II. Dècroissemens sur V angle supérieur
j.o. Ces décroissemens donneront constamment des rhomboïdes pour formes secondaires. Continuons de nous servir de la figure 5, dans laquelle ao reprèntera la diagonale obliquej^|ine des laces du
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i i
rhomboïde secondaire, et so l'arête contiguè* de cette diagonale, en sorte que si du point o on mène une perpendiculaire sur l'axe, elle coïncidera avec dr, puisque le point o doit être situé Tis-a*vis le tiers de l'axe. De plus, atz qui, dans le cas précédent, remplaçait le véritable triangle mensurateur, deviendra ici d'un usage direct; et la quantité n désignera toujours le nombre des diagonales soustraites, avec la différence qu'il faudra doubler ce nombre pour avoir celui des rangées soustraites.
21. Proposons-nous d'exprimer d'une manière générale les valeurs des deux demi-diagouales g1 et p du rhomboïde secondaire, en supposant que Ton connaisse g», /? et ».
Nous av ons d'abord
or : «r :: V^Tf V V — Y3-
Et parce que les expressions de mu et au restent les mêmes que dans le cas des décroissemens sur les bords supérieurs (9, i*. et 2*.), nous aurons,
or mu : au'.:(n + 1 ) \/Jgi : gn~ 'V dp' — 3g*
Mais Taxe du rhomboïde secondaire est le même qne celui du noyau; donc la proportion précédente de^ vient, toute réduction faite, (/z-f- i)g'?n — ï "g'l2.
ou Ion lire g—?g-^-. ■. .
5ia TRAITÉ
Maintenant , à cause de l'égalité des axes ,
3p"—g"=3p'—g*; ou, 3p"=g"-i-3p'—ff';
donc aussi >
donc
v/îr(Së)-+j^-y"
32. Supposons que le décaissement ait lieu par deux rangées , et que le noyau soit le rhombofde du
fer oligiste, représenté (Gg. 10), dans lequel g= \/g et p— \Ap> ce qui donne 87ac)', pour l'incidence de deux faces prises vers un même sommet. Oa aura n=\ , et la proportion deviendra
J'appelle fer oligiste binaire la variété qui offre ce résultat. L'incidence de deux faces *, « (fig. n), prises vers un même sommet A' est de i44d > et celie de * sur la face adjacente du côté du sommet inférieur est de 56d.
Quelquefois le décroissement s'arrête, avant d'avoir atteint sa limite. Alors les faces produites par ce décroissement se réduisent à des triangles isocèles, s, s, s (fig. 12), et il reste sur le cristal des faces P, P , P , parallèles à celles du noyau, et qui sont aussi des triangles, en supposant la forme ramenée à sa limite géométrique. Cette variété porte le nom de
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i3 Jer oligiste rhomboïdal. L'incidence de s sur P est
a3. Si l'on fait n=2 , auquel cas le décroissement aura lieu par quatre rangées, on trouve g' = 2g
et p — V^'+p*. Or ce rapport est aussi celui des demi-diagonales d'un rhomboïde secondaire qui résulterait du décroissement B, autour d'un noyau
dont les demi-diagonales seraient # et p. Concluons de là que dans la série des rhomboïdes que nous avons considérée plus haut , et dont chacun est susceptible d'être produit par le suivant, pris pour noyau, à l'aide de la loi B, le même résultat peut
aussi avoir lieu en vertu de la loi À. Nous verrons
souvent reparaître , dans le développement de la théorie, ces doubles solutions d'un même problème , dont plusieurs sont réabsées par la cristallisation. Mais celle qui vient de nous occuper est jusqu'ici purement hypothétique.
(1) Pour avoir cette incidence , on fera attention qu'elle est égale à la somme des angles amu (Bg. 5) et dknt dont l'un mesure l'inclinaison de s (fig. la) sur un plan horizontal qui passe par la base du même triangle , et l'autre celle de P sur le même plan. Le rapport de mu à ou que nous avon* déterminé plus haut (pag. 3i i), donnera la première Inclinaison, et l'on aura la seconde en cherchant d'abord l'angle akn, d'après
le rapport de kn a an , ou de g à j/So*— et en prenant ensuite le supplément de cet angle.
3i4 TRAITÉ
i\. Faisons 71= £, ce qui est le cas d'un décroissemcnt par une rangée. La formule
deviendra p =\/±g% X ! +// — j£* > ce qui signifie que la diagonale oblique an (iig. 5) est ellemême infinie, et que par conséquent la face sur laquelle elle tombe est borizontale (i). Ce cas a lieu
(i) La construction suivante aidera à concevoir ce que signifient ces sortes de rapports que l'on dit être infinis lorsqu'ils expriment une quantité unie divisée par zéro , et infiniment petits dans le cas contraire. Soient nm, ec (Kg. i4) > deux parallèles qui tombent à angle droit ou autrement sur une droite cp. Par un point d pris à volonté sur nmt menons adf qui fasse un angle quelconque avec cp, puis menons db parallèle à cette dernière ligne. Faisons ab—x,
hd—af dm-={r. Nous aurons x \ a :: g \fm =25, Si nous
«opposons maintenant que la ligne adf restant Gxe par le point d, s'abaisse par son extrémité a , de ma. ièrë à prendre successivement la position odpt et d'autres positio» - qui soient Telles, que le point o tende continuellement vers le p int b, la ligne ac^approcherade plus en plus du parallélisme aver cpt qui est la Kmite de toutes les positions dont il s'agit. Eu même
temps dans l'équation fm = — , la quantité fin ira en crois-
OC
Mot, et la quantité x diminuera. Or, lorsque .r s'évanouit ,
auquel cas l'équation devient fm—*— , le point a se confond
%avec le point b , et la ligner/71 est infinie , puisqu'elle ne peut
dans la chaux carbonatée, le corindon , le fer oligiste, la tourmaline , etc. Alors, ou bien il se fait un second décroissement d'où résultent des faces latérales dont les intersections limitent la face supérieure , ou bien il reste des faces parallèles à celles du noyau.
Le fer oligiste , entre autres , offre un exemple de cette dernière modification dans la variété que je nomme fer oligiste basé, et qui est représentée ( fig. 1 3 ). L'incidence de P sur la surface o qui fait la fonction de base, est de i23d i4' (0-
25. Si nous supposons que la ligne ao (fig. 5), qui représente en général la diagonale oblique des rhomboïdes secondaires produits par un décroissement sur l'angle supérieur du noyau, dépasse la limite qui répond à n=l , et qui donne une face perpendiculaire à Taxe, elle se rejettera du côté opposé à celui où naît le décroissement, en prenant une position telle que ap (fig. i5). Les faces du
plus rencontrer la ligne af, qui lui est devenue parallèle , en atteignant la limite de ses positions. On voit par là dans quel
sens on doit entendre que le rapport représente une quantité infinie. C'est sous ce point de vue que la diagonale ao ( fig. 5 ) du rhomboïde secondaire étant devenue parallèle , dans le cas que nous venons de considérer, à la ligne or, qu'elle rencontrait jusqu'alors, doit être considérée comme une quantité infinie.
(i) Elle est le supplément de Tangue akn ( fig. 5), dont la détermination est facile , d'après ce qui a été dit plus haut.
rhomboïde secondaire seront tournées alors vers les arêtes ag du noyau, au lieu de correspondre à se diagonales obliques, comme dans les cas précédens. Je donne à ce mode de décroissement le nom de dècroissement inverse , pour le distinguer de celui dont la figure 5 représente l'effet, et que j'appelle décroissement direct.
Dans le cas présent, le décroissement inverse, s'il est simple, sera toujours du nombre de ceux que l'on nomme dècroissement en hauteur, ou s'il est mixte, le nombre de rangées dont il déterminera la soustraction dans le sens de la hauteur, sera toujours plus grand que lç nombre de rangées soustraites en largeur. C'est une suite nécessaire de ce que n est plus petit que £ Donnons aussi la manière de calculer les effets des décroissemens dont il s'agit ici.
26. Soit azt (fig. i5) le triangle mensurateur. Si Ton prolonge ta au-dessus de ag , la ligne ay coïncidera avec la diagonale oblique du rhomboïde secondaire dont la coupe principale est apsk.
Ayant prolongé sg jusqu'à la rencontre de ap9 menons yu perpendiculaire sur l'axe as. 11 faut avant tout déterminer le rapport entre uy et au.
Cherchons d'abord uy.
Les triangles semblables sgrn7 syu donnent
sg'sy "gmluy.
sg=^2p. sY = sg-\-gy. Cherchons
Les triangles semblables ate, ayg donnent
az'.tz'.lgv'lag ,
ou ipxn : Vg*+p* ::gy: Vg*+/>\
Donc gy=mp\ donc sy=2p+2np*
De plus , gm= V/jg^
La proportion devient donc,
Reste à trouver aw.
Or au = as — us=y$p* — Sg% — us.
Cherchons us. Les triangles semblables smg , suy donnent sglsy y.srn;us; ou
ap-2p+2/ip:: f y/û* lus
Donc a* = — i"— V»* ; donc
a. , ou ^-(21+2) y/?= ;
donc uy :au:: (n+i)\^gii:^~\/^t
27. Déterminons maintenant d'une manière générale les valeurs des deux demi-diagonales g et p' du rhomboïde secondaire. Il est d'abord évident que dans ce rhomboïde Im est la demi-perpendicuf laire sur l'axe, et am est le tiers de cet axe; et parce
(1) La quantité a déîigneTaxe du noyau.
5i8 TRAITÉ
que ml et am sent proportionnelles à uy et au,
nous aurons
(« + 1 ) Vif- VV - V : : V/^'ft : J —
Si l'on supprime les valeurs des axes qui sont égaux , et que l'on simplifie les autres quantités, la proportion devient, 2g(n+ 1): i — 2n ::g': i j d'où Ton tire
Maintenant, à cause de l'égalité des axes, on a
V — g'*=ty% — g%,
on
Donc p'=\J Î8<~£)% + Pt"
28. Les mêmes rhomboïdes qui résultent d'un décroissement direct sur l'angle supérieur , et dont les faces sont tournées vers les diagonales obliques du noyau, sont encore susceptibles d'être produits en vertu d'un accroissement inverse, de manière que leurs faces correspondent aux arêtes du noyau. Cherchons une formule à l'aide de laquelle étant donnée la loi relative à l'un de ces rhomboïdes, on puisse connaître celle d'où l'autre dépend. Soit toujours n le nombre des diagonales soustraites dans le décaissement direct ; désignons par ri le nombre correspondant pour le décaissement inverse. Si Ton-
^^^V ~ "W^ki DigitizecJ by Googli
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i9
compare les formules qui expriment, relativement stxxx deux rhomboïdes , les demi-diagonales g1 et p'f on verra qu'elles ne diilèrent que par le fadeur qui
renferme la quantité n, et qui est d'une part »
et d'une autre part (t^~^)*> n' devant être substitué à n dans la seconde* Donc puisque les nales sont égales, on aura
d'où l'on tire
n=--r-. — et n =
Ces formules indiquant les mêmes (onctions réciproques entre n et /*', l'une d'elles, prise à volonté ,
par exemple la première, qui est n = ^r— , suffit
pour la solution des deux espèces de problèmes 3 c'està-dire que l'on peut supposer indifféremment à n? une valeur moindre ou plus grande que la fraction \ , relative à un rhomboïde qui, dans le premier cas, naîtra d'un décroissement inverse, et dans le second d'un décroissement direct ; la valeur qui en résultera pour n se rapportera au rhomboïde correspondant , produit en vertu d'un décroissement direct ou inverse.
29. Lorsque dans la formule on fiât ri=\, comme cela doit être, les triangles mensurateurs azt (fig. 5 J etar^(fig. i5) étant alors égaux et semblables, les lignes ao (fig. 5) et ap (fig. i5 ), coïncident sur une même direction perpendiculaire à l'aie as.
3ao TRAITÉ
Si Ton fait ri= i , on trouvera /i = £, qui indique que le décroissement direct par deux rangées en largeur a pour analogue un décroissement mixte par deux rangées dans le même sens, et par cinq rangées en hauteur. Si Ton substitue la seconde valeur à la place de n dans les expressions de g' et de p' relatives au décroissement inverse , et si l'on fait g = V9 , p ss y/Tô , comme dans le fer oligiste, on aura
g :p 1:6.2: \/i2.4-f-io— 3:: K?44 : \/55,
ce qui est le même rapport que nous avons trouvé pour le fer oligiste binaire (22 ). Mais ce double emploi d'une même forme produite par les deux décroisscmens dont il s'agit, ne s'est, point encore rencontré parmi les produits de la cristallisation.
Soit w'=2; on trouvera n=£, quantité infiniment petite, qui fait connaître que dans ce cas la ligne ap (fig. i5 ) se confond avec la ligne ag^ c'està-dire que le rhomboïde secondaire est semblable à celui qui résulte d'un décroissement par une rangée sur les bords supérieurs du noyau. Nous avons déjà obtenu ( 23 ) le même résultat par une méthode différente.
Au reste, nous verrons dans la suite que les résultats des décroissemens inverses dont nous venons de parler rentrent parmi ceux des décroissemens intermédiaires auxquels il paraît souvent plus naturel de les rapporter. Mais la méthode précédente peut servie à eu simplifier le calcul.
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