagones égaux et semblables, comme on le voit (fig. 74)*
^(^. Remarquons maintenant que dans chaque triangle tel que Oti (fig. 73), les côtes O^, I^, adjacens au sommet sont égaux, par une suite de la régularité du noyau et de la symétrie avec laquelle agissent les décroissemens. De plus , chaque trapèze tel que ntOs(y a quatre côtés communs avec les triangles adjacens, 0^1, 0<sO', O'/zF, savoir, O^, O5, 0^5, O'n , d'où il suit que ces mêmes côtés sont égaux entre eux. A Tégard de la ligne tn^ qui peut être considérée comme la base commune des pentagones îjiO'sO , tnYsl^ je prouverai ailleurs que, dans le cas ,présent , elle est plus petite que chacun des autres côtés dans un rapport que je déterminerai, et je donnerai de nouveaux développemens sur les propriétés du dodécaèdre dont il s'agit, qui diffère essentiellement du dodécaèdre régulier de la Géométrie , avec lequel plusieurs minéralogistes l'ont confondu.
Je me bornerai , pour le présent , à indiquer l'incidence respective des pentagones, aux endroits où il» se réunissent sur une base commune, par exemple, cçUe des pentagones tnO'SO j tnVSl. Cette incidence
est évidemment le double de l'angle Tgh (fig. 71) , qu'il est facile de déterminer, d'après l'observation que le triangle JiTg est rectangle en h^ et que son côté ïh est double du côté hg^ en conséquence de ce que le décroissement qu'il sert à mesurer a lieu par deux rangées de molécules cubiques. En partant de ces données, on trouve que l'angle T^^=63^26'6", d'où il suit que l'incidence cherchée est de 126^ Ss'i^".
On voit ( fig. 75 ) une imitation de la structure qui vient d'être exposée, du même genre que celle que présente la figure 70, et qui se rapporte au dodécaèdre rhomboïdal.
70. Les lames de superposition empilées sur les diverses faces du cube , dans la variété qui nous occupe , étant de niveau deux à deux dans le sens du décroissement en hauteur , tandis que dans celui du décroissement en largeur elles diminuent sans interruption , il en résulte que les nombres de molécules dont elles sont successivement composées forment deux séries , dont l'ime comprend tous les cas où le rang n! d'un terme donné est un nombre impair , eU l'autre ceux où il est un nombre pair.
Pour trouver les formules relatives à ces deux espèces de cas , désignons par c le nombre d'arêtes contenues dans le côté du noyau; soit g la plus grande dimension des bases rectangulaires de l'une quelconque des lames de superposition , et p la plus petite , auquel cas le produit gp représentera généralement le nombre de molécules comprises dans chaque
lame de suijerposition. Si Ton prend les séries en partant des faces du noyau, il est aisé de voir quep sera égal successivement à c — 4? ^ — ^> ^ — ^^5 ^ — ^^' ^^^^ c'est-à dire qu'en général il sera égal kc — j\n'. D'une autre part, ^sera égal successivement à c — 2, c — 2, e 4, c— 4, c— 6, c— 6, etc. ; c'est-à-dire que si 7i' est un nombre impair, on aura^'=c— tz'— i, et si tî' est un nombre pair, on aura g=c—7i'. Donc dans la série des nombres impairs ^p=(c—72'— 1 ){c—/^n% et dan» celle desnombrespairs^^=(c—72'Xc—;4«')5e^^Pi'essions qui ne difFèrent qu'en ce que le premier facteur de l'une est moindre d'une unité que celui de l'autre. Pour que p soit égal à l'unité dans la dernière lame, il faut que le nombre d'arêtes de molécules contenues dans chaque bord du noyau soit un multiple de 4 augmenté de l'unité, en sorte que si l'on désionepar N le nombre total des lames, on doit avoir c — 4N = I . Donc , en général , c = 4N + i . Si l'on substitue cette valeur de c dans les formules pré-, cédentes, celle qui est relative aux nombres impairs
deviendra . , ,
et celle qui se rapporte aux nombres pairs sera
expressions qui ne diffèrent que par l'addition d'une unité dans le premier facteur de la seconde.
^i.Lafigme 75 a été construite dans Fliypothèse d'un no^ au dont le coté renfermerait dix-sept arêtes
de molécules. Donc e= 1 7. Or , la formule c — 4^'=i
domie N== — 7— . Donc ici N = 4- Donc le nombre
de molécules contenues dans la troisième lame, prise pour exemple, ou (4^ — ^0(4^ — 47i'-+-i) sera (16— 3X16 — 124- î)=i3. 5=65;
et le nombre de molécules contenues dans la qua^ trièmelarae, ou (4^ — n'+i)(/pS — ^n+i) sera
Le solide que nous considérons ici diffère du dodécaèdre rhomboïdal(ng. 70), en ce que, dans celuici, la dernière lam.e se réduit toujours à un simple eube , au lieu que dans l'autre le nombre des molécules qui composent la lame correspondante dépend de celui dont le noyau est Fasse mblage.
72. Proposons-nous maintenant de déterminer en fonction de e le nombre de cubes élémentaires qui composent ce dçdécaèdre.
Continuons de partager l'ensemble des lames de superposition appliquées sur chaque face du noyau en deux séries, que nous prendrons dans un ordre inverse de celui que nous avons supposé plus haut , c'est-à-dire en allant vers le noyau , en sorte que les termes dont le rang était pair deviendront ceux d'un rang impair , et réciproquement.
Soit dans le cas présent g la plus grande dimension , et p la plus petite dimension de la première lame de chaque série 3 soit / la différence entre deux
grandes dimensions consécutives , r celle entre les petites dimensions correspondantes , et n ie nombre des lames ; on aura successivement pour les nombres de cubes qu'elles renferment
ëP'> (g + r) (p+n =gp-hpr' ^gr" -f-r'/";
(^ + 3/) ip + 5r")=gp-\-5p/ +3gr" +9//'; iS-h4r') (,P + 4r")=êp-h4pr' +4^^" + iBrY';
b+('î-i>''][>+('i-i)r'']=ê?-f('^-0pr'+(^-i)ê:r''4-(n-i)VV^
Réunissant toutes ces quantités , on aura pour l'expression générale de la somme S des lames ,
s=ngp + ii +2 + 3+4+ • . . . 4-("-0j(p'-'+ê:O
