i+4+9+i6 + .... + (7.-i)^]rV
Or^ si l'on applique aux deux séries que renferme cette expression, les formules de la page (77)? on trouvera
et
i+4+9+i6+...+(7i-iy
Donc l'éqiiation ci- dessus devient
S=:nê77 + — ^(pr+gr)^ g- /r.
Maintenant, si nous supposons que la première lame de la série des termes impairs se réduise à une simple
DE CRISTALLOGRAPHIF. 5/
îtingée , nous aurons pour cette série. p= i ; et pour celle des termes pairs p= 5.
Dans le premier cas,
et dans le second ,
Les valeurs de r , r\ getn, sont les mêmes dans les deux cas. Si donc on réunit les seconds membres de ces équations, on am^a l'ensemble des deux séries , ou
INous avons trouvé plus haut (page 85) N = — 7—;
N désignant le nombre total des lames comprises dans
ks deux séries. Or, N=27z; donc, 72=— g — • D'une
autre part, g est égal à c moins 2 pris autant de
fois que n renferme d'unités. Donc g=^c — 27z= , *
Enfin r=2, r'=8. Substituant dans l'expression ci-dessus les valeurs de n^ ^, /, /', et réduisant , on
aura ^ — —^—. Multipliant par o, et ajoutant c^, qui est le nombre des cubes que renferme le noyau , on obtiendra la somme totale de ceux dont
le dodécaèdre est l'assemblage, ou-^^ ^g
g^ TRAITÉ
73. Si l'on fait c == 1 7 , comme dans la figure nS ) on trouvera ^36 1 pour la somme des cubes élémentaires. Si l'on suppose c infini, auquel cas 2c* et 43c
s'évanouissent , l'expression se réduit à ^ c' ; c'est-àdire que si l'on considère le dodécaèdre comme nn corps géométrique, sa solidité sera à celle du noyau :: 37:16, ce que l'on peut démontrer d'ailleurs par un calcul direct,
74. Il existe une variété de fer sulfuré (û^. 76) produite en vertu d'un décroissement analogue à celui qui donne naissance au dodécaèdre à faces pentagonales, mais qui a lieu par quatre rangées en largeur dans un sens, et par quatre rangées en hauteur dans le sens opposé. Dans les cristaux observés jusqu'ici, ce décroissement n'atteint pas sa limite, de manière qu'il reste sur la surface du cristal secondaire des rectangles P,M,M parallèles aux faces du noyau , et que les faces h , h', Ji\ données par les décroissemens sont des hexagones. La face W située à la droite de P étant censée résulter du décroissement par quatre rangées en largeur, si dans le triangle T/^^ (fig. 71), on faitT/^=4^^5 ^^ trouve que l'angle Tg/^ est de 75^ 57' 49^3 d'où il suit que l'angle g\.h est de i4*^2'ii", ce qui donne i65*^57'49" po^^r l'incidence de P sur ^"(fig. 76), et 104*^2' 1 1" pour celle de M sur //'.
75. Considérons maintenant le prisme droit rectangulaire que l'on voit ( fig, 77 ) , dans lequel le
rapport des côtés CD, CB. CG est celui des nombres \/6, V/3 et \/2? et qiii est la forme primitive de la cymopliane. Les côtés dont il s'agit étant dans trois cas différens, si l'an quelconque d'entre eux, tel que CB, sert de ligne de départ à un décroissement , il n'est pas nécessaire que les deux autres en 5ubissent lin semblable, et il peut même arriver que ceux-ci restent libres^ il faudra seulement que le même décroissement se répète sur les trois bords AD, 3^ , GL qui sont identiques au premier.
C'est ce que l'on observe dans la vanété de cymopliane représentée ( fîg. 78), et que je nomme anamorphique. L'effet du décroissement , qui a lieu par une seule rangée sur les quatre bords désignés , est de produire au-dessus de chaque base, telle que ABCD (fig. 77), un prisme triangulaire BCOKAD (fig. 78), appliqué par un de ses pans sur cette base, et dont les deux autres pans BCOK , ADOK sont la somme des bords décroissans sur les lames de superposition. Il est facile de voir que dans le triangle mensurateur ahc (fig. 79), qui se rapporte ici à la face BCOK (fig. 78), le côté borizontal ah ( fig. 7g ), est au côté vertical ac comme CD est à DF ou CG , c'est-à-dire comme S/^ : v/^? ou comme \/3 : i , d'où il suit que l'angle cha (fig. 79) = 3o^. Ainsi l'incidence deBCok (lig. 78) sur BCGL sera de 120^. J'appelle cette variété anamorphique y parce que si on lui faisait prendre la position en apparence la plus naturelle d'après son aspect extérieur, qui est celle
d'un prisme liexatkîre , la Ixise M étant alors siinée liorizontalemeiit 5 la forme primitive se trouverait comme renversée.
76. Dans toutes les variétés que nous avons considérées jusqu'ici, les lames de superposition décroissent de tous les côtés à la fois , ou si elles ne décroissent que vers deux de leurs bords , comme dans la cymopliane anamorpliique (fig. 78), les autres bords ne font autre cJiose que se mettre de niveau entre eux, en restant sur le prolongement des faces M du noyau. IMais il existe des variétés dans lesquelles certains bords, sans être soumis à aucun décroissement , subissent des variations qui secondent les effets des décroissemens relatifs à d'autres bords, et concourent avec ceux-ci vers le but de la cristallisation. Nous allons en citer quelques exemples.
Pv.eprenons le dodécaèdre à triangles scalènes (fig. 8(y) fpe j'ai déjà cité comme ayant pour noyau le rliom- ])oïde primitif de la chaux carbonatée, et qui est situé de manière que les petits côtés EO, 01, IK, etc. , de ses faces triangulaires se confondent avec les bords inférieurs de ce rhomboïde* d'où l'on voit qu'il résulte d'un décroissement dont l'effet se répète des deux côtés de chacun des mêmes bords, tandis que les bords supérieurs AE, AI, etc. , ou A'H, A'K, etc. , sont libres de tout décroissement. Or, en même temps que les lames de superposition diminuent vers les premiers bords, elles s'alongent vers les seconds, de manière à envelopper les parties du noyau adja-
centes aux sommets A , A' ; c'est-à-dire que la cristallisation aoit à regard de ces mêmes parties comme elle ferait dans le cas où le décroissement étant nul, le noyau s'accroîtrait dans tous les sens , en conservant sa forme.
77. Il suit de là que la mesure des décroissemens ne se détermine pas d'après les différences entre les lames de superposition considérées dans toute leur étendue , mais seulement d'après les quantités dont elles se dépassent mutuellement vers les parties qui sont soumises à ces décroissemens. Tout le reste est censé être compris tacitement dans la solution des problèmes. La tliéorie n'a même besoin que de considérer ce qui se passe à l'origine de chaque décroissement , parce que la première lame de superposition étant donnée, on a un triangle mensurateur qui sert à déterminer la position du plan produit par le décroissement. Cependant il n'est pas indifférent de pouvoir se rendre compte à soi-même de tous les détails relatifs à la structure d'un cristal, de manière que si l'on avait à sa disposition un certain nombre de petits solides semblables aux molécules soustractives , on pût les arranger comme par assises autour d'un noyau donné , dans un ordre conforme à celui de la nature , et produire ainsi une imitation artificielle du travail d^e la cristallisation. Je vais en conséquence faire en quelque sorte l'analyse d'une structure analogue à celle qui nous occupe ici, en ayant égard à toutes les variations particulières, à
l'aide desquelles les lames composantes concourent , comme de concert , à reffet qui résulte de leur ensemble.
78. Pour rev enir au dodécaèdre dont j^ai parlé , et que je nomme chaux carbonatèe métastatique ,. la théorie prouve que le décroissement dont il dépend a lieu par deux rangées. La figure 81 représente l'espèce de pyramide qui s'est formée au-dessus du sommet supérieur du noyau , lequel se trouvant ainsi en partie à découvert , permet de saisir plus facilement la marche delà structure.
Si l'on suit l'ordre des lames de superposition qui s'appliquent trois à trois les unes sur les autres , en partant des faces du noyau, on voit que lès trois premières , par exemple , au lieu de rester de niveau vers leurs parties supérieures, avec les faces adja-centes du noyau, s'étendent vers ces mêmes parties par l'addition d'une rangée de molécules , laquelle est commune à deux lames. Les trois lames suivantes non-seulement s'étendent pour recouvrir cette rangée additionnelle, mais prennent un accroissement ultérieur, par l'addition d'une nouvelle rangée qui est de même commune à deux d'entre elles. Cette distribution , qui se répète dans toute la hauteur de la pyramide, est nécessaire, pour éviter les angles rentrans qui sont exclus par la cristallisation , au moins dans les cristaux solitaires.
On peut considérer l'assortiment des trois lames de superposition situées à une hauteur quelconque ^
comme formant une couche composée de petits rliom- Lùïdes semblables au noyau. Ainsi la dernière couciie qui répond au sommet s (fig. 8o)j a pour élémens sept petits rhomboïdes. Cest une suite de ce que sa partie concave, dans laquelle est emboîtée la couche suivante, a une capacité égale à un seul rhomboïde, en sorte que l'ensemble de cette capacité et de la couche forme un rhomboïde total qui est le plus petit possible, parmi tous ceux qui sont des assemblages de rhomboïdes élémentaires, puisque son côté est seidement é^al à deux arêtes de molécule. Le même raisonnement s'applique à toutes les autres couches, dont chacune, considérée en elle-même, n'est autre chose qu'un rhomboïde évidé à l'endroit par lequel elle s'applique sur la couche inférieure.
•jQ. 11 est facile de déterminer le nombre de rhomboïdes élémentaires qui composent une couche d'un rang donné. Ce nombre étant constant relativen>ent à la couche terminale , que nous supposons appartenir au minimum des rhomboïdes composés de rhomboïdes simples, nous allons d'abord renverser l'ordre, en prenant la couche dont il s'rgit pour la première. Cela posé , je remarque cjue chaque couche peut être considérée, ainsi que jelai déjà dit, comme un rhomboïde dont on aurait retranché un autre rhomboïde plus petit, à l'endroit où cette couche s'applique par sa concavité sur la convexité de la couche suivante. Soit X le côté du premier rhomboïde. Comme chaque couche n'a que l'épaisseur d'une molécule, il est la-
cile de voir que^:— i désignera le côté du second rhomboïde, ou de celui auquel répond la concavité delà couche dont il s'agit. Donc le côté du rhomboïde auquel répond la partie cachée de la couche suivante sera aussi x — i ; mais , à cause du décroissement par deux rangées , le côté du rhomboïde auquel appartient cette dernière couche, considérée dans sa totalité, est plus grand de deux unités que celui du rhomboïde relatif à la partie cachée : donc son expression sera x — 1+2, ou rc+i. Mais x est le côté du rhomboïde auquel répond la couche précédente ; donc les côtés des rhomboïdes auxquels appartiennent les différentes couches, prises en partant du sommet, forment une progression arithmétique croissante, dans laquelle la différence entre deu?5: termes consécutifs est l'unité. Donc puisque le côté du rhomboïde relatif à la première de toutes les couches est 2 , la série des différons côtés sera 2 , 3 , 4 ? ^5 6 , etc. , dans laquelle désignant par x un terme quelconque, et par ji le rang de ce terme, on aura
Maintenant, si de la solidité x^ du rhomboïde auquel appartient la couche du rang n , on retranche la soUdité (x — i)^ du rhomboïde qui répond à la concavité de cette couche, on aura 3a;'' — 3.t+i, pour rexpression du nombre de rliomboïdes compris dans cette même couche; et si dans cette expression on met à la piace de x sa valeur 72+1, elle
devient
80. Prenons maintenant la couche qui recouvre immédiatement le noyau pour la première : soit C le nombre d'arêtes de molécules contenues dans le coté de ce noyau , N le rang d'un ternie quelconque, et soit toujours X le côté du rhomboïde auquel appartient la couche de ce rang. Si a:=C — i , comme dans la première couche, on a JX=:i. Si .T=r:C — 2, 011 a jV=2 , etc. Donc, en général, x=^C — N. Mais nous avons eu x = 7i-+i', donc 72= G — N — i. Si l'on substitue cette expression de n dans la formule 3 72''+ 3/24- 1 , on trouvée 3(C— IS)^ 4-3(5— C)+ t ,
Supposons, par exemple, que Ton demande le nombre de rhomboïdes que contient la sixième des couches prises de bas en haut , dans un solide représentatif semblable à celui delà fig. -7. OnauraC= 10, jN = 6 ; ce qui donne , pour le nombre cherché , 3(4)''+3(6 — 10)4-1=37. En doublant ce nombre, on aura 74 pour celui des rhomboïdes compris dans l'ensemble des deux couches qui se correspondent vers les deux sommets du noyau.
La même couche étant la troisième en partant du sommet , si l'on fait tz = 3 , dans la formule 3 72^*4- 3 72 4- 1 , on trouvera de même 37 pour le nombre de rhomboïdes que contient cette couche.
On peut présumer avec beaucoup de vraisemlilance que la formule 3 72=^4- 3 724-1 , appliquée aux différens termes d'une suite dans laquelle .v est é^xle iiuccessi-
n9 TRAITÉ
vement à 2, 3, 4? ^? ^? ^^^-j l'eprésente les solidités des couches de superposition , prises depuis le sommet, dans tous les dodécaèdres analogues à celui que nous considérons ici. Toute la différence consistera en ce que , dans ceux qui sont d'un plus gros volume , le nombre des termes de la progression sera plus considérable. Mais deux progressions quelconques auront toujours une partie commune.
Si. Proposons-nous maintenant de déterminer le nombre de tous les petits rhomboïdes qui composent le dodécaèdre dont il s'agit, en supposant que l'on connaisse le nombre C d'arêtes comprises dans le côte du noyau.
La formule 3 /z^+ 3/i-r î ? qui exprime le nombre de petits rhomboïdes compris dans une couche du rang /z, fait voir que la somme de ceux que renferment toutes les couches superposées à un même sommet du novau est égale à trois fois Ja somme des carrés des nombres naturels i , 2 , 3 , 4 ? ^tc. , en comptant n pour le dernier; plus, à trois lois la somme des mêmes nombres ; plus , au nombre désigné par n.
Or , d'après les formules démontrées à la page ( 77 ) , on a
et 1 -f 2»-f 3^4-4»+5»+^ . ,-}-n*=z
Donc îa somme de tous les petits rhomboïdes compris dans les couches superposées à un même sommet du noyau sera , en général ,
ô ou
mais à cause du décroissement par deux rangées ?? = C — 2 . Si Ton substitue cette valeur de n dans la formule, elle deviendra
Or la somme S de tous les petits rhomboïdes dont le dodécaèdre est l'assemblage , est égale à C^ plus au double de la quantité précédente , donc
Supposons C=:iOj comme dans la figure- on aura
S==3ooo — 600 + 60 — 4 = 2456.
82. La formide précédente se rapporte au cas où Iç sommet du dodécaèdre est supposé au point / (fig. 81) 5 que l'on peut considérer comme le sommet physique du dodécaèdre , dont le sommet géométrique est en 5. Or, plus le nomlDre C augmente, plus le point s se rapproche du point s% et si Ion sup- '' 7
pose C infini , les deux sommets coïncideront en un même point ; dans ce cas , les quantités 6C'', 6C et 4 s'évanouissent, et Ton a S=3C^. Effectivement, on prouve par un calcul direct, ainsi que nous le verions dans la suite , que si l'on considère la surface du dodécaèdre comme composée des plans tan gens à tous les bords inférieurs des lames de superposition , ou, ce qui revient au même, si l'on considère le dodécaèdre comme un corps géométrique , sa solidité est triple de celle du noyau. A la rigueur, C n'est jamais infini dans la nature 3 mais il est si grand, à raison de l'extrême petitesse des molécules , que la distance entre s et s^ peut être considérée comme nulle.
Je reviendrai dans la suite sur la même variété , dont je déterminerai les angles d'après les formules générales relatives au rhomboïde. Je ferai connaître en même temps plusieurs propriétés remarquables dont elle jouit.
83. Je vais citer un nouvel exemple que je tirerai encore de la chaux carbonatée, en continuant de prendre pour noyau le rhomboïde de i o4^ 1 ? que je suppose ici représenté par ABGA'HD (fig. 82).
Concevons un décroissement par une simple rangée sur les bords supérieurs AB, AD, AF,etc. Il produira de part et d'autre de chacun de ces bords deux faces qui seront de niveau , comme celles qui se forment des deux côtés d'un même bord dans le dodé- Civèdre originaire du dj^e (fig. 70) ; en sorte f[ue le
nonibre des faces réellement distinctes du solide secondaire sera de six, c'est-à-dire qu'il sera égal à celui des bords qui servent de ligne de départ aux décroisseinens , et il est facile de voir que les trois fai:es qui naissent, par exemple, autour du sommet supérieur , savoir , ALMO , AR.SO, AL^^sR ( fig. 82 ) ^ étant situées en sens contraire de celles qui appartiennent au s-ommet inférieur, savoir, A^SPvN, A'ML?N, A'MSO , le solide secondaire sera un rhomboïde beaucoup plus obtus que le noyau , dans lequel les petites diagonales des rbombes coïncideront avec les bords supérieurs de ce noyau , et dont les angles solides seront situés au milieu de ses faces. Car les deux rhomboïdes ayant le même axe , si l'on conçoit un plan mené par les trois points L , G , R , il passera nécessairement par les trois diagonales horizontales supérieures des deux rhomboïdes, et par conséquent il passera par les angles solides B, D, F, du rhomboïde primitif, d'où il suit que ces points sont situés au milieu des diagonales menées deL enO, deOenR, et de R en F , c'est-à-dire qu'ils coïncident avec les milieux des faces du rhomboïde secondaire.
Les mêmes rhombes seront chargés de cannelures produites par les saillies et les rentrées alternatives des bords des lames décroissantes , et situées parallèlement aux petites diagonales, comme dans le dodécaèdre (fig. -jo) qui nous a déjà servi de terme de comparaison. Les lames dont il s'agit subissent encore ici , dans les parties que le décroissement n'atteint
ICO TRAITÉ
pas, des variations auxiliaires qui secondent Feffet de ce décroissement , et dont il ne sera pas inutile de suivre la marche , pour offrir comme le tableau de tout ce qui concourt au mécanisme de la structure. Je supposerai que l'on veuille exécuter artificiellement une imitation du travail de la cristallisation dans le cas présent , en appliquant sur les différentes faces d'mi solide semblable au noyau de la chaux carbonatée des séries de lames décroissantes, composées chacune d'un certain nombre de petits rhomboïdes de la même forme. Je me bornerai à indicpier la partie de l'opération qui se rapporte à l'une des faces du noyau. Il faudra concevoir que chaque lame placée parallèlement à cette face se répète sur les cinq autres faces , en sorte que les six lames qui répondent successivement aux différentes superpositions forment autant de couches qui s'enveloppent mutuellement.
84- Soii AA^ (fig. 83 ) le rhomboïde secondaire déjà représenté (fig. 82 ) ; je choisis pour exemple le rhombe primitif ABCD (fig, 83) le même que (fig. 82). Les points B, C^ D (fig. 83), étant situés au milieu des faces ALMO, AOSR, MOSA', si l'on mène les lignes BX,BY parallèles aux côtés AO, AL, les lignes ex, CU parallèles aux côtés A'M, A'S , et les lignes DU, DK, parallèles aux côtés AO, APt, on aura les trois rhombes égaux BYMX , CXOU, DKSU. De plus, si par les lignes BX, DU, on mène les plans BCX , DCU , il est facile de voir que le solide liex^èdi^e dont les faces sont les rhombes ABCE>,
DE CRISTALLOGRAPinS. ici
CXOU, les trapèzes ABXO , ADUO, et les triangles BCX 5 DCU , sera le sixième de la matière qui enveloppe le noyau, ou ce qui revient au même, il sera rasseml3lage des lames de superposition empilées sur la face ABCD du noyau. Il s'agit donc d'analyser ce solide pour arriver au résultat proposé.
Soit ac (fig. 84) ce même solide. Par les points x, u, menons le plan xpu parallèle aurliombea^cf/. Toutes les lames de superposition situées entre l'uu et l'autre auront des figures pentagonales telles que efghie , et toutes celles qui sont comprises entre xpu et le point o auront des figin^es triangulaires. De plus, le point x (fig. 84) j ouX (fig. 83), étant situé à la moitié du côté OM, il est évident que le point p ( fig. 84), divise en deux parties égales le coté ao qui est tangent à tous les angles supérieurs des lames de supCTposition. 11 suit de là qu'il y a autant de ces lames situées entre le triangle xpu et le rliombe abcd, qu'entre le même triangle et le point 03 d'où nous conclurons que le nombre total des lames de superposition doit être pair. Par ime suite nécessaire le côté AB du noyau doit être composé d'un nombre impair d'arêtes de molécule , puisque ce nombre excède d'une unité celui des lames de superposition , à cause du décrois sèment par une rangée. rSous supposerons ici que ce nombre soit égal à 9.
85. Maintenant, pour concevoir comment les diverses lames pentagonales et triangidaires dont le solide ac est l'assemblage, sont uniquement compo-:
j(92 TRAITÉ
sées de iliomLoïcIcs , et comment elles siiLîsseiit les^ variations auxiliaires dont j'aiparléjimaginons qu'elles se projettent toutes sur un plan qui coïncide avec le rliombe abccl. L'ensemble de leurs projections sera représenté par la figure 85 , dans laquelle le rhombe ahcd est le même que figure 84. Le pentagone efghi (fig. 85) est la projection de la première lame de suyierposition qui est aussi indiquée (fig. 84)- Les bords ef^ ei (fig. 85) sont dans le sens du décroissement , qui seul suffit pour déterminer la forme secondaire. Les deux rangées situées le long des bords j^, ih^ sont destinées à envelopper les parties correspondantes du noyau, pour éviter les angles rentrans. Chacune de ces rangées étant commune à la lame que représente la figure et à celle qui est appliquée sur la face primitive adjacente, on voit que dans le cas où l'on voudrait construire une imitation artificielle du rhomboïde secondaire, il ne serait pas nécessaire d'ajouter une semblable rangée à la seconde lame dont je viens de parler. La base gh du pentagone est composée d'angles alternativement rentrans et saillans. C'est ce que l'on concevra, en faisant attention que cette base étant parallèle à la diagonale ux ( fig. 84) 5 et les bords des lames décroissantes étant parallèles à l'autre diagonale co située sur le prolongement du bord A'C du noyau (fig. 82), la base dont il s'agit coupe perpendiculairement les cannelures produites par les saillies et rentrées alternatives des bords décroissant^ d'où il résulte qu'elle doit former nne ligne
DE CRIS TALLOGRAPHIE. ico
anguleuse assortie à l'effet du décroisseineut sur la surface dont elle fait partie.
Dans les trois projections suivantes hnnjh^ rstzif , yxuyS"^ il y a de même addition de deux rangées vers les bords Im^ <Jn^ rs, zt^yx^ ^/w, pour remplir le vide que laisseraient entre elles les parties correspondantes, si cette addition n'avait pas lieu. Mais le nombre des rhomboïdes ajoutés décroit d'une lame à l'autre , en sorte que sur la dernière il n'y en a plus qu'un seul, indiqLié par j^x ou yu. Au-delà de ce terme, qui répond au plan xpu (fig. 84), les projections cessent de s'accroître par leurs bords latéraux, en sorte qu'elles se réduisent aux assortimens compris dans les espaces îstXp (fig. 85), ^mn7rfj(,y^gJiJp.\f et la dernière se réduit à un rliombe co), qui indique le rhomboïde situé à l'angle o (fig. 84). Dans la réalité, ces espaces sont des pentagones dont les côtés latéraux? sont égaux chacun à une arête £5, ^/tz, 3"^, de molécule. Mais à cause de l'extrême ténuité des molécules, ces côtés sont censés infiniment petits , en sorte que les pentagones se présentent sous l'aspect de triangles isocèles.
^6. Dans le cas présent , les nombres de rhomboïdes qui comjX)sent les couches successives composées chacune de six lames de superposition, forme ixt deux séries dont chacune suit une loi particulière. La première répond aux coucheï5 situées entre le triangle. rjyz^ (fig. 84) et le rhombe abcd^ et la seconde aux couehes comprises depuis le même triangle jusqu'au
io4 TRAITÉ
point o. Les nombres des termes étant égaux cîans les deux séries, et celui des arêtes de molécule comprises dans chaque côté du noyau étant égal à la somme totale des termes plus à Funité , il suffira de connaître ce dernier nombre pour savoir à quelle série appartient une couche d'un rang donné , et assigner le nombre de rhomboïdes dont elle est composée. Cherchons d'abord la formule relative à la première série.
Soit N le nombre total des termes, N+ i sera celui des arêtes de molécule comprises dans chaque côté du noyau. Or, la ligne bx ffig. 84) étant la somme des points b^f, /, r, etc. (fig. 85), et la ligne ao (fig. 84) parallèle à bx étant la somme des points a^ e^k^v, etc. (fig. 85 ) , il est évident que chacun des bords supérieurs r'/', kl, vr^ etc., des lames de superposition qui appartiennent à la première série, est égal au bord ab (fig. 84) du noyau. Donc on peut c5nsidérer cliacun des pentagones efghi.^ khnji7{Ç^^^. 85), comme lui rliombe égal à celui du noyau, dont on amait retranché un triangle dans la partie inférieure. Soit 5 en général le nombre de faces de molécvde comprises dans ce triangle, et soit x celui dont se compose l'un quelconque des pentagones, on aura .T=(iN-|-i)* — 5. Or, la quantité 5 relative à chaque penL^gone , tel que Imn'yk^ est égale à la différence entre le nombre de facettes de molécules comprises dans le rhombe 772^7z4 (fig- ^^) dont le triangle mvn (fig. 85 et èÇ)) est la moitié; et le nombre de facettes comprises dans
DE CîaSTALLOGRAPHIE. io5
ce même triangle. Soit C le nombre d'arêtes de molécule contenues dans le côté soit du rliombe , soit du triangle, s sera égal au triangle inférieur /ii^n^ plus à la somme des petits triangles m^'g, grc^ etc. , situés au-dessus de la diagonale mn. Or , l'expression du
triangle inférieur est-^; et parce que le nombre de
diagonales de molécule comprises dans la diagonale mn est égal à celui d'arêtes de molécule contenues dans le côté zzzr, la somme des petits triangles
m^g, grc^ etc., sera — . On peut appliquer le même
raisonnement à tout autre pentagone. Donc , en général ,
,=i(e+c). Donc, x=^-hiy-i(o+q.
Maintenant soit n le rang d'un terme quelconque, dans la série prise'en partant du noyau, la quantité G est successivement ga>j jnVj sjjl^ etc., c'est-à-dire 2 , 4} 6, etc., ou en général 27z'. Donc, substituant 2n' à la plice de C, on aura .t=(N+ i)* — 211'"' — n.
Or , cliaque coucbe étant composée de six lames , on aurait son expression en multipliant la précédente par 6, si chaque lame n'avait pas de rangée commune avec les lames adjacentes. Il faudra donc déduire de l'expression précédente multipliée par 6 la moitié de la somme des petits rhomboïdes contenus dans les rangées coramimes. Mais ces rangées ont successivement pour côtés les hgnes j^ , Im , 7\ç, etc. , dont la première renferme deux arêtes de molécule de moins
loS TRAITÉ
que le côté bc du noyau; la deuxième deux de moins
que la précédente, et ainsi de suite. Donc, puisque
la série des lignes dont il s'agit , ou , ce qui revient au même, celle des petits rhomboïdes contenus dans les différentes rangées, sera N — i,N — 3,N — 5, etc., ou en général N — ( 271 — i ) = N — 2/z'-{- i . Or , cliaque pentagone a deux rangées communes avec les pentagones adjacens; donc, retranchant de la première expression 6(ÎV — 27z'+i ), on aura pour celle d'un terme quelconque pris dans la première série,
oiî plus simplement 6(N' + N — 2n'^-\-n'),
87. Si nous prenons les termes de la seconde série en partant du point o ( fig. 84 ) , il est facile de voir qu'ils seront égaux successivement aux nombres de petits rhombes contenus dans les triangles gùoh , j:r;n , sfjut , etc. (fig. 85 ). Mais d'après ce qui a été dit plus haut , l'un quelconque de ces nombres a pour expression C^— 5 ouO—^(C"-|-C)=^C*— C.Soit n îe rang d'un terme quelconque , en partant toujours du point o (fig. 84). Le côté C étant égal successivement à 2 , 4 56? S ? etc. , on aura en général C = 272. Donc l'expression de chaque terme sera 27?/* — n.
Maintenant N étant toujours le nombre total de$ termes que contiennent les deux séries , si nous continuons de désigner par n le rang d'un terme quel-
DE CRISTALLOGRAFHÎE. 107
conque, en parlant des faces du noyau, nous aurons en général 7i = y — i^/+ i , et l'expression 211'' — n deviendra 2ÇS — 72' +1)^ — N + 7z' — i, qui se réduit à 2ÇS — r/y+^ÇS — 7z') + i. Donc chaque terme de la deuxième série sera représenté par
88. Supposons que l'on demande le nomlDre x de rhomboïdes contenus dans la troisième couche, le côté du noyau étant égal à 9, comme dans la fig. 85 j en prenant la formule relative à la première série , on aura
.T=6(]N'^+rs~27z'^+/^')=S(<54+8— 18+3)=:342.
Si X appartient à la deuxième série , et que le terme que l'on cherche soit, par exemple , le sixième, on am^a, en employant la formule relative à cette série ,
a:=6[2(N-7iT-f-3(X-7i0H-i]=Sr2(8-G)^-fûC8-6)-f-ij— 90.
89. Je terminerai cet article par la solution d'un problème analogue à celui dont nous nous sommes occupés à l'occasion du dodécaèdre métastatique, et qui aura pour but de déterminer généralement le nombre de rhomboïdes élémentaires contenus dans un rhomboïde produit par la loi de décroissement f-ue nous venons de considérer, en prenant pour donnée le nombre d'arêtes de rhomboïdes élémentaires compris dans le côté du noyau.
jXous prendrons ici la série des lames de superpo-
ic8 traité:
sitioîij en partant des angles solides M, S, etc. (iig. 82), du rhomboïde secondaire, c'est-à-dii^e dans le sens ou elle est croissante , et nous la supposerons comme cidessus, partagée en deux séries d'un égal nombre de termes.
Cherchons d'abord le nombre de petits rhomboïdes que renferme la série comprise entre le point o (fig. 84) et le point p , en nous bornant à ce qui a lieu par rapport à une seule face du noyau. Nous avons vu (p. 106) que l'expression d'un terme quelconque de cette série était 2.n^ — n. Donc la somme de tous les termes est égale à deux fois la somme des carrés des nombres naturels , en prenant autant de ces nombres que la série contient de termes , moins la somme des nombres simples. Or, si l'on représente par tz le nombre des termes, on a, d'après les formules de la
page 77:
et
Par conséquent la somme des termes de la première série sera
an^-f 5/1^ + 71 n^ 4- 71 471^ + 3^^ — 71 o 2 6 *
Mais , 72= 3 substituant à la place de n cette
valeur , nous aurons ; — . Donc la iota-
lité des six séries relatives aux six faces du noyau aura
poui' expression -. .
90. Passons à la série suivante, et supposons d'abord que chaque lame de superposition n'ait pas de rangée commune avec les lames adjacentes. Dans cette hypothèse, l'expression d'un terme quelconque du rang /z', en partant du noyau, est (N+ i)^ — 2/2'^ — ;/' (page io5). Soit ri^ le rang du terme qui répond à n ^ en allant au contraire vers le noyau ; nous aurons
Donc
''-=i:N*— ]NV'+:X+^z''^ — 27z"+ I.
Si l'on substitue cette valeur et celle de rJ dans l'expression d'un terme quelconque , et qu'en même temps on réduise, on trouvera, en donnant unniême dénominateur à tous les termes.
Donc la somme des petits rhomboïdes compris dans la série dont il s'agit ici, est composée du produit de (2N + 5) par la somme des nombres naturels, en prenant autant de ces nombres que la série renferme de termes , moins deux fois la somme des caiTés des
mêmes nombres, plus la quantité ~ — ; prise
autant de fois qu'il y a de termes diins la série, c'est-
à-dire qu'elle est égale à
(.N+5)!!l±ii-£i!±|":+-" + n(^:=i).
n désignant toujours le nombre des termes. Mais
n=^^:^,etN=:C — 1.
Substituant à la place de tz et N leurs valeurs, nous aurons pour la somme des petits rhomboïdes ,
joC^—iBC^ — 2C+3
donc la totalité des six séries relatives aux six faces
,oC3— 1504-2C4-3 ,, . . -,
du noyau sera j . 31ais a cause des
rangées commîmes aux faces adjacentes , il faut retrancher de la quantité précédente 6Çs — 272^+1), et mettant à la place de ji sa valeur |(C — i) — 7i"+i, nous aurons 6(C — i — C+ i +27/' — i), ou
c'est-à-dire que la quantité à retrancher égale douze fois la somme des nombres naturels , en prenant autant de CCS nombres que la série contient de termes, moins six fois le nombre des mêmes termes j ou
DE CRISTALLOGRAPHIE. lU
Retranchant celte quantité de
1 cC3— i5C^ + sC-h3
on aura pour le nombre de rhomboïdes élémentaires compris dans la seconde série,
ajoutant Texpression de la première série^, ou
plus la valeur C^ du noyau, on trouve que le nombre de tous les petits rhomboïdes cjiie renferme le rhomboïde secondaire est 4C^ — 60-f-3C.
91. Supposons C=:9, comme dans la figure, le nombre des rhomboïdes élémentaires sera égal à 2407.
Si Ton fait C infini , auquel cas O et C s'évanouissent devant C^ , la solidité du rhomboïde secondaire sera quadruple de celle du noyau, ce que démontre également le calcul , lorsque Ton considère le rhomboïde secondaire comme corps géométrique.
Décroissemens siw les angles et décrois semen$ intermédiaires.
92. Nous allons maintenant nous occuper des décroissemens sur les angles • mais après avoir donné quelques notions générales relalives à la marche de ces décroissemens, je réunirai avec eux. sous lui
même point de vue, ceux que j'appelle intennè-* dlairesy à cause de Fétroite liaison qui existe entre les uns et les autres.
Soit ABCD (fig. 87) une des bases d'un solide primitif que nous supposerons être un prisme droit symétrique, sous-divisée en ime multitude de petits carrés , qui sont les facettes extérieures d'autant de molécules soustractivès. Concevons une suite de lames empilées sur cette base , et qui décroissent vers leurs quatre angles par des soustractions d'une simple rangée de molécules. Nous pouvons nous servir du carré ABCD pour représenter les effets du décroissement sur les différentes lames dont il s'agit , en supposant que celles-ci soient projetées sur ce même carré. Or, si nous nous bornons à considérer ce qui se passe à l'égard d'un seul angle tel que D , attendu cpeles trois autres sont dans le même cas que celui-ci, il est facile de voir que la première lame de superposition comparée à celle que présente la figure, sera diminuée delà seule molécule désignée par la lettre a ; que la seconde lame aura de moins que la première les deux molécules désignées par 6, h • que la.tr oisième aura de moins que la seconde les trois molécules désignées par c , /, 7ï , et ainsi de suite.
Soit ADC (fig. 88) , l'angle primitif déjà repr(^senté (fig. 87), et soient ky ^ bJ\ les deux molécides dont k, b (fig. 87), représentent les bases; /zs' (fig. 88)5 /e', c^^, les trois dont les bases sont désignées par 72, /, c ( ug. 87), et ainsi de suite pour les mole-
bÉ CRISTALLOGRAPHIE. ii3
ouïes donto,/:>5 ni^ cZ, représentent les bases. Il est visible que la nouvelle facette latérale que le décroissèment fera naître sur la première lame de superposition, parla soustraction de la molécule «, ne sera réellement composée que des deux arêtes yy^ , S^ ( fig. ^^ ) j que la facette qui correspondra à la précédente sur la seconde lame ^ sera l'assemblage des trois arêtes êc', ee\ Ç"^', et ainsi de suite,
g3. De plus, il est facile de concevoir cpae la face produite par le décroissement ne sera plus simplement sillonnée par des espèces de cannelures, comme dans les décroissemens sur les bords • mais elle sera liérissée de pointes^, cT, £, ^5 Ç? etc., qui, étant toutes de niveau, et échappant à Fœil par leur petitesse, s'offriront sous l'aspect d'une surface continue.
Une nouvelle différence qui existe entre les décroissemens sur les angles et ceux que subissent les bords, consiste en ce que ceux-ci , en supposant qu'ils agissent sm* les quatre bords des lames de superposition , emportent ces bords tout entiers , au lieu que les décroissemens sur les angles , en même temps qu'ils font naître de nouveaux bords tournés vers ces mêmes angles, laissent subsister, au moins jusqu'à un certain terme , des portions des bords primitifs.
94- Il suit de là que les grandes faces des lames de superposition dont Ja figure 87 représente les projections , sont d'abord des octogones yS^rq^yl'in'^ eK^^XJi'fs'e'^ etc., dans lesquels les nouveaux bords yS"^ i^ 8
n4 TRAITÉ
éÇ", fJLv ^ etc., vont en croissant, tandis que les résidus ^r^'C,^^ etc., des anciens bords vont au contraire en diminuant. Dans l'exemple que représente la (igTire, où le nombre d'arêtes de molécule dont se compose cliaque bord DC, BC, AB, AD, est impair, les résidus des anciens bords finissent par n'être plus qu'une arête de molécule, telle que vr^-^ et cette arête étant censée être une quantité infiniment petite à l'égard des lignes A^, yTf, etc., les grandes faces des lames de superposition qui s'appliquent les unes sur les autres au-delà de ce terme , sont censées être des carrés, quoique à la rigueur elles soient des octogones tels que fghisztyy qui vont en diminuant progressivement d'étendue , en sorte que la surface de Fa vaut dernière lame est représentée par l'octogone driâh'f Ii!a^c^ -, qui correspond à cinq molécules , et que la surface de la dernière lame est un simple carré or, c'est-à-dire que cette même lame se réduit à une molécule unique.
95. Soit AG (fig. 89) un prisme droit symétrique faisant la fonction de forme primitive , et qui subisse sur les quatre angles de ses bases un décroissement parime rangée, analogue à celui dont nous venons d'analyser l'effet. Les faces produites par le décroissement n'étant autre cliose que la somme des angles auxquels les lignes yS' (fig. 87), eÇ, jxv^ etc., sont tangentes , il est facile de voir que les faces dont il s'agit n'ayant à leur naissance que des largeurs infiniment petites p/cT , rq^ etc., iront en s'élargissant
DE CRISTALLOGRAPHIE. iiB
juscpi'au terme qiii répond à la ligne A^ , et aux au-très seniblablement situées, et que, passé ce terme, elles se rétréciront progressivement jusqu'à ce qu'elles soient réduites à de simples points ; et parce que les bordsy^, vu^ situés au-delà de A^, diminuent dans le rapport inverse de celui qui détermine l'accroissement des bords ^cT, eC, , fJ-v , etc. , situés en-deçà de la même ligne , les faces produites par le décroissement seront nécessairement des rhombes.
Le résultat précédent conduit à un dodécaèdre représenté (fig. 90), dont la surface est composée de quatre bexagonesverticauxDPCGRFjBHCGLL, etc., qui répondent aux faces latérales de la forme primitive, et de huit rhombes SPCH, SPDM, etc. , disposés quatre à quatre autour des sommets. Ces rhombes sont produits immédiatement par le décroissement, ainsi que je l'ai expliqué plus haut, et les triangles DPC, CHB, etc., qui terminent les hexagones, sont les sommes des portions des bords primitifs que le décroissement n'atteint pas. Si l'on fait passer un plan MPHK par les diagonales horizontales des rhombes situés vers Fun quelconque des sommets, ce plan répondra à l'octogone X^TT-jxvi-i^cù (fig. 87), qui, comme je l'ai dit, est censé être un carré. Tous les autres plans menés eatre PH et le point C , parallèlement à jNlPHR, répondront successivement aux octogones situés entre A^ ( fig. 87) et le point D , et tous les plans menés entre PH (fig. 86) et le sommet S, répondront aux octogones situés entre A§(iig. 87) et
lie TRAITÉ
le centre x^ lesquels peuvent être considérés commet des carrés.
96. Je vais maintenant passer à la manière de construire les triangles mensurateurs relatifs aux décroissemens sur les angles, et ce que je dirai sur ce sujet s'étendra également aux décroissemens intermédiaires qui, comme je l'ai déjà dit, sont étroitement liés avec ceux qui ont lieu 23arallèlement aux diagonales.
Soit BF (fig. 89) un parallélépipède quelconque faisant la fonction de forme primitive, et dont les bases subissent sur leurs quatre angles un décroissement que nous supposerons d'abord avoir lieu par une simple rangée, et dont nous nous bornerons à considérer l'effet par rapport à l'angle D. Soit Dy (fig. 91) une molécule intégrante ; ayant pris sur DA (lig. 89) la partie Djji égale à la dimension en largeur D}^' de la molécule (fig. 91), et ayant pris sur DC (fig. 89) , la partie D/^ égale à la dimension en largeur DJ' (f]g 91), menons mji et rs (fig. 89), parallèles à DF et égales à la dimension en bauteur 3"D ( ^^â- 9^ )• '^^^ points D , 72 , s (fig. 89) , étant les sommets des angles solides désignés par les lettres D, y, J^ (fig. 91 ), le plan 7iDs (fig. 89 ) qui passe par ces trois points, sera le rudiment de la face produite par le décroissement. Menons de plus le plan nsrm^ qui coïncidera avec la nouvelle facette latérale que le décroissement a fait naître sur la première lame de superposition. La ligne Do, perpendiculaire sur mr
sera Ja base du triangle mensurateur; la ligne oh menée du point o sur le plan nsrm , perpendiculairement à mr^ sera le côté intérieur du même triangle, et la ligne D/z en sera le côté extérieur , d'où il suit que l'angle h\)o donnera l'inclinaison de ri^s sur la base ABCD de la forme primitive.
97. Si l'on suppose que le décroissement ait lieu successivement par deux, trois, quatre rangées en largeur , la base du triangle mensurateur , en conservant toujours la même direction, sera double, triple ou quadruple de Do , et si le «décroissement est en même temps mixte, le côté intérieur du triangle mensurateur, en restant sur la direction oA, sera égal à autant de fois cette même ligne qu'il y aura de rangées soustraites en hauteur; c'est-à-dire que si l'on faitDo = /, oA = ^, et si l'on désigne par n le nombre de rangées soustraites en largeur, et par r^ celui de rangées soustraites en hauteur, la base du triangle mensurateur sera en général nX^l ^ e\. son côté intérieur sera n x7i.
Si la base de la molécule est un carré ou un rhombe , la ligne Do , dans le cas d'un décroissement par une rangée, sera égale à la moitié de la diagonale qui va de D en s ou de 3" en i' (fig. 91), et en général le nombre de diagonales qu'elle mesurera sera la moitié du nombre de rangées soustraites dans le sens de la largeur.
98. On voit ici une nouvelle différence entre les décroissemens sur les angles et ceux qui ont lieu sur
ii8 TRAITE
les bords. Dans ces derniers , la base du triangle niensurateur est toujours égale à autant de fuis ]a perpendiculaire menée entre deux bords de la base de la molécule , qu'il y a de rangées soustraites en largeur, en sorte que si cette base est un carré, et que le décroissement ait lieu par trois rangées , la base du triangle mensurateur sera triple de l'arête borizontale de la molécule. Au contraire , dans un décroissement par trois rangées sur les angles , relatif à la même bypotlièse, la base du triangle mensurateur sera égale seulement à une diagonale et demie , prise sur la base de la molécule.
gg. Supposons que le décroissement soit intermédiaire, et que dans la molécule composée qui fait la fonction de molécule soustractive , la base soit un assemblage de trois facettes de molécules simples , comme on le voit figure g^. Alors on considérera ces molécules comme n'en faisant qu'une seule, et la base du triangle mensurateur sera la perpendiculaire Do menée sur la diagonale mr du quadrilatère Dwzr. Quant au côté intérieur du triangle mensurateur, il sera de même une perpendiculaire menée à.\\ point o sur mr^ jusqu'à la rencontre de ns (fig. 80).
100. Reprenons le cas 011 la forme primitive est un prisme symétrique. Soit CD ou BC = 4? ^t CG ouDF=5, comme dans celui de l'apopliyllite. Supposons un décroissement qui ait lieu par une simple rangée sur les quatre angles de cliaque base, mais quin'atteigue pas sa limite. Dans ce cas on aura,
au lieu d'un dodécaèdre analogue à SY ( fig. 90 ) , le solide représenté figure 90 , dont les faces obliques sont des pentagones surmontés de deux facettes carrées p/zz/-, utsx^ parallèles aux bases de la forme primitive.
Menons les diagonales AC, BD (fig. 89). Soit cab (fig. 94) le triangle mensurateur, dans lequel l'angle b sera droit , et ab sera à bc::T>S (fig. 89) : DF : : \/S : 5, ce qui donne 29^ 3 o' pour l'angle acb , et par conséquent 60^ 3o' pour l'angle cab. Donc l'incidence de cliacun des pentagones Chnpky T>7inie y etc. (fig. 93), sur la face terminale, sera de 1 1 9^ 3o^, et celle du même pentagone sur l'arête verticale adjacente CG ou DF, sera de i5o^3o'. Je donnerai, dans la partie analytique, les formules à l'aide desquelles on peut aussi déterminer les incidences mutuelles des pentagones adjacens.
Je donne le nom à^apophyllite épointé à la variété que je viens de décrire , et que j'avais d'abord placée, avec la même épitbète, dans l'espèce de la mésotype. Il me fallait des cristaux d'une forme beaucoup plus nettement prononcée que ceux qui avaient servi à mes premières observations, pour rétablir l'exactitude dans la détermination des formes relatives à ces deux substances. Ceux qui m'ont offert cet avantage venaient les uns d'Uton en Suède, et les autres de Féroë.
Je suis redevable des premiers à M. Suedenstierna, directeur des mines , que je me félicite de compter
lao TRAITÉ
parmi ceux qui , en honorant mes leçons publiques de leur présence, se sont le plus distingués par la constance de leur zèle et par la rapidité de leurs progrès 3 les autres sont des présens de M. Petersen , amateur très éclairé, qui a eu la bonté d'orner ma collection de divers objets d'un grand intérêt pour l'étude de la Minéralogie , choisis par lui-même dans les abondantes récoltes que lui ont procurées ses voyages.
ICI. Dans le cas que nous venons de considérer , l'application des lames de superposition est censée n'avoir lieu que sur les bases, et les faces latérales restent intactes. Mais on peut supposer aussi que les trois angles plans qui concourent à la formation d'un même angle solide subissent des décroissemens simultanés, et suivant les diverses mesures de ces décroissemens, il se formera autour de l'angle solide dont il s'agit, ou trois faces distinctes , ou seulement deux, ou une face imique à laquelle les trois décroissemens concourront par des actions conspirantes. Je vais déterminer d'abord les conditions desquelles dépend ce dernier cas; et pour j parvenir je reprends la fîg. 89, dans laquelle les lignes D/tz, Dr, représentent les nombres de dimensions en largeur, qui sont soustraites sur les côtés DA, DC, de la base du noyau, la ligne jnn représente le nombre de dimensions en hauteur , qui détermine celui des rangées soustraites dans le même sens, et le plan ?iDs est le rudiment de la face produite par le décroissement. Ayant pris sur
Taréte DF la jiarlie Dfx égale à 7nn ou à r^, me^ lions mjtA> et r//-. Les lignes jnn , D//. et rs étant égales et parallèles entre elles, il est évident que les deux plans- wDs, mfxr^ sont aussi parallèles l'un à l'autre. 102. Supposons que le décroissement ayant lieu sur l'angle latéral ADF , Dm et D/a représentent les nombres de dimensions en largeur soustraites sur les côtés DA, DF, et que Dr représente le nombre de dimensions en liauteur qui réj^ond à celui des rangées soustraites dans le même sens. Des points rrij /UL 5 j'élève les lignes mf , julu , parallèles et égales àD/^ puis ayant mené tii , je fais passer un plan par les points tDu. D'après ce qui a été dit plus haut, ce plan est le rudiment de la face produite par le décroissement , et en appliquant ici le raisonnement que nous avons fait par rapport au plan tiDs , on eu conclura que les plans tDuy mr/m^ sont parallèles entre eux, comme les plans 7iDsj m/uLr. Donc les plans tDu, riDs^ étant parallèles à un troisième plan m/xr^ et ayant un point commun D, se confondent sur un seul plan.
Supposons enfin que le décroissement ayant lieu sur l'autre angle latéral CDF, D;- et D/ul représentent les nombres de dimensions en largeur soustraites sur les côtés DC, DF, et que Dm représente le nombre de dimensions en hauteur qui détermine le nombre de rangées soustraites dans le même sens. On prouvera , à l'aide d'une construction semblable aux deux précédentes, que le plan tï-DZ, qui est le rudiment de
la face produite par le décroissement , se confond sur
un même plan avec les deux premiers plans tDii,nDs.
io3. Donc, si les décroissemens qui agissent sur les trois angles plans qui se réunissent pour former im même angle solide D, ont de telles mesures, que les lignes Dm , Dr, Djit , qui représentent les nombres de dimensions en largeur soustraites sur les côtés , et le nombre de dimensions en liauteur soustraites dans le même sens , soient les mêmes pour tous les angles, en sorte qu'il n'y ait de cbangement que dans les fonctions de ces lignes , les faces produites par les trois décroissemens coïncideront sur un même plan.
Il suit de là que l'un quelconque des trois décrois-r semens étant donné, il est facile de déterminer les deux autres. On peut conclure encore de ce qui précède, que si l'un des décroissemens a lieu par une simple rangée, les deux autres se feront aussi par une rangée. Mais si un seul des décroissemens a lieu par plus d'une rangée, même en supposant qu'il soit de ceux dans lesquels les lames de superposition sont parallèles à une diagonale , et n'ont que l'épaisseur d'une molécule, les deux autres décroissemens seront nécessairement intermédiaires. Car en supposant que l'angle ADC soit celui qui subit le décroissement, on aura Dm, Dr, égales cliacune à deux dimensions en largeur ou davantage, tandis que D^ sera égale à une seule dimension en hauteur. Maintenant , si l'on considère le décroissement qui a lieu par rapport à Tangie ADF, les lignes Dm et D/>& représenteront les
DE CRISTALLOGRAPHIE. i23
nombres de dimensions en largeur sur les cotés DA , DF, et ces nombres étant inégaux, la ligne D/a ne pourra être parallèle à la diagonale menée de A en F, et par conséquent le décroissement sera intermédiaire.
Ce qui se présente de plus naturel , dans ces sortes de cas, est de rapporter le résidtat des trois décroissemens à celui qui est simple, et qui a lieu parallèlement à la diagonale, en supposant que les deux décroissemens intermédiaires n'interviennent que comme auxiliaires , pour prolonger l'eôèt du décroissement principal au-dessus des faces adjacentes à celles qui le suljit. Je reviendrai bientôt sur ce sujet, dont le développement me fournira un nouvel exemple de \i méthode syntliéticpie , dont j'ai déjà fait usage pour décrire l'ordre de la structure dans les formes secondaires.
io4- Passons à de nouvelles applications, et supposons d'abord que la forme primitive étant un cube AO' (fig. g5 ) , subisse des décroissemens par une simple rangée sur tous les angles de ses différentes faces. INious nous bornerons , pour le présent , à considérer ce qui se passe par rapport aux trois angles plans réunis autour de l'angle solide O. Ayant pris sur les bords OE, 01, 00', les parties Oc, Oc?, Or, égales chacune à une arête de molécule cubique, menons les lignes ct^ JA% parallèles à 00', les lignes cg^ rs , parallèles à 01 , puis les lignes dh , rz , parallèles à OE, en donnant de même à chacune de ces lignes
une longueur égale à une arête de molécule. Si pai^ le jDoint O et par les extrémités des mêmes lignes prises deux à deux , nous faisons passer les plans tok^ gosj hoZj il est facile de concevoir, d'après ce qiii a été dit plus haut (pag. 122), que ces plans seront les rudimens des faces produites par les trois décroissemens qui agissent autour du point O, et qu'en même temps ils seront de niveau sur un plan unique. De plus, ces plans étant des triangles isocèles, égaux et semblables, et les angles ^c^, kâk^ srz^ compris entre eux , étant aussi égaux , il en résulte que si l'on prolonge leurs bases ^5, hz^ tk^ elles se rencontreront de manière à former avec leurs prolongemens le contour d'un triangle équilatéral uxy. Enfin, les plans gO^ , ifO^, /zOr, étant également inclinés sur les trois faces EOO'E^ EOïA, lOCF, au-dessus desquelles ils s'élèvent, il est visible que le triangle équilatéral uxy est perpendiculaire sur l'axe du cube qui passe par les points O, A'. Le même raisonnement s'applique aux résultats des décroissemens qui agissent autour des sept autres angles solides. Donc les faces du cristal secondaire n'étant autre chose que les triangles analogues à uxy^ prolongés jusqu'à ce qu'ils se rencontrent , et celles qui sont opposées deux à deux étant perpendiculaires sur l'axe du cube qui passe par les deux angles autour desquels elles se sont formées, la surface qui résultera de leur ensemble sera celle d'un octaèdre régulier 5, 5' (fig. 96). Le cube sera inscrit dans cet octaèdre, de manière
DE CRISTALLOGRAPHIE.! n5
que ses angles solides coïncideront avec les milieux des faces du même octaèdre, et l'on voit , par la seule inspection de la figure , que ce dernier solide a ses faces tournées en sens contraire des triançtles tels que uxy, qui en offrent les rudimens. Soit omn (fig. g-'), le triangle mensurateur relatif à l'un quelconque des décroissemens , par exemple à celui qui a lieu sur l'angle EOI (fig. g5). La base om (fig. 97) sera égale à une demi-diagonale de molécule , et le côté intérieur mn à une arête, d'où il suit que l'on aura
om .* mn : : 1 1 \/2 .
Or , il est facile de voir que ce rapport est le même que celui qui existe entre la perpendiculaire menée du centre de la base de la pyramide m^nmi^s (fig. 96) sur le côté rtin , et la hajiteur de la même pyramide. Donc si l'on représente ces deux lignes par i et \/ iy on aura y 3 pour l'apothème du triangle msn^ et parce que la perpendiculaire menée du centre de la base sur /7Z7Ï est égale à la moitié de ce même côté, l'expression de ce dernier sera 1, De plus , l'apotlième du triangle msn étant \JZ , et la moitié du côté mn étant l'unité , on aura
ms^ ou ns
d'où il suit que le triangle m.sn est équilatéral, et que le solide secondaire est un octaèdre régulier , comme on l'a déjà vu. D'après les données dont j'ai parlé,
laS TRAITE
on trouve que l'angle nom ( flg. 97 ) qui mesure la moitié de Fincidence d'une des faces de l'octaèdre sur la face adjacente est de 54^44'^^ ^^ ^l^i donne pour l'incidence dont il s'agit , 109^28' 16".
Le triangle mensurateur que nous venons de convsidérer aurait donc suffi pour déterminer tout d'un coup l'octaèdre qui résulte de l'ensemble des décroissemens. Mais pour donner une idée nette des diverses combinaisons de molécules dont se compose le mécanisme delà structure relative à cet octaèdre, je vais employer encore ici la métliode de synthèse , et développer la série des lames de superposition , en indiquant les variations qu'elles su]3issent pour seconder l'effet du décroissement auquel tout se rapporte.
io5. Soit AEOI (fig. 98 A) la même face dunoyau que figure 95 , et supposons que chaque côté étant divisé en neuf parties égales, les quatre-vingt-un petits carrés qui résultent du croisement des lignes menées par les points de division, parallèlement aux côtés, représentent les facettes extérieures d'autant de molécules. Ce que nous dirons par rapport à la face AEOI doit s'entendre également des cinq autres fices du cube.
La figure 98 B représente la face supérieure de la première lame de superposition , qu'il faut concevoir placée au-dessus de AEOI (fig. 98 A), de manière que les points e\ a', o', i! (fig. 98 B), répondent à ceux qui sont marqués des mêmes lettres (fig. 98 A), On voit d'abord par cette disposition que les carrés
Ee, Aa, Oo, liy restent à vide, ce qui est l'eflPet initial de la loi de décroissement. On voit de plus, que la lame de superposition dont il s'agit est augmentée d'une rangée au-delà des portions des bords ST, RU, XZ, YM 5 qui répondent aux bords EA , EO , 01, lA ( fig. 98 A ) , ce qui est nécessaire pour que le noyau s'accroisse à l'ordinaire dans les parties que le décroissement n'atteint pas. Chacune des rangées additionnelles PPs , QV, GF, CL , étant commune aux deux lames qui s'appliquent l'une sur AEOI (fig. gB)^ et l'autre sur une des faces adjacentes, on se dispenserait de le répéter, si l'on voulait exécuter une imitation du solide dont il s'agit ici.
Ces mêmes rangées additionnelles font naître de nouveaux vides à côté de celui qui est l'effet immédiat du décroissement : ainsi , dans le cas où ces rangées n'existeraient pas , il n'y aurait vers l'angle O (fig. 98 A) qu'un seul vide LVX (fig. B), produit par la soustraction de la molécule qui répond à Oo (fig. A) 5 mais l'addition des deux rangées PN, CL (fig. B), détermine entre les carrés 5, cZ, d'une part , et r, s , de l'autre, deux nouveaux vides qui étendent l'effet du décroissement vers les parties adjacentes au point O (fig. A).^Or, ces nouveaux vides sont censés résulter de la soustraction de deux cubes situés sur les prolongemens des rangées additionnelles PjN , CL (fig. B ) , en sorte que chacun de ces vides est limité inférieurement par une facette de molécule , comme l'est le vide l o'X par la face Oo ( fig. A ).
iqB traite
La figure 99 fera concevoir cette disposition. Soit Od la molécule cubique située au point O (fîg. 95 et 98 A), et soient b^ d, r, s (fig. 99), les quatre molécules désignées par les mêmes lettres (fig. B). Soient de plus b, Z, if 5 w (fig. 99) 5 les molécules qui répondent aux précédentes dans la première lame de superposition appliquée sur la face EOO'E' ( fig. 90)5 et soient s^y, x^ u (fig. 99),. celles qui leur répondent dans la lame appliquée sur la face 011'0'(fig. 9.5). Les vides qui existent l'an entre les molécules d^ r (fig. 99), im autre entre les molécules Z, ^, et un troisième entre les molécules j/, x^ et qui sont l'effet immédiat du décroissement , résultent de la soustraction de trois cubes qui reposeraient sur les facettes Oo, Oy^ OcTj or, tous les vides qui sont dus aux rangées additionnelles, se trouvent dans le même cas que les précédons par la manière dont ils sont limités : ainsi le vide qui existe entre les cubes b et d^ est censé produit par la soustraction d'un cube qui reposerait sur la facette £v dé la molécule Z. Il en est de même des autres vides, et tel est le mécanisme de la structure, considéré dans son ensemble, que les modifications accessoires au décroissement s'assimilent à celles qui en dérivent nécessairement.
La face supérieure de la seconde lame de décroissement est représentée par BKHD (fig. C) , et sa position au-dessus de la précédente est indiquée par la correspondance des lettres V, a" , i\ o\ et des \ellrese';aSf>'(fig. B).
DE CRISTALLOGRAPHIE. isc)
Cette lame dépasse la précédente, dans les parties cjiie le décroissement n'atteint pas, d'une quantité qui serait égale à une rangée de cubes, si le noyau était composé d'un plus grand nombre de molécules, mais qui, dans le cas présent, se réduit à un simple cube désiiiiié par B, R, H ou D.
Les grandes faces des lames de superposition qui jusqu'alors étaient des octogones tels que PQYGFCLN (f]g. B) , étant parvenues à la figure du carré BRHD (fig.. C), décroissent, passé ce terme, dans toutes leurs dimensions, en sorte que leurs grandes faces sont successif ement représentées parles figTires D, E, F, G, H, I, où leurs positions respectives les unes au-dessus des autres se trouvent indiquées par la similitude des lettres c, /, g^h (fig. C), c\f .^ g'^ h' (ilg. D ), c", f\ g", h" ( fig. E) , et ainsi des autres. On voit que la dernière lame se réduit à un simple cube désigné par js' (fig. I), et qui repose sur celui qu'indique z (fig. H).
La figure loo représente une des faces de l'octaèdre produit par le décroissement , avec l'assortiment des molécules dont les angles extérieurs concourent à sa formation.
io6. Là série des laines empilées sur l'une quelconque des faces du cube ( fig. g5 ) , par exemple sur la face AEOI, diffère de celle des lames qui, dans le dodécaèdre représenté (fig. 90), correspondent à cbacune des bases du noyau (fig. 89), en ce que ces dernières lames n'éprouvent d'autre variation q«e
i3o TRAITÉ
celle qui dépend du décroissement , de manière que les portions de leurs bords que ce décroissement n'atteint pas, restent sur les plans des faces latérales CDFG 5 BCGL, etc., au lieu que les portions de bords correspondantes dans les lames composantes de l'octaèdre originaire du cube s'étendent, en se recouvrant mutuellement, pour empêcher qu'il ne se forme des angles rentrans aux mêmes endroits. 11 en résulte que la face produite par chacun des décroissemens qui ontlieu sur les angles de la base AEOI ( ^§- 9^ ) îi'^st plus un rhombe , comme dans le cas du dodécaèdre (fig. 90), mais un trapézoïde, tel que orst (fig. 96). Car, à cause des rangées additionnelles dont on a parlé , les bords qui répondent à PQ, GV, CF, LN (fig. 98 B) , augmentent dans un plus grand rapport que si ces rangées n'existaient pas, et de plus l'existence de ces mêmes rangées accélère le terme où les lames de superposition commencent à décroître de tous les côtés à la fois ; d'où il suit que le triangle j^ot (fig. 96), qui est la somme des bords croissans dont on a parlé, a moins de hauteur, sur une base égale, que le triangle rst^ qui est la somme des bords pris depuis le terme où le décroissement a lieu dans tous les sens. Mais ces augmentations et ces diminutions successives sont tellement combinées, que les trois trapézoïdes orst^ ormz^ otnZy produits par les trois décroissemens qui agissent autour d'un même angle solide O, composent parleur assortiment lua triangle équilatéral msn^ et le même effet se répc-
DE CRISTALLOGRAPHIE. i3i
tant à l'égard des sept autres angles solides, les vingtquatre trapézoïdes qui naissent de l'ensemble des décroissemens donnent huit triangles équilatéraux , qui sont les faces du solide secondaire.
107. Les nombres de cubes renfermés dans les couclies que forment ks lames de superposition en s'appliquant six à six les unes au-dessus des autres , donnent deux séries récurrentes , dont kpremière en partant du noyau, contient toutes les lames qui ont vers leurs bords des rangées additionnelles , et la seconde toutes celles qui décroissent dans tous les sens à la fois.
Cherchons d'abord la valeur d'un terme quelconque dans la première série. Soit n le rang de ce terme €t c le nombre d'arêtes de molécides contenu dans h côté du noyau. Cliaque lame recevant une rant^ée additionnelle vers chacun de ses bords opposés, il est évident que le côté de la première lame, en la complétant par la pensée , sera c-j-2 , celm de la 2' c-f.4, celui de la 5^ c + 6, et en général c+272. Or, il est -aisé de voir que la première lame (fig. B) se trouve <3ans le même cas que si, ayant d'abord été complète , •elle avait subi vers chacun de ses angles un décroissement par trois rangées , dont l'une est soustraite par Teffet immédiat du décroissement, et les deux autres proviennent des rangées additionnelles, ce qui donne pour la quantité de molécules soustraites vers cliaque angle, i+2-f-3. Si la seconde lame ( fig. C) était . <le niveau avec la première par ses bords analogues
a 32 TRAITÉ
à QY, PN , etc. 5 Tcffet du décroissemeiit se bornefaît à soustraire vers cliiicun de ses angles une rangée de plus cjue dans la précédente , ce qui ferait cjualie rangées; mais l'extension qu'elle reçoit vers cliacnn de ses ioords la met dans le même cas que si, ayant été d'abord complète , elle avait sul^i un décroissement de deux rangées de plus , ce qui donne pour la quantité de molécules soustraites vers cliaque angle,
En appliquant le même raisonnement aux autres lames , on en conclura que chacune ajoute à la progression donnée par la lame précédente trois nouveaux termes, dont l'un est le résultat immédiat du décroissement , et les deux autres proviennent des rangées additionnelles. Les nombres des termes, dans les progressions successives, étant 3,6,9,12, etc. , leur expression générale sera 3^2 ; et parce que dans chaque progression le premier terme et la diflerence entre un terme et l'autre sont l'unité , la somme des
termes sera ^.Donc, puisque le côté de chaque
lame censée complète est c+27Z, le nombre de rhomboïdes contenu dans chaque lame, y compris les rangées qui lui sont communes avec celles qui s'appliquent sur les faces adjacentes, sera représenté par
(;^.4 2n)=— 4^-^^^-^ ou (c+ 2^)^ — 2(9/1^ + 5/1).
Donc l'ensemble des six lames qui composeraient -
DE CRTSTALLOGRAPIÎIE. i55
une couche quelconque , dans Tliypotlièse où il n'y aurait peint de rangée commune, serait
6(c-\-2ny — 1 2(972*-!- S/z)/"
108. Remarquons main Lenant que dans les décroissemens sur les angles , chaque rangée soustraite fait disparaître une arête de molécule sur l'un et l'autre des hords adjacens à l'angle qui subit le décroissement 3 et parce que chaque bord aboutit à deux angles, ilperd autant de fois deux arêtes de molécule qu'il y a de rangées soustraites. Donc l'expression générale du bord , en supposant la lame complète , étant C + 2/Z, et celle du nombre de rangées soustraites étant 3/z, le nombre de molécules qui restent sur la portion de chaque bord que le décroissement n'atteint pas , ou , ce qui revient au même , le nombre de molécules qui composent la rangée additionnelle à laquelle répond cette portion de bord , sera
Donc retranchant six fois cette quantité de l'expression que nous av ons trouvée plus haut , on aura
6(c -h 27?)" — i2(gn^'\-37i) — 6(c — 4'0?
pour la somme des molécules contenues dans les six lames qui composent une couche f[uelconque du rang n.
109. Pour trouver la loi de k seconde série, je remarque d'abord que le nombre total des lames de
i54 TRAÎTÉ
superposition est égal au nombre de denii-diagonales de molécules situées en allant de O vers A (lig. q8), depuis la diagonale év jusqu'au centre y de la face EAIO, ou ce qui revient au même, il est égal au nombre c d'arêtes de molécule situées sur l'un quelconque des côtés EO , 01 5 etc. , moms l'unité.
INous avons vu que le nombre de molécules qui composent chaque rangée additionnelle sur l'une quelconque des lames de la première série, a pour expression générale c — ^n. Or, dans la lame qui termine cette série, la rangée dont il s'agit se réduit à une seule molécule, telle que K ( fig. C). Donc
alors, c-^ /\n=: i , et tz = — - — . Dans ce même cas,
n représente aussi le nombre des lames que renferme la série. Mais c — i exprime le nombre tolal des lames
qui appartiennent aux deux séries. Donc 3 "T exprimera celui des lames dont est formée la seconde série. Donc celle-ci renferme trois fois autant de termes que la première , ce qui fournit un moyen facile pour reconnaître à laquelle des deux séries se rapporte une lame du rang n.
Soit n' le rang d'une lame quelconque de la seconde série prise en partant du sommet. Les nombres de molécules comprises dans les différentes lames indiquées par les figures 1 , H , G , F, etc. , seront successi\ement 1, 1+4, 1 4-4+8, i+4+8+i2,etc. (i);
(1) Yoici de quelle manière on peut trouver la suite des
DE CRISTALLOGRAPHIE. iZS
ce qui donne pour chaque lame , abstraction faite de l'unité 5 une progression arithmétique dans laquelle 4 représente à la fois le premier terme et la dififérence 'entre chaque terme et le suivant, et n — i désigne le nombre des termes 5 ajoutant donc l'unité à la somme qui résulte de ces données , on aura pour la somme totale relative à une lame quelconque ,
2(7i'~iy + 2n—i.
iio. Maintenant, soit toujours n le rang d'un terme quelconque, en partant de la première de toutes les lames de superposition; c — i étant le nombre total des lames comprises dans les deux séries, on aura
n=c — I — '/i'-f- I , ou 72= c—7z'. Donc 71 =c — /z.
Si l'on substitue cette valeur de n' dans l'expression
celle-ci devient
nombres qui correspond à une même lame, par exemple à celle de la figure D. On prend d'abord la molécule centrale, ensuite les molécules situées autour de celle-ci sur quatre lignes parallèles aux côtés du carré Cyf, h', g', et l'on continue de même , en prenant les molécules qui répondent aux côtés des divers carrés concentriques que l'on peut tracer sur la surface de la lame. On a donc cette suite , 1 , 8 , 1 S , 20, 12 , 4 >^u'il ne s'agît plus que d'ordonner ainsi , i , 4 j ^ ; 1.3 , 16, 20.
Donc renseiiible des six lames qui composent une couclie du Tnuo n sera
i2(c — n — \y-\-\2c — \iii — 6. •
Suit proposé de trouver le nombre S des molécules comprises dans la deuxième couche, c — i ou 8 étant le nombre total des termes qui appartiennent aux deux séries, on voit d'abord que la couche dont il . s'agit est comprise dans la première. On aura donc ,
Si l'on veut avoir le nombre S relatif à la quatrième couche 5 ce nombre faisant partie de la seconde série, d'après ce quia été dit plus haut, on aura
1 1 1 . Si l'on prolonge la ligne 2O (fig. 96) jusqu'en 5, on aura 05 = | 5-s, et parce que rsz=.^ms ^ on aura aussi es-=.\sz. Donc 0^=(f — ^sz-=^\sz. Donc
Oe:0«::i:f::i:45
donc 0^ = 1 es. Donc les hauteui^ O0, es des triangles rO^, rst^ sont entre elles dans le rapport des nombres de lames relatives aux deux séries qui représentent la marche du décroissement , et c'est eliectivement ce qui doit avoir lieu d'après ce que nous avons dit ci-dessus (p. i34).
1 12. A la rigueur j les lignes 0^, ^5 . ne sont pas
précisément celles qui donnent les limites enlre lesquelles sont renfermées les deux séries dont il s'agit. Car les faces de Toctaèdre étant des plans tangens à tous les angles solides a-, r, t (ng. 100), des molécules extrêmes, il est facile de concevoir que les lignes sur lesquelles elles se réunissent, et qui sont les côtés nis^ ns ^ mu-, etc., (fig. 96), se trouvent libres de tout contact avec les molécules. Par exemple, le côté ms passe au-dessus de deux points situés aux milieux des arête- uz. rx (fig. 100), de manière que si l'on élève sur les facettes uzl^ rxq ^ deux perpendiculaires qui partent du centre, et soient égales à une arête de molécule, les extrémités de ces perpendiculaires se confondront avec les points m, s (fig. 96). Mais le véritable triangle, auquel les lignes 0<?, es (fig. 96), sont censées se rapporter, est celui dont les côtés ont leurs extrémités aux points z, t^x (fig. 100). Les points c, dy placés à égale distance entre .r, r, d'une part, et x, t, de l'autre, sont les analogues des points 7-, t (fig. 96)5 et le point k (fig. 100), situé à égale distance entre les points c et d, est l'analogue du point e (fig. 96). Or, la distance entre o et k (fig. 97), égaie deux fois la ligne o/z (fig. 100), qui est le côté extérieur du triangle mensurateur , et la distance entre les points ket x (fig. 100), égale six fois le même côté extérieur, ce qui est conforme au rapport indiqué entre les nombres de lames qui composent les deux séries. La propriété qu'a le triangle msn (fig. 96) j de représenter le triangle zxê^ dans les
résultats de îa théorie, provient de ce qu'il est inscrit à ce dernier , en sorte que les lignes seinblaÎ3lement tirées dans l'un et dans l'autre font les mêmes fonctions.
Il résulte du rapport } entre les nombres des lames qui composent les deux séries, que la somme totale de celles qui s'élèvent au-dessus d'une même face du noyau est un nombre pair, et si l'on suppose , comme cela est naturel , que la dernière lame se réduise à une simple molécule, le nombre des arêtes de molécule comprises dans chaque côté du noyau sera nécessairement impair, comme le représente la fig. 98 A. Dans le cas où il serait pair , la dernière lame deviendrait un assortiment de quatre molécules cubiques réunies sous la forme d'un prisme carré.
II 3. Concevons maintenant que l'octaèdre secondaire ait pour noyau un rhomboïde AA^ (fig. loi ),. tel que celui de i o4^ i ? qui appartient à la chaux carbonatée, et qu'il, provienne aussi d'un décroissement par une rangée sur tous les angles de ce rhomboïde. L'arrangement respectif des molécules composantes sera encore le même , et ainsi les angles solides A , E , O , etc. ( fig. 102), coïncideront encore avec les centres des faces de l'octaèdre. Mais parmi ces mêmes faces il n'y en aura plus que deux qui soient des triangles équilatéraux, savoir, les faces bdj\ enpj situées autour des sommets A, A', les six autres faces qui ont pour centre les angles solides E, O, I, etc. 5 seront des triangles isocèles clpfy bed, edp^ etc»
DE CrxISTALLOGRAPHIE. i%
Or , les angles supérieurs EAI, EAG, etc. , sur lesquels agissent les décroisseiiiens qui donnent les triangles équilatéraux 5 n'étant pas dans le même cas que les angles inférieurs EOI, EHG, etc., et ces derniers étant différens des angles latéraux EGA', lOA', qui concourent avec eux à la production des triangles isocèles, l'octaèdre doit être considéré comme le résultat de trois décroissemens qui se rapportent aux trois espèces d'angles dont naus venons de parler, et qu'il convient de distinguer entre eux, puisqu'ils sont représentés par autant de triangles mensurateurs, dont chacun a des dimensions particulières. Mais pour simplifier nos conceptions à l'égard des décroissemens qui se combinent dans la formation des triangles isocèles, nous pouvons à volonté regarder chacun de ces triangles, par exemple le triangle eclp , comme produit en vertu d'un décroissement par une rangée sur l'angle inférieur EOÏ, dont l'effet se prolonge au-dessus des faces EOA'H, lOA'K, ou comme produit en vertu d'un décroissement par une rangée sur les angles latéraux EGA', 10 A', dont l'efTet se prolonge en dessus de la face EOIA , et il semble d'abord indifférent d'adopter l'une ou l'autre manière de voir. Il est cependant à remarquer que par une suite de la position verticale qu'a maintenant Taxe du noyau, en passant par les sommets A , A', le trapézoïde dyOS" qui résulte du décroissement sur l'angle EGI, se rejette vers la partie inférieure de cet axe, en sorte que sou inclinaison à l'égard de celui-ci est
i4o TRAITÉ
en sens opposé de celle du rîionibe EOIA, sur lequel il est censé avoir pris naissance , tandis aue les trapézoïdes eyOe, pJ'Oe^ qui résultent des décroisseraens sur les angles latéraux EGA', lOA', sont tournés vers les faces EOA'H, 10 A'H , auxquelles appartiennent ces mêmes angles. Cetle considération semble fournir, dans le cas présent, une raison de prendre pour dé'croissement principal celai qui a lieu sur les angles latéraux , et de regarder l'autre conuue n'étant qu'auxiliaire.
Mais si le décroissement sur l'aniîle inférieur se llâsaitpar deux rangées, auquel cas les décroissemens sur les angles latéraux deviendraient intermédiaires (voyez p. 122 ), alors il conviendrait, ainsi que je l'ai déjà dit, de donner la prééminence au premier. Ainsi, la position de chaque face du cristal secon- (.laire élant donnée d'après la considération d'un seul des triangles mensurateurs relatifs aux divers décroisseniens qui concourent à la production de cette face, c'est en général la raison de la plus grande simplicité qui détermine le choix de ce triangle.
1 14. Les décroissemens qui ont lieu sur les angles supérieurs EAI, lAG, etc. (iig. lOi), étant indépendans de ceux qui se rapportent aux angles latéraux, supposons que ceux-ci existent seuls, et que les soaimels soient libres de tout décroissement. Alors les parties des lames de superposition situées vers ces mêmes sommets, au lieu de décroître s'étendront de manière à s'envelopper les unes les autres par les
DE CRÎSTALLOGuAPÏIIE. i4i
résidus de leurs ])ords supérieurs, et l'effet de cette extension sera le même que si les triangles clpf^ dcb, edp, etc. (fig. 102), s'étaient prolongés en dessus des faces bdf, enp, jusqu'à s'entrecouper, aoa il est aisé de conclure que le solide secondaire sera un riiomboïde aa (fig. 102), plus alongé que le noyau. Dans le cas présent, où ce noyau est le rhomboïde de io4'^ \ qui appartient à la chaux carbonalée, le cristal secondaire est le rhomboïde de 78-4 dont j'ai déjà parlé, et que j'appelle inverse , pour des raisons qui seront exposées dans la suite.
1 15. Pour mieux concevoir la différence entre la structure de ce rhomboïde et celle de l'octaèdre représenté (f]g. 102). imaginons que toutes les lames de superposition qui recouvrent la face AEOI (flg. 102 et I o5), se projettent sur un même plan, comnie on le voit fig. 104. Les gTandes faces de ces lames seront d'abord des eptagones, tels que iximin m m' ni' ni'\ dont les côtés iTirn! ^ m'rri'^ diminueront progressivement ^ jusqu'à ce qu'ils soient réduits à ime simple arête de molécule. Dans le cas présent , où l'on s'est borné à neuf molécules sur chaque côté du noyau, le terme dont il s'agit a lieu dès la seconde lame. La grande face extérieure de celle-ci est l'eptagone rrrrr'r'r"'^ qui est sensiblement im pentagone, à cause des côtés presque infiniment petits r'r\ r'r' . lien est de même des grandes faces des lames suivantes, qui sont successiveinent]eseptagonesi/z/^^'zi'^^''^^V',a\vjCA'a;''.vV'.etc.. que l'on peut assimiler à des pentagones.
i4^ TRAITÉ
I î 6. 11 y a ici une observation à faire par rapport à la dernière lame, qui , en supposant que le décroissement ait atteint sa limite, doit être composée d'une simple rangée de molécules désignée par qi^. Or, tandis que les bords supérieurs 772/72, rr, uu^ etc., des grandes faces qui appartiennent aux autres lames se dépassent mutuellement d'une quantité égale à une 1 angée, ceux qui ont la même position sur la dernière lame, et qui sont indiqués par 72^, n'p, doivent rester de niveau avec les bords t^t^, çi^"\ relatifs à la lanje précédente. Car, l'uniformité de la structure exigerait que l'excès de la dernière lame sur celle qui la précède se réduisît à un simple rbomboïde désigné par pî^Ç, et qui laissât entre lui et la lame précédente un vide vpt , égal à celui qui existe, aux endroits correspondans sur toutes les autres lames. Mais l'affinité laisse échapper ce rhomboïde, dont l'adhérence avec le cristal serait censée nulle, puisqu'il ne tendrait à compléter celui-ci que par son sommet inférieur.
117. Si l'on compare la figm-e io3 avec la 104*, et que l'on prenne la série des lames de superposition , en partant de la dernière , c'est-à-dire de celle qui est composée de la rangée indiquée par qv (fig. loj), 2I est facile de voir que celle rangée représente l'arête da (fjg. io3 ), d'où il suit fjue celle-ci est parallèle à la diagonale oblique qui va de A en O. La lame sui" vante, désignée par vvp'p'p'p'p^" (fig. to4), correspond à un pentagone Pi^p'i^'\'"' (fig. io3), pris par une section faite en dessous de ad, et parallèle à la
DE CRISTALLOGRAPHIE. i0
face AEOI, et ainsi des autres lames. C'est ce que confirme le résultat de la division mécanique du rhomboïde secondaire , qui a toujours lieu suivant des plans situés entre l'arête aclel le rhombeAEOIj parallèlement à celui ci. La même comparaison fait voir encore que les arêtes latérales , telles que ed^ pd^ sont produites par la suite des arêtes 7''/'', z/zi', jc'jc'j etc., rV, u^'u'^ x'x'^ etc., qui s'élèvent comme par échelons les unes au-dessus des autres.
1 18. Je placerai ici une remarque que j'ai déjà insinuée, en parlant de l'octaèdre régulier originaire du cube (p. iSy), et qui s'applique au rhomboïde que nous venons de considérer, ainsi qu'à une multitude d'autres formes secondaires, produites par des décroissemens soit sur les bords, soit sur les angles. Elle consiste en ce que certains points terminaux ou certains bords situés sur le solide géométrique dont nous nous servons pour représenter le résidtat de la cristallisation, n'ont pas d'existence réelle sur ce dernier, mais j sont remplacés par d'autres points ou par des plans presque infiniment étroits, dont les différences de position avec les points et les bords analogues sur le solide représentatif échappent à nos sens par leur petitesse. Ainsi le sommet géométrique du dodécaèdre métastatique représenté ( fig. 8i) est l'extrémité s de l'arête E5(fig. 80) • mais le sommet physique est le point culminant s' de la dernière des couches composées des lames de superposition prises trois à trois. Dans le rhomboïde que Y on voit {J^^, io3\ le sonm^et
i44 TRAITÉ
géomélrique est le point a, et le sommet physique est le point v (flg. 104)5 qni termine supérieurement la dernière des lames empilées sur la face AEOI (fig. ici) de la forme primitive. Les aiéles da^ ed (fig. io3), n'existent de même que géométriquement ]):irlant ; l'analogue de la première, sur le rhomboïde produit par la nature,, est la rangée de rhombes situés en dessous de cette arête, et compris entre les points v^ V (fig. io4); et l'analogue de la seconde est, comme je l'ai déjà dit, la suite des petits côtés u il\ x^x\ z'z\ etc., des eptagones qui forment les faces extérieures des lames de superposition. Plus les molécules seront déliées et plus les parties extrêmes du solide de la nature approcheront de se confondre avec celles qui leur correspondent sur le solide de la Géométrie, et qui en sont comme les limites. Mais quoiqu'elles ne puissent jamais atteindre ces limites, les solutions des problèmes qui sont l'objet de la théorie n'en sont pas moins rigoureuses , parce que les positions des plans géométriques auxquels elles se rapportent dépendent uniquement du mécanisme de la structure, en sorte que de ces trois choses, les inclinaisons respectives des plans dont il s'agit, la forme des molécules et leur arrangement, les deux premières étant censées connues, la troisième, savoir, l'arrangement des molécules, ou, ce qui revient au même, la loi de décroissement à laquelle elles sont soumises, se détermine à l'aide du calcul, avec toute la précision que l'on peut désirer.
119. Reprenons le noyau cubique représenté ( fig. 90 ) , et supposons que les lames de superposition empilées sur ses différentes faces , subissent vers leurs angles un décroissement qui ait lieu, non plus par une simple rangée de molécules, mais par deux rangées- Alors les trois faces produites autour de chaque angle solide tel que O, seront encore des tra-» pézoïdes, puisque la marche des décroissemens est la même , quant à sa direction , que dans le cas de Toctaèdre (fig. 96), et qu'elle est seulement devenue plus rapide. Mais ces trapézoïdes ne seront plus de niveau; ils s'inclineront les uns sur les autres d'une quantité que l'on détermine par le calcul. La surface du cristal secondaire sera donc composée de vingtquatre trapézoïdes distincts (fig. io5), dont la réunion produira huit angles solides tels que O, composés de trois plans, et six angles solides tels que 5', composés de quatre plans. Les premiers, qui seront les termes de départ des décroissemens , se confondront avec ceux du noyau. Les autres répondront aux angles 5, m\ s' ^ etc. (fig. 96), avec cette différence, qu'ils seront plus rapprocliés des faces du cube primitif Je déterminerai dans la suite les inclinaisons respecti^ es des trapézoïdes.
La structure de l'octaèdre régulier que nous avons considéré précédemment, et celle du solide à vingtquatre trapézoïdes qui vient de nous occuper, ont lieu dans deux variétés de fer sulfuré. iSous verrons dans la partie analytique ces mêmes formes reparaître
i4S TRAITÉ
sous un autre point de vue où la première fait à regard de la seconde la fonction de noyau.
I20. Avant de terminer ce qui concerne les déx^roissemens sur les angles , je vais en citer quelques nouveaux exemples relatifs à des formes cristallines dans lesquelles la marche de la structure pourrait faire naître de l'embarras à ceux qui voudraient la suivre pour ainsi dire pas à pas, en prenant la synthèse pour guide.
Reprenons le prisme droit rhomboïdal qui représente la forme primitive de la baryte sulfatée, et supposons que les angles aigus B, D (fig. io6), de ses bases , soient les termes de départ d'un décroissement par une simple rangée, de manière que la superposition des lames décroissantes n'ait lieu qu'en dessus de ces mêmes bases , sans aucune intervention de décroissemens auxiliaires.
Soit ABCD (fig. 107) la base supérieure prise pour exemple, sous-divisée en quatre-vingt-un petits rhombes qui soient les bases d'autant de molécules soustractives, ce qui fait neuf rhombes sur chacun des côtés AB, BC , etc. Si nous imaginons que toutes les lames de superposition dont la base ABCD est recouverte, se projettent sur le plan de cette même base, il est facile de voir que leurs projections seront successivement les hexagones A^éCd"^, A^tï'CTr A, etc., de manière que celle de la dernière lame se réduira à une simple rangée de rhombes AC. 11 en résulte que Jes faces produites par le décroissemezit seront dc«
triangles isocèles ODP, OBP (fig. 108), qui s'élèveront en partant des angles D , B ( fig. 1 06 ) , et se réuniront en OP (fig. 108), parallèle à la diagonale menée de A en C (fig. 106). Les surfaces de ces triangles seront produites par les angles solides de molécules, contigus aux lignes yè , Ç3-, /lcv , Att (fig. 107), el la ligne OP (fig. 108) , qui est leur base commune géométrique, sera remplacée par la rangée de rliombes AC (fig. 107), qui représente le sommet physique ^u cristal.
En même temps que les lames de superposition décroissent vers leurs angles, elles restent de niveau par les portions de bords C6,Cv, €3", Ctt, etc. (fig. 107), que le décroissement n'atteint pasj et parce que ces portions de bords vont elles-mêmes en diminuant, les facettes latérales qui leur correspondent sur les lames de superposition forment par leur assemblage des triangles DPC, BPC, etc. (fig. 109), qui étant fiur le même plan que les faces CDFG, BCCL, du noyau, convertissent celles-ci en trapèzes PDFS, PBLS, etc. (fig. 108 et 109 ). Le solide secondaire est donc dans cette hypothèse un octaèdre, ayant pour faces quatre triangles ODP, PBO, RSF, SLR, qui sont le résultat du décroissement, et quatre trapèzes PDFS, PBLS, ODFR, OBLR, composés des faces latérales du noyau et de leurs prolongemens.
121. Mais les octaèdres de baryle sulfatée qui dérivent du décroissement indiqué, se présentent sous un aspect tout difiérent de celui dont la figure 108
fait naître l'idée. Leur aloDgement, au Fieu de se faire de bas en haut, se fait dans le sens d'un axe qni passerait par les milieux des arêtes CG, AN (fig. io6), ainsi qu'on le voit fjgure iio, où le noyau est représenté inscrit dans l'octaèdre secondaire. Cet octaèdre a encore pour faces quatre trapèzes et quatre triangles isocèles 5 mais il y a échange entre les positions de ces deux espèces de polygones considérés <lans les deux octaèdres , ainsi qu'on en jugera en comparant les figures 108 et 11 o. Il s'agit donc de ramener le mécanisme de la structure au résultat qui <lonne le second octaèdre.
Pour y parvenir , concevons que le décroissement agisse à la fois sur les trois angles plans qui concourent à la formation de chacun des angles solides D, B, L, F, et imaginons, comme dans le cas du premier octaèdre, que toutes les lames qui recouvrent la l^ase ADCB se projettent sur un même plan, comme on le voit ( fig. 107). Alors les faces latérales des lames de superposition ne resteront plus de niveau aux endroits aue le décroissement n'atteint pas ; mais elles s'étendront par des additions de nouvelles rangées, en sorte que les grandes faces de la première seront semblables à Fiiexagone rr'hhrr^ celles de la seconde sa l'hexagone s's'kkss^ celles de la tix)isième à l'hexa-' gone t't''lltt^ et ainsi des autres. Parmi les lames qui s'appliquent sur ks faces latérales, bornons-nous à considérer celles qui s'élèvent au-dessus dupanCDFG (fig, 1 10). Si nous imaginons que toutes ces lames se
projettent sur le plan de cette même face , elles produiront l'assortiment que représente la figure 1 13, efc dans lequel les grandes faces de la première lame sont indiquées par l'hexagone JihliH'hlJi ^ celles de la seconde par l'hexagone kkh!'Jii'k'k\ celles de la troisième par l'hexagone llt'1!'l'l\ et ainsi des autres.
122. Dans la figure 107, les suites de petits rhombes comprises, l'une entre DC et /z/z, une seconde entre hh et Jch^ une troisième entre hk et ZZ, etc. , sont les faces supérieures des rangées additionnelles de molécules dont j'ai parlé plus haut. Dans la figure 1 13, les suites de petits rectangles comprises entre les lettres correspondantes, savoir, DCetM, hh et kk^ etc., représentent des facettes latérales appartenant aux mêmes rangées, savoir, celles qui sont tournées vers la face CDFG, d'où l'on voit que chacune de ces rangées a^dditionnelles est commune à deux lames de superposition appliquées sur des faces voisines, ainsi que nous l'avons déjà observé par rapport à d'autresvariétés de cristallisation [voyez^. 92).
123. Les lames empilées sur la face CDFG commencent par se dépasser aussi mutuellement vers leurs bords parallèles à DF , en sorte que la première reçoit en cet endroit une nouvelle rangée comprise entre DF et Ii'Ji'^ et qui lui est commune avec la lame correspondante , qui s'applique en même temps sur la face ADFM (fîg. 1 10). Dans la lame suivante , la rangée additionnelle se réduit à une seule molécule désignée par ï't'k'k' (fig. ii3), et au-delà de ce-
i^DO TRAITÉ
ternie les lames de siiperposilion éprouvent une îëtraite en sens opposé, de manière que les petits côtés^ vericaux ï'I'^j jn'm'^ nii\ des hexagones, s'alignent sur la direction ÏL) (fig. iio), et produisent avec ceux (pii leur correspondent de l'autre côté l'apparence d'une aréle siiuéc au même endroit.
124. D'une autre part, les côtés ^A(fig. 107 et i i3)y AA:, Z/, c[ui restent hors de la portée des décroissemens, diminuent aussi , quoique plus lentement , en sorte que le terme de ces diminutions a lieu dans les lames
représentées pai^ Jk'^ Vi'JCX (%• ^^7)? ^^ PPP^'p'pp' ( fig. 1 1 3 ) , où la rangée additionnelle n'est plus composée que de deux molécules situées entre les points p, p. Le décroissement alors a lui-même atteint sa limite, à l'égard des lames de superposition empilées sur les faces latérales du noyau. Mais la dernière des lames situées parallèlement aux bases étant celle qu'indique l'hexagone j^y^/j/T^JK (%• 107)? le cristal est susceptible de s'accroître encore dans le sens vertical, par l'addition d'une rangée de molécules appliquée sur celle qui est désignée parpy', et égale à cette dernière. Soit p^ (fig. m) la molécule qui termine cette nouvelle rangée en dessus de pzo^ (fig. 107); il est aisé de voir que son bord inférieurpjs (fig. in) coïncidera avec le bord supérieur p2 (fig. 1 j3j du quadrilatère /7jsoA, de manière que la fiicette pzyî. (^fig. 111} se trouvera sur le même plan que ce quadrilatère; et ain^i l'addition de la rangée dont il s'agit u'exige pas qu'une nouvelle lame
DE CRISTALLOGRAPHIE. i5i
soit appliquée sur celle que représente ppp^p'l^p (fig. ii3); elle ne fait que prolonger cette lame, en lui ajoutant deux petits quadrilatères placés l'un en dessus de oXpz , et l'autre en dessous de oA'p'z' .
125. La figure 107 représente chaque lame de superposition parallèle à la base ADCB , dans l'état où est cette lame au moment même où elle est censée s'appliquer sur celle qui est en dessous. Mais à mesure qu'une nouvelle lame s'ajoute aux précédentes, toutes les rangées situées parallèlement à la diagonale AC sur ces mêmes lames augmentent d'une molécule vers chacune de leurs extrémités. Cette addition provient des lames qui s'appliquent en même temps sur les faces latérales du noyau. Bornons-nous à considérer l'effet de celles qui sont parallèles à la face DCGF (fig. iio et it3).
Supposons qu'il n'y ait encore que la lame r rlihrr (fig. 107) qui se soit appliquée sur la base ADCB. La rangée qui la termine vers l'angle D sera composée de trois molécules dont les angles extérieurs seront sur la ligne r'h. La lame correspondante audessus de la face DCGF (fig. 1 1 3) sera celle que représente l'hexagone Ii'Jî'h'h'hh. Concevons maintenant une nouvelle XdiVaess'kkss (fig. 107), appliquée sur la précédente ; son analogue au-dessus de DCGF (fig. n3) sera k"kTk'kk. Soit »^Kfig. 112) la molécule à laquelle appartient la facette uù)'J^(^ (fig. 1 13), considérée sur la même lame. Le point cû situé immédiatement en dessous de k (fig. 107) se trouvant alors
sur le plan de l'hexagone r' r'hhrv^ et les points c, tî, considérés sur le même plan, se confondant avec cens qui sont désignés par les mêmes lettres (fîg. 11:2), il est visible que le petit rhombe i/fieJO"» se placera à la suite de celui dont y» (fig. 107) est ]a petite diagonale, et le même efî'et se répétant vers l'autre extrémité de la rangée dont il s'agit, le nombre des facettes qui la composent sera de six, au lieu de quatre qu'il était auparavant.
Par une raison semblable, l'application de la nouvelle lame désignée par ïClltt déterminera une addition de deux molécules , relativement à chacune des rangées qui terminent les deux lames précédentes, dans le sens des lignes r'h^ s^'k^ et ainsi de suite.
1 26. Soient en général a^b^c^d^ etc. , les nombres de molécules comprises dans les rangées terminales situées du même côté, sur les différentes lames de superposition. On aura, après l'application de la première , « ==4 ? après celle de la seconde, a =6, ^= 7 ; après celle de la troisième, «=8, ^=9, c=io ; après celle de la quatrième , a= i o, 5= 1 1 , c= 12, c?= 1 3 j et ainsi des autres. La partie de la surface du trapèze O'TL P' ( fig. no) située en dessus du j^oint D vers l'arête TU , est produite par des rangées situées de même parallèlement à cette arête, qui sont dues aux lames appliquées sur les faces latérales du noyau, et qui, en y comprenant celle qui répond a A'T'(fig. 1 1 3), se réduisent à cinq dans le cas présent , où chaque bord du noyau est censé renfermer neuf arêtes de
DE CRISTALLOGRAPHIE. i55
molécule (i). Soient m^ 5, ^, y, ^, les nombres de molécules comprises dans ces deux rangées, en commençant par la plus basse. Ces nombres seront dans l'ordre de ceux que présente la série «, h^ c^d^ etc. , en sorte que si a=4 •> ^^ ^^^^^ 77z = o, 5 = 0, #=2 1 , j^=2, j^ = 3. Si a:=6, on aura 7/1=1,5 = 2, /=3, y=i^^ :s=5. Si a=8, on aura /72z=3, 5 = 4? ^=^> y =6, j::=:7 ; etc. On voit par là que, dans le cristal complet, le nombre des molécules comprises dans cbaque rangée surpasse d'une imité celui des molécules que renferme la rangée précédente.
127. Le résultat précédent donne la Limite tbéorique de la structure de l'octaèdre secondaire ; c'est cette limite que représente la figure 1 10. 3la:s la cristallisation dépasse cette limite, en produisant des octaèdres plus alongés, suivant des rapports très variables, dans le sens des arêtes TC, XZ, et dont Fun se voit fig. 114. Cet alongement a lieu par une addition de lames constantes, égales ù celle qu'indique Viiexîx^one ppp' p' p p .\^?L projection de celle qui s'applique immédiatement sur cet hexagone est représentée par zzz'z'z z\ et ainsi des suivantes. De plus, il faut concevoir que la rajigée terminale py (iig. 107), s'alonge proportionnellement vers chaque extrémité , par l'addition d'un nouveau rhomboïde p7, ouj-'ûj).
(1) C'est une suite de ce que la distance entre le point m. pris inférieurement , et le point D, e^t é^a'.e à cinq hautouri de molécule.
i54 Ti^AITÉ
por.r chaque applicalion d'une nouvelle lame dans h sens latéral.
128, Revenons au cas da la limite (fig. iio), et rlierchons l'expression générale du rapport des arêtes TU, O'P', soit entre elles, soit avec la petite diagonale qui va de A en C (fig. ic6), et à laquelle cesarétes sont parallèles. Soit u le nombre de petites^ diagonales de molécule contenues dans la diagonale dont il s'agit, ^ celui que renferme l'arête 0'P'(fig. 1 1 o), et r celui que renferme Taréte TU. Nous avons vu (p. 149) ^we la formation de cette 'dernière arête avait lieu depuis le terme où la rangée additionnelle eituée sur les lames de superposition dans le sens de DF (fig. 1 13) se réduisait à une simple molécule désignée par k"k"l'^ï'. Soit n le rang de la lame qui répond à ce terme. Le côté h" h" de la rangée additionnelle relative à la première de toutes les lames étant moindre de quatre unités que le côté DF du noyau , quel que soit le nombre d'arêtes de molécule que renferme celui-ci , et la même différence se répétant d'une lame à l'autre, si nous désignons aussi par u le nombre dont nous venons de parler , attendu qu'il est égal à celui des diagonales de molécule comprises dans la diagonale de la base du noyau, la série des rangées additionnelles , en partant de la première lame, formera une progression arithmétique décroissante, dont le premier terme sera u — 4? ^^ dernier sera l'unité, et la diiïérence eii.'re un terme et l'autre
sera 4? ce quijlonue 7Z= — -p — .
DE CRISTALLOGRAPHIE. i55
129. Maintenant il est aisé de voir que le nombre de toutes les lames appliquées sur la base ABGD (fig. 107) peut être représenté par u — i , et si nous faisons abstraction de la dernière lame désignée par jpy^ et qui est censée être ajoutée après la formation complète de l'arête TU (fig. i lo), le nombre dont il s^agit devient u — 2. Or, ce nombre est composé de deux parties, dont l'une renferme les lames dont l'application a précédé la formation de TU, de manière que n désigne aussi le rang de la dernière de ces lames, et l'autre partie renferme les lames dont l'application correspond à la formation de cette même arête TU. Le nombre de celles-ci sera donc
u — 2 — n. ou [u — 2) 7 — = — r — •
Mais ce dernier nombre est en même temps égal à celai des petits côtés Vï\ m in\ n'rî'^ etc. (fig. 1 13), des lames qui s'appliquaient en même temps sur la face latérale GDFG (fig. 1 1 o) ; et parce que l'arête TU est l'assemblage de tous \eè cotés analogues à ceux dont il s'agit , la somme des distances entre le premier A'/c" (tig. 1 13) et le second t't\ entre celui-ci et le troisième m'm'^ sera égale à la moitié de la même arête , et il est facile de voir que chacune de ces distances est égale à une petite diagonale A/ (fig. 107) de molécule (i). Or, le nombre de ces mêmes di-
(1 ; Pour e-.timc-r ces dist-ances il faut remettre par la pensée les côtés lik" y l'Ty etc. , à leurs véritables places qui sont ici reprécîcatéei en projection.
iSS TRAITÉ
stances est égal à celui des côtés l't'^ nim\ nn, etc.,
pris depuis le côté 11%'' exclusivement. Donc -^—
représente aussi le nombre de petites diagonales de molécule comprises dans la moitié de l'arête TU.
Donc r ou Taréte entière sera représentée par .
Maintenant , pour avoir l'expression de l'arête terminale O'P^j ou de ^, remarquons que chaque lame de superposition placée au-dessus de ABCD (ng. 107), en faisant toujours abstraction de la dernière lame/?j^', cijoute à la longueur du cristal , prise dans le sens de O'P' (fîg I ïo), deux diagonales de molécule ^ savoir, une de chaque côté de la diagonale AC (fig. 107). Or, le nombre de toutes les lames, excepté la der~ nière, est w — 2. Donc
^=AC + 2(w — 'l)zi:iU'\~l(u — 2) = 3z^ — 4*
Dans le cas présent on a 2^=9. Donc
3xq — 7 .. ^ o / •>
r;=; "^ — i-zz: 10, et ^=3 X 9 — ^=26.
i3o. On peut obtenir une multitude de rapports difFérens entre les quantités r et t , en faisant varier le nombre des molécules contenues dans le noyau , ou, ce qui revient au même, en faisant varier la quantité 11. Mais il y a ici une observation à faire. iXous avons vu que le terme où se formait l'arête TU avait lieu lorsque la rangée additionnelle située sur les iames de superposition dans le sens de DF (fig. 1 13 )
DE CRISTALLOGRAPHIE. iS;
se réduisait à une simple molécule, et qu'alors la rang n de cette lame avait pour expression —7—? oi'?
cette hypothèse étant la plus simple et la plus naturelle que Ton puisse faire, il en résulte que la quantité -^— doit toujours être un nombre entier, quelle
que soit la valeur de z/; et ainsi le nombre des diagonales de molécule comprises dans la diagonale AC (fig. 106), ou, ce qui est la même chose, le nombre des arêtes de molécule contenues dans chaque côté du noyau sera nécessairement un des termes de la série 5 , 9 , 1 3 , 17, etc.
i3i. Le rapport que nous venons de considérer est celui qui e.\iste entre deux limites physiques dont l'une, qui est située vers le sommet , répond à l'hexagone zyz^'zpS" (fig. 110), qui est le même que celui de la figure 107, et l'autre, qui est située dans la j)artie latérale, répond au rectangle presque infuiiliient étroit f^YtœTC^ qui est tangent à l'arête A" A:" (f g. 1 13), et à toutes les autres qui apparîienneut à la rangée de molécules placée au même endroit. Les limites géométriques correspondantes sont les arêtes OT^ (fig. 1 10) et TU, et il est facile de trouver leur rapport , qui n'est pas tout-à-fait le même que celui des limites physiques.
On voit d'abord que l'arêle OT' (fig. iio) étant comprise entre les mêmes lignes verticales que]a diagonale py de l'hexagone zy'z'zpS'. il n'y a de ee côté
i58 TRAITÉ
aucune différence entre les deux limites, en sorte que l'on peut aussi désigner OT' par tj et faire, comme ci-dessus, t=zju — 4-
Soient O'ÏLP', RTUS' (fig. ii5) les mêmes trapèzes que figure 1 1 o, et fXTrcoy] ( fig. 1 1 5 ) le même rectangle que figure iio. Soit y^ (lig. 1 15) le bord supérieur de la rangée qui suit immédiatement celle à laquelle appartient le rectangle jW7ra)>i ; par les points f/., «tT, menons (jlI et ctK perpendiculaires sur /xtt. D'après ce qui a été dit plus haut, que chaque rangée renferme une molécule de plus que la précédente, y^ surpasse f/>7t d'une quantité égale à une grande diagonale de molécule. Donc yÀ et jm^ sont égales chacune à une demi-diagonale de molécule. Maintenant l'arête 1t étant à la même distance de jultt et de >i<i8) , il en résulte que l^t est égale à la moitié de yf^. Donc, si nous menons TJ^ et le perpendiculaires sur TU , les lignes jUcT , vré sont aussi égales chacune à la moitié de yÀ'y donc /uj" et Ti'e valent chacune un quart de diagonale, d'où il suit que l'arête TU est plus petite que l'arête^^ d'une quantité égale à une demi-diago-
nale.Or, nous avons eu y^ ou r=—^ — . Soit TU = ;-' j cous aurons r'= = — -— . Dans le cas
présent, TU ; O'P' ou
i32. Qierehons le cas où l'on aurait r'= -/. Soit x
DE CRISTALLOGRAPHIE. i59
la quantité qui doit être ajoutée ou retranchée de chacune des expressions précédentes , pour que ce cas ait heu. Nous aurons
-^^— — f-.r : Zu — 4 + ^ •• ^ • ^*
D'où l'on tire a: =4? c'est-à-dire qu'alors le solide se trouverait augmenté de quatre enveloppes situées en dessus des faces PX'S% P'ZS', O'TR.', O^XR^ en sorte que les nombres de diagonales de molécules comprises dans les arêtes TU, O'P', deviendraient
— + 4 et 23 + 4 , ou — et 27 ,
«e qui donne le rapport indiqué.
i33. Si l'on se borne à diviser un cristal de la variété dont il s'agit ici, par des plans parallèles aux bases de la forme primitive, en partant des arêtes TU, XZ , on obtiendra de part et d'autre une suite de lames hexagonales dont la dimension en longueur , comprise entre O'R' et F' S', sera constante et égale a O P ou R'S' , et dont la dimension en largeur , perpendiculaire à la précédente, diminuera d'une lame à Tautre, de manière que s'il nous était donné de pousser la division mécanique jusqu'à sa limite , la derniers lame se réduirait à upe simple rangée de molécules , représentée par/77^ (^g- 107 ). Cette observation peut servir à facihter l'exécution d'un modèle en bois de la même variété. Si l'on suppose que le côté de la forme primitive soit cv;mposé de neuf arêtes de moIé-
iGû TRAITÉ
cules, on taillera d'abord une planchette en forme de base hexagonale, dont la hauteur sera égale à celle d'une molécule, et dont les grandes fac- s auront leurs cotés parallèles à ceux de l'un quelconque des hexagones que représente la figure 107, par exemple, à l'hexagone i'i'lltt^ et ne différeront de celui-ci qu'en ce que chaque côté ^"7, ff , sera égal à dix diagonales de molécule , et chaque côté l!i\ t't^ à treize côtés d^ molécule, ce qui donne vingt-trois diagonales pour la rangée du milieu, ou celle qui est comprise entre i' et /. Les bords analogues à fl^ tt^ devront être écliancrés de manière à représenter la série d'angles rentrans et saillans qu'on voit aux mêmes endroits sur la figure. On taillera ensuite vingt-quatre autres planchettes, égales et semblables deux à deux, dont la longueur comprise eiitre 1!' et / sera la même, et qui diminueront dans le sens de la largeur comprise entre fl et lîj suivant l'ordre indiqué par la figure, c'est-àdire de manière cpe chacune soit dépassée par la précédente d'une quantité égale à une rangée de molécules. On placera ces planchettes les unes en dessus et les autres en dessous delà première, en commençant par la plus large , et ainsi de suite , et l'on terminera cet assortiment c. chaque côté par une dernière rangée de vingt-trois molécules, semblable à celle que lep résente pj'',
137. La construction qui vient d'être indiquée donne la limite théorique des variations que les faces du cristal dont il s'agit ici peuvent subir, relative-
DE CRISTALLOGRAPHIE. ioi
ment à leurs étendues respectives, ou, si on l'aime mieux, relativement aux divers rapports entre les lignes TU, 0'P^(fig. iio). Mais la forme du cristal a une limita géométrique différente de la limite théorique, et qui a lieu lorsque l'arête TU étant nulle, toutes les faces du cristal sont des triangles, ainsi qu'on le voit (fig. ii6). Pour faire la synthèse d'un cristal qui offi'irait cette limite , il faudrait d'abord concevoir des lames de superposition qui s'appliquassent simultanément en dessus des différentes faces du noyau, comme il a été expliqué plus haut, jusqu'au terme où la rangée additionnelle située parallèlement à l'arête DF (fig. ii3) se réduit à une simple molécule désignée par A'T'. Soit èHZ(fig. 1 16) le triangle qui, dans ce moment, est composé de la somme des bords parallèles à la diagonale AC (fig. i lo). Si la superposition des lames continuait, au-delà de €6 terme, en dessus des faces latérales CDFG, ADFN, il se formerait une arête dans le sens de TU, ce qui est contraire à l'hypothèse présente. Donc, pour que le mécanisme de la structure s'accorde avec cette hypothèse, il faudra imaginer que la série des lames de superposition parallèles à la base Ai3CD coalinue seule de fourniràl'accroissementducrislal, jusqu'à l'entière formation des triangles O'HP', O'YF (fig. 1 1(3). 11 est extrêmement rare de rencontrer cette modi îcalion parmi les cristaux de baryte sulÊiUe; presq-ne tous off'rent à la place de fangle solide H une arête TU (fig. I lo) plus ou moins alongée.
i62 TRAITÉ
i35. Nous venons de voir que quand on veut ramener à la méthode synthétique la structure d'un cristal, on est quelquefois obligé de supposer que l'eifet d'un décroissement auxiliaire s'arrête à un certain terme passé lequel le décroissement principal agit solitairement. Dans d'autres cas, où deux décroissemens distincts concourent à la production d'un cristal , il est nécessaire de supposer que l'un d'eux agisse seul jusqu'à un certain terme, passé lequel l'autre commence à intervenir , en sorte qu'ils marchent ensuite tous les deux de concert , jusqu'à ce quils aient atteint leur limite. Je vais citer un ou deux exemples de cette diversité d'époques, relativement à l'origine des décroissemens.
1 36. J'ai prouvé qu'un décroissement solitaire par une rangée sur tous les bords d'un noyau cubique donnait pour résultat le dodécaèdre à plans rhombes (fig. 68) , et qu'un décroissement qui de même agissait seul par une rangée sur tous les angles du même noyau produisait l'octaèdre régulier (fig. 96). Concevons que les effets des deux décroissemens se combinent Fun avec l'autre. Le sohde secondaire aura vingt faces, dont douze, telles que 5, 5, s^ s' (fig. 1 1 7), résulteront du premier décroissement, et les huit autres d^ d\ d"^ etc. , seront produits par le second.
Soit Er (fig. 118) le cube primitif, et soit AEOI (fig. 119) la même face que figure 118, sous-divisée en facettes de molécules, de manière que chaque côté renferme quinze arêtes de ces mêmes molécules.
DE CRISTALLOGRAPHIE. i65
Supposons d'abord que le décroissement sur les angles agisse seul; le contour de la première lame de superposition sera semblable à l'octogone ttuut't'uu'. Concevons au contraire que ce soit le décroissement sur les bords qui agisse solitairement ; le contour de la première lame de superposition sera représenté par le carré xxx'x\ Or, les côtés de l'octogone étant situés extérieurement par rapport au carré xxx'x ^ il est visible que dans Flijpotlièse où les deux décroissemens seraient censés naître en même temps, l'effet du décroissement sur les bords rendrait nul celui du décroissement sur les angles, qui se trouN e pour ainsi dire en arrière par rapport au premier , et le même retard continuant d'a\ oir lieu sur toutes les noui elles lames de superposition que Ton peut imaginer à la suite delà précédente, jamais les deux décroi-semens ne pourraient s'associer et njarclier de concert vers le but proposé. La cristallisation ne produirait ^l'un dodécaèdre rbomboVdal, sans mélange de facettes relatives à un octaèdre,
i3 7. Concevons maintenant que les lames de superposition ne subissent d'abord que le décroissement sur les angles, et (jue cet effet ail lieu, par e\(m;^le, «eulement .«-u-les deux premières. Le contour de celle qui s'applique immévliatement sur le noyau étant toujours semblable à l'octogone tf/iut'l'u'u\rv\m de la suisante sera représenté par i'()Cio^.)!ie (iabb:i ttb'V , Supposons qu'à ce terme le décroi- einent sur les bords coiimieace à agir conjointemeat a\ec Tautre, Les
iS4 TRAITÉ
lignes de départ ne seront plus les bords AE, Al, etc. ^ du noyau , mais les nouveaux bords «a, bb, cîa! ^ b'b\ qui appartiennent aux rangées additionnelles de la seconde lame de superposition. Le contour de la troisième sera donc semblable à l'octogone ccddc' c d! d! '^ celui de la quatrième sera semblable à l'octogone eefféff j celui de la cinquième à l'octogone . . . gghhg g h' h' y etc. 11 y aura un nouveau terme où l'octogone passera à la figure d'un carré oooo\ et audelà de ce terme le décroissement sur les bords agira seul à son tour, et terminera le cristal à l'aide d'une série de lames carrées ppjjp^^ rrrr\ etc., dont la dernière se réduira à un simple cube désigné par sss's\
11 y a ici deux observations à faire. D'une part, les bords tu^zy^ cd^ ef^ etc., tournés vers les angles du noyau vont d'abord en augmentant , pendant que le décroissement qui a lieu sur les mêmes angles agit seul, et diminuent ensuite, tandis que les deux décroissemens agissent simultanément , en sorte que le dernier 7nn se réduit à une diagonale de molécule. D'une autre part, les bords ce, ee^ gg^ hk^ etc., qui regardent ceux du noyau, ont des longueurs constantes jusqu'au terme où les premiers s'évanouissent, et ils décroissent ensuite à leur tour, de manière que le dernier 55 se réduit à une arête de molécule. Consisterons l'influence de ces diverses modifications sur les figures des faces du cristal.
i38. Lorsque le décroissement sur les angles agit seul ; tovit se passe coqime dans la formation de l'oc-
taèdre régulier originaire du cube, que j'ai exposée plus haut, en sorte que si le décroissement s'arrêtait au terme où l'autre est sur le point de s'associer avec lui, la forme secondaire serait un cube P (fig. 120), dont chaque angle solide se trouverait remplacé par un petit triangle équilatéral cT, qui serait la somme des bords croissans ut\ b'a (fig. 119), sur les lames de superposition disposées autour d'un même angle solide du noyau. Tandis qu'ensuite les deux décroissemens se combinent l'un avec l'autre, il se produit autour du triangle cT (fig. 120) trois nouv eaux triangles a€v, ^éTT, cvTT (fig. 121), qui lui sont égaux et semblables. Si nous prenons pour exemple le premier qui est désigné par aev , il est facile de voir qu'il est la somme des bords décroissrns cïc^f'e\ h'g\ etc. Ces nouveaux triangles, joints au premier, composent un triangle unique c? (fig. 117)5 qui est tourné en sens contraire du triangle cT (fig. 120).
A l'égard du décroissement sur les bords, dont l'origine est sur une ligne a a ( fig. 117), située au miheu des côtés oo\ 00^' ^ des triangles ri, d'^ son effet, pendant qu'il agit conjointement avec l'autre, est de produire, de part et d'autre de la ligne aa'y un rectangle , tel que a'a'0'0' ^ qui est la somme des bords constans a' a (fig. 1 19), cV, eV, etc., et tandis qu'ensuite il agit seid à son tour , il produit au-delà de chaque rectangle un triangle isocèle, tel que o'Ko' (fig. 117), qui est l'assemblage des bords décroiss?ius p'p (fig. 1 19), rr'y etc., en sorte que la totalité
iBG TRAITÉ
des deux rccfar.glcs et des deux triangles isocèles ^
produit un hexagone PiPt' (fig. 117)'
iSg. On peut faire varier à volonté les élendues respecûv es des triangles cl et des hexagones 5 , en prenant l'origine du décroissement sur les hords dans un poiii! plus ou moins éloigné du point 0(iig. 1 19), ou, ce qui re\ient au niènie, en supposant que le nombre des lames de superposition qui répond à Faction solitaire du décroissement sur les angles soit plus ou moins considérable. On aura ainsi une multitude de rapports différens entre les deux espèces de figures, en sorte que tantôt les triangles étant très petits , et la largeur a' a' (fig. 117) des hexagones étant très grande, le cristal s'offrira sous l'aspect d'un dodécaèdre à plans rhombes dont les lunt angles solides composés de trois plans seront remplacés par des facettes triangulaires, et tanlot le rapport in\ erse ayant lieu, le crisial aura l'aspect d'un octaèdre dont tous les bords seraient tronqués plus ou moins légèrement. On observe dans l'espèce du fer sulfuré une variété que j'a[)pelle biforme , et dont les cristaux présentent des exemples de ces deux modifications.
i/\o. Soit c le nombre d'arêtes de molécule comprises dans le côté OI (fig. 1 19) du noyau , ou le nombre de diagonales de molécule comprises dans la diagonale AO; désignons par H le nondore total des lames de superposition, ou la somme des hauteurs de ces mêmes lames, par h celle des hauteurs relatives à l'époque pendant laquelle le décroissement
sur les angles agissait seul, par K celle qui répond à l'action simultanée des deux décroissemens , et par U celle qui se rapporte à l'action solitaire du décroissement sur les bords.
Si nous considérons les différences en largeur entre chaque lame et la suivante dans le sens de la diagonale AO, il est aisé de voir que chacune d'elles étant mesurée vers chaque angle O ou A, par une demi-diagonale de molécule, le nombre de toutes les lames de superposition, ou celui qui représente la somme H de leurs hauteurs, sera égal à autant de demi diagonales de molécule qu'il y en a depuis O jusqu'en s\ c'est-à-dire que l'on aura H = c — i .
\t\\. Ptemarquons maintenant que la ligne oA (fig. 121) mesure autant de fois la distance entre le bord qui répond à idi! (fig. 119) sur la première des lames de superposition, et celui qui répond diy z sur la seconde, que la quantité h renferme d'unités, et que la ligne «A mesure autant de fois la même distance que la quantité lï! renferme d'unités. Donc, puisque le point o (fig. 12 t) est au centre du triangle cT, on aura
oX\ aX \\ I ' 3 : : /z ! II.
Donc h'\-h'=:\h ] ajoutant le nombre K' de hauteurs relatif à l'action solitaire du décroissement sur les bords , on aura H = .\Ji -h 7î' , ou /^h ■■{'/i' = c — i . La structure n'offrant aucune limite directe, relativement au rapport entre les étendues des faces cl, 5, on peut adopter, si on le veut, celle qui dérive de l'hypothèse que le nombre des lames de superposi-
i£S TRAITÉ
lion relatif à l'action solitaire du décroissement sur les angles soit le même que celui qui répond à l'action solitaire du décroissenient sur les bords. Dans cette hypothèse on a h"=^7i^ et ^h=zc — i, ou
Le nomLre i5, qui représente c dans la figure i ig^ ne convient pas ici, parce que ce nombre, diminué d'une unité, n'est pas diNisible par 5. Si on suppose de plus que le nombre qui remplirait cette condition soit un nombre impair, on trouvera qu'il doit être un des termes de la série 11, 21, 31,41, etc.
142. Il est facile de construire géométriquement un solide dans lecpiel les dimensions des faces d^ s (fig. 1 1 7) soient assorties au rapport que nous venons de preiidre j)Our limite; sur quoi il faut observer que îe somme! géométrique R ne coïncide pas exactement avec le sommet physique , qui est représenté par la petite surface sss's^ (Fig. 119). Il en résulte qu'à la rigueur on a Ji' =:h+ \ . Mais comme h et h^' sont censées être presque infinies, la différence peut être négligée , en sorte que la construction dans laquelle on suppose h-=.]i\ en prenant l'origine de Ji^ au sommet R, ne diffère pas sensiblement de celle qui aurait lieu, si cette même origine était prise au centre du petit carré 556'^' (fig. 1 19).
Cela posé , observons que otT ( fig. 121) = 10X ^ donc puisque oX mesure autant de fuis la distance entre deux bords situés vers Tangle O (fig. 119) sur
deux lames consécutives de superposition, que h renferme d'unités , Xtt (fig. 121) mesurera autant de fois la même distance que 3/^ renferme d'unités ; donc «tT la mesurera autant de fois qu'il y a d'unités dans Ç>h. Maintenant, si nous prenons la distance entre les bords de deux lames consécutives de superposition situées parallèlement au côté 01 (fig. 1 19), il est facile de voir que la ligne do* ( ûg. 117), qui est la même que ac (fig. 121), et qui est parallèle à PJl' (fig. 117) mesure pareillement autant de fois cette dernière distance qu'il j a d'unités dans la quantité ô^. Mais RT la mesure autant de fois qu'il y a d'unités dans }i\ Donc 06' \Y\V \\Qth\li' W'àw^ à cause de ^''=:A.Donc oV/ = 3R.r. Mais Gr=o'a'. Donc
dcJ : RG :: 3 : 4. Donc oV=:| RR^
ce qui suffit pour construire le solide proposé , conformément à la limite que nous avons adoptée.
143-. La distinction des époques auxquelles répondent les actions initiales des divers décroissemens qui se combinent pour produire une même forme secondaire, a encore lieu toutes les fois que ces décroissemens ont leurs lignes de départ situées parallèlement Tune à l'autre.
Prenonspour exemple le cristal représenté (fig. 1 2 2), qui appartient à la variété de chaux fluatée que j'appelle cuho-trièmarginée , parce qu'elle ofîVe l'aspect d'un cube dont chaque bord est remplacé par trois Êicettes. Ces facettes rapportées au véritable noyau j
lyo TRAITÉ
qui est l'oclaèclre régulier , résultent de deux décroissemens, l'un simple, pour celles qui sont désignées par 5, l'autre intermédiaire, pour celles qui le sont par X. Mais si nous substituons à l'octaèdre le cube comme noyau hypothétique, la théorie prouve que les facettes s sont le résultat d'un décroissement par une rangée sur les bords de ce cube, et que les facettes X dépendent d'un décroissement par trois rangées qui a lieu dans le même sens que le premier , mais qui évidemment commence à l'endroit où celui-ci se termine. Par une suite nécessaire, ses lignes de départ sont d'autant plus éloignées des bords du véritable noyau, que le premier décroissement est censé avoir duré plus long-temps, ou que les facettes qu'il a produites ont plus de largeur. Mais elles ne sont pas censées être distinguées de ces bords dans les ré^ sultats de la théorie, parce qu'elles sont situées sur la lame de superposition qu'elles terminent, comme le sont les bords dont il s'agit sur la face du noyau à laquelle cette lame est parallèle.
i44- 1^1^ général, lorsque plusieurs lois de décrois- *;ement concourent à la production d'une même forme rristalline, les facettes les plus voisines du centre sont celles qui ont des points de contact avec le véritable noyau, parce que ce sont les dernières qui disparaissent lorsqu'on divise mécaniquement le cristal pour arriver à ce noyau. Si parmi les autres facettes on choisit celles qui sont dues à une même loi de dé- Cî'oissement , et qu'on les prolonge par la pensée
DE CRISTALLOGRAPHIE. îri
jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, elles seront dans le même cas que si le clécroissement dont elles dépendent avait agi immédiatement sur les bords ou sur les angles d'un noyau plus volumineux que le \ éri~ table, et dans lequel celui-ci serait inscrit. Par exemple, les facettes 5 , 5 (fig. 122 ) , étant celles qui sont contiguës aux bords du véritable noyau, imaginons que les facettes x^x. s'étendent jusqu'à s'entrecouper en masquant les facettes s , 5. Leurs lignes de rencontre poun'ont être considérées comme les bords d'un cube qui aui'a de plus grandes dimensions que celui qui fait la fonction de noyau relativement aux facettes 5, 5, en sorte que, dans l'état actuel des cboses, les facettes x, ar, sont censées être la continuation de celles qui auraient pris naissance sur les nouveaux bords dont on vient de parler. Dans le langage ordinaire on substitue ces mêmes bords à ceux du véritable noyau, substitution d'autant plus admissible que le solide auquel ils appartiennent est censé n'être autre cliose que ce noyau lui-même , qui se serait accru jusqu'à un certain terme sans subir aucune modification.
A l'égard des angles que font les facettes x et s , soit avec les faces i du noyau, soit entre elles , il est si facile de les déterminer d'après les lois "de décroissement par une et par trois rangées qui les produisent, que je me contenterai de les indiquer ici. Incidence de s sur i i35^5 ^^ -'^ sur x 126^ 56' 8"; de .r sur s
1/2 THAITÉ
Des Décroissemens auxiliaires.
143. Dans les applications de la méthode analytitpie aux résultats des décroissemens d'où dépendent les variations des formes cristallines, on ne prend strictement que les données nécessaires pour résoudre chaque prohlème ; et comme le but qu'on se propose est de déterminer la position du plan auquel tel décroissement donne naissance , on y parvient à l'aide d'un construction très simple , dont j'ai donné l'idée en parlant des triangles mensurateurs. C'est dans le petit espace occupé par ces sortes de triangles que la théorie puise les élémens des formules dont elle' se sert pour représenter la marciie progressive de la structure et les propriétés qui en dérivent.
Mais ce qui suffit relativement au but que se propose le géomètre laisse quelque chose à désirer pour celui dont l'esprit cherche à se satisfaire en éclairant la route qui conduit à ce but. J'ai déjà cité, à l'occasion du rliomboïde équiaxe de la chaux carbonatée et de quelques autres formes , des exemples de la méthode synthétique , qui parcourt pour ainsi dire pas à pas l'intervalle que la méthode analytique franchit rapidement, en suivant une marche analogue a celle de l'artiste qiîi, pour représenter l'ordre de la struclure d'un cristal, applique successivement sur les différentes faces d'un noyau semblable à celui de ce cristal, des lames auxcpielles il fait subir toutes les variations qui concourent à l'imitation de la forme
proposée. Je vais reprendi^e ici le même sujet, dont le développement tient à la considération des décroissemens que j'ai appelés auxiliai/^es j parce qu'ils se^ condent l'eÔet du décroissement principal, auquel tout le reste se rapporte.
146. Lorsqu'un même bord ou un même angle solide sert de terme de départ à divers décroissemejis qui agissent sur les deux faces que réunit l'arête dont il s'agit 5 ou sur les trois faces qui interviennent dans la formation de l'angle solide, et cela de manière que les nouvelles faces qui en résultent soient inclinées entre elles , chaque décroissement est considéré comme un elfet distinct qui se rapporte à une série de lames de superposition empilées sur la face primi. tive vers laquelle est tournée celle qui est produite pr ce décroissement. Mais supposons que les nombres de rangées soustraites des deux côtés d'une même arête, ou autour d'un même angle solide, soient dans un tel rapport que les faces secondaires dont ils déterminent les positions se trouvent de niveau deux à deux dans le premier cas, ou trois à trois dans le second , de manière à n'en former plus qu'une; alors on pourra considérer celle-ci comme le résultat d'un seul décroissement dont l'effet se prolonge en sens contraire de celui suivant lequel agit ce décroissement. Or, le prolongement dépend à son tour soit d'un décroissement que subissent les lames appliquées de Tautre côté de la même arête, soit de deux décroissemens qui ont lieu sur ki autres
parties du même angle solide. Ces décroissemens qui font naître le prolongement dont j'ai parlé sont dits être auxiliaires à l'égard de celui auquel on rapporte la production de la face que l'on se propose de déterminer, d'où il suit que, réciproquement, on peut considérer ce dernier comme étant auxiliaire à l'égard des autres , en sorte qu'on est libre de choisir entre les deux ou les trois décroissemens celui qui est censé produire reffet principal. INous verrons bientôt quelles sont les raisons de préférence qui peuvent décider du choix.
i47- Si l'un des deux ou des trois décroissemens a lieu par une rangée , la même loi se répétera à l'égard du second ou des deux autres , ainsi que je l'ai fait voir plus haut. Le choix entre les deux ou les trois décroissemens devient donc alors indifférent, et ainsi il ne s agira dans ce qui va suivre que des cas où tous les décroissemens se font par plus d'une rangée , soit en largeur soit en hauteur.
Les effets de ceux qui ont lieu sur les bords sont faciles à concevoir , et ne nous arrêteront qu'un instant.
148. Reprenons le dodécaèdre à plans pentagones (fig. 75, pL 5) originaire du cube, et dont j'ai développé plus haut la structure. On peut conces oir que ce solide soit produit uniquement en vertu d'un décroissement par deux rangées en largeur sur deux bords opposés de chaque face du noyau , en considérant le dccroissement par deux rangées en hauteur qui agit
de l'autre côté des mêmes bords comme auxiliaire à regard du premier. Ou pourrait aussi supposer que ce fut le cas inverse qui eût lieu; mais la première, supposition parait être la plus naturelle, et celle qui est suggérée de préférence par l'aspect du dodécaèdre.
Si le décroissement en largeur avait lieu par trois , quatre, cinq rangées , ou davantage, son auxiliaire agii^ait par le même nombre de rangées en hauteur. En général , quand deux décroissemens agissent des deux côtés d'un même bord, de manière que les deux faces qui en résultent sont sur un même plan , celui auquel on rapporte l'effet principal a toujours pour auxiliaire son inverse. On peut en dire autant des décroissemens mixtes. Par exemple , si le premier décroissement a lieu par trois rangées en largeur et par deux rangées en hauteur, son auxihaire agira par deux rangées en largeur et par trois en hauteur.
149. Les décroissemens sur les angles sont principalement ceux qui méritent de fixer l'attention, et exigent un certain développement. Soit AA' (fig. i23) mi parallélépipède quelconque qui subisse un décroissement par deux rangées sur l'angle O de la base AEOI. Le nouveau bord que le décroissement feia naître sur la première lame de superposition stra dirigé suivant 5c, et si par le point n on élève nz parallèle et égale à O^, qui représente une arête longitudinale de molécule, elle mesurera la dinietision du décroissoment dans le sens de la hauteur; d'où il suit
ijS TRAITÉ
que la face produite passera par or, en même temps qu'elle sera parallèle à bc. Donc le plan bcg^ qui s'abaisse autant au-dessous de la base que la face produite s'élève en dessus, à cause de l'égalité et du parallélisme des lignes jiz^ Og^ sera situé parallèlement à la face dont il s'agit.
i5o. Maintenant, sj l'on considère le décroissement auxiliaire qui est censé agir sur la face EOA'H, pour prolonger V ers la gauche l'effet du décroissement principal, on concevra aisément que la première lame de superposition appliquée sur cette face ayant son bord aligné comme bg^ le décroissement auxiliaire est intermédiaire par des soustractions de molécules doubles. Or, comme la ligne qui fait à l'égard de ce décroissement la même fonction que nz, par rapport à celui qui agit sur la base, doit être égale et parallèle à Oc, qui mesure deux arêtes latérales de molécules, il semble que l'on doi\ e en conclure que le décroissement a lieu par deux rangées en hauteur de molécules doubles. La même conséquence paraît se déduire de la position de la ligne gc , et de la dimension obj relativement au décroissement qui intervient comme auxiliaire dans les lames de superposition appliquées sur la face OA'KI. Cependant nous allons voir que cette construction ne donne que l'équivalent du véritable décroissement, et qu'il est nécessaire de sujiposer à ce dernier une marc] e 'iiflérente, pour que son effet flissc cout,iuuité avec celui du décroissement principal.
DE CKTSTALLOGRAPHÎE. 177
tnî.Soit G AH (Hg. 124) la Tîioitié inférieure d'ane face d'un rhomboïde obtus, couj3ée dans le sens de la diagonale horizontale; et soient AHH'A', AGG'A'^ des portions des deux faces adjacentes; je choisis ici la forme rhoniboïdale , parce qu'elle nous fournira plus bas une application des principes cpii vont être exposés, Conce\ ons que la face dont il s'agit subisse lui décroissement par deux rangées sur l'angle A, dont reflet se borne aux lames de superposition qui s'clè^ent au-dessus d'elle. Les trois rhombes P, o^o\ resteront à \ide, puisrpie le décroissement agit par deux rangées. Les angles solides extérieurs >, J^, f , des trois molécules qui ont pour faces supérieures les rhombes a ^b^c, composeront Je bord que le décroissement feia nailre sui la première lame de superposilion. Les deux rangées de rhombes a, 6, c, et a', h\c\ c\ resleront a \ide sur la .surface supérieure de cetle ménie lame, par l'etièt du djcroissemeiu, et le nou\ eau bord de la seconde lame se.a composé des angles solides extérieiirs des molécules (pii ont pour faces supérieures les rhojubes d^ e^f^ g, h. 11 est facile de co!itinuer cet assorti. nent par la pensée. Dans le même cas, les rhombes E, K, L, S, E', tx', L', S', feront continuité a\ec les favjes AHfl'A', AGG'a', du rhomboïde générateur adjacentes à AG , AH, et que nous avons suppose eue libres de tout décroissement.
132. Concevons maintenant que ces dernières su- Lissent des decroissemens auxiliaires qui prolongent I. ij
l'effet du clécroissement principal. L'assortiment deviendra semblable à celui que représente la fig. i25. Bornons-nous à déterminer l'effet du décroissement auxiliaire qui agit parallèlement à la face AHH'A' (fig. 124). La première lame de superposition sera terminée par les molécules qui ont pour faces supérieures les rbombes Tr^v^i^h^m^n^p^ etc. (fig. i25), et la suivante par les molécules dont les faces supérieures sont les rbombes >i, f, 3", £, 7', s^u^ x^ z.On voit par là que le décroissement a lieu sur l'angle HAAV(f]g. 124), par des soustractions de molécules doubles, dont l'une est l'assemblage des deux rbomboïdes indiqués par "^T, v (fig. i25), une seconde celui des deux rbomboïdes 3", g, et ainsi de suite. On voit de plus que cbaque lame n'a que l'épaisseur d'une molécule. Reste à trouver la quantité dont cbaque lame, par exemple la première, dépasse la suivante. Or, il est aisé de voir que le bord extérieur de la première est aligné suivant la direction cr% , et le bord intérieur de la seconde suivant la direction Un}/. La figure 126 représente ces deux bords qui sont sur un même plan ; les rbombes tracés en lignes ponctuées sont les faces extérieures des molécules de la première, et les rbombes tracés en lignes pleines sont les faces extérieures des molécules de la seconde.
La distance entre les bgnes 0*% , v^^ représentera donc la quantité dont la première lame dépasse la seconde. Or, si l'on mène a' y perpendiculaire sur (xr, elle sera égale à la distance qui aurait lieu entre les
deux bords , dans le cas où le décroissement se ferait par une rangée de molécules doubles, puisque le triangle o"(7't étant la moitié d'une facette de ces molécules , la ligne ar est la diagonale de cette facette. Mais il est facile de voir que dans le cas représenté par la figure , la ligne yX qui mesure la distance entre les deux lames que nous considérons est la moitié de (T^y. C'est une suite de ce que la ligne vco coupe en deux également le côté (tV. Il résulte de là que le décroissement a lieu par une demi-rangée de molécules doubles, en sorte qu'il est l'équivalent d'un décroissement par deux rangées en hauteur des mêmes molécules, ainsi que l'indique la construction que l'on voit (fig. 123).
i53. Si le décroissement principal avait lieu par trois rangées, le décroissement auxiliaire se ferait par un tiers de rangée de molécules triples, c'est-à-dire qu'il équivaudrait à un décroissement par trois rangées en hauteur des mêmes molécules. Dans l'hypothèse d'un décroissement principal par quatre rangées, la molécule soustractive serait quadruple de la véritable, et la distance entre deux lames consécutives serait le quart de celle qui répond à une rangée (i).
(1) En général , n étant le nombre de rangées soustraites en vertu du décroissement principal , le rapport entre les deux dimensions de la molécule sera celui de n à l'unité, et
la diotance entre deux lames consécutives sera - de celle qui
aurait lieu dans l'hypothèse d'une rangée soustraite.
i8o TRAITÉ
On pourrait absolument prendre le décroîssement auxiliaire pour le principal, en le considérant comme ayant lieu par deux rangées en liauteiu* de molécules doubles. Dans cette bypotbèse , le décroissement qui répond à l'angle A, et qui à son tour deviendrait auxiliaire , continuerait d'être un décroissement ordinaire, et se ferait par quatre rangées, de manière que l'épaisseur de chaque lame serait double de celle d'une molécule. Mais on sent que cette manière de concevoir le mécanisme de la structure ne serait nullement naturelle , en ce que d'une part elle le ferait dépendre du décroissement le plus composé , et en ce que d'une autre part elle enlèverait au décroissement qui ferait la fonction d'auxiliaire , la simplicité qi/il conserve, lorsqu'il fait celle de décroissement principal.
i54. Quelquefois les trois décroissemens qui agissent autour d'un même angle solide sont tous intermédiaires; on choisit celui que l'on regarde comme décroissement principal, d'après les considérations qui paraissent lui assigner la préférence. Je vais en citer un exemple.
Soit ay (f]g. 126) , un rhomboïde dans lequel le» deux angles latéraux azg , azh , subissent chacun un décroissement par mie rangée de molécules doubles. 11 est facile de voir, d'après ce qui a été dit plu» haut, que les deux faces produites de part et d'autre du point z seront parallèles aux triangles ost^ out\ C'est une suite d^ ce que les lignes sZy zo^ mesurent
DE CRISTALLOGRAPHIE. i8i
la première deux arêtes de molécule , la seconde une seule arête, et de ce que la ligne tu qui représente TefFet du décroissement dans le sens de la hauteur est aussi ésale à une seule arête. La même chose a lieu par rapport aux lignes uz^ zo^ zr.
Or, les faces qui naissent des décroissemens que nous venons de considérer se prolongent en dessous des arêtes gz^hz^ par l'intermède d'un autre décroissement intermédiaire qui agit des deux côtés de l'angle z , suivant des directions croisées st^ ur ^ et il est visible que ce décroissement se fait aussi par des soustractions de molécides doubles des véritables. Si ce dernier décroissement était pris pour le principal ,. on devrait le considérer connne ayant lieu par une rangée , puisque zo , qui en représente l'efifet dans le sens de la hauteur , est égale à une arête de molécule. Dans cette hypothèse, on raisonnerait des décroissemens suivant uo^so^ qui deviendraient auxiliaires , comme nous avons fait des décroissemens sur les angles H A A', G A A' (fig. 124), à l'égard de celiri qui agit sur l'angle A de la face GAH, c'est-à-dire qu'il faudrait supposer aux décroissemens suivant uo^ soy une mesure particulière dans le sens de la largeur^ soumise à la condition que les prolongemens du décroissement principal doivent s'assimiler à l'effet de ce dernier. Mais telle serait cette mesure que je ne m'arrêterai point ici à déterminer, que la construction de la figure 124 offiirait de même l'équivalent des dé-
i82 TRAITÉ
croissemens auxiliaires. Si, au contraire, on regardait comme décroisscment principal celui qui agit suivant l'une des directions ou^os^ par une rangée de molécules doubles , la mesure du décroissément auxiliaire suivant les directions st^ ur^ se trouverait modifiée convenablement, pour que la condition à laquelle doivent être soumis les prolongemens fut remplie.
Or, il est à remarquer que les faces produites en vertu du décroisscment qui agit sur l'angle ^::A, se rejettent en sens contraire de la ï^cegzhy^ sur laquelle naît ce décroisscment , tandis que les faces qui résultent du décroisscment sur les angles latéraux aoh , aogj s'étendent directement en dessus des faces auxquelles appartiennent ces angles , et cette considération doit faire donner la préférence à ces derniers décroissemens , comme étant ceux dont le dodécaèdre porte le plus visiblement l'empreinte.
i55. Je rappellerai ici que la tliéorie n'est autre chose que l'art de représenter d'une manière qui s'accorde avec l'observation l'arrangement des molécules d'où dépendent les formes secondaires ; et lorsque nous sommes libres de choisir , comme ici , entre divers modes d'arrangement dont chacun peut également fournir les données du problème à résoudre , ce que nous avons de mieux à faire est de conformer notre choix aux conceptions dont notre esprit s'accommode le mieux.
J'ai promis de donner une application des prin-
DE CRISTALLOGRAPHIE. i83
cipes qui viennent crètre développés. Je prendrai comme exemple la variété de chaux carbonatée que j'appelle -prismatique , dont les bases naissent d'un décroissement par une rangée sur les angles supérieurs du rlioniboïde primitif, et les pans d'un décroissement par deux rangées sur les angles inférieurs; et je décrirai l'ordre de la structure , à l'aide d'une méthode synthétique analogue à celle que j'ai déjà employée par rapport à d'autres formes secondaires.
i56. On voit (fîg. 127) le prisme hexaèdre régii- • lier de cette variété circonscrit à son noyau rhomboïdal, et dont l'axe est égal à celui de ce noyau. Cette condition est nécessaire pour ramener l'ordre de la structure du prisme à sa hmite. Chaque côté du noyau est censé être composé de dix-huit arêtes de molécules intégrantes. La figure 128 représente la face UXYZ (fig. 127) du noyau, recouverte par la série des lames de superposition qui composent la partie correspondante du prisme. Pour bien concevoir les effets des variations que subissent ces lames, il faut imaginer que les plans ABCDEFGH, A'B'C'D^ET'G'H' qui représentent leurs faces supérieures, se relèvent les uns au-dessus des autres d'une quantité égale à une épaisseur de molécule. Nous désignerons les lames dont il s'agit par les mêmes lettres.
157. Les hgnes EF, E'F', jNPf, M^iN', représentent les directions des nouveaux bords que le décroissement qui donne les bases fait naître sur les lames de
•84 TRATTÊ
superposition , d'oii il sait ({ue ces bords se dqTassent mutuel e.' rient d'une quantité éi>ale à une demi-diagonale de inolt'cide. Les lignes AB, A'W, IK, l'iv', etc., • s^int les di-eetions des nouveaux bords que le décroisse.nent (jui prodr.it les pans fait naître sur les mêmes Lin.es. et dont les distances respecti\e& dans le sens de la largeur son! mesurées par une diagonale entière de niolécule. Ces deux djcroissetneus s iilisent pour dé ei miner le prisme. Les variations que nous allons considérer sont simpleaient auxiliaires, et l'on pourrait en faire abstraction, en leur substituant les proîongemens des faces produites par les deux décrois- « semens directs.
i58. Dans la première lame de superposition ABCDEFGFI,les deux rangées indiquées par BC, AH, et adjacentes aux bords YZ, YX, du noyau, sont destinées à le faire croître vers les, parties de ces mêmes bords sur lesquelles le décroisse nient n\igii: pas. Il en est de même des deux rangées indiquées par DE, GF, et adjacentes aux bords ZU, XL. Les décroissemens qui ont lieu suivant les direclions CD, HG, font la fonction d'auxiliaires à l'égard de ceux qui agissent directement sur les angles YZK, YXH (fig. 127) du noyau, pour en prolonger les elfets dans les intervalles compris entre Z et /<:/ d'une part, et entre X et l/n de l'autre. On voit à la simple inspection des petits espaces C;/â, €^D, que le décroissement suivant CD laisse avide, (pi'il se fiiit par des soustractions de molécules doubles. De plus, la di-
DE CRISTALLOGRAPHIE. i85
stance enlre le bord CD et le point de départ Z , indique qu'il a lieu par une demi -rangée des nièiiies rii. lécules. C'est une suite de ce que cette distance n'est que In moitié de celle qui est entre le point ^ et le bord CD. On doit en uire autant du décroisseiiieat dirigé suivant HG.
Les mêmes considérations s'appliquent à la seconde lame A'ô'CD'ETCr'lV , à l'égard de laquelle il nous sufïïra de remarquer que ses nouveaux bords CD', H'G', qui sont l'eliet du décroissement auxiliaire , sont dépassés par CD, HG, qui leur correspondent sur la première lame, d'une quantité égale à une demi-rangée de molécules doubles, conformément à ce qui a été dit relativement au résultat que représentent les figures t 24 et 120.
Les rangées additionnelles analogues à celles qui sont indiquées par BC,B'C', AH, A'H', disparaissent sur la troisième lame IKLM^SOl et sur les suivantes, mais l'addition des rangée^ parallèles aux bords ZU , XU , du noyau , et indiquées par LM , ]S0, L'-\r, ÎS'O', etc., continue jusqu'à la sixième lame P'i\'S'\ ', exclusivement , en sorte que les figures de cette lame et de celles qui suivent sont des trapèzes, et la onzième lame imlk^ qui est la dernière, se rédait à une simple rangée dont les molécules extrêmes sont indiquées par 3*, où.
139. 11 se présente ici une considération qui ne doil pas être omise. Le^ points R, I, K',r, R , P, etc., situés aux angles inférieurs des lames de superposi-
i8S TRAITÉ
lion, en les supposant réellement existans, seraient sur les directions des bords longitudinaux ff\ W ( flg. 127), en sorte que ces bords seraient composés d'une suite d'angles solides dont les sommets se confondraient avec les points dont il s'agit. Mais ces points sont nids sur le résultat de la cristallisation. Par exemple , le point K (fig. 1 28) disparaît par une suite du vide qui existe à l'endroit du triangle S'¥^a' , en sorte que la partie saillante située sur le coté de ce cristal est une arête ^^(7 composée de trois arêtes de molécule. La même chose a lieu par rapport aux autres points K', R, IV, è, etc.
Or^ les arêtes ^cr^ ^r, et les autres qui leur correspondent sur les lames suivantes, étant parallèles au côté YZ, et les distances qui les séparent étant mesurées par un côté Ro" de molécule , nous en conclurons que la suite de ces arêtes compose mie facette presque infiniment étroite produite en vertu d'un décroissement par une rangée sur le bord YZ ( fig. 127).
160. Il suit de là que les six pans dus au décroissement par deux rangées sur l'angle inférieur sont séparés par six autres pans qui dérivent d'un décroissement par une rangée sur les bords inférieurs , mais qui, à cause de leur largeur presque infiniment petite, échappent à nos yeux. Il semble cependant que l'action qui donne naissance à ces derniers pans détermine dans les molécules une tendance à de nouvelles soustractions, qui prolongent de part et d'autre l'effet du décroissement que nécessite l'ordre de la struc-
tare. Car en observant à l'aide de la loupe, ou même à la vue simple, les parties situées à la jonction des pans ///7', dff'ct^ etc. , on y distingue souvent six autres pans extrêmement étroits, en sorte que le prisme est réellement dodécaèdre. Mais on néglige ces ébauches dans la distribution méthodique des variétés , et l'on ne donne le nom de péridodécaèdre qu'à celle qui offre les mêmes pans avec des dimensions très sensibles.
Les lames de superposition qui se recouvrent Tune l'autre en partant de la face UXYZ du noyau (Og. 1 28), sont successivement de trois figures différentes, savoir, celle de l'octogone , comme ABGDEFGH, celle de l'hexagone , comme 1KLM^"0, et celle d^w trapèze, comme P'R^S^V. Cette gradation est l'inverse de celle que présente la division mécanique, en partant des sections qui se font parallèlement à l'arête //"(^g. i^7)> et aux autres cpii sont tournées vers les faces du nojou. On aura une idée de cette dernière en reprenant ce que nous avons dit du résultat d'une opération semblable faite sur le prisme hexaèdre qu'où voit figure 33, pi. 3. Nous avons eu d'abord la figure du trapèze loos (fig. 34), ensuite est venue celle du pentagone AEooI (fig. 55 ), parce que nous supposions au prisme tuie hauteur plus grande que celle qui a lieu dans le cas de la limite représentée (fig. 127). Mais si l'on ramène l'opération à cette limite, le pentagone se change en hexagone, par le retranchement de son angle supérieur A (tig. 35}.
Cette dernière figure subsiste dans les diverses lames jusqu'à vi terme indiqué (fig. 36), où il faut encore supposer que l'angle A soit remplacé par un côté. Au-delà de ce terme , les hexagones se quittent par les angles inférieurs o, o, et leur séparation détermine la formation de deux nouveaux côtés à la place de ces aijgles, ce qui convertit l'hexagone en octogone.
Des noyaux hypothétiques,
i6i. L'exposé que j'ai fait, dans les articles précédens, des diverses manières d'agir des lois de décroissemens auxquelles est soumise la structure des cristaux, suffirait déjà pour faire juger du grand nomJ^re de variétés auxquelles un même noyau est susceptible de donner naissance, et ce que j'ajouterai dans la suite sur les combinaisons de ces lois dans la production d'un même cristal , fera encore mieux concevoir combien serait vaste le tableau qui présenterait la série de toutes ces variétés , même en se bornant à j placer les résultats les plus ordinaires des lois de décroissemens. Mais la théorie va beaucoup plus loin^ et le développement de ses principes conduit à une autre conséquence non moins remarquable , savoir , que cette fécondité qui semblerait devoir être réservée exclusiv ement à la forme primitive donnée par la division mécanique, se communique à toutes les variétés du même genre, c'est-à-dire, par exemple, que si la forme dont il s'agit est un rhomboïde, comme
DE CRISTALLOGRAPHIE. i§9
dans la chaux carbonatée , et si parmi tous les divers rhomboïdes qui peuvent en dériver, tels que Féquiaxe, l'inverse, le contrastant, etc., on en choisit un à volonté, et qu'adoptant ce rhomboïde pour noyau hypothétique, on le suppose composé de m.olécides qui lui soient semblables , on pourra obtenir toutes les autres formes par des lois régulières de décroissemens, soit sur les bords, soit sur les angles. La véritable forme primitive changera alors elle-même de rôle , pour aller prendre sa place parmi les formes secondaires. Quelques exemples suffiront pour donner une idée de cette sorte de souplesse des lois de décroissemens pour s'adapter aux différens types qu'on leur présente.
1 62 . Choisissons pour noyau hypothétique le rhomboïde inverse de la chaux carbonatée. Si l'on suppose qu'il subisse un décroissement par une rangée sur ses bords supériem^s «y, aw , at (iig. 129), c'est-à-dire semblable à celui qui donne l'équiaxe du véritable noyau, le rhomboïde secondaire abfa' prendra la forme de ce même noyau.
i63. Le même décroissement transporté sur le rhomboïde contrastant ama'o (fig. i3o), produira pour forme secondaire le rhomboïde inverse qui faisait la fonction de noyau dans l'exemple précédent (fig. 129). Ou voit ici, entre les rhomboïdes les plus ordinaires, de la chaux carbonatée, dont l'un est le primitif «t les autres sont ceux qui en dérivent par
igo TRAITÉ
les décroisseniens les plus simples, une filiation en vertu de laquelle l'inverse devient Téquiaxe du contrastant pris, pour noyau hypothétique , le primitif devient celui de l'inverse, et le terme ultérieur étant celui qui répond au véritable noyau, le rhomboïde qu'il produit est aussi le véritable équiaxe. On peut continuer la série au-dessus et en dessous des termes précédens. Par exemple, le terme qui vient après l'équiaxe en montant, et qui serait par rapport à lui ce qu'il est à l'égard du véritable noyau, répond à un rhomboïde semblable à celui qui résulterait d'un décroissement immédiat par deux rangées sur les angles supérieurs du véritable noyau, et dont l'analognue existe dans la variété binaire de fer oligiste. INous avons jusqu'ici cinq termes parmi lesquels le véritable noyau occupe le milieu, et les deux suivans de part et d'autre en dérivent immédiatement par des décroissemens très simples. Mais dans les termes ultérieurs les décroissemens qui remplacent ces derniers s'écartent de leur shnplicité, et bientôt ils deviennent inadmissibles par leur complication.
164. Le rhomboïde inverse considéré de nouveau comme noyau hypothétique produira un rhomboïde at'a' u (fig. 1 5 f ) semblable à Féquiaxe (fig. 38, pi. 3), en vertu d'un décroissement par deux rangées sur les angles supérieurs a (lig. i3i ). Si le décroissement se fait par une seule rangée sur les angles latéraux «, t (fig. 132)5 ^^ ^^ résultera un rhomboïde AA' sem-
blable au contrastant (fig. 42? pl.'3). Si, en restant toujours sur les angles latéraux u^ t (lig. i33), il agit par deux rangées , le résultat sera un dodécaèdre A A' semblable au métastatique»
Enfin, si les bords latéraux D, D (fig. i34), du même rhomboïde hypothétique dev iennent les ligues de départ d'un décroissement par trois rangées, ou aura un nouveau dodécaèdre ss\ faità Fimitation de celui que je Jiomii\e paradoxal , et qui résulte d'un décroissement par une rangée de molécules doubles sur les angles latéraux du véritable noyau.
i65. Je vais insister sur ce dernier résultat, parc^ qu'il offre un exemple d'un fait remarquable , qui a également lieu pour tous les décroissemens intermédiaires, soit sur les angles latéraux, soit sur les angles supérieurs et inférieurs , et d'après lequel on peut les considérer sous un point de vue qui les ramène à la simplicité des décroissemens ordinaires. Cette analogie est d'abord fondée sur ce que , dans ceux qui sont intermédiaires, le résultat est en général un dodécaèdre à triangles scalènes. Or, on peut toujours supposer un rhomboïde iaiscrit dans chacun de ces dodécaèdres, comme le véritable noyau Test dans le métastatique. Nous avons vu que les six plans coupans qui mettent ce noyau à découvert passent , l'uu par les arêtes EO, 01 (pi. 3, fig. 4^)? i^n second par les arêtes 01 , IR, un troisième par les arêtes IR, RG, et ainsi des autres. Maintenant, si l'on substitue au métastatique un dodécaèdre quelconque, produit par
im décroissement intern.édiaire sur tels angles qu'on voudra, et dans lequel le véritable novau sera par conséquent inscrit d'une manière différenle, on pourra toujours concevoir, au moins hvpotliétiquement, des plans coupans qni passent parles arêtes analogues à celles que nous \enons d'indiquer, et se représenter par la pensée le rliomboïde dont les bords infl^rieurs coïncident avec ces arêtes Or, le fait dont j'ai parlé consiste en ce que ce rliomboïde est toujours une des formes secondaires qui peuvent naître du véritable -noyau, et en ce que le rhomboïde dont il s'agit, étant pris pour noyau bvpotîiétique, est susceptible de produire à son tour le dodécaèdre, en vertu d'un décroissement ordinaire sur ses bords inférieurs.
Le dodécaèdre paradoxal nous offre un résultat de ce genre. Son novau hypothétique est semblable au rhomboïde in\ erse, qui est le produit d'un décroissemeut par une seule raiigée, et celui qui donne le dodécaèdre rapporté à ce rhoinboïde a lieu par trois rangées. Dans les autres décroissemens intermédiaires le novau hypothétique est tantôl le rliomboïde équiaxe, tantôt le contrastant, ou quelqu'autre qui dérive du véritable novau par une des lois de structure les ])lus ordinaires, et qui semble communiquer le même caractère de simplicité à la loi d'où résulte le dodécaèdre dont on le suppose le générateur.
Je n'ai parlé que des noyaux hypothétiques origiginaires du rhomboïde. Mais on peut (paiement ()ar des considérations du mémo genre, en substituer aux
aiUres formes primitives, dans le cas des décroissemens intermédiaires. On en trouvera de nombreux exemples dans le cours de cet Ouvrage.
166. Il Y a donc cette tliâférence entre les deux espèces de décroissemens, que ceux qui suivent une loi ordinaire sont simples par eux-mêmes, au lieu que les autres étant compliqués , lorsqu'on les considère immédiatement, se résolvent en deux décroissemens ordinaires, dont l'un fait dépendre le noyau hypothétique du véritable, et le second établit la relation entre la forme proposée et le noyau hypotliétique. Dans ces sortes de cas, la cristallisation semble ne s'écarter de la route qui aboutit à la simplicité que pour y revenir par une voie différente. Le cristallograplie profite de ce circuit pour calculer par une méthode plus facile et plus expéditive les résultats des décroissemens intermédiaires. Elle consiste à déterminer d'afcord la forme du noyau hypotliétique , et la loi du décroissement ordinaire qui produit le dodécaèdre rapporté à ce noyau , ainsi que les incidences mutuelles de ces faces.
La même méthode lui fournit ensuite des données à l'aide desquelles une formule le conduit tout d'un coup à la détermination! du décroissement intermédiaire qui agit sur le véritable noyau. Au moyen de cet artifice, il écarte les dillicultés et les longueurs dans lesquelles l'amait entraîné la solution directe du problème.
