J'ajouterai ici la description de deux rhom-, 1. a
boïdes de chaux carbonatée, produits par des dé-
croissemens en hauteur sur l'angle e , et qui tantôt
constituent des variétés simples, et tantôt entrent
dans des combinaisons d'où résultent des variétés
composées.
Le premier , que j'appelle chaux carbonatée mixte
( fig. 5 1 ) , a pour signe e. Faisant donc n=£ , dans les expressions des demi-diagonales (64), on trouve
y'=\ \/3et7r=! S/ri.
Donc
ce qui donne pour l'Incidence de 5 sur s, 62d44'53"; pour celle de * sur s', i i6d i5' -, et pour les angles plans, 37d3i'4" et i£kà2&56".
Cette variété unie à la forme primitive et à celle du rhomboïde contrastant, produit une forme composée, représentée (fig. 5a) que j'ai nommée chaux
carbonatée 'trirhomboïdale. Son signe est eeV. Inci
dence de P sur m, \4gA2f 1 i"; de P sur nç^a' n"; de m sur s\ ou de m sur a, i54d3()' i3*; de m sur s, ou de 77i sur /, 1 1 id 3a' 547»
Le second rhomboïde se présente à l'œil sous une forme si voisine du cube, qu'on l'avait d'abord appelé spath calcaire cubique. Nous verrons bientôt que ses angles mesurés avec précision diffèrent sensiblement de ceux du cube. Mais avant de déterminer la
loi qui donne ce rhomboïde, j'exposerai un résultat dont il m'a fourni le sujet , et qui prouve la possibilité qu'un rhomboïde dont la différence avec la forme cubique serait très-légère , soit produit par une loi admissible de décroissement, comme forme secondaire de la chaux cafbonatée. Je suppose que la loi dont il s'agit ait lieu sur l'angle inférieur e. Pour 1 qu'elle donne le résultat indiqué, il faut que l'on
ait dr : ur ( fig. 43 ) à très peu près comme 1 : » ce rapport étant celui qui existe dans le cube , entre la demi-perpendiculaire sur l'axe et la partie de cet
axe qu'elle intercepte, ou entre Vy#*et§ Vgp* — 3#*.
Or, iTy/â presque comme 1:1, 4 ou comme 5:7. Adoptant donc ce dernier rapport, nous aurons
dnuri: vïp: vV~ ::5 : 7 j
ou,
Et eu faisant gssy/l et p= Va,
ou a : £l±i :: 5 : 7.
D'où l'on tire , n = £ .
Cherchons , d'après cette valeur, le rapport entre les demi-diagonales y1 et du rhomboïde secon-
388 TRAITÉ daire, nous aiutons
ce qui donne 90d q3', au Keu de.god, pour l'incidence de deux faces voisines autour d'un même sommet.
On pourrait, en conservant la même loi, obtenir une forme Secondaire exactement cubique, au moyen d'une légère altération dans les angles de la forme primitive. Dans ce cas , on a
Et mettant à la place de n sa valeur f ,
lyouVontire, gQgt^ifap*, etglp:: V^:V99* Ce rapport donne io4da' pour la plus grande incidence des faces du rhomboïde primitif. Or, cette incidence mesurée avec soin est sensiblement plus grande ; et ainsi , en mettant dans l'observation des angles la précision convenable , on reconnaîtrait encore que l'aspect de la forme n'offrirait qu'une fausse ressemblance. Au reste , il ne serait pas impossible que des variétés relatives à des espèces très-distinguées d'ailleurs l'une de l'autre, ne se rapprochassent tellement par leurs formes extérieures, que la diffé-
rence échappât aux mesures mécaniques. Mais ces analogies qui par elles-mêmes sembleraient répandre du vague dans la considération des formes cristallines, serviraient à mieux prouver les avantages et la fécondité de la théorie , lorsqu'elle nous découvrirait des structures et des lois particulières cachées sous une identité apparente , et propres à faire ressortir nettement ce corps que l'œil abandonné à lui-même serait tenté de confondre.
78. M. Smithson, célèbre minéralogiste anglais, s'étant procuré des cristaux de la variété qui nous occupe ici, reconnut bientôt» que c'étaient des rhonv boïdes aigus dans lesquels la plus petite inclinaison des faces n'était que d'environ 88d. De plus, il remarqua que le rhomboïde se divisait par deâ coupes qui , en partant des sommets, interceptaient les arêtes situées comme op ( fig. 43 ) , en faisant des angles égaux avec les faces adjacentes à ces arêtes, ce que Pon concevra aisément, par l'inspection de la fig. 53, qui représente le rhomboïde et son noyau inscrit. Cette observation lui indiqua que le décroissement qui donnait ce rhomboïde agissait dans le sens de la hauteur sur l'angle inférieur du noyau, et le calcul lui fit connaître que l'on avait dans ce cas n=f , c'est-à-dire que hé décroissement se faisait par quatre rangées en largeur et par cinq en hauteur.
Si l'on cherche d'après cette donnée le rapport entre les demi-diagonales du rhomboïde secondaire,
©a trouve y1 : ic' :; >/ïî : , ce qui donne
392 TRAITÉ considérer la chose sous un point de vue général , et démontrer qu'un rhomboïde quelconque dont on suppose les demi-diagonales représentées par gelp, est susceptible de produire , à l'aide d'une loi de décroissement, qui dépend du rapport entre g et />, un autre rhomboïde dont telle est la forme, que ses angles plans sont égaux aux angles saillans du rhomboïde générateur, que réciproquement ses angles saillans sont égaux aux angles saillans du générateur, et que les coupes principales des deux rhomboïdes ont les mêmes angles.
Ces (feux conditions, dont Tune consiste dans l'inversion des angles plans et saillans des deux rhomboïdes, et l'autre dans l'égalité des angles des coupes principales, sont tellement liées entre elles, que l'une étant supposée, l'autre en devient une suite nécessaire. C'est ce que je vais prouver en prenant pour donnée la seconde condition.
Soient aclsg, aosl (fig. 54), les coupes des deux
rhomboïdes qui doivent être telles que l'on ait
ads = oal> et par conséquent dag=aos. Je donne ici, pour plus de simplicité , un axe commun aux deux rhomboïdes , parce que si l'on suppose ces axes inégaux , la démonstration reste la même.
J'observerai ici que l'un des deux rhomboïdes est nécessairement obtus et l'autre aigu. C'est une suite de ce que le grand angle oal de l'une des coupes est situé au sommet du rhomboïde auquel celle-ci appartient, tandis que dans l'autre coupe le petit angle dagy
qui est égal au supplément du premier, correspond de même au sommet du rhomboïde auquel cette coupe se rapporte.
Soient gy p les demi-diagonales du rhomboïde aigu dont la coupe est adsg, et g' , p1 , celles du rhomboïde obtus dont la coupe est aosl j ds sera l'arête du premier, os celle du second, et ad, ao, seront les diagonales obliques. Or, les triangles asd, lxay sont semblables par une suite de ce que les angles ads , lax sont égaux , et de ce que les perpendiculaires dr , an, menées des sommets sur les bases, divisent celles-ci en deux parties dont l'une est double de l'autre (i).
(x) Supposons deux triangles bic (Gg. 55) , et xzy (Gg. 56), tracés d'après les conditions que les angles bci et xyz soient égaux , et que les perpendiculaires et (fig, 55) , yq ( fig. 5S), abaissées de ces angles sur les bases, divisent ces dernières en deux parties ti , bt ( fig. 55), et qz, xq (Gg. 56), qui
soient entre elles dans un même rapport exprimé par Je
dis que les deux triangles sont semblables. Pour le prouver , concevons que le triangle xzy ( Gg. 56 ) se superpose sur le triangle bic ( fig. 55) , de manière que yx se trouve sur la direction de cb , et yz sur celle de ci. Soit k le point de la ligne cb auquel se termine le càtéyx. Si l'on mène Jr/(Gg. 55) parallèle à la base bi, il est évident que les triangles bict kfc, seront semblables, et que de plus la base kf se trouvera divisée par la perpendiculaire et en deux parties ef , ke , qui seront entre elles dans le même rapport que ti et bt , ou que qz et qx (Gg. 56). Or, on ne peut mener du point k (fig. 55 )
394 TRAITÉ Donc , ad\ du :: al : aXy
ou *p: Vf+i?::Vg*+P,%-p'> ou &%-g%+p% »g'%+pl% .y.
Si du second terme de chaque rapport on retranche la moitié du premier, la proportion devient
ou jpp : : : +/,'■ : p'- — tf\
Or, le premier Rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle saillant du rhomboïde aigu ,
dans l'ouverture de l'angle bci aucune autre ligne qui ait les mêmes propriétés. Car imaginons que la ligne substituée à kft se relève au-dessus de celle-ci , en prenant la position kf. La perpendiculaire ce' menée du sommet sur kf sera évidemment plus petite que ce \ donc puisque Ton doit avoir
(ke'y + (ce')» = (*e)*-f (ce)tt = (<*)•,
Ae'sera nécessairement plus grande que kcy mais la ligne entière kf est plus courte que kf, donc le rapport e'f'.ke est
plus petit que — . On prouvera par un raisonnement analogue
que si la ligne kf substituée à kf, s'abaisse en dessous de celle-ci, le rapport entre les parties e"f", ke" de kf divisée
par la perpendiculaire ce" est plus grand que ^. Donc , dans
la superposition du petit triangle sur le plus grand, la ligne xz ( fig. 56) coïncide avec la ligne kf (Gg. 55) , d'où il suit que les deux triangles sont semblables.
et le second rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle plan du rhomboïde obtus. Donc les angles plans de ce dernier rhomboïde sont égaux aux angles saillans de l'autre.
Si dans la proportion
on ajoute le second terme de chaque rapport au premier, elle devient
Or, dans celle-ci le premier rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle plan du rhomboïde aigu, et le second rapport est celui du sinus total au cosinus du petit angle saillant du rhomboïde obtus; donc les angles saillans de ce dernier rhomboïde sont égaux aux angles plans de l'autre.
81. Connaissant le rapport entre les demi-diagonales de l'un des deux rhomboïdes , il est facile de trouver celui qui existe entre les demi-diagonales de l'autre. Supposons que l'on connaisse g' et //, et que l'on cherche £ et p. Je reprends la proportion
*pt-gt—pt"g't+p":p,%-g">
dont je dispose ainsi les termes ,
Ajoutant au premier terme de chaque rapport la
moitié du second, on a
g* — P% +P% • V : :/>*— §f + ^ir1 ■ g" +P",
ou
d'où l'on tire ,
Si l'on suppose au contraire que les demi-diagonales connues soient g et/>, on trouve
g* :p'::\/'Slf—gr Wf+p,
proportion dans laquelle les termes du second rapport sont des fonctions de g et de p semblables à celles de g et de p que présente le second rapport de la proportion précédente, en sorte que l'une des deux, prise à volonté, donne le résultat proposé, quel que soit celui des deux rhomboïdes dont ou suppose les diagonales connues. Cette ideutité dans les fonctions de gy p, et g\ p\ provient de ce (pie par une suite de l'inversion qui existe dans les angles des deux rhomboïdes, la coupe transversale de chacun d'eux est semblable aux faces de l'autre, ou, ce qui revient au même, le rapport entre les demi-diagonales de la coupe transversale de l'un est égal au rapport entre les demi-diagonales des faces de l'autre. Or, on trouve, en employant les formules du n* 6, que le rapport eutre les demi-diagonales de la coupa
transversale d'un rhomboïde est en général celui
de \/3p*— y: VV-W>*> la quantité \/$p% — g* étant l'expression de la plus petite des diagonales , si le rhomhoïde est obtus, et de la plus grande, s'il est aigu. Maintenant , lorsque dans la comparaison de deux rhomboïdes dont chacun a ses angles plans et solides réciproques à ceux de l'autre, celui dont on cherche les diagonales est aigu , auquel cas le second dont les diagonales sont censées connues est obtus , si l'on désigne par g' et p les demi-diagonales que l'on cherche , et par g et p celles que l'on connaît ,
g' étant alors plus petit que //, et \/3p% — g'* devant être aussi plus petit que V#*+/*% on aura
gip' :: Vty— g* : Vf+f i
et lorsqu'au contraire les demi-diagonales censées connues sont celles du rhomboïde obtus , auquel cas celui dont on cherche les diagonales est aigu , si l'on continue de représenter par g' et p\ les demi-diagonales inconnues, et par g et p celles que l'on connaît, ^ étant plus grand que p% et \/5p% — g* devant être de même plus grand que V^-f-p**
on aura encore , gf : p1 : : \/5p% —g* : vV + P* > d>où l'on voit que la proportion satisfait aux deux cas indiqués.
83. Concevons maintenant que le rhomboïde obtus fasse à l'égard de l'autre la fonction de noyau, et cherchons la loi de décroissement en vertu de laquelle*
3g8 TRAITÉ
il est susceptible de produire l'autre , ce décroissement étant censé agir sur l'angle inférieur du noyau dont il s'agit. Soit aosl (fig. 54) la coupe de ce noyau, et soit pyuh une coupe semblable à adsg, prise par des parallèles aux côtés de celle-ci , et que nous supposerons être celle du rhomboïde secondaire. Les triangles orp, a ni , sont semblables , orp étant lui-même semblable à dra.
Donc
orlpr :: V^'-d + ^Zr^ " anlnl:: ia'V^i
ou Vf?:£î-J.a::ia;\/F.
Donc
d'où l'on tire
Concevons au contraire que ce soit le rhomboïde aigu qui fasse à l'égard de l'autre la fonction de noyau, et supposant que le décaissement en vertu duquel il produit celui-ci agisse sur l'angle A, cherchons la loi de ce décaissement. Nous pouvons alors considérer adsg comme la coupe du noyau, et aosl comme celle du rhomboïde secondaire.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 399 Les triangles semblables axny aor, donnent
xn:an::or:ar::{n+i)\/*g%:— 3— .a. (voyez 21 ). Déplus, les triangles semblables axn, sdr, donnent xn:an::rs:dr::±a: Vîg*i
donc
Donc
ou
d'où l'on tire
11 est remarquable que les deux rapports qui expriment les valeurs de n soient la moitié de ceux qui expriment les cosinus des petits angles plans, dans deux rhomboïdes dont l'un est obtus et l'autre aigu. Nous avons déjà vu le rapport qui représente le cosinus du petit angle saillant d'un rhomhoïde obtus, ou plutôt la moitié de ce rapport, se reproduire de même dans le développement des analogies qu'offrent les résultats des décroissemens sur les bords inférieurs.
83. Dans l'hypothèse d'un rhomboïde obtus pris pour noyau, on peut aussi considérer le décroissement qui donne son inverse comme agissant par ren*
4oo TRAITÉ
versement sur l'angle inférieur ; désignant alors par n1 l'exposant de la loi qui se rapporte à ce decroissement , il sera facile d'en trouver la valeur d'après la
formule rl = ^JZ\ ( ^5) Si 'e noyau ^ un rhomboïde aigu , on pourra aussi supposer que le décroissement qui produit son inverse agisse par renversement sur l'angle supérieur, et désignant de même par v! l'exposant de la loi relative à ce décroissement , on en trouvera la valeur à l'aide de la formule = — •
84* Avant de passer aux applications , proposonsnous encore de résoudre le problème suivant. Etant données les demi-diagonales g et p d'un rhomboïde considéré comme noyau , et la loi de décaissement qui produit un rhomboïde secondaire, en agissant directement sur l'un des angles A, ey trouver la loi qui produirait le rhomboïde inverse de celui-ci, à l'aide d'un décroissement sur l'autre angle.
Soit p l'exposant de la loi qui agit sur l'angle A , et / celui de la loi qui a lieu sur l'angle e.
Le triangle xag (fig 5, pl. i5 ), qui appartient «p. rhomboïde produit par le décroissement sur Anges t semblable au triangle pmu ( fig. 42, pl. 18), au rhomboïde qui naît du décroissement sur une suite de ce que les coupes des deux rhr ont les mêmes angles; donc • — " " le&triar )lig.5), et mz« (fig. 42), te.
Donc xn\an (fig. 5 ) ou mulau II mz (fig. )'uz. Or, d'une part,
mu:au::-~±a:(v+i)\/&
Soit y la demi-diagonale horizontale du rhomboïde produit par le décaissement sur e. Nous aurons d'un* autre part
mz:uz:: vw%:i(i+7~ y^^T^y*-
Donc
ou
mais Donc
Prenant le produit des extrêmes et celui des moyens,
40 a TRAITÉ d'où l'on lire
ce qui conduit aux deux équations finales
85. Pour appliquer les résultats précédent, supposons d'abord que l'on veuille déterminer les demidiagonales du rhomboïde qui présente l'inversé du primitif , diîns la chaux cârbonatée , et la loi de decroissement dont il dépend. Dans ce cas , les demidiagonales du primitif étant désignées par g' et p' > et celle» de Pâttfr* rhomboïde par g et py si l'on
fait g' — V3> p' — , et si l'on substitue ces valeurs dans la proportion
g : p :: V¥'—fF-\/F^+¥* > on aura g *p :: V5.
Soit n l'exposant du décaissement, en supposant que celui-ci agisse cfivcctérîierrt strf l'àngle a^tta rhomboïde primitir. Nous avons a* = ^^~:; dôhc/i=*|;
c'est-à-dire que dan» l'hypothèse présente le décroissement se fera par cinq rangées sur l'angle e. Si nous supposons au contraire qae le décroissement agisse ar renversement sur le même angle , alors ri dési-
DE CRISTALLOGRAPHIE. 4o3 gnant le nombre de demi-diagonales soustraites en
largeur, on aura ri = f*1 yo*r plus
haut que cette dernière loi est la véritable, et j'ai déterminé les rapports entre les angles du rhomboïde primitif et ceux de la variété dont il s'agit ici , à laquelle j'ai donné le nom de chaux carbonatée in* verse.
86. Si l'on prend au contraire pour noyau le rhomboïde qui présente cette variété, et que l'on cherche les demi-diagonales g'9p'9 de celui qui fait à son égard la fonction d'inverse, et la loi qui serait susceptible de produire ce dernier, la proportion
devient
g'p' :: y/TZ : s/s :: y/% :
ainsi que cela doit être. Soit n l'exposant du decroissement qui est censé ici être direct sur l'angle supérieur ; la formule relative à ce mode dddécroissémeht
étant n = JL'^Ppi > on aura n—iy ce qui indiqué
un décroissement par quatre rangées en largeur; et si l'on cherche le décroissement inverse qui produirait le même rhomboïde, désignant par ri la loi de
ce décroissement, et employant la formule n'=^~^f
on voit que ri devient f , ou infiniment petit; c'està-dire que dans ce cas le rhomboïde est le même que
4o4 TRAITÉ
celui qui naîtrait d'un décroissement par une rangée
sur les bords supérieurs de l'autre rhomboïde.
87. Adoptons pour noyau le rhomboïde de i3j\* j que j'ai nommé équiaxe ; en continuant d'employer
les mêmes formules, et faisant g'— V^i2, p*=> V^5, on trouve que dans le rhomboïde qui fcit à son égard la fonction d'inverse, le rapport entre les demi-diagonales g et p est celui de s/Z à \/ 1 7 , que l'exposant n du décroissement direct sur l'angle inférieur, susceptible de le produire , est f^, et que l'exposant ri du décroissement inverse que l'on peut substituer au précédent est f .
88. Si l'on adopte au contraire pour noyau le rhomboïde aigu dont les demi-diagonales g et p sont
entre elles dans le rapport de V^3 à \/ 17, on trouve que dans celui qui présente son inverse ,
que l'exposant n du décroissement dont ce dernier dépend, et qui est censé être direct sur l'angle supérieur, est f , et que l'exposant ri du décroissemeut inverse qui peut être substitué au précédent est \.
89. Replaçons maintenant les deux rhomboïdes que nous venons de comparer, parmi les formes secondaires du rhomboïde de io4dï , qui est le noyau indiqué par la division mécanique, et supposant que Fou connaisse l'exposant du décroissement direct qui qst susceptible de produire celui des deux rhomboïde»
qui est obtus, en agissant sur l'angle A, cherchons l'exposant / du décroissement qui produirait l'autre en agissant de même directement, mais sur l'angle e.
11 faudra substituer aàr, \/3 à g , et Va à p , dans
.a M. ^-^gjgrfe. ce ,ui do»-
liera r'=^=f
Cette loi est la même que celle dont nous sommes
partis ci-dessus , pour trouver le rapport \/3 à \/v-] entre les demi-diagonales g' et p du rhomboïde qtd nous occupe. Cest ici le lieu d'expliquer le nom de chaux carbonatèe contrastante que j'ai donné à la variété à laquelle appartient ce rhomboïde. II est tiré de ce qu'il offre , à l'égard du rhomboïde équiaxe , la même inversion d'angles que le rhomboïde inverse comparé au primitif, inversion qui forme ici une sorte de contraste, en ce que l'un dès rhomboïdes est très aigu et^ l'autre très obtus.
En appliquant au cas présent le calcul que j'ai donné plus haut , à l'occasion du rhomboïde inverse,
et en faisant successivement g= \/i2,p= \/5j
pour le rotnboïde équiaxe, et gz=z \/3,/?= V^7? pour le contrastant, on trouvera que dans le premier, le rapport entre le rayon et le cosinus du petit angle plan est celui de 1 7 à 7 , ce qui donne pour cet angle 65d 4l'4"> et lue ^e rapport entre le rayon et le cosinus de la plu* petite incidence des faces est celui de 10 à 7, ce qui donne pour cette incidence
4o8 TRAITÉ
d'eux se confond avec l'arête de celui qui est censé le produire. Or, parmi ces rhomboïdes, les uns, tels que afsy, a£'sy\ résulteront d'un décroissement en largeur sur l'angle A du générateur considéré comme leur noyau commun, et les autres, tels que ad'.sg' ', act'sg", résulteront d'un décroissement én hauteur sur le même angle. Cherchons les formules relatives à ces deux cas.
, i*. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement direct; soient g, p, les demi-diagonales du générateur; tt, celles du rhomboïde proposé, et n la loi du décroissement susceptible de produire ce dernier. En général y— g. 2 {voyez page 5oi ).
Donc vr±y'=2W^
D'une autre part , si nous prenons pour exemple le rhomboïde dont la coupe est afsy, nous aurons
^n:an::mu(p 3ii):aa::(n+i)V/^:^^ V^9/>*— V- Mais on a aussi
a cause de l'égalité des axes. Donc
*Vïë^y dF^f- OH- OVl?: - %• ,
ou
2f :2::n+ii2n— i ; :m+i lan—iy a«iar"' — rr— 1 1 ; ;z.2f— n=^2,-t+ t.
DE CRISTALLOGRAPHIE. fcB
Donc 7i= ar x
2°. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement inverse. Soit r le rang du terme proposé. Nous aurons toujours y— g* et prenant pour exemple le rhomboïde dont la coupe est act'sg'\
d'rlarV. uy\au (p. 3 17) :: (h+i) VW^—^ V^?- Mais de plus >
d'rlarii^fpîîyfa* — 3>% ou f
Donc
(»+0V^:^V^::a/v1»;:W?5 ou Tï-f-i-i — 272:: 2^: 2;
d'où l'on tire
et n;
92. Passons tout de suite aux rhomboïdes qui naissent les uns des autres, en vertu de la loi E"E , et bornons-nous de même à ceux qui sont compris dans la série ascendante.
Soit ad*g (fig. 58) la coupe du rhomboïde générateur. Les coupes des autres rhomboïdes seront suc-
jio TRAITÉ
cessivemcnt les quadrilatères a!<ï$g\ a a"dn's,ngm , dans cliacun desquels la ligne a! g . a 'g", etc., qui représente l'arête supérieure, est parallèle à la diagonale oblique ad, ad' , etc. , du rhomboïde précédent. Parmi les divers rhomboïdes delà série, les uns, tels que a'V/Vg", tourneront leurs diagonales vers celle du noyau, et résulteront d'un décaissement en largeur sur l'angle e\ cl les autres, tels que a! d s g1, an,dmsmg,r\ auront leurs bords supérieurs tournés vers les diagonales du noyau , el résulteront d'un décroissementen hauteur sur l'angle e.
i°. Pour les rhomboïdes produits par un décroissenient direct. Soient g et p les demi -diagonales du générateur; y, tt , celles du rhomboïde proposé, et r le rang du terme auquel il répond. Eu général.
Menons du parallèle à la diagonale oblique inférieure du rhomboïde proposé. On aura
rfrouV^=(3)'VÏ?;
de plus
dr : rui: : ^\Zij7r%—3y\
Or, Donc
/Fou : JîfJ»:: ✓pttftMp-i.ft;
DE CRISTALLOGRAPHIE. 4" ou (jj . 3^73^ •• I-s-° >
et (i/ï t="::
d'où I on tire 2r=- — — ;
etenfiD, *==^— 1}.
20. Pour les rhomboïdes produits par un décroissement inverse. Soit dp une ligne parallèle à la diagonale oblique du rhomboïde proposé. Nous aurons encore
v1?=(i)Vl>', et y/^^Sy^.a.
De plus
dr :Pr:: ® Vï? : (î« + -—7) «^S^
on /i'r . a"+' , •» 7r-
ou (zj- . 3n 3«* 1 0 y
d'où Ton tire
et enfin n
4ia TRAITÉ
g3. Les formules auxquelles nous sommes parvenus, pour les séries ascendantes, s'appliquent, en sens inverse , aux séries descendantes , en sorte que nous sommes dispensés de chercher directement celles qui ont rapport à ces dernières séries.
Soit adsg (fig. 5$) le même quadrilatère que lîg. 57, et qui est, comme nous l'avons dit, la coupe principale du générateur relative aux rhomboïdes qui naissent les uns des autres, en vertu du décrohsement B. 11 est facile de voir que la coupe du rhomboïde qui donne le premier terme de la série descendante, sera le quadrilatère aGsD, qui a le même axe <\uead$g) et dans lequel les lignes «G, *D, qui représentent deux bords supérieurs se confondent avec les diagonales obliques ad, sg.
Or, nous avons vu (p. 367) que le même rhomboïde qui est produit par tel autre en vertu du décaissement B, peut à son tour en produire un semblable à celui-ci, à l'aide du décaissement E"E; donc, si par les points g, d, on fait passer la coupe dd's'tf du rhomboïde produit en vertu de ce dernier décroissement,par celui auquel appartient adsg, le rhomboïde dont il s'agit sera le premier terme de la série ascendante relative au décaissement Ef,E , c'est-à-dire que a'cts'g1 sera semblable à ad's'g
(fig.58).
En faisant le même raisonnement par rapport aux rhomboïdes suivans , on en conclura que les for-
mules relatives à la série ascendante pour les décroissemens dont le signe est EUE, s'appliquent à la série descendante , pour les décroissemens qui ont pour signe B.
D'une autre part, soit adsg-(tig. 60), le même quadrilatère que fig. 58, qui est la coupe du générateur, relative aux rhomboïdes produits les uns par les autres, à l'aide du décroissement EnE. On concevra aisément que la coupe du rhomboïde qui donne le premier terme de la série descendante, est le quadrilatère ÀDSG, dans lequel l'axe AS est le tiers de as, et les lignes AD, GS, qui représentent deux diagonales obliques, sont parallèles aux bords supérieurs ag,ds9 du générateur.
Or , la propriété inverse de celle qui a été énoncée plus haut est également vraie; c'est-à-dire que le même rhomboïde qui naît de tel autre , à l'aide du décaissement E,lE, est susceptible à son tour d'en produire un semblable a celui-ci, en vettudu décroissement B ; donc si par les points a , s, on fait passer
la coupe ad'sg' du rhomboïde qui résulte de ce dernier décroissement rapporté au générateur dont adsg représente la coupe , le rhomboïde dont il s'agit sera le premier terme de la série ascendante relative au décroissement B , ou , ce qui revient au même , acfsg'
sera semblable à acïs^ (fig. 57 ).
Le même raisonnement s'étend aux rhomboïdes suivans, d'où l'on conclura que les formules relatives
à la série ascendante , pour les décroissemens B , donnent également la loi à laquelle est soumise la série descendante, pour les décroissemens dont le signe est EnE.
94. Pour feire quelques applications, prenons d'abord la formule
qui se rapporte soit à la série ascendante pour les décroissemens B , soit à la série descendante pour les
décroissemens EnE; les signes supérieurs ayant lieu pour les décroissemens directs, et les inférieurs pour les décroissemens inverses.
Si l'on égale r successivement à 1, 2, 3, 4> 5, on trouve
La première valeur de n , qui est nulle , indique <rue la diagonale oblique du rhomboïde produit se confond avec l'arête du générateur, ce qui a lieu dans la variété de chaux carbonatée nommée équiaxe
La seconde valeur de n, qui est l'unité, convient à la variété de fer oligisle appelée binaire, et que j'ai décrite plus haut (p. 3 1 2 ). Les deux valeurs suivantes de Hj savoir y et f , quoiqu'elles rentrent dans les limites des lois connues, ne se sont point encore rencontrées dans les résultais de la cristallisation; et
-quand à la dernière valeur -Ç, qui s'éloigne déjà de la simplicité des lois ordinaires, elle n'est probablement qu'hypothétique.
Passons à. la formule f r-r , relative soit
à la série ascendante pour les décroissemens E1!E, soit à la série descendante pour les décroissemens B,
les signés supérieurs ayant lieu dans le cas des décroissemens directs, et les inférieurs dans celui des décrobsémehs inverses.
Eh égalant do même successivement la quantité r à 1,3, 3, 4 f 5 , on trouve
w = 3, /*=?, rc=H> n=yz, n=66\.
Si l'on continue de prendre pour générateur le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée , la première valeur de n, qui est 7, donnera le rhomboïde inversé (p. 36i); la seconde, qui est f, donnera le rhomboïde contrastant (p. 378).
Quant aux trois suivantes, leur défaut de simplicité semble leur donner l'exclusion parmi les produits de la cristallisation.
96» Les résultats preoédens conduisent, par un« marche différente^ la même filiation, entre les rhomboïdes nomîmés équiaxe , primitif, inverse et contrastant, qne nous avons déjà déduite des rapports entre les demi-diagonales de ces rhomboïdes ( 14).
Je terminerai cet article par la solution d'un, genre de problèmes qui achèvera de mettre dans tout
4i6 TRAITÉ
son jour la dépendance mutuelle qu'ont entre eux les cristaux d'une même espèce, en faisant voir sous combien de faces une même forme se présente à la théorie pour en varier les applications.
97. Soit «/(fig. 61, pl. 2o)un dodécaèdre à triangles scalènes. On peut concevoir dans l'intérieur du solide cinq rhomboïdes différens, dont chacun soit susceptible de le produire, à l'aide d'un décroissement simple. Le premier est celui dont les bords inférieurs analogues à D (fig. 62), se confondent avec les lignes ge} e/z, n/, etc. (fig. 61), et, dans ce cas, le dodécaèdre résultera d'un décroissement sur les bords dont il s'agit. Le second est celui dont les bords supérieurs B ( fig. 62) se confondent avec les lignes gs> *n (fig. 61 c'est-à-dire avec les arêtes longitudinales les plus saillantes du dodécaèdre, prises deux à deux, en partant du sommet, et lesquelles deviendront alors les lignes de départ des décroissemens. Le troisième est celui dont les bords supérieurs B, coïncident au contraire avec les arêtes les moins saillantes es j al } sur lesquelles agiront de même les décroissemens. Le quatrième aura ses faces parallèles aux arêtes les plus saillantes gs y ns y prises solitairement , et dans ce cas le dodécaèdre résultera d;un décroissement sur les angles latéraux £, E ( fig. 62 ) , de ce rhomboïde. Les faces du cinquième seront parallèles aux arêtes les moins saillantes e«, Is (fig. 61), prises aussi une à une, et le décroissement qui don- . nera le dodécaèdre aura lieu de même sur les angles £.
Or, il suffit que le dodécaèdre puisse être produit par l'un quelconque des rhomboïdes dont il s'agit , pour que chacun des quatre autres soit également susceptible de faire à son égard la fonction de noyau. Dans la même hypothèse, si l'on choisit deux quelconques des cinq rhomboïdes, chacun pourra donner naissance à l'autre, ou naître de lui, en vertu d'un décaissement sur les angles supérieurs ou inférieurs. INous nous bornerons ici aux résultats qui dérivent du premier rhomboïde considéré comme générateur, c'est-à-dire de celui dont les bords inférieurs se confondent avec les lignes ge^en, ni, etc.
98. Supposons d'abord que le noyau qu'il s'agit de substituer a ce générateur, pour en déduire hypothétiquement le dodécaèdre , soit celui dont les faces passent l'une par les lignes sg, sn, une seconde par les lignes sn , sy , etc.
Désignons par #,p, les demi-diagonales du générateur, par g1 , p\ celles du noyau hypothétique, par n la loi de décaissement qui donne le dodécaèdre en agissant sur les bords inférieurs du générateur , et par ri celle qui le produirait en agissant sur les bords supérieurs du noyau hypothétique. Etant donné g, p et , cherchons d'abord gf et p.
Soit adsg ( fig. 63 ) la coupe principale du générateur, dp , gUj deux des arêtes les moins saillantes du dodécaèdre, opposées entre elles , et gp9 du , les deux arêtes saillantes situées dans le même plan. Soient dr7 gc, des lignes perpendiculaires sur l'axe. I. 37
4i8 , TRAITÉ
Si par le milieu c de la diagonale ac nous menons pm, elle sera une des diagonales obliques du noyau hypothétique , et um sera l'arète adjacente à cette diagonale vers le sommet inférieur.
Or, en reprenant ici ce qui a été dit plus haut , au sujet des décroissemens sur les bords supérieurs (p. 290) , il est aisé de voir que la ligne mo perpendiculaire sur l'axe répond à dr (fig. 5 , pl. i5 ). Done
mo (fig. 63) » Vtpi
mais
puz=as-\-2ap=a-)-a =— ^j- <f(p. 369) Donc uo étant le tiers de l'axe pu, on aura
uo\ur\\ mo l dr\
ur=us-\-rs=
~ ci.
Donc
d'où l'on tire
Mais
ou V9P"— 3^â=J^7*
Donc
a>'-3(Sî)V =(M-0«' »
donc donc
Cherchons maintenant le rapport de ri à n. La ligne dr étant la même que 771a (fig. 5, pl. i5), pr (fig. 63, pl. 20) sera la même que au(fig. 5,pl. i5).
Or,
Donc Mais
Donc
an' — 1 n + 1 ara •+■ 1
d'où l'on tire
n'^n+i, et n—ri — 1.
gg. Soit maintenant n" l'expression de la loi qui donnerait le noyau hypothétique, comme forme secondaire du générateur , en agissant sur l'angle inférieur e de ce dernier. Si nous menons dh parallèle à cp , la première ligne sera une des diagonales obliques du noyau hypothétique, et nous aurons
aA = nr^-a' (p. 36g).
Mais aplah llaclad:: 1:2 ;
donc
7 a' 2a an=2ap, et — 2= .
D'ailleurs le générateur étant ici un noyau commun au dodécaèdre et au rhomboïde qui fait la fonction de noyau hypothétique , nous avons a' = a. Donc
ce qui donne
100. Soit#=\/3,/?= y/2 , comme dans la chaux carbonatée, et n = 2. Le dodécaèdre sera celui qui porte le nom de métastatique (p. 336). Dans le même cas on a
g'\p* : : y/3 : y/Tj , n' = 3 et »"=
Ainsi le dodécaèdre est susceptible d'être produit en vertu d'un décroissement par trois rangées sur le*
bords supérieurs du noyau hypothétique, dans lequel le rapport entre les demi -diagonales est celui
de \/3 à V17, et ce dernier, considéré comme forme secondaire du générateur, dépend d'un décroissement par trois rangées sur les angles inférieurs du même générateur; c'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde contrastant
101. On connaît une variété de chaux carbonatée, représentée ( fig. 64 , pl. 20), dont le signe rapporté
au véritable noyau est cD, et qui offre la réunion du
noyau hypothétique dont je viens de parler avec le
dodécaèdre auquel il donnerait naissance en vertu
du décroissement B. Assez souvent les faces m ont
une étendue qui semble les rendre prédominantes ^ comme on le voit sur .la figure, en sorte qu'ici les apparences sont pour l'hypothèse dans laquelle Fin-* verse serait le générateur du cristal.
102. Supposons maintenant que le noyau hypothétique soit le rhomboïde dont les faces passent , l'une par les lignes sk, se, une seconde par les lignes se, «7, etc., et continuons de nous servir de la ligure 63. Si par le milieu k delà diagonale nous menons px, elle sera une des diagonales obliques du noyau hypothétique, et ux sera l'arète inférieure conliguë à cette diagonale. De plus, si du point x nous menons une perpendiculaire xo sur l'axe puy il est évident qu'ellç sera sur la direction de ^la per-
4so TRAITÉ
pendiculaire mo, relative au cas précédent, puisqu'elle doit aussi couper l'axe au tiers de la longueur de celui-ci.
Soient encore rf, p\ les diagonales du nouveau noyau hypothétique, et ri la loi qui le produirait en agissant sur ses bords supérieurs. Déterminons d'abord g' et p\ Nous aurons
comme ci-dessus.
i/o : un :: xo\gn\
mais Donc
/z+i-.rm+i:: Vî^: Vîâfi
d'où l'on tire
/ n + 1 g * an + i * '
D'une autre part ,
comme ci-dessus , et à cause de
v-ks-ov. »"-<^)>=(^)'°--
Donc Donc
io3. Passons au rapport de ri à n. La ligne gn étant la même que mu ( Gg. 5 , pl. i5) , pn (fig. 63, pl. 20) sera la même que au (fig. 5, pl. i5). Or,
aw=^~ria'(p. 393),
MH- 63) =(^r + g>*'=
Donc
Mais d'après ce qui a été dit (p. 42 1 ) >
Donc
an' — 1 71+ 1 n-M arc'— 1 / § \ 1
ce qui donne
72 — — — et n= -7 .
Maintenant désignons par ri1 l'expression de la loi qui produirait le noyau hypothétique , comme forme secondaire du générateur , en agissant par renversement sur l'angle inférieur e de celui-ci. Si nous menons gl parallèle ixpx, gl sera une des diagonales obliques du noyau hyjxrthétique , et nous aurons
al=— 371).
D'une autre part, les triangles semblables skp%
4^4 TRAITÉ sgl, donnent
sp i si i: ski sg i 1 aj
donc sl=2spy et plssspi
donc puisque al=ap-^ply on aura aussi
al=ap+ sp = 2(as)+a/?= +ï)« = >
et égalant les deux valeurs de a/,
d'où l'on tire
= , et tz= — ■ .
io4- Supposons de nouveau que le dodécaèdre secondaire soit le métastatique. Nous aurons encore
donc
Dans le même cas ,
//=;, et ii'=\\
c'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde mixte (p. 380), et que le dodécaèdre peut résulter d'un décaissement par trois rangées en largeur et deux en hauteur sur les bords supérieurs de ce rhomboïde.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 4a5 La variété sextrigésimale de chaux carbonatée
(fig. 65), dont le signe est eeeDB, présente la
' cms r g
réunion de ce même rhomboïde et du précédent avec le dodécaèdre métastatique , c'est-à-dire celle des deux noyaux hypothétiques avec le solide auquel chacun d'eux pourrait servir de générateur. Cette variété renferme en même temps les pans du prisme hexaèdre régulier, et les faces du rhomboïde équiaxe.
io5. Concevons maintenant que le rhomboïde qui peut être substitué au générateur , dans la production du dodécaèdre, soit celui dont les faces seraient parallèles aux arêtes les plus saillantes sn (fig. Ci ) , figisy^ etc. Soient toujours les demi-diagonales du générateur, g\ p' , celles du noyau hypothétique, n l'expression de la loi en vertu de laquelle le générateur produirait le dodécaèdre, n1 celui de la loi qui aurait lieu sur les angles latéraux du rhomboïde hypothétique substitué au générateur, et ri1 celui de la loi à l'aide de laquelle le générateur produirait le noyau hypothétique. Etant données g, p, /*, il s'agit de trouver les autres quantités. Cherchons d'abord gf et/.
Soient adsg (fig. 66, pl. ai), et dpgu les mêmes quadrilatères que fig. 63, pl. 30, et soit a et s g (fig. 66) la coupe principale du noyau hypothétique. Ayant mené g' ni perpendiculaire sur l'axe pu> nous aurons , à cause du parallélisme des lignes a d >Pgy gnlpnll In' : an.
Di.
4aS TRAITÉ
Or,,
pnz=zap+an ={-^a+ja)=^Z^a >
donc substituant , D'une autre part,
gnlunll ctr l urf = ws'+rV :: VIF*"1 + W' Mai3
an = «5 4- ns= + ^ a = 3—3 ; donc substituant y
La première proportion donne
et la seconde
an 4- 1
571 Wf+S«'"
Egalant les deux valeurs de gn, et supprimant les facteurs communs aux deux membres , on trouve
DË CRISTALLOGRAPHIE. 4*7
d*où Ton tire D'une autre part >
us' =pu — /w'= pu — dp — ds = — us'
et
»(«0= — ; — =a sr+i'
d'où Ton tire
Cl — a . g 7-"V
n— i on-f*2 Mais nous avons eu gn ou
donc
(rc + o)a , , (an — a)a'
et substituant à la place de d sa valeur ,
, an
De plus , nous avons eu
/l — 1 on + 2
4 28 TRAITÉ ou, ce qui revient au même,
Et mettant à la place de g,% sa valeur ,
d'où
106. Dans toutes les recherches du genre de celle-ci, je détermine d'abord les valeurs absolues degf et de//, pour en conclure ensuite le rapport de ces lignes , parce que les solutions des problèmes en sont plus complètes. On abrégerait beaucoup le calcul en se bornant à trouver immédiatement ce rapport. Par exemple il suffirait, dans le cas précédent, d'avoir la proportion
gnou \Z±g> : ^z^.a :; V^'-î"' (p. 4*1),
qui se change en celle-ci ,
Elevant tout au carré, et égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, puis transposant, on
t)È CRISTALLOGRAPHIE. 4ia
trouve
»^,-(^)'3aV,-^Vl; .
d'où Ton tire
^.:i,'»::I3^:(^tl)V+4*»i
donc
(3rt— 3)2^ : V/(/2-f-2)*aà+I 2(/l— l)^
ee qui est le même rapport que ci-dessus,
