I. Décroissemens sur les bords supérieurs
9, Ces décroissemens donneront en général des dodécaèdres à faces triangulaires, dont trois arêtes prises alternativement coïncideront avec les arêtes ab, af, ag, etc., du noyau (fig. 1), et les autre* s'élèveront au-dessus des diagonales obliques ad, aq , etc. De plus , il est évident que l'axe sera le même que celui du noyau.
Soit adsg(ûg. 5) la coupe principale de ce noyau , am l'arête du cristal secondaire qui s'élève au-dessus de la diagonale ad, et doit nécessairement être sur le plan qui passe par a, d, s; sm l'arête inférieure/ *-*espondante, qui coïncide avec le bord sd du
DE CRISTALLOGRAPHIE. agt
rhomboïde primitif. Soit azt le triangle mensurateur que nous considérons ici comme si les décroissemens se faisaient sur l'angle a, en observant qu'à un« rangée de soustraite vers les bords aby af (fig. i), répond une diagonale oblique de molécule , qui mesure la quantité dont une lame de superposition dépasse l'autre.
Commençons par déterminer le rapport entre les côtés az et tz de ce triangle. Soit a l'arête d'une molécule, et p sa demi-diagonale oblique. Nous aurons, en nommant n le nombre de diagonales soustraites,
az \ tz 11 2pf X nia;
et parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du noyau ,
az : tz :: mp : \/g*+P%-
Déterminons aussi le rapport entre mu , perpendiculaire sur laxe relative au <lodécaèdre secondaire, et la partie au de l'axe comprise entre le sommet et cette perpendiculaire.
i°. Pour mu. Les triangles semblables msu, dar, donnent, ds Ixirllsml ma. Or ,
reste à chercher sm, ou seulement sa partie rfm , puisque l'autre est connue.
Les triangles semblables azty ad#i9 donnent
az : tz ;: ad : dm.
Ig.v
aj* TEaITL Ou,
DoDC
Donc la proportion dtldr II sm' mu <\ty ient
V7+^: V y :: ^ V^FT? : «« ==±± ^
a*. Pour ûtt. Qierclions «h que nous retra ne lierons de «a.
: rs :: sm: su-,
ou
Doue
Donc mu \auï.{n+i) S/^'^— V^4— ^
10. Soient maintenant b'am,fam (fig. G) cJrux: laces voisines situées vers le sommet supérieur du dodécaèdre secondaire, et tellement choisies, quel»-» arêtes ab% af* se confondent avec celles qui sont marquées des mêmes lettres (fig. 1 ), auquel cas l'aréte am (fig. G), sera celle qui s'élève au-dessus de la diagonale ud (fig. 1 ).
Klant donné les demi-diagonales g et p du noyau , avec la quantité n des décroissemens, proposons-nous de déterminer i'iucidence de Uam (fig. 6) sur/W,
DE CRISTALLOGRAPHIE. a93
et celle de Vam sur la face qui lui est adjacente de l'autre côté de ai'.
Concevons un plan b'yf, qui soit perpendiculaire sur Taxe ao. Menons ô'o,/'o,yo, qui coïncident avec ce même plan ; menons ensuite f r et f'p perpendiculaires l'une sur yo, l'autre sur ayy et joignons les points p, r, par une droite. L'angle f 'pr sera la moitié de celui qui donne l'incidence de b'ay sur fay (i). D'une autre part menons ye , y h perpendiculaires l'une sur b'o, l'autre sur ab'y puis joignons les points <?, h , par une droite. L'angle he sera la moitié de celui qui mesure l'incidence de b'ay sur la face adjacente à ab' (s). On aura donc les deux incidences proposées, eu cherchant le rapport entre le sinus f 'r et le cosinus pr de l'angle/yjr, et le rapport entre le sinusye et le cosinus eh de l'angle j'Ai.
(i) Si l'on conçoit une ligne menée de bf en p , elle sera perpendiculaire sur ay , ainsi qnefp, puisque tout est égal (U- part et d'autre. Donc ap étant elle-même perpendiculaire t.v ur b'n que sur f'p , Test aussi sur le plan b'pf> et par cm . utrnt sur le \>\anf'pr qui se confond avec le précédent , > ^ ~>\\ief r prolongée irait tomber en b\ Donc pr qui passe o.ir le pied de ap sera perpendiculaire sur elle. Donc puisque fp l'e^t aussi sur ap, l'angle y pr sera égal à l'incidence de f ay sur ayo, c est-à-dire , à la moitié de l'incidence b'ay sur fay.
(v.) Cela se prouve par un raisonnement semblable à celui que nous avous fait dans la note précédente, relativement à l'angle b'pr. Nous aurons souvent occasion d'employer des constructions de ce genre.
Ayant prolongé gn (fig. 5) jusqu'à la rencontre de arn> nous pouvons supposer, pour plus de simplicité, que le plan b'yf'o (fig. 6) soiuà la même hauteur que gx (fig 5), en sorte que Ton ait ao ( fig. 6) = an (fig. 5) ; dans ce cas, on aura aussi fo ou Uo (fig. 6) =gn ( fig. 5) , et^oflig. 6) z=nx (fig 5).
Cherchons séparément fr et pr,
i*. Pour fr. 11 est évident que celte ligne est la moitié de celle qui joindrait les points b' ,f -, et puisque ces points sont censés être la même hauteur que gxy ils coïncident avec les points b,f( fig. i ) , d'où il suit que fr ( fig. 6 ) =/c ( fig. 1 ) =g.
2*. Poui ' pr. Les triangles aoy, rpy (fig. 6) sont semblables, d'après leur position respective jointe à l'égalité des angles aoy et rpy qui sont droits tous les deux. Donc, aylaollyrl pr.
Cherchons successi veinent ayy ao eiyr.
ay = \/(yo/+(aoy . yo — nx ( fig. 1 1 ) . au '. mu '.'.an', nx.
Ou
ao=}Vy9// — 3#'. Désignons para, pour plus de simplicité , la valeur de l'axe, V — ftous
aurons
DE CRISTALLOGRAPHIE. agStrouver ao , qui était la seconde des quantités à chercher. Reste yr.
L'angle for étant de 6od, et l'angle/Vo de 90",
an — l
Donc la proportion : ao : : yr '. pr devient
D°nC ^B??^
:V(n+i),fe'+(2',-,),5a' ;a- Passons au rapport entre le sinusje et le cosinus eA de l'angle ^Ae.
1°. Pour ^e. Nous avons
d'après le calcul précédent. De plus, à cause de eqy =6oA etjK^o=9°d? oe—iyo.
a36 TRAITÉ
Donc^=\/I7v= \/(£^y7-
2*. Pour eh. Les triangles semblables AW, Vhe tiennent, ab'\ao II beleh.
ab'z= V'(*V H- î««7 = vV +
ao = Vga*. b'e=b'o — oe= Vi?*
Donc la proportion : «o :: b'e \ eh devient,
yfl : *A :: y/ (— -) y» : ^77 V 7y
: in — i )\/3ô* ::(«-+- 1 +<>/>' — 3/* :(«— < V 'j^J' (»+ i )>/«*+/>* :(» — x)\/3jr —
1 1. Parmi les variétés de la chaux carbouatéc, il
Go
DE CRISTALLOGRAPHIE. s37
en existe plusieurs que je ferai connaître dans la suite, et qui offrent, vers chaque sommet, six facettes produites en vertu d'un décroissement par trois rangées sur les bords supérieurs du noyau. Mais ces facettes se combinent avec d'autres qui sont dues à des lois différentes de décroissement. Pour appliquer les formules précédentes aux facettes dont il s'agit, il faut
faire w=3, g= \/l> ,p=\/ ?..
En substituant ces valeurs, on trouvera ,
i:frlprm.l\fîk)l ce qui donne fa" pour l'angle f'pr, et i59dn'34" pour l'incidence am sur f am.
2*.ye : eh :: V20 : V^, ce qui donne G8a4c/43" pour l'angle j'Ai, et ^'^c/aô" pour l'incidence de b'am sur la face adjacente à abf.
1 2. Cherchons s'il y a une loi possible de décroissement pour le dodécaèdre à triangles isocèles, oii composé de deux pyramides droites réunies base à base. Dans ce cas, jro=b'o. Doue aussi nx (fig. 5)=gn , ou bien
(Voyez 10, 20). Ce qui donne rc==2. Donc la chose est possible , en vertu d'un décroissement par deux rangées.
A l'époque où j'ai publié la première édition de mon Traité, je n'avais pas encore rencontré ce cas dans la nature; mais des variétés de chaux carbonatée que j'ai observées depuis en offrent des exemples ,
entre autres celle que j'appelle sténonome , et sur laquelle je reviendrai à l'article des formes secondaires composées.
i3. A mesure que l'arête am se relève par son extrémité inférieure, en faisant des angles toujours plus ouverts avec l'axe no (fig. 6), l'angle que fait b'am avec la face adjacente à ab' va lui-même toujours en augmentant, et jl y a un terme où ces faces se trouvent sur un même plan. Le cristal secondaire devient alors un rhomboïde, dont les diagonales obliques se confondent avec les arêtes ab\ af, etc.
Pour trouver la loi qui donne ce rhomboïde , j'observe que dans le cas où il a lieu , le cosinus eh s'eva-
nouit. Donc (io) alors \l ~ — ,= °? 011
v ' an — iV 12^ + 0'
simplement n — 1=0. Donc n= 1 , ce qui est d'ailleurs évident, d'après ce qui a été dit plus haut.
Déterminons les deux demi-diagonales du rhomboïde dont il s'agit; soient g et p ces deux lignes. sm (fig. 5) étant la diagonale oblique du rhomboïde, ///// sera la perpendiculaire sur l'axe. Donc
mu = Vjgr%- Mais (g, d'une'autre part,
mu = l±l v/fi"*= J-V^*- Donc g'= 2g.
Remarquons maintenant que dans le même cas la li<*ne mu est relevée de manière qu'elle se trouve sur la direction de gn. C'est une suite nécessaire de ce
que «m est la diagonale oblique. Donc alors $a = 2sr,
et sm=2sd. Donc 2/>'=2\/#*+p% ou pr= V^-f-p'- C'est-à-dire que la demi-diagonale horizontale g' est double de celle du noyau, et que la demi-diagonale oblique p' est égale à l'arête du noyau.
Ce cas existe dans plusieurs espèces de substances minérales. Mais jusqu'à présent la chaux carbonatée est la seule qui l'ait offert sans mélange d'aucunes facettes produites par d'autres lois de décroissement. J'ai développé plus haut (pag. 100), à laide de la synthèse, la structure de la variété qui s'y rapporte,
et que je nomme équiaxe. Ici g=z \/3> PV/2,
donc g'=^i2> et />'= \/5> ce qui donne pour l'angle obtus de chaque rhombc, 1 i4a 18' 56"; pour l'angle aigu , 65d 4 1 ' 4"? Pour k grande incidence des faces, i34d 2 5' 38"; pour la plus petite, 45d 34' 22"; pour les angles de la coupe principale, i39d23'5ar/ et 4od36'8".
14. Concevons maintenant une suite de rhomboïdes qui aient de telles dimensions , que chacun soit susceptible d'être produit par le suivant considéré comme noyau , en vertu de cette même loi qui a pour expression B. Si nous désignons par g et p
les demi-diagonales de l'un d'eux, qui soit compris entre les extrêmes, et que nous appellerons générateur, nous aurons deux séries , l'une descendante , composée des rhomboïdes plus petits que le générateur, l'autre ascendante, composée de ceux qui le
oco TRAITÉ ^
surpassent en volume. Déterminons généralement en fonctions de g etp les demi-diagonales de l'un quelconque des autres rhomboïdes compris dans chaque série, le rang de celui-ci étant désigné par r pour la série descendante, et par /*' pour la série ascendante (i).
Soient y et 7r les demi-diagonales du rhomboïde dont il s'agit, en supposant qu'd fasse partie delà série descendante. Si r= i , on aura g=?y, d'après ce quia été dit plus haut (pag. 298). Donc^ = ^. Si r=2, on aura, par la même raison, j = ^<tsir =3, on aura y—±g. Donc, en général,
tr cr1 rr* /ra rr*
*v = — et -y» — ^ — — — =
Maintenant , puisque l'axe est constant, on a
Donc" 37T* — ^r = 3/?a — g* • d'où Ton tire 3*'=3/>'+ '-=^.g% et 7r=y p>+±£±.g>.
Supposons que le rhomboïde soit compris dans la série ascendante , et désignant ses demi-diagonales par}/ et7r', faisons /successivement égal 3,etc. Les valeurs correspondantes de ^'seront 4#,%r,etc.,
(1) M. Malu« a fait usage de ce problème dans sa Théorie m* la double réfraction (pag. iai et suiv. ) , et l'a résolu par le calcul aux différenoes finies.
DE CRISTALLOGRAPHIE. Soi
cl en général on aura y'z=ziTg. La substitution de cette valeur de 5/ dans l'équation 3^'* — yl%=Zp% — g* donne
et y-y/p'+^Zli^.
Les perpendiculaires sur Taxe suivent le rapport des demi-diagonales y et y' , en sorte que Ton a généralement Vj>% = ^ViV et ^^5^= ï V IJp.
Si dans les équations y= £ et t = ^/// + îpjrtf'
relatives à la série descendante, on suppose r infinie, la valeur de y devient infiniment petite, et comme
l'unité s'évanouit dans la fraction -r—/r , la valeur
de 7T se réduit à \/p* — {g% ou y/ ^-y— > 4lu re~ présente le tiers de l'axe, dont l'expression est
d'où il résulte que, dans ce cas, la diagonale oblique se confond avec Taxe, en sorte que le rhomboïde se trouve converti en une aiguille dont la longueur surpasse infiniment l'épaisseur.
D'une autre part, si dans les équations
3o2 TRAITÉ
qui se rapportent à la série ascendante , on suppose r infinie, la valeur de y1 devient elle-même infinie, et Jes quantités// et — i s'évanouissant dans la valeur
de 7r', on a y : <7r' \ \ : \J « g% \ : \Z5Ti \ c'est-i-dire
que le rhomboïde qui répond à cette limite se réduit à un simple plan qui s'étend à l'infini, et que les angles qui représentent ceux du sommet, et qui se trouvent sur le même plan, sont chacun de i20d.
Dans la chaux carbonatée, le rhomboïde que j'ai nommé équiaxe offre le premier terme de la série ascendante; je prouverai dans la suite que le rhomboïde binaire du fer oligiste donne le second tenue.
Nous trouverons aussi les deux premiers termes de la série descendante dans les variétés de chaux carbonatée appelées inverse et contrastante. Tous ces rhomboïdes nous fourniront div erses applications d'un problême qui est lié au précédent, et dont le but est de déterminer la loi de décaissement, en vertu de laquelle le générateur produit immédiatement un rhomboïde quelconque appartenant à l'une des deux séries, et dont le rang r ou rf est donné.
i5. 11 me reste à démontrer diverses propriétés géométriques qui dérivent des décroissemens sur les bords supérieurs, et qui sont tellement liées entre elles, que l'une étant donnée, les autres en deviennent la suite nécessaire. Mais il faut auparavant indiquer la position d'un solide que Ton peut toujours concevoir comme inscrit dans la forme secondaire
qui présente ces propriétés, et auquel une partie d'entre elles se rapportent.
Soit êz (fig. 7) un rhomboïde aigu faisant la fonction de noyau , et soit sz (fig. 8) un dodécaèdre à triangles scalènes produit en vertu d'un décroissement sur les bords supérieurs ac ce noyau, de manière que sh, sm, soient les lignes de départ qui répondent à sa, se ( fig. 7 ) et ainsi des autres. Si l'on fait passer des plans , l'un par les arêtes W, Im (fig. 8), un second par les arêtes m/, m/z;un troisième par les arêtes mn, no, etc., ces plans, au nombre de six , intercepteront un rhomboïde que nous désignerons par le nom de rhomboïde hypothétique, pour le distinguer du noyau. Gela posé, voici l'énoncé du problème à résoudre.
Tout rhomboïde aigu dans lequel le rapport de g* u est rationnel , est susceptible de produire , eu vertu d'une loi de décaissement sur les bords B , laquelle dépend du même rapport , un dodécaèdre sz ( fig. 8 ) qui réunira les propriétés suivantes :
i°. La plus petite incidence de deux faces de ce dodécaèdre, telles que hsl, hsr sera égale d'une part à la plus grande incidence de deux faces du noyau, telles que sabc , abzf ( fig. 7 ) , et d'une autre part à l'angle plan obtus hlrn du rhomboïde hypothétiqur.
2*. L'incidence de deux faces adjacentes telles que hhj hlz, prises vers les deux sommets du dodécaèdre, sera égale d'une part à l'angle plan obtus sub ou saf (fig. 7) du noyau, et d'une autre part à la plu? grande
3o4 TRAITÉ
incidence de deux faces du rhomboïde hypothétique.
16. Démontrons d'abord qu'il y aura toujours une valeur rationnelle de l'exposant n du décroissement , qui satisfera a la condition que la plus petite incidence des faces du dodécaèdre soit égale a la plus grande des deux laces du noyau.
Soit pceg (fig. 9) une coupe transversale de ce noyau, menée par le point p (fig. 8), pris à volonté sur la ligne srn, qui coïncide, comme nous l'avons dit, avec un des bords supérieurs du même noyau , et soit px (lig. 9) la section du prolongement du 1 bombe pceg sur le plan du triangle sml (fig. 8). Soit pfd le triangle mensurateur, qui sera semblable au triangle pcx. Désignant par r la dimension qui , sur la molécule, répond au côté du rhoinbe pceg , nous aurons pf- fdlln X rl ri: ni 1.
De plus , si nous menons cz perpendiculaire sur pg, pz sera le cosinus de la plus petite incidence des faces du noyau, le rayon étant représenté par cp. Donc cp'pzll2p*lp% — g*. Or, les triangles czp et pdf ou pxc, sont semblables : car l'angle epx qui mesure la moitié de la plus petite incidence des faces
du dodécaèdre , étant par l'hypothèse égal à , on
aura, en retranchant d'une part cpey et de l'autre ^cpgy epx — cpe, ou cpx={(j)ce — cpg.) D'une autre part, l'angle droit ecz étant la demi -somme des angles peu tt cpg3 qui sont complémciis l'un de l'autre,, l'angle
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3o5 pcz en sera la demi-différence. Donc
pcz = j(pce — cpg) =cpx.
D'ailleurs, cpz=pcxy à cause des parallèles pg, ex\ donc les triangles czp et pxc étant semblables, nous aurons cpicx ou pflfdi: cp\pz\ et n: i II 2p'yB — g%
ce qui donne /i= rr~i ; et ainsi la première pro-
priété est démontrée possible, d'une manière d'autant plus remarquable , que la valeur de n se trouve représentée par le rapport rationnel entre le rayon et le cosinus de la plus petite incidence des faces du noyau.
Il résulte de la démonstration précédente , que chacun des triangles du dodécaèdre, par exemple celui qui coïncide avec pxy est perpendiculaire sur la face du noyau adjacente à celle sur laquelle naît le décroissement qui donne le triangle dont il s'agit , c'est-à-dire sur celle qui est dirigée suivant pg.
La formule fait connaître que la propriété qu'elle représente ne peut avoir lieu qu'autant que p est plus grand que gy c'est-à-dire que le noyau est nécessairement un rhomboïde aigu. La limite de cette propriété répond au terme où p étant égal à g , le rhomboïde devient un cube. On a alors n—*~, quantité
infinie, ce qui indique que les faces du dodécaèdre se con tondent avec celles du noyau cubique.
17. L'égalité suivante est celle qui a heu entre l'incidence des ir ' hsr9 et l'angle plan
aoG TRAITÉ
obtus hlrn du rhomboïde hypothétique. Désignons par g\p\ les demi-diagonales de ce rhomboïde. L'incidence de hsly hsr étant égale à la plus grande des faces du noyau , ou à l'angle pce^ comme nous venons de le prouver, et le rapport du sinus py au cosinus cy de lu moitié de cette dernière incidence étant celui
<le \/3p*-+-g*: \'g* + p\ le problème sera résolu,
si , dans l'hypothèse de n= — % on a
Supposons deux perpendiculaires menées sur Taxe du dodécaèdre sz ( fig. 8), l'une d'un des angles latéraux supérieurs, tel que m, du rhomboïde hypothétique , l'autre de l'un de ses angles latéraux inférieurs, tel que /*. II est facile de concevoir que la partie de l'axe qu'elles intercepteront sera égale au tiers de l'axe du rhomboïde hypothétique. Servons-nous de la ligure 5, relative aux décroissemens sur les bord* supérieurs, en supposant que la coupe principale adsg du noyau appartienne, comme dans le cas présent , à un rhomboïde aigu; Les points m , étant les analogues des points my r (fig. 8), hu (l'rg. 5) représentera le tiers de l'axe du noyau hypothétique, et Ton aura
7 f /an — i n — 2
/ju=au — n/t=znu — su^=.[ — r — — )a=-~ a
\ On / on
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3o7 D'une autre part ,
VW=-r VIF, ouVW=~VW''
Donc
ou g'KZp"— g»::(n+\)S:(n— 2)a VI-
Ajoutant chaque antécédent à son conséquent, et divisant les deux nouveaux conséquens par 3 ,
et mettant à la place de n sa valeur — ,
(3/>*-S')s': îg*+ 3/>* —g': tg*
-hp'—jgt''^P%—gt'-gt+Pt-
Donc , g* :p' : : y/ty'—g* \/gr+p , ce qu'il fallait trouver.
Puisque l'angle hlm ou Mr est égal en même temps à l'angle pce (fig. 9), et à celui que font entre elles les faces ksi, hsr ( lig. 8), il résulte de cette dernière égalité , que l'arête hs est perpendiculaire sur le plan auquel appartient l'angle Ihr, d'où il suit encore que les angles shl, shr, et les autres semblablement situés sont droits. Ainsi, tous les dodécaèdres renfermés
dans la formule n—^z~ri ont cette autre propriété
remarquable, que leurs laces sont des triangles ree-
3o8 TRAITÉ
tangles. Par une suite nécessaire, le» laces du dodé* caèdre , telles que hsl, hsr , font des angles droits avec la face du rhomboïde hypothétique qui leur est adjacente, c'est-à-dire, dans le cas présent, avec celle que termine l'angle Ihr. On voit ici reparaître , dans la relation entre les feces du dodécaèdre et celles du noyau hypothétique, la même incidence perpendiculaire qui a déjà été observée dans les positions respectives des faces du dodécaèdre et de celles du noyau.
18. Passons aux analogies qui -dérivent de l'incidence des faces hlsy hlz, prises vers les deux sommets. Cette incidence -est d'abord égale à l'angle plan obtus saby ou saf(û%. 7) du noyau, et cela par \me suite nécessaire de ce que les angles §hl, shr (fig. 8), sont droits. Pour le prouver, d'un point quelconque x de l'arête hly je mène les lignes xt, xy$ perpendiculaires sur cette arête, et couchées sur les faces shly /zA. L'angle shl étant droit, tx est parallèle à Jis, qui coïncide avec le bord supérieur as du noyau (fig. 7). Par la même raison, xy (fig. 8) est parallèle à Iz , qui coïncide avec le bord inférieur bz du noyau ( fig. 7 ). Mais bz est parallèle à af; donc xy ( fig. 8) est aussi parallèle à af ( fig. 7 ). D'ailleurs tx (fig. 8) est parallèle à as ( fig. 7 ); donc l'angle ixy ( fig. 8) est égal à l'angle saf(ûg. 7).
Reste à prouver que l'incidence de /ils sur hlz est «ussi égale à la plus grande incidence des faces du rhomboïck hypothétique. Désignant par * le sinus
DÊ CRISTALLOGRAPHIE- 3o$
de la moitié de l'incidence de hls sur hlz , et par c le cosinus, nous aurons, d'après ce qui vient d'être dit,
sicllplg.
La question se réduit donc à prouver que Ton a
d'une autre part p:g :: X^g^'+p7* * V/3p" — g'*> puisque ce dernier rapport est celui qui adieu entre les demi -diagonales de la coupe transversale du noyau hypothétique.
Nous avons eu plus haut ,
g' :p' VV— VS^+A ou f-p'%::3p*—g*:g*+p\
Or, il est facile de transformer cette proportion en celle que nous cherchons. Car, a joutant chaque conséquent à son antécédent, nous aurons
g'%+P%:p" :: 4pt^t+^ou^»4^,i:4/a^i:ff'+P%
et retranchant les antécédens des conséquent,
Donc p :g :: Vg''+/>'â : VV*— g'%, ce qu'il fallait trouver.
Ce résultat comparé à celui d'où nous Pavons déduit , et qui donne g,'.p':t \/3p%—g* : X'g*+p% , nous fait connaître que les angles plans du nq^yau sont égaux aux angles saillans du rhomboïde hypothétique , ou à ceux de sa coupe principale et réciproquement, ce que l'on exprime en disant que
3io TRAITÉ
chacun des rhomboïdes est l'inverse de l'autre. Cette inversion est donc aussi une propriété inhérente à la
valeur ^ __-^t de n , et offre une nouvelle preuve de
sa fécondité. Je traiterai directement , dans la suite, de ces sortes d'inversions, dont plusieurs rhomboïdes de%chaux carbonatée offrent des exemples.
19. Je n'ai observé jusqu'ici aucun dodécaèdre produit en vertu d'un décroissement sur les bords supérieurs d'un rhomboïde aigu , qui réalisât complètement les résultats démontrés précédemment. Nous verrons cependant que parmi les formes secondaires originaires du tétraèdre régulier , dont la cristallisation rentre dans celle du rhomboïde , il en est une qui participe des propriétés d'où dépendent ces résultats. De plus , nous ferons connaître un dodécaèdre de chaux carbonatée, qui ne diffère de celui dont il s'agit ici , qu'en ce que le rhomboïde que nous avons considéré comme le noyau , et celui que nous avons nommé hypothétique, y changent de rôle, de manière que le décroissement qui donne le dodécaèdre a lieu sur les bords inférieurs du second rlmmboïde.
