II. DES DÉCROISSEMENS INTERMÉDIAIRES RELATIFS AD

RHOMBOÏDE.

1 1 3. Les décroissemens nommés intermédiaires dépendent de deux élémens variables qui doivent entrer clans leur calcul. L'un est le rapport entre les nombres d'arêtes de molécule soustraites sur les deux côtés de l'angle vers lequel se fait le décroissement.

L'autre est le nombre de rangées soustraites, ou la distance entre le même angle et le bord de la pre-

mière lame de superposition. La fraction - représen-

tera le rapport dont je viens de parler , et je continuerai de désigner par n le nombre de rangées soustraites.

À mesure que diminue à l'égard de x, le bord d& chaque terme s'incline toujours davantage sur l'aréte dont 9 fait partie, jusqu'à ce qu'enfin il se confonde avec cette arête, au point 011 y s'évanouit. D'une autre part, à mesure que y augmente à l'égard de x> le bord de fchaqiie lame décroissante approche davantage du parallélisme avec la diagonale opposée à l'angle vers lequel se fait le décroissement,et lorsque y devient égal à a?, on a un décaissement ordinaire sur les angles.

Il suit de là que cette espèce de décaissement n'est autre chose que le dernier terme de la série des décroissemens intermédiaires, en sorte que dans les formules générales qui représentent ces décroissemenst, et dont la recherche est l'objet de cet article > il suffira de faire yz=zx, pour avoir les résultats relatifs aux décroissemens propren^ent dits sur les angles. Je n'ai pas laissé de donner des formules particulières pour ces derniers décroissemens, qui sont plus familiers à la cristallisation > parce que l'usage de ces for^ mules revenant à chaque instant, il est plus commode de les trouver toutes préparées, sans être obligé de les simplifier, en faisant disparaître x et y*

Les décroissemens intermédiaires relatifs au rhomboïde peuvent agir, soit sur les angles latéraux E, et cela de deux manières différentes , suivant <jue * répond aux bords inférieurs D, et^y aux bords supérieurs B , ou que c'est l'inverse qui a lieu ; sait l'angle inférieur soit sur l'angle supérieur A. ces derniers décroissemens , x et y répondent toujours l*un et l'autre aux deux bords Dou B, adjaceos à l'angle qui subit le décroissement. Je vais exposer successivement les résultats relatifs à ces quatre modifications.

I. Décroissemens intermédiaires sur tes angles E, x étant dans le sens de D, ety dans le sens de B.

114. Soit aiidb (fig. 72, pl. 21) une des faces supérieures du rhomboïde qui fait la fonction de générateur, et y\irC, deux parallèles aux bords produits par le décroissement. H est facile de concevoir qu*ici comme dans les décroissemens ordinaires sur les angles latéraux , le solide secondaire sera en général un dodécaèdre à triangles scalènes. Soit XH (fig. 73). ce do* décaèdre, et as le noyau rliomboïdal qui lui est inscrit; soit de plus adsg (fig* 74) k coupe principale du noyau ; soient gx , gh , les mêmes arêtes que QX % QH (fig. 73 ), dont la dernière passe par l'angle d, et l'autre se forme à une certaine distance au-dessus de la diagonale ad (fig. 74)- Quant aux lignes v»y i>hy elles représentent les arêtes opposées aux précédentes sur le dodécaèdre. Menons dp parallèle à

DE CRISTALLOGRAPHIE. 4fa

elle sera située comme la diagonale oblique d'un rhomboïde résultant d'un décaissement sur l'angle rf, dans lequel la distance d'une lame à l'autre, prise dans le sens de da , serait la même que pour le dodécaèdre dont il s'agit. Soit dJtf\e triangle mensurateur rapporté au plan pds j A/ représentera une arête de molécule, c'est-à-dire que si nous désignons par g la demi-diagonale horizontale, et par p la demi-diagonale oblique de la molécule , nous aurons

Reste à trouver l'expression de dk.

Pour y parvenir , concevons que la position de la ligne yX (fig. 72) soit relative au cas où il n'y aurait qu'une rangée de soustraite par l'effet du décroissement intermédiaire sur l'angle u. Menons X/jl parallèle à da , yx perpendiculaire sur \fi , di parallèle à >A, puis ayant pris & égale à uy, menons ârv parallèle à di) et enfin v$ parallèle à au. Il est clair que di, et enfin r3" répondront aux bords de deux lames consécutives, et par conséquent dv sera la distance d'une lame à l'autre, prise dans le sens de da , en ne supposant toujours qu'une rangée de soustraite. Ainsi l'on aura dv*n=dk (fig. 74). La question se réduit donc à trouver l'expression algébrique de dv (fig. 72).

Or, Ajtt mesure autant de fois la demi-diagonale oblique d'une molécule , qu'il y a d'arêtes de molécule contenues dans MX+wjU=3jrVV'*-f-Jp'ft 5 donc

Di.

on peut représenter A/a par zp'x. D'une autre part,

a>v=&=zuy=y Vg'*+pr%- Or, les triangles semblables o>vd, >/**, donnent

ou

Donc donc

ou, parce que les dimensions de la proportionnelles à celles du noyau ,

e sont

Si nous prolongeons ga jusqu'à la rencontre jr de dp, nous aurons aussi

J J Donc, puisque da = 2p, nous aurons

y nxy ^ 1 P

1 15. Cherchons aussi le prolongement av de da, jusqu'à la rencontre de vx.

Soit as ( iig. 75) le même générateur que fig. 74;

soient tm9 les lignes de départ du décroissement considéré sur la face audb, et tu celle qui leur correspond vers l'angle b considéré sur la face abng. Bornons-nous à considérer ce qui se passe à l'égard de tm et tu, et menons my, tyy «0, te, de manière que les plans tmy, tue soient parallèles aux faces CXQ > CXB (fig. 73). Soient enfin mftb (fig. 7$), rtbu> mlyb, bexu , les parallélogrammes qui ont pour diagonales les lignes tm} tu, my, eu. Nous aurons ez=by7 elyz — be. Menons la diagonale bz du rhombe bezy> et par le point c où elle coupe ue et my, menons et. Il est aisé de voir que le triangle bet est semblable au triangle vag (fig. 74)- s* l'on suppose que le rliomboïde as (fig. 75) soit tourné de manière que l'angle b coïncide avec l'angle g ( fig. 74 ) > bc

C %• 74 ) tombera sur gs ( fig. 74 ) 5 ^ ^ur #a 5 e*; c* sera parallèle à l'intersection vx des deux faces qui se réunissent sur cette même arête.

Or bm et bt (fig. 75) renferment autant de fois,

Punc la quantité x \/gf% + />'% et l'autre là quantité^ vVa~f~jP% q«'U y a de rangées soustraites; donc . , .

bm =nx vV*+//% et ô£=Azy Vtf'+p'*-

Déplus, e'tant égale à la différence en hauteur entre deux lames consécutives de superposition, prise dans un sens parallèle à bn, il est visible que by est

égale à i/(<ig. 74)- Donc bj— \/]f*+p'%-

Les triangles semblables bmc,'yze (6g. 75), donnent

bm:yz=by::bc;cz, ovt bmlbyr.bclbz—bc.

Substituant les valeurs algébriques , et faisant attention que J^=3/>f, par une suite de ce que

on aura

nx VfF+fF : vV+/>'â:: hc : 2P' ~~ bc* d'où l'on tire

Donc

Mais

vÇ1^: a» (fig. 74);

apr

donc a' = ^+ï

1 16. Cherchons encore ap et a*.

Pour ap. Les triangles semblables pay, psd>

donnent ap:ay::ap+as:dsr ou

«P- ~* Vf+pllap+al Vg+P'i

DE CRISTALLOGRAPHIE* ftS tfoù Ton tire

a*. Pour ax. Les triangles sa? , xsg9 étant semblables , on a

<uc:avm:ax-i-a3 :sg>

ou

ce qui donne

ax = ; — .a.

Tixy — x+y

xi 7. Avant d'appliquer les données précédentes > j'observe que si Ton fait passer dans le dodécaèdre six plans coupans, dont chacun coïncide avec deux: arêtes latérales contiguës , telles que CQ, CB? ces plans intercepteront un rhomboïde inscrit dans le dodécaèdre , comme le rhomboïde calcaire primitif Fest dans le cristal métasta tique ( voyez p. 41 )•

J'ai à prouver que ce rhomboïde peut être substitué, comme noyau hypothétique, au générateur, de manière 31 en (aire dériver le dodécaèdre, par une lad ordinaire de décaissement sur les bords inférieurs , et que le même rhomboïde est susceptible à son tour d'être produit par le générateur comme forme secondaire.

Cherchons d'abord les expressions des demi-dia» gonales et pr du rhomboïde dont il s'agit. Soit yqtv

Di.

( iig. 74) sa coupe principale. La ligne qey perpendiculaire sur Taxe, étant représentée par \/|#% *°n expression en fonction de x,yy a et /?, nous donnera la valeur de^'.

Or, d'une part, dr\hr\\qe\eh, et d'une autre part, driprllqelex; donc eh\ex \\hr\pr.

Ayant trouvé le rapport entre eh et ex , et connaissant la somme as-\-2ax de ces quantités, nous en déduirons la valeur de 2I1 , qui, étant mise à sa place dans la première des proportions précédentes , nous donnera l'expression de qe.

Maintenant

donc

eh'exy.nxy-\-2x-\-y\2nxy-\-x — y.

Maintenant, soit nxy + 2x-\-y = ni , et anxy-t-x — y=nr. Nous aurons

77i' -f- ri : m' " I hx = as + 2ax ! eh \

et mettant à la place de ; valeurs

3nxy-{- 3#: nxy + 2.v+^

«s et a.r, letO*

ai

donc la proportion drlhrllqeleh deviendra

30 3/ixy+3jr-3x \nxy-x+y 3nxy+3x J*

ou ^.x..^:î^±£±y.

d'où Ton tire

/ nxy-f x+jr * °* nxy + x '

Pour avoir la valeur de j/, commençons par chercher celle de yi ou de a', qui est le triple de la différence entre eh et ex.

Nous avons eu plus haut

eh:ex::nxj+2x+y:2nxy+x—yi

donc

eh-{-ex:eh — ex::3nxy + 3ar:x+y — nxjr.

Mais

ou Ax=^±-^.a.

Substituant cette valeur à la place de eh+ex, et \a* à la place de eA— ex, nous aurons

nX)'-f-X+y ,

d'où l'on tire

nxy-r-x * nxy—x+y9 Qp'» 3V.=0. /x H- ay - «m»/^ + x+yy

^ 6 Vs «wy+jr J\rucy—x-f.jJ-

Et mettant à la place de g'* sa valeur^^^^i^ , puis dégageant //* et simplifiant ,

donc

1 1 8. Voyons maintenant s'il est possible que le dodécaèdre résulte d'un décroisseraent sur les bords inférieurs du noyau hypothétique. Sok N le nombre

de rangées soustraites. On feura yx=x flZT7ta'*

• Lnjy-a:+} \ nxy+x J\nxy—x-+-y)j

—a(nxy-l . 2fjr±£±2\

\nxy + x nxy — x+yy

Donc l'équation ^x=^-~ -.a' devient

fnxy—J£ nay+x-f^X 1 /x+*y-nxy nxy-\-x+y\ \n*y+x' nxy — x+y) N~î* \ /ixy+j — x+y/

ou

jmsx — ^ — nÎtt(* + v — »90 ;

d'où l'on tire N a j^m* Donc , puisque a? , y et /i

sont des quantités rationnelles , il y aura toujours pour N une valeur qui sera elle-même rationnelle.

La formule précédente donne aussi w=^i^tï-

119. Le dodécaèdre étant également susceptible d'être produit , comme forme secondaire, par le générateur et par le noyau hypothétique, nous pouvons déjà en conclure que ce dernier est lui-même forme secondaire relativement au générateur. Mais pour le prouver directement, concevons que les lignes vy, ve, qi,yq, se meuvent parallèlement à elles-mêmes, en s'éloigna nt du centre, jusqu'à ce que le quadrilatère adsg se trouve inscrit dans le quadrilatère yq'-v , comme on le voit figure 76* S'il existe uu décroissement admissible , en vertu duquel le générateur puisse produire le noyau hypothétique, on voit, à la seule inspection de la figure, que ce décroissement doit agir par renversement sur les angles inférieurs du générateur. Soit n' le nombre de rangées soustraites. Nous aurons cette série de rapports :

yy' (fig- 74): Y'y :: (fig. :6):/y' :: y/&>: W

donc

g' : ia'::g : ,.a.

Mais en comparant les valeurs dc^' et de a', que nous avons dounées plus haut (p, 447.) > on en con~ dura que

t / . . A* 4- s V — n ry\

45o , TRAITÉ

et

(x^-fly — nxy\ ,jn' -E- 1

d'où Ton déduit

ce qui indique la possibilité du cas dont il s'agit.

La figure 74 a &é tracée d'après la condition que la diagonale oblique yv du noyau hypothétique diverge moins avec l'axe hx que l'arête ag du générateur. Nous verrons plus bas qu'il peut arriver que cr soit le contraire qui ait lieu, et que dans ce cas lu même formule peut être encore employée pour déterminer la valeur de y!.

1 20. Il nous resle à trouver les formules qui donnent les incidences mutuelles des faces du dodécaèdre, aux endroits des arêtes QX (fig. 73) , CX , BX, etc. Si nous menons les lignes BQ, CN, qui seront les diagonales horizontales de deux faces du noyau hypothétique , et si des points a; A , situés au milieu de ces diagonales , nous menons a>fi , A3* , perpendiculaires l'une surCX, et l'autre sur le prolongement de QX , le sinus de la moitié de la plu* grande incidence des faces du dodécaèdre sera au cosinus :: Bw: ûijtt ; et le sinus de la moitié de la plus petite incidence sera au cosinus ** CA t«^A.

Or, les quantités p,x, y} n, étant supposées être

tized by Go<

DE CRISTALLOGRAPHIE. 45i

connues, il est facile, d'après les formules données plus haut, d'en déduire les expressions de g\p\ N , et parce que ha> ou CA est égale à g\ on pourra trouver les incidences cherchées , en considérant le dodécaèdre comme produit par. un décaissement sur les bords inférieurs du noyau hypothétique , et en se servant des formules ordinaires relatives à cette espèce de décroissement (p. 324 et suiv.). Mais pour donner aussi une solution directe du même problème , nous allons chercher les expressions des rapports entre les sinus et les cosinus des angles du dodécaèdre, en fonctions degyp,n, x,y.

Commençons par le rapport entre Ba> et o»/a, Nous avons déjà Baou

° ô nxy -f- y

donc tout se réduit à trouver la valeur de &fi. Si nous menons y£ (fig. 74) sur vx, elle sera le double de oj/t. Or , les triangles semblables y£x , gux , donnent gx : gu :: yx : y cT.

Mais

/ , , nxy + 2x + y

donc

4 Vixy+j? nxy — x+y/

Mettant à la place de gx, gu> et yx leurs valeurs, et prenant la valeur de ~ y<P, on a

Les valeurs de Bo> et de oùfjt. ayant pour facteurs communs les quantités g et si 1 on supprime

celles-ci, on aura

V V3n.ry+3y— 3x/

! : \/ ry + ax + y j^a + (nxy +y — x) ^ :{nxy—y)i/â\

Maintenant, pour avoir le rapport entre CX et A3- ( fig. 73 ) , il sullit de trouv er la valeur de \& , parce que 0 = Ba> , dont nous connaissons déjà la valeur.

(Un- 74) ^lant *a niùmc ligne que fig. 78, du point e (lig. 74) menons cÇ perpendiculaire sur xÇ, et qui .sera le double de AS*. Les triangles semblalies pdr, .r<, donnent dpldrll txleÇ ; mais

<lp — V(pry-t-{dr)*, dr=y/*g*, pr=ap+^a

ry+r — y

donc

, itxy— y # nry + x-f ^ ' *7ixy + x * nxy — x+y

'nxy+x^nxy — x + y

Mettant à la place de dp, dr et &c leurs valeurs, et prenant la moitié de celle de é£, on trouve

( x+y nxy + x + y\ /— ±éÇ ou A3- = a

\/Çj5nxy — 3a: + 3 -y)- a

Comparant les valeurs de C\ et de A3- (fig. 73 et 74) , çt faisant attention qu'elles ont pour facteur commun

la quantité g\ ? que Ton peut supprimer , on aura

Di.

Dans tout ce qui précède, nous ayons supposé que le dodécaèdre tournait ses arêtes les plus saillantes QX, BX, etc. (fig. 73), vers les laces du générateur, ou, ce qui revient au même, que eh (fig. 74) était plus grande que ex. Les choses étant dans cet état, si Ton imagine que la quantité n v ienne à augmenter progressivement , les arêtes QX, BX,etc. (fig. 73), deviendront moins saillantes, tandis que les intermédiaires CX, NX, prendront plus de saillie, et il y aura un terme où les unes et les autres faisant avec Taxe HX des angles égaux, le dodécaèdre se trouvera composé de deux pyramides droites réunies base à base. On aura donc alors eh (fig. 77)=^, ou hr=pr, ou algébriquement nxy-\-2x+y=mxy-)rx — y) d'où l'on tire

Ainsi, il y aura toujours une loi susceptible de satis-

faire au cas dont il s'agit.

Si dans l'équation N = — on met à la place

* nxy — y r

de n sa valeur — , relative à ce même

xy

trouve N=i. C'est effectivement ce qui

car yx (fig. 74 ) étant alors égale à ex (fig.

quation >^ = ^^« devient ex = ^m

parce que le * hypothétique se trouve un simple x la base commune

DE CRISTALLOGRAPHIE, pyramides , al s'évanouit ; donc

ex es jy^TY 5 ^onc — 0<Mf=o, ou N — 1 = 0,

ce qui donne N = 1 .

122. A mesure que le dodécaèdre approche du terme où il se trouve composé de deux pyramides droites , la diagonale oblique yv (fig. 74) du noyau hypothétique diverge de plus en plus avec l'axe , et il y a un point où elle devient parallèle à l'arête ag du générateur. Alors la quantité //' s'évanouit, c'est-

à-dire que dans l'équation ri=

x-hy — nxy

on a

x+jr — nxy = Oj et nxy=x-\-yy d'où il suit que le cas dont il s'agit a lieu lorsque

Au-delà du même terme, la diagonale yv faisant avec l'axe un angle plus ouvert que l'arête ag, le décroissement en vertu duquel le générateur produirait le noyau hypothétique ne peut plus se faire sur Tangle e de ce générateur. Il a lieu par renversement

iv l'angle A. Mais la formule ri=

x+y — nxy

iyant

-même propriété que celle qui a été donnée pour [écroissemeus ordinaires (p. 373), avertit d'abord changement, en donnant pour ri une quantité e, et cette quantité prise avec un signe con- ►resente la H du décroissement*

123. Pendant les variations que nous venons de considérer, n continuant d'augmenter, le point v monte de plus en plus, taudis que le point q s'abaisse : alors le dodécaèdre tourne ses arêtes les moins saillantes, telles que qx, hu (fig. 78), vers les diagonales obliques du générateur, et ses arêtes les plus saillantes vx, qh, vers les bords supérieurs du même générateur. Le noyau hypothétique dont qyve représente la coupe principale se trouve alors dans une position renversée, relativement à celle qu'il avait d'abord (fig. 74)? c'est-à-dire que ses diagonales obliques yq , eu, et ses arêtes supérieures yv, eq , correspondent à celles du générateur.

Dans le même cas ex est plus grande que eh , et si l'on cherche les valeurs de g' et de p, en opérant comme ci-dessus, on verra d'abord que celle de g' reste la même , c'est-à-dire que

f nxy+x + y

0 0 nxy-\-x

Mais pour avoir celle de p, il faudra mettre ex— eh à la place de eh — ex, ou nxy — x — iy , a la place de x + oy — nxy , et l'on trouvera d'abord

, nxy — x — ay nxy-4-x+y a —a. — ^ ; L. — ~r^9

nxy+x nxy — x+y

puis

/» r"i */nvY — x — 2yV 1 1 mmm\^x'hnxYmi"y\%

P =ba\^y-I+y) J(-^+-r) î

donc

valeurs qui ne diffèrent des premières que par la substitution de nxy — -x — ny à x-±-2y — nxy, provenant de celle de ex — eh à eh — ex, et qui dépend d'un simple changement dans les signes + et — des quantités du numérateur.

1^4- En procédant d'après la même substitution y

relativement à la valeur de N, on aura N=^^ — — ,

quantité qui n'est autre chose qu'une inversion de celle à laquelle conduit la supposition de eh plus grande que ex. On tire de la même formule

Nx4-Ny4-y n = ■ — .

xy

Pour trouver n\ on partira du rapport

(Kg. 74):: VW'-ï Va71}

mais d'une autre part, le décroissement qui donne le noyau hypothétique ayant lieu sur l'angle A du générateur, on aura

?e:^2î(»f + OV^:îî^V^?(p.3ii)î

donc

g' : 2 \JcF: :{n'+\ )g : ( iri— 1 ) s/tf.

Substituant aux rapports entre g' et g, et entre a' et a ceux de leurs valeurs algébriques, on aura

J nxy -\- x+y

458 TRAITÉ d'où l'on déduit

* nxy — x — y

expression qui ne diffère encore de celle que avons obtenue (p. 45o) que par le changement <k en — et de — en -f- dans le numérateur. Mais il n'y a aucun changement à faire entre les sinus et les cosinus des incidences des faces du dodécaèdre y en sorte que relativement à celle <Jes face* CXQ,CXB, qui dans l'hypothèse présente sont les moins inclinées l'une sur l'autre, le sinus sera encore au cosinus

et que relativement à l'incidence des faces NXQ, CXQ, qui maintenant sont les plus inclinées entre elles , le sinus sera toujours au cosinus

Je vais en donner la raison , en prenanfrpour exemple ce dernier rapport. Soit on (fig. 74) une ligne menée du milieu o de la diagonale ad, perpendiculairement sur l'arête qx. Le rapport dont il s'agit sera le même que celui de la demi-diagonale g du rhorabe abdu ( flg. 73 ) à la perpendiculaire on (fig. 74). Or , pendant toutes les variations que subit le rhomboïde» soit que Ton ait eh plus grande que ex, ou ex plus grande que eh, g est constante, et la ligne on, en restant fixe par son extrémité o, ne fait autre chose

que varier dans sa direction et dans sa longueur. Donc les quantités dont est composé le rapport conservent leurs fonctions, en sorte que n change seulement de valeur. Le même raisonnement s'applique à la ligne fi, menée du milieu de gs perpendiculairement sur le prolongement de ag*, et considérée comme cosinus de l'inclinaison relative au premier rapport, dans lequel on a aussi pour sinus la demi-diagonale g du générateur.

ia5. Dans la construction représentée par la figure 74, le noyau hypothétique a ses demi-diagonales gf et pf dans un rapport différent de celui des demi-diagonales g et p du générateur. Or , à mesure que le dodécaèdre approche de l'état où il se trouve composé de deux pyramides droites, le rapport g'\p' diffère de moins en moins du rapport g*p<> en sorte qu'il y a un terme où les deux rapports deviennent égaux, c'est-à-dire qu'alors le noyau hypothétique est semblable au géne'rateur. On a donc alors (p. 44$)

ou

d'où Ton tire

r 6 3 \ nxy — x + y/

Mais

/fio TRAITÉ donc

x 2 y — nay

d'où l'on déduit

Ainsi , il y aura toujours une loi susceptible de rcun j)lir la condition proposée.

Connaissant la loi qui donne le dodécaèdre rapporté au noyau hypothétique, il est facUe de trouver les v aleurs numériques de p9 x et y dans la supposition présente. Car si l'on considère Je noyau hypothétique comme faisant à son tour les fonctions de générateur, et celui-ci comme étant le noyau hypothétique, la loi qui le donne sera désignée par N, qui est censé connu, et celle qui donne le noyau hypothétique aura n pour exposant. Or, d'une part,

Ny+ar+y

Nxy

à l'ordinaire (p. 449)* ^IUS 'd cause de la similitude entre les deux noyaux, w=^^"— . Donc

J 7 2xy

Ny + x-|-y sx+y

JN — a >

d'où l'on tire

x \y ::N+2 : aN — 2.

Ayant trouvé les valeurs numériques de x ety , et les substituant dans l'équation 7* = ^^, on aura l'expression numérique de n.

126. Supposons maintenant eh=i (ex). Dans ce ieas, le solide secondaire sera un rhomboïde qui aura la ligne qe pour perpendiculaire sur Taxe. On aura donc nxy+2x+jr=2(2nxy+x — y)'(yoyëz^. 44^)>

d'où l'on tire 72=-, expression qui aura toujours

lieu, quelque valeur que l'on donne h y. Voici ce que signifie ce résultat. Soit an ( fig. 79) un rhomboïde qui ait ses sommets en a et en n. Supposons un décaissement ordinaire par plus d'une rangée sur l'angle bdf, et soit osr un plan parallèle à la face qui en résultera. Ce décroissementen entraînera deux intermédiaires sur les angles bdn,fdn, des faces adjacentes* et il est facile de voir quç si l'on considère, par exemple, celui qui a lieu sur l'angle bdn , on aura rib=ar, ds"=y. De plus, le décaissement se fera en hauteur, de manière que dr représentera le nombre de rangées soustraites dans le même sens. Donc si l'on désigne par n la distance entre d et as ,

on aura 71= 7- Mais dr=do=x : donc n=z - , ce

tir 7 ,x7

qui aura toujours lieu, quelle que soit la valeur de ds ou de y. Le cas dont il s'agit ici se rapporte donc implicitement à l'effet d'un décaissement ordinaire, dans lequel le décaissement intermédiaire agit subsidiairement.

Si l'on tait #=2? on aura n=\. Supposons de plus y = 1 . On trouve dans ce cas

4Ga TRAITÉ

ce qui indique que l'axe du rhomboïde est infiui 5 et ainsi les faces produites sont disposées comme le pans d'un prisme hexaèdre rcguHer. Ce cas est celui de la chaux carbonatée prismatique, dans laquelle les décroissemens intermédiaires qui secondent l'effci

soustractions de deux rangées en hauteur. C'est et que l'on concèvra aisément , si l'on fait attention que le décaissement principal ayant lieu par deux rangées, on a (fig. 79) do ou y — i , et dr—i\ donc n

ou gj; = £=^. A Tégard de ds ou dejr, il est visible

qu'elle égale l'unité.

127. Pour faire quelques applications, je commence par la variété de chaux carbonatée que j'ai nomme? paradoxale, et qui est représentée (fig. 80). Son signe

est (E"EB,D*)DE,,E, c'est-à-dire que les faces x, *,

étant celles qui sont données par le décroissent intermédiaire, les faces r, r appartiennent au (dodécaèdre métastatique , et les faces f,f au rhomboïde inverse.

On a donc, dans le cas présent, #=2,^=1, n=i. La quantité n étant ici plus petite que la fraction - ,

donnée par la formule n 2= > relative au cas du

dodécaèdre à double pyramide droite (p. 454), on voit que le solide produit par le décroissement intermédiaire tourne ses arêtes les plus saillantes vers le»

)igitized by Go<

laces du générateur , comme dans la figure 73, où, ce qui revient au même , eh est plus grande que ex

Si Ton cherche , d'après les données précédentes , le rapport entre les demi-diagonales g\ p\ du noyau

hypothétique, on trouvera (p. 44#) ëf'p V^iS, d'où l'on conclura que ce noyau est semblable au rhoi

fil

mule N = -^^- (p. 448) donne N=3, d'où il

suit que le dodécaèdre est susceptible d'être produit en vertu d'un décroissement par trois rangées sur les bords inférieurs du noyau hypothétique.

De plus, la formule n=X^~^^ nT^ donne n '= ~,

ce qui fait connaître que le noyau hypothétique peut résulter d'un décroissement par une rangée sur les angles inférieurs du générateur; et telle est effectivement la loi qui convient au rhomboïde inverse.

Si dans le rapport de Bâ» à cû/jl (p. 45a ) on substitue les valeurs de * ,yy a , g , on trouve

Bcûiu'f/,:: V/53:v/3,

ce qui donne pour l'incidence de CXB sur CXQ (fig. 73J i53di3'58";et si l'on fait les mêmes subëtitulions dans le rapport de CA à Ad* (p. 453) , ou

trouve CA:A9-:: v/29 : v/37,ce qui donne 92* 3' 10" t>our l'incidence de CXQ sur NXQ.

11 est remarquable que les plus longs bords de*

faces r, r (fig. 80), qui appartiennent an métastatique soient parallèles entre eux. Cette propriété dépend de ce que l'arête o, qui est parallèle à çx (fig. 74)? a la nième inclinaison que l'arête dp (fig. G, pl. 16) qui lui correspond sur le met as ta tique. Carona,danscedernier cas,a/?=«=3,etar==§a=2.

Donc pr=5. De plus, tfr=v/j#*= \Z5 - 3 =2; donc dp'.prll 2l5. Maintenant, dans la fig. 74, od a aussi

rfr=2, <zr=2, <y = — y J+ >fl(p. 44$ )=3.

Donc aussi pr=S , ce qui conduit au parallélisme dont j'ai parlé;

128. Si l'on observe attentivement la forme de la variété qui nous occupe, on trouve que la substitution d'un noyau hypothétique au générateur, est en quelque sorte aidée par l'aspect des facettes f,f, qui sont celles d'un rhomboïde semblable à ce noyau. Mais, d'une autre part, les facettes r, r, appartiennent au métaslatique, et leurs arêtes inférieures /, /, sont dans le sens des aréles latérales du générateur. Le cristal porle donc l'empreinte de deux noyaux, l'un réel, l'autre hypothétique, relatifs aux deut dodécaèdres; et quoique la cristallisation n'ait travaillé que sur le premier noyau, elle se prête, relativement au second , à un résultat idéal, plus simple que celui qui a lieu en effet, puisqu'il dépend d'une des lois les plus ordinaires, tandis que l'autre sup-

pose nne loi intermédiaire. C'est de cette sorte de résultat inattendu, ou de paradoxe qu'offre la variété dont il s'agit, que dérive le nom de paradoxale que je lui ai donné. Cette variété a été trouvée par M. Tonnellier , dans une carrière de craie située à l'extrémité des faubourgs de Saint-Julien-du-Sault, département de l'Yonne.

129. Une autre» variété que j'ai nommée chaux carbonatée numérique, et dont on voit la projection

.figure 8 1 . a pour signe JE B*D3 (1). En {appliquant ici les formules qui ont été données précédemment , et en faisant attention que l'exposant f de E , plus petit que f qui contient au cas de la double pyramide droite (p. 462) indique que le dodécaèdre tourne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du .générateur, on trouvera que le rapport g'ip1 des demi-diagonales du noyau hypothétique est celui

de Via à V/5 , d'où il suit que ce noyau est semblable au rhomboïde équiaxe. On trouvera de plus

Pi=|;et quand à la valeur de ri ou de ^àll^^ f elle devient £, quantité infiniment petite qui fait

(1) Le nom de numérique est tiré des propriétés de nombres que présente ce signe, dans lequel la somme a plus 3 des exposans de B et de D est égale au numérateur 5 de l'exposant de E, et leur produit est égal au dénominateur 6 du même exposant. J ai déjà fait connaître cette variété sous un autre rapport, p. 344*

458 TRAITÉ connaître que les feces du noyau hypothétique sont parallèles aux arêtes agy ds (lig. ^4) àn générateur. Cest effectivement ce qui a lieu dans l'équiaxe. On aura enfin pour l'incidence de y sur y\ 1 1 5d i ' 44"î* pour celle de y sur i4ad a4'6". M. Mabru, mioéralogiste très instruit, qui a découvert la variété dont il s'agit près#de Clermont-Ferrand , département du Puy-de-Dôme, avait très bien remarqué qu'elle présentait l'aspect du rhomboïde équiaxe , dont les sii bords inférieurs seraient remplacés par autant de biseaux.

1 3o. La variété qui va maintenant nous occuper offre un résultat que j'avais donné comme purement hypothétique, dans la première édition de mon Traité (i), n'ayant vu jusqu'alors aucun cristal qui le réalisât II consistait dans la possibilité que h forme du dodécaèdre métastatique fut l'effet d'une loi intermédiaire de décaissement, que j'avais déterminée. Ce résultat s'est présenté depuis à mon observation dans des cristaux dont on voit la projection (fig. 82). Les faces 3", 3^, qui appartiennent au dodécaèdre dont je viens de parler s'y combinent avec celles du rhomboïde inverse , savoir , y,/*, et avec les pans c, c' du prisme hexaèdre régulier. Le sigue

est(EB'D1)El,Ee.

Le métastatique ordinaire tourne ses arêtes les •■«fc—i — — — — »— — — — — — — — — ^

(i)Tome II, page 35.

moins saillantes vers les faces du générateur , tandis que ce son t au contraire les plus saillantes qui ont cette position dans le dodécaèdre produit par une loi intermédiaire. D'une autre part, le rhomboïde inverse ordinaire a ses faces tournées vers les bords supérieurs du noyau. Mais il y a une loi, savoir, celle dont

l'expression est e, susceptible de donner le même rhomboïde , avec la condition que ses faces correspondent à celles du noyau. Il suit de là que l'aspect du crishil qui nous occupe peut également résulter de la combinaison des lois indiquées par le signe

donné ci-dessus, ou de celles qui le sont par cet autre * 5 *

signe Y)ee. La division mécanique fait disparaître

fc

l'ambiguité, en prouvant que c'est le premier cas qui a lieu. De là le nom de chaux carbonatée ambigus que j'ai donné à la variété dont il s'agit.

Les formules de la page 460 fournissent un moyen simple pour trouver les exposans de la quantité qui , dans le signe, représente les faces 3", 9", d'après la condition que le cristal secondaire soit semblable au dodécaèdre métaslatique : car alors on a N=2 ; donc la proportion xlyll N+2 : 2N — 2, devient x'y : : 2 : 1 .

Faisant x =2 elj=i , dans l'équation n—

on trouve , comme dans le signe.

i3i. J'ai fait connaître (p. 355) une variété de corindon que je nomme ternaire, et dont la forme qui est celle d'un dodécaèdre composé de deux pyra-

xnides droites, résulte du décroissetaent E33E. h

corindon nous offre d'autres dodécaèdres du même

genre, produits par des lois intermédiaires sur les

angles E. L'un d'eux , dont on voit la projection

figure 83 , et que j'appelle corindon assorti , a pour

signe (E'^EDMJ1). Dans le cas présent on a *=2. Pi

vs= i , si dans la formule n—X^2^ relative au dé

croissement qui produit la double pyramide droite hexaèdre (p. 454)? on me*> à la place de x et de j leurs valeurs numériques, on trouve n = 2, comme l'indique le signe. Substituant les mêmes valeurs et celle de n dans le rapport de dr à pr ( fig. 74 ) , qui

est celui de ^k^^±~^.a, on trouve

drlprll Vjg\-a,

ce qui fournit un moyen simple pour déterminer les incidences respectives des faces du dodécaèdre.

Soit syrz (fig. 84) la pyramide supérieure, c étant le centre de la base , et se la hauteur. Menons le rayon cr, ensuite co perpendiculaire sur tr, puis#. Nous aurons

crics ::dplpr(Gg. 74):: Vlg*:** ; donc col es llgla* Or, dans le corindon, g=:^i5, p=yji*yy donc

0=^108"; donc co: es:: y/T5: \/Tô8:: \/5:6.

D'après ces données, on trouve pour l'incidence

de h sur h ( fig. 83 ) 1 a4d 6' , et pour celle de A sur A' i39«i6'(0.

i3a. Une seconde variété, qui est représentée figure 85 , réunit les faces r, r de l'uniternaire avec celles d'un dodécaèdre produit par une loi intermédifférente de la précédente, en sorte que le

signe du cristal est ( E* sED^1 )ESSE. Si nous suppo-

sons que sjrrtz ( fig. 84 ) soit encore une des pyramides qui résulte du décroissement intermédiaire,

et si dans le rapport y/fi"* : ^~~y <* ou dp : pr nous faisons *=5, jrz=s 1, ti==j, nous aurons dp Iprll V^* * 2a :: cri es; donc col csi:g:2ay

rapport double de celui qui donne la variété décrite précédemment. En faisant usage de ces données , ou trouve 1 2 iâ& pour l'incidence de / sur /, et i58d 5 a' pour celle de / sur /'. Quant à celle de r sur Z, on la trouvera de i6id2i% d'après les mesures indiquées (p. 355), pour la variété ternaire.

On voit ici que la loi intermédiaire qui donne les faces / , /, et qui pourrait paraître peu admissible par

(1) Le nom de corindon assorti que j'ai donné à cette variété est tiré de ce qu'elle offre l'accord ou rassortiment d'une loi de décroissement qui est une des plu* simples de ce genre, avec un rapport également simple entre les dimensions de la pyramide , prises dans le sens horizontal et dans le sens w«%

4jo traité

sa complication, dépend d'un rapport très simple, pris dans les dimensions du noyau, savoir, g'- la. D arrive assez souvent que ces lois qui , considérées eu elles-mêmes, sembleraient propres à faire naître de> préjugés contre la théorie, ont un côté qui les ramèue à l'analogie des résultats ordinaires qui, en général, sont remarquables par leur simplicité.

i33. Il arrive souv ent que la combinaison des faces qui résultent d'un décaissement intermédiaire , avec d'autres faces produites par des décroissemens ordinaires , imprime à la forme qui en dérive des caractères de symétrie dont on peut tirer avantage pour simplifier et pour abréger les calculs. C'est ce qui a lieu en particulier dans la variété paradoxale (fig. 80), et je vais faire voir comment son aspect géométrique suffît seul pour fournil' des données à l'aide desquelles on arrive, sans aucun tâtonnement , à la détermination du décaissement intermédiaire qu'elle présente.

Supposons que l'on ait reconnu que les faces fy f appartiennent au rhomboïde inverse, et les faces r,r au dodécaèdre métastatique. En observant attentivement ces deux ordres de faces, on s'apercevra d Sabord que les arêtes inférieures des premières sont si sensiblement parallèles aux arêtes A, h du dodécaèdre du au décaissement intermédiaire, que l'on est fondé à en conclure que le parallélisme est rigoureux. Il en résulte que le rhomboïde inverse est le noyau hypothétique du dodécaèdre dont il s'agit.

De plus, on s'apercevra du mêmç parallélisme entre les longs bords des faces r, r, d'où il suit que les arêtes qu'elles remplacent sur le dodécaèdre sont inclinées à l'axe de la même quantité que celles qui , sur le métasta tique, séparent les faces r, r, et qui sont les moins saillantes parmi les six contiguës à un même sommet.

Cela posé , il est d'abord facile de trouver la valeur 1 de N. Car adsg ( fig. 86 ) étant toujours la section . principale du véritable noyau, soient dk9 d/, les arêtes du métastatique qui ont l'angle d pour point commun. Désignant Tangle as par 3 , nous aurons

dr—2 , arsa, aAr=3; donc dr»rk:i2l59

lequel rapport est aussi celui de qe à ex (fig. 74). Soit gre =s a 3 dans la coupe principale qyvt du noyau hypothétique, nous aurons ey=qe=z2 ; donc yx=s3.

Mais 3^€=6j donc l'équation yx=^~^ devient

3=|^-~ , d'où Ton tire N = 3.

i33. On peut, au moyen des formules ordinaires relatives aux décroissemens sur les arêtes D,f vériûer

tout de suite la justesse des données prises dans l'aspect géométrique du dodécaèdre dont il s'agit ici. Mais il restera à connaître la loi intermédiaire dont il dérive; et pour y parvenir il rapport entre * et^*, parce que ce rapport étant donné on aura;la valeur de n, à l'aide de la for-

mule iisa-J^î^, Pour dispenser ceux qui voudraient faire cette recherche de recommencer chaque fois le calcul compliqué qu'entraîneraient ici les méthodes particulières , je vais généraliser le problème, pour arri\ er à une formule qui soit applicable à tous les cas.

Soient asby gsb (fig- 87) les mêmes faces que NXQ, CAQ (fig. 73), limitées par le plan horizontal abg (fig. 87), et par le plan vertical asg. Je mène ag, ensuite bc perpendiculaire sur ag9 puis se, qui sera aussi perpendiculaire sur la même ligne. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le point b coïncide avec le point Q (fig. 73), ou avec le point q ( fig. 74 ). Je prolonge bc (fig. 87) , jusqu'à ce qu'elle soit égale à qe ('fig. 74) > puis je mène af( fig. 87 ) ; ensuite je fais passer par le point b un plan 06c, parallèle à la face awrfô(fig. 73) du générateur. Enfin je mène oz, et par le point où elle coupe es, je mène br.

Cherchons d'abord le rapport entre bf et af. Si nous prolongeons qe (fig. 74) jusqu'à la rencoutre de l'arùte r.v, le prolongement el étant la distance entre le point e de l'axe et l'arête vxy qui est line des moins saillantes, il est évident que dans la supposition présente on a bf(fig. 87 )=qe(fig. 74)- ^n aura> d'une autre part,o/"(tig.87) = e/(fig. 74), puisque bs fait partie d'une des arêtes les plus saillantes du dodécaèdre, et que as est prise sur une des moins sail-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 473 lantes. Or , qe ( fig. 74 ) ou son égale

vy:e/::yx:ex::fa'+^a':ia'+jj^ria'::aN-i.N+a,

Donc aussi ,

i/(Hg. 87):a/::2N+i :N+2.

i34- Maintenant nous avons à déterminer le rapport entre 6r et or, dont Tune est dans le sens de la diagonale oblique du noyau, et l'autre est parallèle à la diagonale horizontale. Cherchons d'abord br. Soit 6/=2N+ 1 ; on aura a/=!N+2, et à cause de l'angle aç/==6od,

cf= \af= -J-, bc=bf—cf=2^+i — =— •

te : :: $r*( fig. 74) : ex :: v'W*": ï«' +fdrra'

Mettant à la place de 5c sa valeur —, on trouvera

çs 4N-4 g fV D'une autre part

*c:cr;: vV:ï«"£:<* Vi; <>* ~:cr::#:« v'é-

Donc cr=s^.^V/j>

et mettant à la place de am sa valeur gp*— 3g* ,

Reste à chercher or, au moyen de la proportion

orlrsllaclca.

l\ Pour rs; nous aurons

3*. Pour ac; nous aurons

3*. Nous avons déjà eu

Si nous substituons ces valeurs dans la proportion précédente , elle devient

OU

or:[(N+2)^~(2N-3)2V3::i >j î

d'où l'on tire

or=[(N + 2)^-(3N-.3)|]£v^.

DE CRISTALLOGRAPHIE, 47S tppriraant dans les expressions de br et de or le facteur commun 7 \/3 , on aura

Supposons g'=g> et soit m le nombre qui, dans cette hypothèse, exprime le rapport entre aT et a, en sorte que l'on ait a=ma. La proportion précédente deviendra

3ÎYn I /r

brlor : : — :N+ 3 — (aN— a)- : : 3Np: (N-Hafe— 2(N— a)2. g* jn m

:: 3Nmp : (N+3)gj»— (sN — 3)5,

et faisant les multiplications indiquées , puis réduisant,

1 r : or : : 3Nmp(Nm -f- 2m — 2N + 2)^.

Il reste maintenant a prouver que a? est à y comme la somme des coè'fficiens de p et de g est à leur différence.

Soito&s (fig. 88) le même triangle que figure 87, et biku (fig. 88) le rhombe dont ce triangle fait partie. Soit hl le bord situé vers l'angle i de la première lame de superposition , lequel sera parallèle à bo. x et jr seront en même temps les nombres d'arêtes de molécule contenues dans hi et 1/. Soient X et Y ceux que renferment bi et io. Soit de plus s le , nombip de fois que la demi-diagonale oblique p" de

Di.

475 TRAITÉ la molécule est contenue dans br ou Jn-f-nr, et / le nombre de fois que la demi-diagonale horizontale $ est contenue dans or. 11 est évident que le premier nombre s est égal à celui d'arêtes de molécule renfermé dans bi+io , et que le second nombre t est rçal à celui d'arêtes renfermé dans ok—ik — iô=bi — w; donc s=X-f-Y et i=X — Y; et parce que h nombres d'arêtes de molécules contenues dans Ai et il sont proportionnels à ceux que renferment biel w, s : t :: x+jr : x— jr. Or , br = sp", et or=t/; donc : : : 3Nm/> : ( Km + m — aN -+- 2 )g ; et parce que les dimensions de la molécule saut proportionnelles à celles du noyau, s'.t, ou bien

*+jr ix— y :: 3Nm : Nm+m — 2N+3.

Si dans la proportion X-\-y l x — >jr *ls ! £ on ajoute le second terme de chaque rapport au premier , ou

ii lira

2x: ar— y::s-{-t : t\ ou, 2x:3#— 2/ ::

Si dans cette nouvelle proportion on retranche le second terme de chaque rapport du premier, elle

devient

2* : ryiis+t \s — /, ou

c'est-à-dire que x est à y cou ficiens de p et de g dans le ra^ plus haut est à leur différer coeificiens à la place de 5 et de

x\y.:f -W— ÏS + i :(i

Maintenant, dans la variété paradoxale, N=3, : £=\/3, a = 3,etsi l'on fait V3, on aura

p'= VS , a'= VÇP*— V— ^—9=6— 2a;

d'où il suit que m — i. Substituant à la place de N et de m leurs valeurs, dans la proportion précédente, on trouve x 2 1 1. Donc on peut faire x=2,

y — I. Reprenant la formule = ^ Njry^ ' et

mettant à la place de N, x,jr, leurs valeurs, on aura n=|= 1.

i35. Lorsqu'un des décroissemens qui ont lieu sur les angles E donne la double pyramide droite, le noyau hypothétique devient le prisme hexaèdre régulier. L'hypothèse la plus simple est celle dans laquelle le rapport entre la perpendiculaire menée du centre de la base du prisme sur un des côtés, et la hauteur du même prisme est égal à celui qui a heu

entre la demi -perpendiculaire sur l>a*e du

rhomboïde et la longueur de cet axe (1). Dans ce cas, le décroissement ordinaire relatif au prisme hexaèdre étant donné , il est bien facile d'avoir la loi du décroissement intermédiaire qui lui correspond dans le rhomboïde. Je supposerai toujours que xsoit dans le *ens de D, etj* dans le sens de B.

) Le prisme alors est censé résulter d'un décroissement 1e rangée sur 'es bords D du rhomboïde.

Soient asg, h$g ( fig. 89), deux fecés contigués sur la pyramide, limitées par le plan vertical ash, et par le plan horizontal agh , et soit mgl un plan qui coïncide avec la face du noyau qui regarde l'arête gs. Je mène ah , ensuite so perpendiculaire sur ahy puis ok perpendiculaire sur ghy et enfin sk etgn.

Le triangle fcos pourra être regardé comme mensurateur, relativement au décaissement qui en agissant sur le bord de la base du prisme alligue comme g h , donne la focegsh.

Soit go= V^*. Nous aurons

o*=î V$P%—&g\ gn—P* <*olgo ou l/jp:: l/3: 1 , ao=g.

Soit z l'exposant du décroissement relatif à la face

gsh , considéré dans le sens de la largeur. ^o=y^*. ok sera— j^. Mais dans Pbypothèse où ok égalerait g

et go serait v/iïF> k hauteur du prisme aurait pour expression Vgp* — 3#\ Donc , si nous supposons comme ici ok = — , la hauteur sera exprimée

par W^—îg*, donc 0* = ^ Vgp*—

=(i~^^=%r=^-V^¥»- Or,

3— as./ — ; — r-r M . m« :: <w . at>, ou g - V9/» — : mn

d'où Ton tire

mn—— g— .g9

donc

gnZmniip: -|f:: (3 — **)g.

Or , d'après ce qui a été dit ailleurs, x Ijr comme la somme des facteurs de p et de g est à leur différence ,

::3+3— az:3— 3+3z^6— 2zoz::3— ziz.

Ayant le rapport entre x etjry on aura le nombre de rangées soustraites par la formule n=X ^

i36. Qioisissons pour exemple le corindon, et

supposons que la pyramide résulte du décroisse-

ment B. On aura js= 1 j

Donc le signe du décroissement intermédiaire sera (E^ED'B1). C'est le corindon assorti.

Supposons que le décroissemént rapporté au prisme

soit B. On aura

et x:y::3-.s:z::3— i:i::6n; »z=^^=i.

Donc le signe du décroissement intermédiaire sera

signe appartient à douze des faces du corindon di-dodécaèdre.

Supposons pour le prisme B. On aura

z=î, x:jr::3— ^ : f::6 — 3:3:: i :i;

48o TRAITÉ

c'est-à-dire que le décroissement devient ordinaire. Et comme 77=3, il a lieu par 3 rangées, parce qu'ki 3 exprime le nombre de rangées soustraites , et non pas le nombre de diagonales soustraites.

Passé ce terme, le problème appartient à une autre hypothèse dans laquelle x est dans le sens de B et/ dans le sens de D.

IL Décroissemens intermédiaires sur les angles E, x étant dans le sens de et y dans le sens de D.

137. Soit abdu (fig. 90) la même face du générateur que celle qui est représentée figure 72. Les lignes y\y 7rÇ ( fig. 90), parallèles aux bords produite parledécroissement, seront nécessairement tournées en sens contraire de celui qui a lieu dans la figure 72: bX et 7Fu (fig. 90), ou x, xy qui sont dans le sens de B, B, étant plus grandes que by , ou^, y% qui sont dans le sens D , D. 11 en résulte que dans le dodécaèdre HX (fig. 91 ) à triangles scalènes qui est Peffet du décroissement, les arêtes XQ, XB, etc., qui correspondent aux faces du générateur, divergent avec ses diagonales obliques, en allant du sommet vers les parties inférieures , au heu que c'est l'inverse dans le cas représenté (fig. 73). La figure 92 devant être alors substituée à la figure 7^ on voit, en les comparant, que les arêtes si* ^pime xv, (fig. 92), passeront encore générateur, et que les arête.»

aussi à une certaine dislance a,

obliques ad,gs. Mais la ligne al parallèle à xq part du sommet , et non plus de l'angle tf, comme dans la figure 74 * en sorte que ap et ajr disparaissent , et que la dernière se trouve remplacée par le décroissement dl (fig. 92) de l'arête sd. Quant à la ligne av, elle sera la même que figure 74.

Soit «/(fig. 92) le prolongement de ga jusqu'à la rencontre de qx , les trois lignes dl, av et at seront celles qui, dans le calcul relatif au cas présent , font l'office des lignes ay, av et ap (fig. 74), employées à la détermination du dodécaèdre précédent.

La différence entre les deux cas dépend des positions de x et de y qui sont inverses l'une de l'autre. La plupart des résultats portent l'empreinte de cette diflérence, en sorte que si l'on met x h la place dc^, et réciproquement dans ceux qui se rapportent au premier cas , on a les formules relatives au second. Il faut en excepter la valeur de aj (fig. 74), qui se change en celle de A3" (fig. 91 ), sans aucuue substitution, ainsi que la valeur de gf ou de qe (fig. 74 et 92 ) , qui n'offre la différence dont il s'agit que dans le dénominateur de la fraction représentative de cette valeur, ce qui n'empêche pas que le rapport de// a p' ne participe, sans aucune restriction , à la différence dont j'ai parlé.

i38. La marche du calcul étant presque la même dans les deux cas , je me bornerai à indiquer en gé- 1 -d celle qui se rapporte au dodécaèdre que nous i 1. 3i

48a TRAITÉ

considérons ici, et je ne la développerai que dans le

parties où elle diffère de la précédente.

Dans le triangle mensurateur akf (fig. 92) qu répond à <M/(tig. 74 ) > 011 aura toujours

et si l'on applique littéralement à la figure 90 tout 1 qui a été dit de la figure 73 (p. 440 5 011 trouvera^

ak : Â/(fig.92) :: jgff : \'Jr+p,

et parce que ak : kfy.ad; dl, on aura

expression qui doit être la même que celle de iv ainsi qu'il est facile de le concevoir, avec un p d'attention.

Pour avoir le prolongement av de da, on sut tuera la figure g3 à la ligure 75. La seule diflerew entre les expressions des lignes tracées sur ces Jeu

figures consiste en ce que bm qui était nx\g%Jrf

devient njr Vg'*-{-p'*'> et quant à by, elle Sera lou

jours \/ g* D'après les substitutions in*

quees, le même calcul donne ay=^^^,aulit'

de av — —p-î— , conformément à ce qui a été an nonce ci-dessus (p. 4§0-

L'expression de ax sera ^ .a.

* nxy -f- x — y

Pour trouver celle de at , on prendra les triangles semblables xta, als, qui donnent ax'.at II as : ls> Or,

donc

nxy-J-x — y nxy ° r 7

d'où l'on déduit

i3g. Pour appliquer les données précédentes, il s'agit d'abord de chercher les expressions de g et de p. On aura comme ci-dessus dr* hr\\ qe\ eh. Mais à la place de la proportion drlprllqel ex, dont les deux premiers termes n'existent pas dans le cas présent, on prendra Iz : az'.lqe : ex. De plu»

lz* Is :: drlds,

ou

donc

iz— nxy+x—y x dr .

nxy 7

donc la proportion lz\az \\qe\ex, peut être mise sous cette forme

nxy-f-r— y , » njcv

' -Xrfr: as : : 1er, ou rfr : r^- Xaz : ! 4e :ex.

484 TRAITE Mais nous avons eu

dr\ hrllqe \éh\

donc

eh l ex :: hr : X az.

nxy+x—y

Mainlenant

r/z = «5 — sz, szlsr:: lz\ dr\ mais Iz=—^—-—^ X ifrj

n-Lj

donc

gg±£Z2

*£ = — - ^.sr;

nxy

donc

donc la proportion eh : exY.hr . X a:

devient

ou

eh:ex::nxy + x-\~2/: inxy — x-\-y.

Continuant l'opération comme ci-dessus, on trome

/ nxy+x+*y V nxy (o.nxy— ^r-l-yN

S — » ' nxy+y > ? — V ^ W.y4--r— )•>' '

donc

i4o. Il n'y a rien à changer dans la marche du calcul qui donne l'expression de N. On trouvera

H= 7 y d'où l'on tire n— — fi— — •

A l'égard de ri , on observera que le décroissement qui s'y rapporte agit ici comme dans le premier cas par renversement sur les angles inférieurs du géné-

rateur. On aura donc encore g : g:\ia • 73^- <*•

Et en poursuivant comme ci-dessus (p. 449) 011 tF0U^

, x+y—nxy

vera « = — tL-

Même manière d'opérer pour avoir la plus grande incidence des faces du dodécaèdre. Le rapport entre le sinus et le cosinus de sa moitié, ou entre hco=gr ( fig. 91 ) et (êfA (Cg. 91 et 92 ) , sera celui de

X/lnxy+x+zyy&^nxy+x-yytë à (/ixy-x)^?-

Quant au rapport entre le sinus et le cosinus de la plus petite, ou /entre g et Afr, on y parviendra de la manière suivante. Les triangles semblables ah, donnent al • h • l.ix * êÇ. Or ,

/ax-hy — nxy nxy 4- *+y\

. //t.ry+r+y 7rrj--r\fl njç^+y ^±>Lf

Substituant dans la proportion précédente les valeurs de a/, Iz et ex, et prenant la valeur de £e£=A3*, on trouve

V\a\*nxy — x+yY + (nxy + x —y)' -Jg*, Mais on a toujours

. ; © ô nxy+y 7

donc

Pour le cas où le dodécaèdre est composé de deux pyramides droites , réunies base à base , on trouvera ,

en égalant les valeurs de ex et eh , n=

11 y a aussi un terme où le noyau hypothétique devient semblable au générateur. Pour trouver dans çe cas la valeur de n , on fera

Et opérant comme ci-dessus ( p. 4% ) , on trouvera

i4i . Si l'on suppose ex plus grande que eh , auquel cas le dodécaèdre tourne ses arêtes les moins saillantes vers les laces du générateur, on aura toujours

5 0 nxy+y 9

DE CRISTALLOGRAPHIE. 487 mais on trouvera

et

, fnxy — ax~-y nxy + x+y\

La quantité N sera W^7~> d'où Ton déduira

Pour avoir n\ on fera attention que dans le cas présent, y g (fig. 92) représente la diagonale oblique du noyau hypothétique ; on aura donc

et parce que le décaissement qui donne le noyau hypothétique agit sur Pangle A du générateur,

^:e>::(ii#+i)v^:ï!^V/?(p.3ii)i

donc

g : 2 s/7T% : : (n'+ 1 )g : (an — 1 ) \/aF.

Et éuhstituant à la place des rapports entre g' et g, et entre a! et a ceux de leurs valeurs algébriques , comme on l'a fait (p. 4^7), on trouvera