Pour trouver le rapport de vl à n, je reprends

l'équation us' ou a'p=a'. ^ a» D'une autre part,

considérant le dodécaèdre comme produit par un décroissement sur les angles latéraux du noyau hypothétique , nous aurons

a>==ia'(p-350-

Donc -V = -4— ,

an n + 2J

ce qui donne

n — , et n= — -, .

an 7 an — 1

11 reste à déterminer n". Pour y parvenir, j'observe que la diagonale oblique a! et du noyau hypothétique étant parallèle à l'arête pg du dodécaèdre, si l'on imagine que le rhombe auquel appartient la pre-

43o TRAITÉ mière se meuve parallèlement à lui-même, jusqu» ce qu'il se trouve en contact avec la seconde, ild facile de voir que le noyau hypothétique se trouvera situé à l'égard du générateur dont la coupe estody, comme un rhomboïde produit en v ertu « un ecrousentent inverse sur les angles e «Ie ce gene™'cm Donc pg répond à la même ligue (fig. 43»PL,8J

Donc np(fiR. 66, pl. a i )==-~-s • «(P- 370» mais <7/> rapporté au dodécaèdre a pour expression

i — n n — i d'où l'on tire

n = ~ et n = —.

Soit encore g = y/3 , p = y/j , a == y/9 , et /z iNous aurons

caèdre métastatique et celles du rhomboïde contrastant, en sorte que l'on a ici une espèce de conflit entre deux noyaux hypothétiques dont chacun serait susceptible de produire le dodécaèdre.

108. Il existe parmi les cristaux d'argent antimouié sulfuré une variété qui a beaucoup de rapport avec la précédente. La forme primitive de cette substance métallique est un rhomboïde obtus (fig. 62, pl. 20) , dans lequel le rapport de g kp est celui des

nombres \/5 à \/3, ce qui donne iogd 28' pour la plus grande incidence des faces, et 70^2' pour la plus petite. Dans le même rhomboïde, les angles plans sont l'un de io4d28', et l'autre de 75d3a'. La variété dont il s'agit , qui est représentée ( fig. 68 ) ,

se nomme unibinaire, et a pour signe DEf,E, en

sorte qu'elle ne diffère de la première , relativement aux lois de la structure , que par l'absence des faces analogues à m, m (fig. 67). En appliquant ici les formules relatives aux décroissemens sur les bords inférieurs (p. 324 et 3a5), on trouve pour l'incidence de h sur h (fig. 68) , 1 44d ^4'? et Pour ce" e de * sur io5d48'. L»a première de ces incidences n'excède que d'environ un demi-degré celle de r sur r (fig. 67 ), et la seconde de idy, celle de r sur la face adjacente a /, dans le dodécaèdre métastatique , qui résulte de

la même loi D. Cependant la différence est de 5d entre ™ incidences des faces primitives, dont l'une est l i09d28', et l'autre de i84d28'. Mais cette diffé-

45a TRAITÉ

, . /lîins les résultats des de-

rencc s atténue en passant dans

croisscmens qui donnent les formes se

Si l'on cherche le rapport entre les déminage nales^, du noyau hypothétique auxquelles appartiennent les faces i (f.g 68), en employant kl formules que nous avons données (p. 429)> on ivom

ce qui donne d'une part 80*26', pour l'angle plan au sommet du rhomboïde, et 9f)d 3-f pour laogle latéral; et d'une autre part 98di3' pour la plus grande incidence des faces, et 80*26' pour la plus

petite. La loi E,lE ou #, d'où dérive le même rhomboïde, ne pouvant être dans le cas présent, comme pour la chaux carbonatée, celle qui produit l'inverse du générateur , si l'on cherche cette dernière à Faille

de la formule w= (p- ^98), on trouve n = 3,

c'est-à-dire que l'inverse du véritable noyau de ItT" cei 1 1 a 1 1 1 i 1 1 1 01 1 ié s ii I f»- ' ^ésul lerai t d'un décroissenient

direct par quatre de ce noyau. Ai verse est dans le structure, quoique exemple.

109. Prenons ne le rhomboïde d(J 1rs moins saillan nkaèdrcj et dési

sur les angles inférieurs e vhomboïde in-

naires de la lisse aucun

DE CRISTALLOGRAPHIE. 433 mêmes lignes que ci-dessus (p. 427), et paf », »', les exposans des lois relatives aux mêmes parties , soit du générateur, soit du noyau hypothétique. Nous nous servirons de la figure 6g, qui est Semblable à la figure 66, avec la différence que dans la première la coupe principale detsg du noyau hypothétique a ses côtésàV,#V, parallèles aux arêtes dpy gu, comme cela doit être. Nous aurons égard à cette différence dans la solution du problème, qui d'ailleurs suivra la même marché que le précédent.

Cela posé, dr (fig. 69 ) : pr • : In : a'»', ou

D'une autre part ,

La première proportion donne et la seconde

r valant les deux valeurs de rfr, puis réduisant;

434 TRAITÉ d'où Ton lire

usfz=af . 1 .

D'une autre part

donc

us'—pu—ps = i

— s a -"^rr1

ce qui donne

f an + i n + i

mais crV ou

Substituant à la place de a' sa valeur, nous aurons

La même valeur de a! peut être mise aussi sou> cette forme,

î>F7-f- l fl —f- l

Vap"-3/' = . —-a,

et élevant tout au carré, pub laissant la quantité pr seule dans le premier membre ,

donc

^ :y ::g(6n— 6): \Ja\in-\-iy-\-i2g\n— i)%

l'apport qui ne diflere de celui que nous avons trouvé, pour le cas précédent, que par le facteur de a% qui est d'une part /i-f- 2 , et de l'autre rm-f- 1 .

1 10. Pour trouver la relation de ri à /*, reprenons

l'équation us ou a'/>=^£-p Si nous considérons

le dodécaèdre comme le résultat d'un décaissement sur les angles latéraux du noyau hypothétique,

nous aurons a'p = — ,a'(p.35i). Donc —, = — l-— :

d où l'on tire

n'= — ^— et n= — - — .

Maintenant pour avoir n", imaginons que le rhonibe auquel appartient la diagonale a'cf,sc meuve parallèlement à lui-même , jusqu'à ce que cette diagonale coïncide avec le noyau hypothétique se trouvera situé à l'égard du générateur, comme un rhomboïde qui naîtrait d'un décaissement direct sur les angles inférieurs e de ce générateur. Donc pd répond à la même ligne ( fig. , pl. 18). Donc

<*p(h- 69)=^ZTT-«(P- 369).

Mais la valeur de ap rapportée au dodécaèdre est

1 , 1 1 .a; donc — = ,

ce qui donne ri=n.

43$ TRAfTÉ

1 1 1 . La chaux carbonatée nous fournit encore ira application de ces divers résultats, dans une variée représentée figure 70, qui porte le nom de dOen-

néaèdre, et dont le signe est D*. On voit, par k

seule inspection de la figure , qu'elle offre Fasped d'un solide produit par un décaissement incomplet qui donnerait les faces y, y*j en agissant sur le< angles latéraux du rhomboïde auquel appartiennent les faces m , m1. Mais si l'on cherche les angles de ce solide dans l'hypothèse du véritable noyau , c'est-àdire si l'on fait £=^3, a=3, etn=î, dans le formules relatives aux décroissemens sur les bonl> inférieurs (p. 3^4 et 325), on trouve que l'incidence de y sur y est de 1 34d25' 2", et celle de y sur/ de io8d56'2r/. En faisant les mêmes substitution! d ans l'expression générale du rapport entre les diagonales g et p' du rhomboïde hypothétique (p. 435), on aura g \p :: V3 : V^7 5 de plus, la formule

n>=*JL±± donne /i'=f,

et à cause de w"= n , on a n =1 ; c'est-à-dire que le noyau hypothétique est le rhomboïde contrastant ( P- 378) , et que le dodécaèdre peut être produit en vertu d'un décaissement par cinq rangées sur ta angles latéraux de ce rhomboïde.

112. Si l'on imagine que les (aces gse (fig. 61, pl. 20) , *m , etc. , en restant fixes par leurs borebf ,

en, etc., se relèvent par leur sommet s, de manière à faire des angles toujours plus petits avec Taxe du dodécaèdre, il y aura un terme où elles lui deviendront parallèles , et alors celles qui sont situées de part et d'autre d'une même arête gey en, etc., étant de niveau, les douze faces n'en feront plus que six, qui se trouveront situées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier. Dans le même cas, les arêtes es^nsj etc., étant aussi parallèles à l'axe, chacun des deux noyaux hypothétiques se trouvera transformé en un prisme triangulaire équilaléral d'une hauteur infinie. Alors la quantité n! étant là même de part et d'autre dans les formules

(p.43i), et «'^^ (p. 435),

on aura

n + * an + i

ce qui donne «=1 , comme cela doit être, d'après ce qui a été dit (p. 34 1). Maintenant si l'on reprend l'une quelconque des formules qui donnent les valeurs de n* y par exemple celle-ci, nr=^~^y et

que l'on fasse n=i , on trouve n'=i , c'est-à-dire qu'alors le dodécaèdre est censé être produit ea vertu d'un décroissement représenté par | , sur les angles latéraux dè l'un ou l'autre noyau hypothétique. Voici ce que signifie ce résultat. Supposons que Vhexagone régulier akodfg (fig. 71) représente la

coupe horizontale du dodécaèdre; le triangle éqiilatéral aof représentera en même temps celle de l'un ou de l'autre des noyaux hypothétiques. Soit kh une perpendiculaire sur ao, et soit oxz le triangle qui est censé faire ici la fonction de mensurateur. Il sera l'analogue du petit triangle bnm ( fig. 37, pl. 17), qui est relatif aux décroissemens sur les angles latéraux. On aura donc

ox : xz :: bn\ nm (p. 349) :: -xn\ y*p ^

Or, dans le cas présent, n=~; et de plus la diagonale p étant infinie, la quantité g* s'évanouit. Donc

ox:.rs(fig.70 ::2^:y/^::2n:v/3::3: V3::\/3:u

ce qui s'accorde avec l'hypothèse présente, puisque

ce rapport \/Z 1 est celut de oh à A/fc, par une suite de ce que akodfg est un hexagone régulier. Mais ce résultat est purement idéal, le prisme triangulaire équilatéral étant exclus du nombre des formes primitives employées par la cristallisation.