L: cofJL :: V{^xj+x+f/ia%+{rixj — x—j')\\g

' qui e ™ème , sauf la diflTérence ordinaire , i -ouvé page 453 , pour les faces les

5oo TRAITÉ

plus inclinées du dodécaèdre , lorsque dans les & croissemens sur E, ex est plus grande que eh.

Pour avoir ensuite le rapport BA ou ^ à AS" (fiç.9ou celui du sinus au cosinus de la moitié de l'an^ que font entre elles les faces CXQ, BXC du doè caèdre , il suffira de trouver l'expression algébriqude la quantité €f ( fig. 98) double de A9\ La prop tion qui y conduit est gp : gu II ex • *£\ Or,

Mettant à la place de pu ^gu^a et yx leurs valeur, on déduira de la proportion celle de la moitié de t \ ou de A3* , et l'on aura définitivement

:(nxx+j)\/a*,

rapport qui est encore le même, à l'exception A> signes dey, que celui auquel nous sommes parvenu* (p. 4^2), relativement aux faces les moins inclinée» du dodécaèdre produit par le décaissement sur E.

1 5 1 . Les résultats qui vont suivre dérivent des propriétés particulières a l'espèce de décaissement dont il s'agit ici. Le point d de l'arête qx (fig. 98) ayant, comme je l'ai déjà remarqué, une position fixe, pendant les variations que subit le dodécaèdre, si For/ Suppose que la valeur de n augmente de plus en plib, la quantités ira au contraire en diminuant, et au terme où n sera infinie, l'arête qx se confondant avec la diagonale oblique ud7 les faces du noyau h}-

DE CRISTALLOGRAPHIE. Boi

pothétique se trouveront sur les mêmes plans que celles du générateur, ce qui ne pourra se faire sans que les bords NQ, CQ, etc. (fig. 97), ne coïncident avec les arêtes du, db, etc. Il en résulte qu'alors y s'évanouit, et c'est effectivement ce qu'indique la formule relative à ce cas. Pour le prouver, servonsnous encore des rapports entre las diagonales du noyau hypothétique et du générateur , qui donnent la proportion suivante :

g -P - g • 9a \nxy^x—y) -r*g y

d'où l'on tire

et parce que 3pa — g% représente le tiers du carré

de l'axe, ^^^Jj"!-^") = 1 J ce ^ donne, toute ré* duction faite, jf = Q.

i5a. A l'égard du cas où le dodécaèdre se trouverait changé en une double pyramide droite, il est facile de juger, à la seule inspection de la figure 98 , qu'il ne peut avoir lieu en vertu du décroisseinent que nous considérons ici , puisque le point d de l'arête qx étant toujours plus éloigné du sommet x que du sommet h , quelque position que l'on donne à cette arête, jamais on n'aura qx^qh} ou ex = eh. Yoyons ce que donne la formule relative à cette équation. Si nous substituons à la place de ex et

Boa TRAITÉ

de eh leurs valeurs algébriques , nous aurons

^nxy+x -\-jr = nxy -f- ix — y ,

d'où l'on tire rc=^— "— . Mettons à la place de n cette valeur dans les équations

aj = ^ \/£ -j-p et av = — ;

la première devieut aj' = ^~^^g%-hp*y et la seconde av = J2^^-. On voit que toutes les fois cjuex

surpassera 27*, la valeur de 07* sera une quantité rationnelle plus grande que l'unité ; la même chose aura lieu pour la valeur de av, tant que x surpassera 3jr. Donc, dans tous les cas de l'un ou l'autre genre, af ou av étant plus grande l'une que l'arête ds, et l'autre que la diagonale ad, les lignes qx et gp se rejetteront vers la partie opposée de l'axe, en prenant des positions telles que yzy vt (fig. 100), ella ligne gp (fig. 98) entraînant avec elle sa parallèle t\r, celle-ci passéra à la position <pr (fig. 100). Le mrnie changement aura lieu à l'égard des lignes vh,qh (fig. $3), qui se rejetteront vers la partie supérieure de l'a\e. 11 en résulte qu'alors le dodécaèdre sera devenu une double pyramide droite par un effet analogue a celui des décroissemens ordinaires produits par renversement.

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5o3 En effet, d'une part,

sz : dsllas + sz : qjr,

ou

ce qui donne D'une autre part ,

1 ^5 1 1 cil i civ î ou 8t : 2p :: a+st. g »

ce qui donne Donc

et

gu : ut :: §a+o(î^):: »/•*? :

Or, les deux rapports étant identiques, il en résulte que les lignes^*, et vt9 ou sa parallèle ^5, sont également inclinées en sens contraire, ce qui indique la double pyramide droite.

La loi qui donne cette double pyramide rentre alors parmi les décroissetnens intermédiaires qui ont lieu directement sur les angles latéraux dba , vlba (lig. 96) , par une suite de ce que la ligne et au lieu

5o4 TRAITÉ de se rejeter vers le sommet s, comme auparavant, s'incline vers le sommet a. Tant que bm est plus grande que bt, le décroissement se fait de manière que x est dans le sens de D etjr dans celui deB. Lorsque bt devient égale à bm, on a l'équivalent du décroissement ordinaire sur les mêmes angles , do j résulte la double pyramide; et parce que ce décroissèment a lieu par trois rangées (p. 355) , on a

bm=bt=3bf.

Dans l'équation ou st=a(^p)t

la valeur de st s'évanouit alors , c'est-à-dire que IV rête vt se confond avec la diagonale gs, d'où il suit que q*z devient parallèle à cette diagonale, comme cela doit être dans le cas présent.

Lorsqu'ensuite bt devient plus grande que bm , on a l'équivalent d'un décroissement intermédiaire sur les angles latéraux , dans lequel x coïncide avec B, etjK avec D. 11 y a un terme où bt devenant infinie, bm s évanouit , et la ligne et devient parallèle à Parète ba. Ce terme répond au cas où, dans Pëqua-

tion sz ( fig. i oo )=a (f^*), x est double de ^, ce

qui donne sz—~^ - c'est-à-dire que sz étant nulle ,

l'arète^z coïncide avec ds. On a alors l'effet du décroissement ordinaire par deux rangées sur les bords B du générateur, d'où résulte la double pyramide droite (p. :>r>7).

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5oS Au-delà du même terme, x devenant plus petit

que yr, la valeur de sz ou a(j~^^>) est négative,

alors les lignes j'z , <pz se réunissent en un point situé entre les sommets s , a , et le résultat est censé appartenir aux décroissernens intermédiaires sur l'angle supérieur A du générateur , qui feront l'ohjet de l'article suivant.

i53. La cristallisation ne m'a encore offert qu'une seule forme à laquelle l'espèce de décaissement qui vient de nous occuper soit applicable, savoir, celle dont on voitfIa projection (fig. 101 ) , et qui a pour

signe e(ED DlD'D )D B. Les facettes t> qui depeu-

dent du décaissement intermédiaire sont interposées entre les faces r de la variété métastatique et les faces c qui appartiennent au prisme hexaèdre régulier. Il résulte de cette disposition que la figure des faces c, qui serait celle d'im trapéxoïde, si elles existaient solitairement , devient un rhombe par l'effet de ses intersections avec les facettes ^, v'. Je prouverai plus bas que l'existence de ce rhombe peut avoir lieu pour un rhomboïde quelconque, et en vertu d'une infinité de combinaisons différentes de deux décroissernens, l'un ordinaire sur les bords inférieurs du générateur, l'autre intermédiaire sur les angles compris entre ces bords. De plus, le cristal est ter-, miné de chaque coté par les facéties ty ty dont le>

5oS TRAITÉ

intersections avec les faces r, r, sont sur un même plan horizontal, et je ferai voir que cette propriété est de même indépendante des angles du générateur, et peut exister en vertu d'une infinité de combinaisons de deux décroissemens ordinaires , l'un sur les bords inférieurs, l'autre sur les bords supérieurs du générateur. C'est du caractère de symétrie qu'impriment à celte variété les deux assortimens dont je viens de parler, que j'ai emprunté son nom de chaux carbonatée euthétique , c'est-à-dire qui offre des positions heureusement combinées.

Si dans le rapport des demi-diagonales g9 et p du noyau hypothétique (p. 497) 5 on fait rc = | , x=3,

y=i, on trouve g' : p \\ \JZ : V/17, ce qui fait connaître que le noyau dont il s'agit est semblable à la variété contrastante (p. 378). Les mêmes substitutions donnent IN = 3 , ce qui est l'indice d'un décroissement par trois rangées sur les bords inférieur* du noyau hypothétique; et = comme nous l'avions déjà trouvé par une autre méthode (p. 3;8). L'incidence de v sur v, ou de v1 sur v sera (le 1 52d 28' 32"; celle de p sur v , de 88a 55' 8" ; et celle de c sur p , de 1 64d 3' 1 G".

J'ai maintenant à démontrer les deux propriétés qui ont été énoncées plus haut. La première consiste en ce que les facettes c, c ont la figure d'un rhombe, par une suite de la manière dont elles sont coupées par les plans v , r.

Concevons que Tune quelconque de ces facettes

soit divisée par une diagonale horizontale en deux triangles isocèles dont cette diagonale sera la base commune, et dont l'un, que nous désignerons par T, proviendra du décroissement ordinaire sur D, et l'autre qui sera indiqué par S, résultera du décroissement intermédiaire sur e. Soit b la base commune des deux triangles, h l'apothème du triangle T > h1 celui du triangle S, n la loi relative au décroissement sur D, et n' celle qui se rapporte au décroissement sur <?.

Maintenant adsg (fig. 102) étant la coupe principale du noyau, et dp, dj% deux arêtes contiguës du dodécaèdre produit par le décroissement sur D, si parle milieu o de la diagonale oblique ad nous menons oz parallèle à Taxe py , nous aurons

ib:h::s:oz::s:{ay::f;:y(a+^— .ay.:- i ~r

D'une autre part, si nous menons a>^ ( fig. 98) parallèle à l'axe hxj nous aurons

~b : 7i'::g' : u^, ::g : ±yx

n'xy+x+y . n'xy + x + y x—y 0 nxy-f-x • nxy — x — y nxy + x

•• rr * 1 „ X y

0 • nxy — x — y

On aura donc , dans le cas du rhombe ,

tci . —a. -, * ,

% n — 1 11 xy — x — y

d'où Ton tire

, anx— x + y . y — x il = -, et n — -n"z

/ixy 1 n xy> —

Dans le cas présent jc=3,/=i, 7*' = f, h=î, çe qui donne f pour chaque membre de la première équation, et 2 pour chaque membre de la seconde.

Reste à démontrer la propriété en vertu de laquelle les faces des deux dodécaèdres qui proviennent l'un d'un décroissement sur D, l'autre d'un décroissemeal sur B, se rencontrent de manière que leurs intersections se trouvent sur un même plan perpcndicnlai/e à l'axe. 11 est d'abord facile de concevoir que les intersections dont il s'agit ont leur origine aux angles solides E, E du générateur. Soit am (fig. io3) celle des arêtes du solide provenant du décroissement sur B, laquelle répond à la diagonale oblique ad du générateur. Si l'on mène gu perpendiculaire sur l'axe, et qu'on la prolonge jusqu'à la rencontre x de am, le point x situé vis a-vis du point g, qui est un des angles latéraux du générateur, sera le point d'intersection de l'arête am avec celle qui lui correspond sur le dodécaèdre produit par le décroissement sur D; soit pd ( fig. ioa ) cette dernière arête. Si nous prolongeons de même gn jusqu'à ce qu'elle coupe eut l'arête dont il s'agit, le point t devra se confondre avec le point x ( fig. io3) , c'est-à-dire que ux=ut. Soit n' le nombre de rangées soustraites relatif au décroissement sur B, et n celui qui se rapporte au de-

croissemeut sur D , nous aurons

UX (fig. 103) = ^;^^ \/\g* (p. 294),

D'une autre part ,

ap(fig. ï03)=±^"-.a; pr:dr\:pu\ut'7

ou «lune

m an+ i V** 2*'— i V*> >

d'où Ton tire rc' = n + i .

Parmi les différentes lois de décaissement qui déterminent les formes des variétés de chaux carbonalée, on en connaît huit , dont quatre ont pour expressions B, B, B, B, et les quatre autres D, D, f), f),

ce qui donne les combinaisons suivantes, DB , DB .

DB, DB, qui toutes réalisent la propriété que je viens

de démontrer. Mais jusqu'ici il n'y a que les deux lois représentées par la seconde qui soient associées dans une même cristallisation , qui est celle de la variété euthé tique; les autres agissent solitairement dans la production des formes qui en offrent les résultats.