Les formules n — — — : et ri=~ — -r sont

susceptibles d'une infinité d'applications différentes, ûvant les diverses valeurs que l'on peut supposer ur g et p. Mais parmi ces applications, les seules nissiblcs soqj celles où les valeurs de 71 et de ri

n'excèdent pas la mesure des décroissemens ordinaires. Nous allons voir que quelques-uns des rhomboïdes obtus offerts par la nature se prêtent a cette condition , et qu'il existe même des cristaux secondaires, qui jouissent des propriétés que représentent les formules dont il s'agit.

Si l'on fait g= V3 , p =; \/lk , comme dans 1» chaux carbonatée, on trouve 72=2 et /i'=4. Le premier de ces résultats a heu dans une variété représentée (fig. 46 > ph 3), et dont j'ai développé plus haut la structure , à l'aide de la synthèse. Je l'appelle chaux carbonatée mêtastatique , c'est-àdire de transport , parce que la loi dont elle dépend semble avoir transporté sur elle les angles de la forme primitive.

43. Si l'on substitue les valeurs précédentes de g et de p clans les formules relatives aux angles saillans du dodécaèdre, on trouve

/c: es (fig. 17)::^: N/3,'

ce qui donne 1 44d 20' 36" pour l'incidence de fpd sur

bpdy et de: ek:i \/5 : V^? ce qui donne io4d28'4o" pour l'incidence de fpd sur fpqy la même que celle de bafd sur agqf, ainsi que cela doit être , d'après ce qui a été dit.

Ce dernier résultat nous fournit un moyen très simple pour avoir l'inclinaison de l'une quelconque dpf de» faces du dodécaèdre sur celle qui lui est ad-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 537 jacente, en dessous de l'arête df Car cette inclinaison est égale à celle de dpfsxxv dfqs , plus à la différence entre cette dernière et celle de bafd sur dfqs. Or, l'inclinaison de dpf sur dfqs est de io4d28'4o", d'après ce qui a été dit. Celle de bafd sur dfqs , supplément de la précédente, est de 75d3i'2o". La différence est donc 28d57;2o". Ajoutant cette différence à io4da8'4o", on trouve i33d 26' pour l'inclinaison cherchée.

4 1 . Soit maintenant bafd (fig. 20) le même rhombe que fig. 17. Menons by qui coupe afen deux parties égales. Je dis que le triangle boy est semblable à l'un quelconque dpf (fig. 17) des triangles du dodécaèdre secondaire, de manière que les côtés de celui-ci sont doubles de ceux de l'autre.

Evaluons d'abord les trois côtés du triangle pdf Nous avons, i°. df= y/g*-j-p* = y/5.

2°. dp qui est la même ligue que fig. 16

(voyez 3a, a*.).

(voyez 32, 20.). %

Evaluons pareillement les trois côtés du triangle bay

(fig. 20).

i#. ay=\af=\ V5=irf/(fig. 17).

a\ Ayant mené ym perpendiculaire sur bf ( fig. 20 ) , nous aurons

3\ ai (fig. ao)=>/5=V^= W (6g- »7 )• Donc, etc.

On voit aussi que le moyen côté pf du triangle dpf est double du petit côté. Ces résultats sont particuliers à la chaux carbonatée métastatique.

42. Cette variété nous fournit encore le sujet d'un problème dont je donnerai dans la suite une autre solution. 11 consiste à déterminer, d'après certaines données, le rapport entre les deux demi-diagonales g et p du noyau , ce qui permet ensuite de calculer les angles tant de ce noyau que des formes secondaires , avec une précision rigoureuse.

Choisissons pour données l'égalité observée entre les angles pfd et dfq (fig. 1 7) , et la loi de décroissement par deux rangées, d'où résulte le cristal métastatique; ou, si on l'aime mieux, l'égalité entre la partie détaxe de ce cristal qui excède celui du noyau de part et d'autre, et cet axe hii-méme. Il s'agit,

ra

La

entre g et p.

y Pour y parvenir, j'observe que l'angle pfd étant égal à l'angle dfq7 ou, ce qui revient au même, à

le baf, les angles dfk et dfa , qui sont les supplémens des précédera, seront aussi égaux. Donc puisque df est égale à a/, le sinus dk de l'angle dfk sera égal au sinus am ( fig. 1 ) de l'angle dfa (fig. 1 7).

Reste à trouver dk , pour mettre sa valeur en équation avec celle deam.

Le triangle dek est rectangle en e. Car le plan dfê étant perpendiculaire sur le plan afs , l'est aussi sur le plan pfs qui coïncide avec afs. Donc puisque de est en même temps couchée sur le plan dfs et perpendiculaire sur la commune section fs de ce plan avec pfs , elle sera aussi perpendiculaire sur ce dernier plan. Donc ke située sur le prolongement de pfs, et qui passe par le pied de de sera perpendiculaire sur cette dernière ligne. Donc le triangle dek est reotangle.

Donc dk = VW+W-

Or de=&. ek=z

( voyez 46). Et parce que n=-i,

V (*)"«* + fc*— V

Donc

34o TRAITÉ

Egalant les valeurs des carrés de dketam?

ja V -f- 3g* 4g*P*

Et substituant à la place de a* sa valeur gp% — 3g* ,

7g'(9P*-3g') + 5g* 4gY 4(9P*-%8) + 3*" — g*

D'où l'on tire

7g*p»— qr' 4?p* 4p9-gft — g4 -Hp4'

et faisant disparaître les deux dénominateurs , puis réduisant et transposant,

Cette équation donne pour les deux valeurs de g*, g* = lp* , et g*=3p%

Dans le premier cas, g.p" \/'à - V^, ce qui est le rapport cherché entre les deux demi - diagonales du rhombe primitif. Dans le second cas ,

ce qui convient à l'hypothèse dans laquelle le noyau et le cristal secondaire se confondraient sur un même plan , qui serait un hexagone régulier.

43. Le résultat qui donne n1—^ est réalisé par la cristallisation dans plusieurs variétés de la même substance, et entre autres dans celle que je nomme ascendante. Mais comme les facettes qui en dépeji-

dent sont combinées avec d'autres qui appartiennent à des lois différentes de décroisse mens , je me réserve à faire connaître la variété dont il s'agit , lorsque je traiterai des formes secondaires composées.

Faisons g= V 5 et p — \/3 , comme dans l'argent antimonié sulfuré ; nous trouverons n=\ , et ri = 5'. Je n'ai observé jusqu'ici aucun cristal qui offrit l'un ou l'autre de ces résultats; mais leur simplicité peut faire présumer que peut-être on les rencontrera dans quelqu'une des variétés qui seront découvertes dans la suite.

Lorsque g— \Za , et p— 1 , on a n=zi et ri =2. L'incidence mutuelle de deux faces situées vers un même sommet sur le rhomboïde qui sert de noyau est alors de i20d, et celle des faces produites par le décroissement, dans le cas de n — 1 , étant la même, il est facile d'en conclure qu'elles sont situées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier , et que le solide secondaire est semblable au dodécaèdre rhomboïdal représenté [( fig. 21 , pl. 2). Mais dans les dodécaèdres de cette forme r qui sont connus jusqu'à présent, toutes les faces sont à la fois ou primitives ou secondaires, et il est très probable qu'il en est de même de ceux qui existent encore à notre insu dans la nature. Ainsi le cas dont il s'agit est étranger à la cristallisation. Mais l'autre cas où ri =2 nous fournira dans la suite une application de la théorie a l'une des formes originaires du même dodécaèdre^

celui- ci pouvant être alors considéré comme un semblage de quatre rhomboïdes, dont chacun sut

le décaissement exprimé par D.