III. Dècroissemens intermédiaires sur les angles e

143. Nous avons dit voir, dans l'article précédeut, qu'il existe entre les deux espèces de dècroissemens qui ont lieu sur les angles E une relation qui permet de suivre à peu près la même marche pour les calculs qui concernent les uns et les autres. Cette relation a'étend aux dècroissemens qui ont lieu sur les angles inférieurs, abstraction faite de quelques différences qui dépendent de celle que présentent les positions des quantités x et y situées toutes les deux sur les bords D, D, au lieu que dans les dècroissemens sur E, l'une coïncide avec B et l'autre avec D. Nous

4ç)o TRAITÉ

prendrons pour terme de comparaison avec l'espèce de décaissement dont il s'agit ici , celle qui se rapporte à E , de manière que x est dans le sens de D oXy dans le sens de B.

Supposons d'abord que Je générateur as (fig. ;5 prenne une position renversée, comme on le voit (fig. )• Les droites we, mj deviendront alors les ljgnes de départ du décaissement. Soit XH (fig. 9;' le dodécaèdre produit en vertu de ce décroissement, et soient uet , myt ( fig. 96) deux plans parallèles aui feces QXN , QXC (lïg. 97 ). On voit d'abord que h angles inférieurs d> n\ etc. du générateur ( 1 ) étant situés à la naissance du décroissement , ces angles coin, cideront toujours avec des points pris sur les arâe> les moins saillantes QX, BX, qui sont tournées vers les faces du générateur, tandis que les arêtes les plus saillantes NX, CX se formeront constamment à une certaine distance au-dessus des bords au,ab, etc., du générateur. Ainsi les unes et les autres conserveront les mêmes positions relatives à l'égard du noyauj au lieu que dans les deux décroissemens précédées, les arêtes les moins saillantes, par exemple, pouvaient être tournées tantôt vers les faces du généra-

(1) On a rétabli ici la position du générateur, conformément à celle qu'il a dans la figure 73, le renversement qwia lieu ( figure 96) n'étant destiné qu'à faciliter un calcul commun aux deux espèces de décroissement , ainsi qu'on le verra bientôt»

DE CRISTALLOGRAPHIE. 49i

teur , et tantôt vers ses bords supérieurs, suivant que le nombre des rangées soustraites était plus grand ou plus petit. Par une suite nécessaire, les résultats relatifs aux décroissemens sur e se trouvent resserrés entre des limites plus étroites que ceux qui dépendent des deux premiers décroissemens, ainsi que je l'exposerai plus bas.

Soit maintenant hx (fig. 98 ) un système de lignes qui aient avec le dodécaèdre (lig. 97) les mêmes relations que celles qui composent la figure 74 , avec le dodécaèdre que représente la figure 73. En comparant les deux systèmes, on voit queg/i (fig 98) parallèle h vx remplace dp (fig. 74) parallèle à y.r, et que dp (fig. 74) qui en partant de l'angle d se dirige parallèlement k qxy est remplacée par dx (fig. 98), qui en partant du même angle est l'analogue de qx (fig. 74). Par une suite nécessaire, ajr qui était limitée par dp (fig. 74), s'étend jusqu'à ce qu'elle rencontre qx (fig. 98). De plus, eh qui était tantôt plus grande et tantôt plus petite que ex, dans les résultats relatifs au dodécaèdre (fig. 73), sera constamment plus petite, comme on le voit (fig. 98) , dans ceux qui se rapportent au dodécaèdre ( fig. 97).

i44- La différence générale entre les formules de part et d'autre consiste eu ce que la quantité/, toutes les fois qu'elle n'est point multipliée par tî, prend dans les calculs qui vont nous occuper un signe contraire à celui dont elle était affectée dans ceux qui ont pour objet le dodécaèdre (fig. 73). Du reste, les

49* TRAITÉ valeurs de ajr et de a* sont les mêmes , et celle* de op et de ax présentent l'inverse l'une de l'autre, conformément à ce qui a été dit plus haut.

Quant aux valeurs de N , n et n' , et aux rapport: entre g' et //, ainsi qu'entre les sinus et les cosiuu> des angles sous-doubles de ceux, qui mesurent les incidences respectives des faces du dodécaèdre , ils ont la même conformité avec ceux qu'offreut les qi tités analogues, pour les décroissemens sur E, d.»L* les cas où l'on a ex plus grande que eh, ainsi qu? cela doit être d'après l'observation ci-dessus. La seul? quantité qui ne participe point de la différence debignes qui précèdent/', est celle qui doutuî la valeur absolue de g.

La marche des calculs, qui concernent ce dicroissement se trouve comme tracée d'avance par tout ce que nous venons de dire, et sera facile î suivre, en prenant pour objet de comparaison ceife qui conduit aux résultats des décroissemens sur t, dans lesquels x coïncide avec D et y avec B.

i45. Cbcrchons d'abord l'expression de «j, qu* nous tirerons de la fig. 96 comparée avec la fig. ^3, qui avait donné au contraire l'expression de a\ ( fig. 74 )• Nous avons eu ( p. 443 ) ,

bm^nxVïF+p'' (fig. 75 ), bt=nyVFr+7

et !>/= V^+JT^.

Dans le cas présent, bm (fig. 96) sera toujours égale

LA

ï Tv

à nx\/g*+p'%', mais

bt= \/gf%+p^ et by=ny\/g»+p,\

Substituant ces valeurs dans la proportion bm:jz^bjr\lbc\cZj ou bm : bjriX bc : bz — bc,

et observant que bz=2p'ny, puisqu'il renferme autant

de diagonales ip' que bj renferme de foisyV* -h/>'a> nous aurons

nxy/g^+f2 : ny \/g'2-{-p":: bc : zp'njr-»bc,

. , 7 sp'nxy

ce qui donne bc =

Mais bt l bc II ay ( fig. 98 ) : ad, ou

donc aj's=s^^^g%+p%9 quantité qui étant

parée à celle que nous avioos obtenue (p. 442)> offre , relativement au signe de / , la différence que nous avons annoncée (p. 491 )•

146. Passons à l'expression de av. Soit fh (fig. 9G) la ligne qui correspond à mt vers l'angle u opposé à b. Le plan mtjr étant parallèle à la face QXC (fig. 97) du dodécaèdre , si nous faisons passer par //*(fig. 96) un second plan parallèle à BXC (fig. 97), et si nous supposons que les deux plans se prolongent en allant de mt vers fh (fig. 96), leur réunion se fera sur une ligne parallèle à Farète CX (fig. 97 ). 11 suit de lu que nous pouvons considérer la formation de cette arête y