PARTIE ANALYTIQUE

i . Dans l'exposé que j'ai donné précédemment de la méthode synthétique* relative aux lois de la structure, je me suis borné à citer des exemples choisis parmi les variétés de parallélépipède. Telle est la relation qu'ont avec ce solide le prisme hexaèdre, le dodécaèdre rhomboïdal, l'octaèdre et le tétraèdre, que les décroissemens qui agissent sur les bords ou sur les angles de ces derniers s'assimilent à ceux que subissent les parties analogues du premier. On peut même , ainsi que nous le verrons , substituer un parallélépipède à chacun d'eux, dans les applications de la théorie , en supposant que six de ses feces, parallèles deux à deux, se prolongent jusqu'à s'entrecouper en masquant les deux autres.

La partie analytique qui va suivre doit offrir le passage de ce qui est général pour toutes les formes primitives, à ce que chacune d'elle emprunte de particulier, de son aspect géométrique, du rapport de ses dimensions et du mécanisme de sa structure. 11 en résulte que ces formes doivent être considérées ici séparément, comme autant de sous-divisions du parallélépipède.

DE CRISTALLOGRAPHIE. afi

DU RHOMBOÏDE.

2. Je place la forme primitive donnée par ce solide au premier rang parmi les sbus-divisions du parallélépipède comme étant la plus féconde en modifications diversifiées. Elle doit cette prérogative au rhomboïde de la chaux carbonatée. Cette substance, la plus répandue de toutes celles dont la partie connue du globe est l'assemblage , se distingue encore par l'étendue de son domaine, sous le point de vue de la cristallisation. Ses nombreuses variétés garnissent une multitude de cavités qui interrompent la continuité de ses masses. Elles s'associent aux différentes substances métalliques qui occupent les filons ; elles entrent accidentellement dans la composition de plusieurs roches , depuis les plus récentes jusqu'à celles dont la formation remonte à des époques très reculées. Les observations, à mesure qu'elles se multiplient, la font reparaître sous de nouvelles transformations. La diversité semble le disputer à la profusion, et c'est avec raison qu'on l'a nommée le Prothée des minéraux.

Mais ce qui ajoute beaucoup à l'intérêt que présente l'étude approfondie de ses formes , ce sont les propriétés géométriques remarquables que la théorie et le calcul nous ont dévoilées dans une partie des corps auxquels elle a donné naissance, et c'est principalement cette considération qui a déterminé la préférence que j'ai donnée à ces corps, qui composent

comme l'élite des variétés du rhomboïde, pour les faire servir au développement de la théorie dont cette forme primitive est l'objet.

Avant d'exposer la méthode de déterminer Ici formes secondaires qui dérivent du rhomboïde , il est nécessaire d'exprimer algébriquement les lignes principales que l'on doit considérer dans cette espèce de solide.

3. La fig. i,pl. i5, représente un rhomboïde obtus, parce que c'est le cas le plus ordinaire. Mais ce que j'en dirai s'applique également à un rhomboïde aigu.

Ayant mené les deux diagonales bfi ad, de l'un quelconque des rhombes , je désigne par g la demidiagonale horizontale cb ou cf, et par p la demi-diagonale oblique ca ou cd.

4- Soit adsg (fig. 2 ) la coupe principale du rhomboïde , formée par les deux diagonales obliques opposées arf, gs (fig. 1), et par les arêtes ag, ds, comprises entre ces diagonales.

Du point d je mène dr perpendiculaire sur l'axe as> et du point g je mène gn, de manière qu'étant aussi perpendiculaire sur Taxe, elle se prolonge jusqu'à la rencontre de ad. 11 est clair que son prolongement tombera au milieu de ad. Car si je mène les diagonales fg et bg (fig. 1), la ligne entière gc, qui est la même que figure 2 , sera couchée sur le plan bfg ( fig. 1 ), qui passe par le point c. On conçoit aussi que la partie en qui est une perpendiculaire menée du

TJigitized

DE CRISTALLOGRAPHIE. aS3

centre du triangle équilatéral bfg, est la moitié de la partie gn qui va du centre à l'un des angles du même triangle. J'appellerai gn à l'avenir la perpendiculaire sur Taxe y et c/i, la demi-perpendiculaire sur l'axe.

5. 11 est facile maintenant d'exprimer en fonctions jie g ej, dep , l'une quelconque des arêtes du rhomboïde, la perpendiculaire sur l'axe et cet axe luimême.

i\ a6(fig. i )= V{bc)% + (ac)'= vV + p% 5 donc telle est l'expression de l'arête.

2°. Le côté bf du triangle équilatéral bfg*ét2mt désigné par 2g y la ligne ng qui va du centre à l'un des angles, ou, ce qui revient au même, la perpendiculaire sur l'axe, aura pour expression \/f#% d'oii il suit que la demi-perpendiculaire sur l'axe est égale

3°. Remarquons que les perpendiculaires gn et dr (fig. 2) div isent l'axe en trois parties égales. Car les triangles semblables acn,adr, donnent adlac'.larlan. Or , ad— 2an \ donc, an=nr. De plus, les triangles dsr, gan, élant semblables et égaux , on a rs =an$ donc, an—nr=rs.

Maintenant an= \/{ac)% — (c/ï/ = \/p% — donc en triplant celle expression, on aura (1).

«*=3v//^7a= vV— §?=vV-3#*.

(1) U sera bon du retenir cette expression de l'axe, ainsi qui

G. Proposons-nous encore, avant d'aller plus loin, de résoudre le problème suivant. Etant donné les deux demi-diagonales g et/?, déterminer d'une manière générale trois espèces d'angles, savoir, les angles plans du rhomboïde, les incidences respectives de ses faces ou les angles de sa coupe transversale, et enfin ceux de sa coupe principale.

i°* Pour les angles plans, soit mené am (fig. i ), perpendiculaire sur dfy et qui sera le sinus de l'angle afdy en considérant af comme le rayon. Cherchons le rapport entre a/et le cosinus mf.

Nous avons déjà af= V#* •+■/>*•

De plus, «m=-Y-\/^ Donc

aflam : : g* +p% : 2gp-} mais mf— s/af1 — am%. Donc

les signes supérieurs du dernier terme appartenant au cas où le rhomboïde est obtus, et les signes inférieurs à celui où le rhomboïde est aigu.

celle de l'arête qui est |/g»-fp», et celle de la perpendiculaire sur l'axe , savoir \/$gu, parce que comme ces expressions reviendront à chaque instant dans l'exposé de la théorie, nous nous dispenserons d'y mettre des numéros de renvoi»

DE CRISTÀLLOGAàPHIE. 28*

Le résultat précédent nous offre une propriété remarquable du rhomboïde. Elle consiste en ce que dans cette espèce de solide le cosinus du petit angle plan est toujours une quantité rationnelle, pourvu que les carrés des expressions des deux diagonales soient eux-mêmes des quantités rationnelles.

2°. Pour les incidences mutuelles des faces, par exemple, pour celle de abdf sur dfqs.

Soit amhl (fig. 3) la coupe transversale du rhomboïde, menée par la ligne am (fig. i). Cherchons d'abord le rapport entre les demi-diagonales ntr elur (fig. 3). Soit mr=g', etar=pf. Nous aurons,

{am)' ou g" +p" = , et ; 1

donc

P —g> + P* * — g* -HP* + >

donc

Et parce que \/Zp%—g%= V$p%— Zg% X Vj, il en résulte que le rapport entré les demi-diagonales mr et ar est le même que celui du côté du rhomboïde au produit de l'axe par V^t*

Il est évident que si g* et p* sont rationnels , g'' et pf% le seront de même. Cela posé, ayant mené az perpendiculaire sur mh ,ck" terminons en fonctions de g H de p le rapporfÉenti^ am pris pour sinus

a8S TRAITÉ

total et lé cosinus mz de l'angle amh qui mesure la plus petite incidence des faces du rhomboïde. Ce rapport en fonctions de g' et de p* est celui de g' * -f- p% à g* — p'%. Or, d'après la proportion trouvée cidessus ,

gf>+p":g"-P" iigr+p+sp—figr+jp

Si le rhomboïde était aigu , on aurait

On voit ici que la propriété relative à l'expression du cosinus sous une forme rationnelle, qui a lieu pour les angles plans, s'étend à ceux qui mesurent les incidences des faces.

3*. Pour les angles de la coupe principale, ak (fig. 2) sera le sinus de l'angle aigu g, en prenant ag pour le rayon. Or,

af:— gnxas j/yX Vw* - V — g

d ^ p Donc ahlkg:: V$gy—g* • ±

(1) Dans le cas du rhomboïde aigu, le sinus as se rejetera en dehors du rhomboïde, en conséquence de l'angle obtus que feront alors les deux faces abdf, dfqs (Gg. 1 ) , et Ton aura le supplément de cet angle , c'est-à-dire , l'incidence des ^ faces à l'endroit des arêtes continues au bommet.

DE CRISTALLOGRAPHIE. a87

Dans le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée,

on a g= V3, p= v/2. Substituant ces valeurs à la place de g et dep, dans les rapports précédens , ou trouve

i°. afl w/(fig. 1 ) :: 5 : 1 , ce qui donne

fam = 1 id 32' 1 3" ; donc baf= 1 o id 3s' 1 5".

20. ami mz : 4 • 1 ? ce qui donne pour l'angle ams, 75d3i'28".

3°. akl kg (fig. 2 ) :: 3 î 1 ; ce qui donne pour l'angle a£s,7id33' 54r/.

7. Je terminerai cet article par la solution de trois problèmes relatifs au rhomboïde, dont les sujets existent parmi les résultats de la cristallisation.

i°. Trouver le rapport entre getp, dans le rhomboïde qui a cette propriété, que quand son axe est vertical, chacune de ses faces est également inclinée par rapport à un plan vertical et à un plan horizontal.

Soit adsg (fig. 2) la coupe principale. Le triangle anc étant isocèle, on aura cn=an,et

V^=iV^zip= VV^l?, ou *'=3/>'-#'.

Donc 2g*=Zp* , et g* :p :: [/ 3 : Va , comme dans la chaux carbonatée.

a°. Trouver le rapport entre g et p dans le rhomboïde dont la coupe principale est un maximum , en supposant p constant.

Soit x la demi-diagonale horizontale. La surface

a88 TRAITÉ de la coupe principale sera

gn . as = VS x* . y/op'—ix* = \/ 1 — 4^.

Je prends la différentielle de cette quantité.

d. V i*p*x'—4x<=d. (i2p\r*— 4x<)*<=ri(iap»xt— 4x*)~ 5 X ('i4p%x .dx — i bx^dx) = — r.

. Dans le cas du maximum , cette différentielle doit être nulle ; donc \ap*xdx — 8x*dxz=o; ou

- 1 zp'xdx = 8x3dx , et 3p' = 2*\

D'où l'on tire x Ip II VT5\ v/â, comme dans la chaux carbonatée.

On peut démontrer ce maximum par la Géométrie simple. Car , le triangle adr étant les ~ du triangle adsj a cause de la hauteur commune dry et de. . . . ar=2ja«, sera par conséquent le tiers de la coupe principale adsg ; donc il devra être aussi un maximum. Or, ce triangle étant nécessairement rectangle en r, et sa base ad étant une constante, la question se réduit à trouver, parmi tous les triangles rectangles qui ont une base commune , celui dont la surface est un maximum. Or, si l'on suppose que la base soit le diamètre mn (fig. 4 ) d'un cercle, il est évident que parmi tous les triangles rectangles mfn, mfrij etc., que l'on peut construire sur cette base, celui qui donne le maximum est le triangle isocèle rrifn ] donc le triangle ard ( fig. a ) sera aussi un

DE CRISTALLOGRAPHIE. a8$ triangle isocèle , d'où il est facile de conclure, comme

on l'a vu précédemment, que# : p :: \/5 l \/2.

3°. trouver le rapport entre g et p dans le rhomboïde dont la solidité est un maximum , eu supposant p constant.

La perpendiculaire ah (fig. 2) pouvant être prise pour la hauteur du rhomboïde, la solidité de celui-ci sera égale à ak x 2gp. Or,

ad V 4p% J

et faisant g=x, puis exécutant la multiplication indiquée , ah— yj V^p* *L • Donc la sohdilé sera

quantité dont la différentielle est

Égalant cette différentielle à zéro, on a

i!{p%x*dx — i2a;5<Zr=o.

D'où Ton tire 2// = ** , et a: \p \\ y/2 : 1 , ce qui a lieu dans le rhomboïde donné par la sous-division du dodécaèdre rhomboïdal, ainsi que nous le verrons dans la suite.

8. Je passe aux résultats des différentes lois de décroissemeut que le rhomboïde est susceptible d'olliir* i. 19

29o TRAITÉ

11 y a, en général, cinq espèces de décroissemens possibles, qui donneront des formes secondaires 3 savoir,

Un décroissement sur les bords supérieurs ab , af.

Un second sur l'angle supérieur a;

Un troisième sur les bords inférieurs db , df -,

Un quatrième sur les angles latéraux b ,f;

Un cinquième sur l'angle inférieur d.

De plus, les décroissemens sur les angles peuvent avoir lieu ou par des lois ordinaires , ou par des lois intermédiaires. Nous examinerons successivement ces diflerens cas, en commençant par les plus simples.