IV. Dècroissemens intermédiaires sur l'angle A

i54- Cette espèce de décroissement est distinguée des précédentes surtout par l'égalité qui existe constamment entre l'axe du rhomboïde adris (fig. 104}, qui y fait la fonction de générateur et celui du dodécaèdre secondaire aNBs. Il en résulte que les extrémités du même axe sont les seuls points qui soient communs aux deux solides.

Soit adsg ( fig. io5) la coupe principale du générateur , et a* y s* , aA , s\ , les quatre arêtes du dodécaèdre situées dans le même plan que cette coup. En comparant cette ligure avec la 74*, pl. 3 1 , on voit que la ligne ax, qui dans celle-ci mesure la distance entre les sommets des deux solides, disparaît dans l'autre; et que les ligues ay, av, ou les prolongemens de ag, adj sont remplacées par les lignes dv,§7 (fig. io5), qui sont les prolongemens de l'arête et de la diagonale opposées à celles de la figure 7-1'. Ainsi , au lieu des expressions des quatre données ap, ax, ay, av , à l'aide desquelles nous avons résolu les problèmes relatifs au décroissement sur E, nous n'aurons, dans le cas présent , que celles de dv, g3j qui suffiront pour nous conduire au même but.

Si nous continuons de prendre pour terme de comparaison les formules qui dépendent du décroissement sur E, dans lequel x coïncide avec D, nous trouverons qu'en général ces dernières passent à celles du décroissement sur A, par la substitution dexày?ct

^ ^^^igitized by Go

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5u

je — y à x, dans les quantités où elles ne sont multipliées ni par rc, ni Tune par l'autre. Je ferai connaître les exceptions à mesure qu'elles se présenteront.

i55. Soit as (fig. 106) le générateur, et ///, cef, deux plans parallèles aux faces NaQ (fig. io4), CaQ, pris de manière que //, ce, représentent les lignes de départ du décaissement. Nous aurons, en appliquant ici ce qui a été dit des autres décroissemens ,

al=nx\/g'%+p'\at=nj\/g%+p'% am=z2pnf,

et af= Vg"+p" ;

et parce que les triangles maf (fig. 1 06), adv (fig. 1 o5) sont semblables, amlaf (fig. 106) lladldv. Or, dans le cas particulier dont il s'agit ici, ces triangles font l'un à l'égard de l'autre les mêmes fonctions que les triangles tbc ( fig. 96)' et daj ( fig. 98) ; d'où il suit que l'expression de dv ( lig. io5) sera la même que celle qui a été trouvée (p. 493) pour aj\

c'est-à-dire que dv ~ — —J- \/g*+p**

La construction de la figure 106 peut encore nous servir pour trouver l'expression deg& (fig. io5). Car soit ir (fig. 106) une ligne située en sens contraire de la ligne tfy et inclinée de la même quantité. Si nous menons tl et fl, les deux plans Itf, lir, seront parallèles aux faces QaC, BaC (fig. io4) du dodécaèdre. Menons fz (fig. 106) parallèle à at et égale à afy puis az. Les triangles semblables ato} fsc ,

5ia TRAITÉ

donnent at l afllao : oz=az — ao. Substituant à la place de ut et de fz=af leurs expressions trouvées ci-dessus , et à la place de az la quantité ap , nous aurons

d'où l'on tire

ao = .

ny -hi

Maintenant les triangles semblables alf (fig. 1 06), agS (fig. io5), donnent

<ïont * 9- = -22-.

Celte expression , comparée avec celle dfc a? (p. 49^)>

laquelle est — -?~~9 et se rapporte au décroissement

sur e> présente, comme par exception , les différences que nous avons dit avoir lieu généralement (p. 5 10) entre les formules relatives au décroissement sur A et celles qui dépendent du décroissement sur E,

ï5G. Je commencerai les applications, comme à l'ordinaire, en cherchant le rapport entre les demidiagonales g et p' du noyau hypothétique dont la

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i3

coupe principale est représentée par le quadrilatère a'yis'A ( fig. 107). Ce rapport dépend de celui de cm à us , et pour avoir ce dernier, il faut chercher successivement ceux de r\a> à û>$, et de à aw.

Ayant mené (fig. io5) perpendiculaire sur Taxe as, nous aurons

ne* : a)8 :: A/* : afi :: drc : a<r ,

Cherchons 3-tr et atr.

i°. Pour S'a*. Nous avons

sg : :: gu : 3-o\