III. Dècroissemens sur les bords inférieurs
30. Les solides secondaires qui naissent de cette espèce de décroissement sont toujours des dodécaèdres à faces triangulaires scalènes, dont un des côtés se confond avec une des arêtes latérales bdy cLf,fq , etc. (fig. i ) du rhomboïde primitif.
Soit adsg (fig. 1 6 ) la coupe principale de ce rhomboïde, pu l'axe du dodécaèdre secondaire , pd, du deux arêtes contiguës de ce dodécaèdre. Soit dho le triangle mensurateur, dans lequel ho sera égal à une arête de molécule, et dh à autant de diagonales obliques de molécule qu'il y aura de rangées soustraites. Soit n le nombre de ces diagonales, p la moitié de l'une des mêmes diagonales, et g' la moitié de la diagonale horizontale.
Nous aurons ho — \;g'%+p'% et dh=mp.
3 1 . Déterminons d'abord la partie ap de l'axe du cristal secondaire, ou la quantité dont cet axe dépasse de chaque côté celui du noyau.
Ayant prolongé ga jusqu'à la rencontre de dp , nous aurons les triangles semblables pal7psd7 qui donnent ds Ipsllall ap.
Or, i*. ds =\/g*+p*.
a*, ps—ap +as=ap+\/gp* — 3gm.
3°. Pour al. Les triangles semblables dho \ dal f donnent dh l oh II ad l al.
Ou wp'l Vg'%+p'*ll2plal=?\/&^.
3a* TRAfrÉ
Et parce yre l?s iïiiWDsiQP5 des molécules sont pn*. portionnelles à celles du noyau , on aura , en substituant le rapport £~ — au rapport *y^' ,
Donc la proportion dslps'.lal : ap devient
D'où l'on tire ap — ~— Vqp* — 3^*.
32. Déterminonrmaintenant les incidences respectives des faces du dodécaèdre , aux endroits des arête» contiguës aux sommets. Soit as (fig. 17) le noyau, et bpdy dpf,fpq trois des faces du dodécaèdre. Me nons la demi-diagonale horizontale de du rkombe dfqs, puis ayant prolongé pf, menons dk perpendiculaire sur ce prolongement , et joignons les points /, e, par une droite. L'angle dke mesurera h moitié de l'incidence de dpf sur fpq.
D'une autre part, menons la demi-diagonale horizon taie fc du rhombe abdf, ppis/r perpendiculaire sur dp ^ et joignons les points c, z, par une droite. L'angle fzc mesurera la mpitié de riruùjepçe du triangley^rf mjr bpd, et i] est facile dç voir qiie cette incidence ser? twjpurs plus grapde quç la première.
Cherchons d'abord de et ek.
H est évident qye de=g. Reste à trouver ek.
Soit pg (fig. 16) l'arète qui passerait par 1«*
mêmes points (fig. 17), et qui sera égale à pf. Menons $y (fîg. 16) perpendiculaire sur le prolongement de pgy et par le milieu e de sgxrne autre perpendiculaire ek sur le même prolongement. Celle-ci sera la même que ek ( fig. 1 7 ) , et nous aurons sa valeur , au moyen de celle de sy qui en est le double. Les triangles semblables png , pys , donnent
i\ Pour pg. Nous avons pg— VipnY+igny*
V&V Donc pg=\/ Wfe*.
20. Connaissant déjà #7* , cherchons par. Or p* +as= \Jâ* + \Z^"= j/?. Donc, la proportion pg'-gnllpslsy devient
n / fr»y
Prenant donc la moitié de cette expression pour la
324 TRAITÉ valeur de ek ( fig. 17 ) , nous aurons
de
: ck ::g: — — * / , , *?f '
Cherchons aussi fc et cz.
fc = g. Reste à trouver cz.
Du point a ( fig. 16 ) pris à l'extrémité de Taxe, et du point c pris au milieu de ad, menons ax et cz toutes deux perpendiculaires sur dp. cz sera la même ligne que fig. 16, et ax en sera le double.
Or, les triangles semblables prd,pxa donnent
dp l drllap : ax.
dr et ap étant déjà connues, il ne faut plus que chercher dp.
Nousavoiis dp= \/(pr)m-f(dry.
[voyez 3i ).
Donc^=v/g^)V + ^.
Donc la proportion devient,
Prenant la moitié de la valeur de ax , nous aurons cz
(fig. 16)} et
33. Déterminons encore l'incidence de l'une quelconque dpf (fig. 17) des faces situées vers l'un des sommets , sur la face adjacente, de l'autre côté de dfi vers le sommet opposé.
Soit abcd (fig. 18) la coupe transversale du noyau, et bzx le triangle mensurateur. Du point x abaissons xm perpendiculaire sur la diagonale bd, et par le point z menons zt perpendiculaire sur xm» Soient g' , // les demi-diagonales qui, sur la molécule, répondent à bo et ao , et soit r la dimension qui , sur la même molécule, répond à ab. Nous aurons ôz=/z-{-r, et xz=r=sz] de plus st ou tx—p' et tz=g ; et il est facile de voir que l'angle xbm mesurera la moitié de l'incidence cherchée. La questioa se réduit donc à trouver le rapport entre le sinus mx et le cosinus bm de cet angle.
Les triangles semblables bsm , tsz donnent bslsz llmslst, ou, bslisz II msl 2st et bs+2sz9 ou bz-{-sz : 2sz :: ms + 2st ou mx l 28 1. Donc wr+r: 2r::mxl 2p, ou, n+ i : i \\mx\p\ Donc mx=(n-\- i )//. D'une autre part, les mêmes triangles donnent bs l sz II bm l tz7etbz — sz ou
3j6 TRAITÉ
nr-^-rl r'.lbm lg; ou, n — il iltbmlg'. Donc bm=(n — i )g. Donc mx : bm : : (n+ 1 )p : (n — i )g'.
34. Voici une autre manière de parvenir au même résultat. Ayant prolongé xz jusqu'à la rencontre h de bel, j'observe que 772^ contient autant de fois p que xz our est contenu de fois dans hx. Mais
hx =hz-{-xz = bz+ xz =nr+ r — i )r.
Donc mx=(n-{- \)p. D'une autre part, bm contient autant de fois g que r est contenu de fois dans bs'} niais bs = bz — sz—nr — r= (n— 1 )r.
Donc bm =(n — 1 )g'. /
Donc mx ! bm : : (n+ 1 )p :{n — 1 )g'.
Or, les formules relatives aux propriétés générales des rhomboïdes (p. 285 ) donnent
d'où l'on conclura que
mxlbmi: i)y/'5p>— g* : (n— i)\/g%+p%-
35. Avant d'appliquer les différentes expressions que nous venons de trouver, je vais démontrer plusieurs propriétés générales relatives au mode de décroissemeiit que nous considérons ici.
La. première consiste en ce que le rapport des solidités du solide primitif et du dodécaèdre secondaire, est le même que celui des axes , quelles que soient d'ailleurs les valeurs de p et de g.
Pour le démontrer, faisons passer un premier plan
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3s7
par dps , et un second par spf; ces deux plans joints à dpf et dfs intercepteront une pyramide triangulaire, dont nous supposerons le sommet en^, d'où il suit que la base sera dps.
D'une autre part, nous aurons datis le rhomboïde une pyramide correspondante , dont les faces séront dasj saf, daf et dfs. Supposons de même le sommet en /; la base sera das. Or cétté base" éstà lk base dps de la première pyramide comme
as . psïl a : a H a.
Donc puisque les deux sommets se confondent , les solidités des pyramide» seront entfré elles dans le rapport des mêmes quantités» Mais hr partie du dodécaèdre don* il s'agit icr etft composée de six pyramides, ainsi quer le rhomboïde. Donc la* solidité du rhomboïde est aussi à celle de cette partie, comme
a la+
Donc si Ton désigne par d% l'excès de cette même partie sur le rhomboïde , la solidité de celui-ci sera
à d'ilala— — a-*-<r ou- îî a>Z <*> Ot: la s»lin — 1 n — 1 ;
dite du dodécaèdre entiet* est a^id?; dbttc celle
du rhomboïde est à celle du dbdécaèdte
et il est facile (îe voir que ce rapport e$t atlààî celui des axes.
Ce même rapport réduit à sa plus simple expi
sion, est , d'où l'on voit que pour avoirs
leur numérique dans chaque cas particulier, i) diviser l'exposant de la loi du cl écroisse ment , i nué d'une unité, par le même exposant augm* d'une unité.
36. Voici une autre propriété dont la déterm tion est le sujet d'un problème qui peut êtreétœ de la manière suivante : Tout rhomboïde obtus, à. lequel les carrés des demi-diagonales g et /? sorti rapport rationnel , peut être transforme , a d'un décaissement sur les bords inférieurs, donti mesure dépend des valeurs de g et p , en un d$è caèdre dans lequel le grand angle pfd de ch face est égal au grand angle baf du noyau, et /a petite incidence de deux faces voisines, telles que gpf est égale à l'incidence de deux faces situées val un même sommet du noyau, telles que bafd, gafa
Remarquons d'abord que l'égalité des angles plan» et celle des angles saillans ou des incidences, sont tellement liées entre elles, que l'une ne peut ewte sans l'autre. Car les angles dfp, qfp, par exemple» étant égaux à l'angle dfq , il en résulte que les (rois faces dpf, qpf, dfqs, dont les deux premières appartiennent au dodécaèdre, et la dernière au noyau, ont la même situation respective que celles quix réunissent vers un même sommet a du noyau, et par conséquent l'incidence de dpf sur qpf} est la même que celle de deux faces quelconques prise*
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3a9
4j utour du sommet a. Cela posé , nous pouv ons faire j^^jr.épendre la solution du problème de cette seule 01 ^ Condition, que l'incidence de dpf sur dfqs ^ soit ^ei^gale à celle de abdf sur la face située le long de ab
lerrière le rhomboïde, ^édrç. Soit amhl ( fig. ig) la coupe transversale de ce ^pç homboïde, prise par un plan qui en partant du # Appoint a, coupe perpendiculairement l'arête df. '^Oûaj^Àyaut prolongé /a, menons my9 de manière que ? taa^te l'angle ymh soit égal à mal ou mhl , auquel cas my rdsjQiL sera, sur la direction de la face dpf (fig. 17), en g$p^ sorte que l'angle y m h (fig. 19) représentera l'inci1 ^/e^ dence de û^/* (fig. 17) sur d/ys, et l'angle mal u ^ " (fig. 19) celle de a&c?f (fig. 17) sur la face dont ab
fi^'tdk 'a ionct*on avec ce rnomDC- Or, my et hl étant ^ ^* inclinées de la même quantité entre les parallèles A/ra,
fueiaf. ^y °n 3 my=M—<*m- Menons mt perpendiculaire ^ sur ay , et qui la divisera en deux parties égales. Les ^ formules générales relatives à la valeur du cosinus de la plus petite incidence respective des faces d'un
'idem
^ rhomboïde , dans lequel g* et p% sont des quantités rationnelles ( 6, 20. ) , donnent
ma : at:: ipm : g%—p%;
donc ma layi: ip% \ 2g* — ap* :: p* • g* — p%- Soit mbc le triangle mensurateur ; désignant par n le itiy nombre de rangées soustraites, et par r la dimension es/; qui , sur la molécule , répond à ma , nous aurons
mb : bc :: n X r : ri: ma l ay II p* : g%—p%>
mêle
Z?0rc
33o TRAITÉ
D'où l'on tire, n : i ::/>•: — ^ , et = -7^--;
c'est-à-dire que la valeur de n est la moitié du rapport entre la ligne am prise pour rayon, et le cosinus de l'angle amh.
37. La propriété dont il s'agit ne peut convenir qu'à un rhomboïde obtus, en sorte que sa limite répond au cas ou le noyau est un cube. Alors g=p,
ri /*=^, quantité infinie.
Passé cette limite , l'égalité ne peut subsister entre tes angles dfq, dfp et qfp(&& 17), sans que les faces du dodécaèdre ne s'abaissent en dessous de celles du rhomboïde. Pendant ce mouvement , celles qui étaient les moins inclinées, telles que pfd, pfq continueront de Taire entre elles des angles saillans, égaux aux incidences des faces prises vers un même sommet sur le rhomboïde ; mais les plus inclinées , telles que pfd^pbd^ feront entre elles des angles rentrans, en sorte que la supposition- présente sort des borne» entre lesquelles sont renfermées les lois de la structure qui excluent ces sortes d'angles dans les cristaux simples.
38. On parviendrait au même résultat, en partant de l'observation que l'angle dke (fig. 17') loit être (gai à l'angle mar (fig. 19), dans le cas Je la propriété dont il s'agit, le premier étant la moitié de 1 incidence relative aux faces du dodécaèdre, et le second étant la moitié de celle qui a lieu pour les
faces du noyau ; et parce que l'on a mr=zde (fig. i i)—g<> on aura aussi ek=ar (fig. 19); or,
Donc ar ou
Donc, pour résoudre le problème, il suffira d'égaler cette valeur à celle de e& , qui est
Substituant dans celle-ci gp* — 3g* à la place de a*, et faisant les opérations convenables, on trouve
comme ci-dessus. Mais telle solution est beaucoup moins simple que la première.
39. L'espèce de décroissement qui nous occupe a fourni le sujet d'un autre problème qui ne diffère que par le générateur auquel il se rapporte, de celui dont la solution nous a servi à développer les propriétés du dodécaèdre sz (Gg. 8). Dans ce dernier solide, le noyau est le rhomboïde dont les faces se confondent avec les plans A.sm, mso, osh , etc. , et le décroissement a lieu sur les bords supérieurs de ce noyau.
L'autre rhomboïde dont les faces coïncident avec
les plans hhn, mno, orh^ etc., a été considéré comme n'étant qu'hypothétique. Ici les lois de la structure suivent l'ordre inverse, en sorte que le problème ramené à ce nouveau point de vue doit être énoncé de la manière suivante.
Tout rhomboïde obtus, dans lequel le rapport de g* à p% est rationnel , est susceptible de produire, en vertu d'une loi de décroissement sur les bords D, dont la mesure dépend du même rapport, un dodécaèdre dout voici les propriétés.
i*. I^a plus petite incidence de deux faces du dodécaèdre, telles que hsl, hsr (fig. 8), sera égale soit à l'angle plan obtus hlm du noyau, soit à la plus grande incidence des faces du rhomboïde hypothétique, par exemple de celles qui se confondent avec les plans hsm^ Izn. Par une suite de la première propriété, les plus grands angles shly hlz, etc., des faces du dodécaèdre seront droits, et ses arêtes les plus saillantes, telles que sA, seront perpendiculaires chacune sur la face rhl du noyau , vers laquelle cette arête est tournée.
2°. L'incidence de deux faces adjacentes, telles que hh, hlz, prises vers les deux sommets du dodécaèdre, sera égale, d'une part à la plus grande incidence de deux faces du noyau, et d'une autre pari à l'angle plan obtus des faces du rhomboïde hypothétique, ou ce qui est la même chose, au supplément de l'angle hsm.
Nous avons vu que ces différentes propriétés sont
liées à la condition que l'exposant du décroissement sur les bords supérieurs, que nous désignerons maintenant par n'y ait une valeur rationnelle en fonction des demi-diagonales g et p' du rhomboïde qui dans le cas présent devient hypothétique. Or, en laissant subsister ici cette condition , il ne nous reste qu a prouver qu'il y a aussi pour l'exposant n du décroissement sur les bords inférieurs, une valeur rationnelle dépendante du rapport entre les demi- diagonales g et p du véritable noyau. Or , il est tris facile de s'en convaincre, en faisant attention que les angles shl , shr, étant droits , chacune des faces hhy rsh , est nécessairement perpendiculaire sur le plan rhl. Car soit math ( fig. 19) la coupe transversale du noyau, prise de manière que le point m coïncide avec le point x (fig. 8). Menons mt (fig. 19) perpendiculaire sur le prolongement du côté la , et qui coïncidera avec tx ( fig. 8 ) perpendiculaire sur A/, en sorte que l'angle droit tmh (fig. 1 9) sera celui que forme la face Ish ( fig. 8 ) avec le plan rhl qui appartient à l'une des faces du noyau. Soit mou (fig. ig) le triangle mensurateur, et rla dimension qui, sur la molécule, répond à ma. Le calcul relatif à la valeur du cosinus at du petit angle amn de la coupe transversale donne malatll 2p%lg* — p* V. mo : ou :: n' + r : r ;
d'où l'on t ire , n'=^~^y ce qui est l'expression du
cosinus du petit angle saillant du noyau , laquelle est semblable à celle que nous avions trouvée pour n
3&f TRAITÉ
(p. 3o5). Cette conformité entre les deux expressions est une suite de ce que chaque face du dodécaèdre, telle que hls, fait un angle droit avec la face soit du noyau, soit du rhomboïde hypothétique, située de l'autre côté de l'arête sur laquelle naît le décroissement qui donne hls.
4o. On peut obtenir immédiatement la valeur de n y en égalant p au cosinus de la moitié de la plus petite incidence des faces du dodécaèdre ; mais , dans ce cas , le calcul est beaucoup moins simple. Supposons que les faces dont il s'agit soient représentées par dpf, qpf( Og. 1 7 ). On aura ( 3a , a*. ) ek=p>
ou
Elevant au carre , y-r-. — r^-— — ï—r — — =p' :
Substituant à la place de a* sa valeur 9p*— *• 3^*, et divisant tout par 3, puis réduisant,
Si Ton divise les deux ternies de la fvv tj tiplie par g* — p* , ou aura
ri
Or, le pre- bre est nu carré p
DE CRISTALLOGRAPHIE. 335 racine est ri Donc ri=-~-- comme
ci-dessus.
4t. Si l'on substitue cette valeur de ri dans le rapport de mx h bm( fig. 18) , ou
(ri+ i V3p'-g' : (ri— i) VV-H>',
qui a été trouvé plus haut, et qui donne l'incidence de deux faces adjacentes situées vers les deux sommets du dodécaèdre, on aura
mx. 6m::(^^i)^^:(^—^ y/jf+p
Or, ce rapport est celui de ao à bo ( p. s85 ), comme cela doit être, puisque l'incidence dont nous avons parlé est égale à l'angle que font entre elles deux faces situées vers un même sommet du générateur, ainsi que nous l'avons déjà prouvé.
Lorsque f=j7,ona n'= ce qui signifie que
la limite de la propriété dont il s'agit répond au cas où le noyau est un cube.
