r : <rs = as — a? Il gui us
ou
d'où Ton tire
aï— a — ( — v — -)la — —% 1 g «g-
\ w ry + x / J 3/ixy ûx*
Ces expressions de 3*cr et aT substituées dans la proportion v\a> \ q*s\ï§7 , donnent
m : cas : : (3/2X/+ 3*+ 3j) y |g* : ( Znxy +x — yr)a .
Le second rapport, qui est celui de >îo> à aa>, dépend de la proportion ïicû l aco II vr l ar.
5i4 TRAITÉ i\ Pour vr.
ad : svz=z sd+dr II dr l vt,
nxy 09
2°. Pour (IT.
vr : rs — as — arlldr : rs>
ou
d'où l'on tire
wxy+x+y a»xy — x — y
nxy onxy
Donc
::(3nx7 +3jc+3j)^*:(2Wx7— j> ;
donc
«û> — a: — r\nxy-\-x — oy.
Soit mxy — y — xz^zm et nxy+x — iy — n. Nous aurons m+nl mllas : aa>. Et mettant à la place de m, /i, as, leurs valeurs, puis réduisant,
3/zjj-^3;- : inxy— x— y lia : a^—^—^.a.
/s nxy— x — y\ nrV-f x — î>v V r wx v — 3) / o nxy — oy
, DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i5 Mais nous avons eu
ncù=y/^%: cas: ;{3nxy+Zx+3>y Vf? : (nxy+x— -xy)a. Mettant à la place de cas sa valeur, et réduisant, on trouvera quantité dont le déno-
minateur seul est affecté de la différence indiquée plus haut (p. 5io).
La valeur de pf dépend de celle de af qu'il faut d'abord trouver. Or, a» — «« est le tiers de cette dernière; prenant la différence entre les expressions de aa et m , et la triplant , on trouve
aWwjy-aJ-*-y);
\ nxy — y /'
donc
Mettant à la place degf* sa Valeur, puis dégageant/?', on aura
donc
rapport qui est le même, sauf la différence indiquée, que celui qui a été trouvé pour les décroisâemens sur E (p. 456), dans le cas où le dodécaèdre tourne, comme ici, ses arêtes les moins saillantes vers les faces du générateur.
5i6 TRAITÉ
157. Pour avoir N, on considérera que l'axe Ai dodécaèdre étant égal dans le cas présent à l'axe in générateur , la partie de l'axe du premier, qui excèd*
l'axe du noyau hypothétique est {(a — a!
nxy-j
toute réduction laite. Donc
- a — — .a = z — —. — .ai
N — 1 nxy nxy — ax-f-y
d'où l'on tire
a nry — x
expression qui est la même que celle de N (p. 45"), dans l'hypothèse de ex plus grande que eh , en ayan: égard à la différence indiquée. La même équation
donne n— .
i58. Concevons que les quatre côtés du quadrilatère a'vis'À se meuvent parallèlement à eux-mêmes, en s'éloignant du centre, jusqu'à ce que les points a\
se confondent avec les points a, s> comme on le voit. fig. 108. 11 est visible que ledécroissement d'où résulterait un rhomboïde semblable au noyau hypothétique agirait sur les angles supérieurs du générateur. Soit toujours n' le nombre de rangées soustraites. Nous aurons d'une part
»'r : ar :: *û>(fig. 107) : aa> Il \/\^% : fa', et d'une autre part
»V(fig. 1 08) : ar: :(«' + ,) V^t^fv^7;
DE CRISTALLOGRAPHIE. Sx7
donc
# •g..ia . — ri — .a.
Substituant aux rapports entre g et g>' et entre a et <xf ceux de leurs valeurs algébriques , on aura
nxy+x+y : nxy— y\\*nxy — 4* + *y :^^C«jy— jO* d'où Ton tire
comme nous l'avons eu pour les décroissemens sur E (p. 458), en tenant compte de la différence ordinaire.
i5g. Pour avoir le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de l'incidence de NaQ sur CaQ, menons a'f perpendiculaire sur a* (fig. 107 ) , et du milieu o de a'n une autre perpendiculaire sur la même ligne a>î. Le rapport cherché sera celui de g' à oh , moitié de a'f> dont il s'agit de trouver l'expression. Les triangles semblables a'af, am ou avx (fig. io5) y donnent
MlvTllaa'ia'f, av= \/(aT/ + (vr)*
ZZZCL . — .
nxy—y
Mettant dans la proportion précédente à la place
5i8 TRAITÉ
de av, vr et aa! leurs valeurs, et cherchant celle de a'f, on aura
(nxy + x +y) {/Jg^X a .
i~ ^ J °° n ry — y
Prenant la valeur de g on g.
mier terme du rapport et la moitié de a!f pour le second terme, on trouvera que le sinus est au cosinus de l'angle cherché
- }/\a\wry— x—yy+(nxy + x+yy4g*:(x— y)Va*}
rapport qui conserve l'analogie ordinaire avec celui qui a été trouvé (p. 4^3) entre CA et A$\
160. Passons à la détermination de l'incidence respective des faces QaC, BaC. Si du sommet *' (fig. 107) de l'axe du noyau hypothétique et du milieu / de la diagonale *'a nous menons s't et lu perpendiculaires sur l'arête aA, le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de l'angle qui donne l'incidence cherchée sera celui de g' à lu moitié de st. Tout se réduit donc à trouver l'expression de cette dernière ligne. Or, les triangles semblables as* t , aty donnent
as : s't aX : a^ :: a» (fig. io5) : 3-er,
as'=as — ss'(fig. 107 ) — as—aa'
—a — a(~X~~y ) (p. 5in)=a . nx^-^-
\nxy — y/V| ' ' nry — x 7
Mettant, dans la proportion précédente, à la place de as', a& et 3*a leurs valeurs, et prenant celle de s't, on trouve
0*t— ^ si
Donc la valeur tleg' étant le premier terme du rapport et la moitié de celle de s't étant le second , le sinus cherché sera au cosinus
Comparez ce rapport avec celui qui a été trouvé ( p. 452 ) entre Eco et où p.
161. A mesure que n diminue , l'angle que font entre elles les faces Q<iC, BaC augmente> et il y a un terme où qcs faces se trouvant sur un même plan , le dodécaèdre se trouve couy^erti en rhomboïde. ,On peut aussi considérer ce rhomboïde comme le résultat d'un décaissement ordinaire par renversement sur les angles À.
Soit adsg((îg. 109) la coupe principale du générateur, et soit aor le triangle mensurateur relatif au rhomboïde dont il s'agit. Soit n! loi qui le produit par renversement. De plus , soit as ( fig. 1 1 o ) le générateur, et/7* les directions des bords des lames qui subissent le décaissement intermédiaire, lorsque le dodécaèdre s'est .converti en rhomboïde; soit gk une autre direction qui a lieu sur la face agnui.
Dans ce cas al=aL Qr, al— y ; dqnc ./*= ^ =
5ao TRAITÉ 1
On peut obtenir le même résultat en considérant I que , dans le cas présent , le cosinus de la demi-ioocîence des faces QaC,BaC (fig. io4) s'évanouit. I
Donc (nxy— x) Va*=o (p. 5 19), ou simplement I
nxy — x—o'y I donc I
nxy—Xy ny—\, et n=y I
Cherchons le rapport entre ga ou x, et al ou menons auparavant lky puis gt, au point où lk coupe la diagonale ad. Soit gt ( fig. 109) la même ligne que fig. 110. Les triangles semblables aory atg, donnent
ag : at :: or : ao :: «V^+7'; : p'-
Mais a# (fig. 109 et 1 10) = x vV'-H/>'% et a£ renferme autant de fois p' qu'il y a d'arêtes de molécule renfermées dans al; et puisque ce nombre d'arèies esty, nous aurons at=yp r; donc nous aurons au liea
de ag lati: n' v'^'+jT' : p\
x vV+y* • yp'»ri>/g%-\-fFm : //, ou *:^::/i':t.
On voit combien il est facile de passer du décroissement ordinaire à celui qui est intermédiaire. Soit v!~ \ comme dans le cuivre gris mixte.
Alors xly-'.n' : 1 ::3:2;
donc on #peut faire a: =3, y=i ; donc n'-={. Dans ce cas , le rapport entre le sinus et le cosinus
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5a i
de la demi-incidence des faces du rhomboïde est égal au rapport entre le sinus et le cosinus de celle des faces NaQ , CaQ (fig. io4 ) J c'est-à-dire au rapport
Mais g= VhP= V/3, a= V34, ac=3,y=2y n=±. Donc
sin £ incid. : cosin : : ^8(6—5)* + (3+5/4 :
D'une autre part, dans un rhomboïde,
sin i incid : cos :: V£a+Z>* : \/3p9 —g\
Or ici, £=V/oi,/>= N/3; d°nc
sin \ incid. °. cos" \A 1 • \/ï ?
ce qui est le même rapport.
163. Le cas où aoo étant égale à cos , le dodécaèdre • devient une double pyramide droite hexaèdre , peut aussi avoir lieu en vertu du décaissement dont il s'agit ici. On a alors
mxy — x — y — nxy+x — iy ,
d'où l'on tire
n — ^tlZZl au Jieu <je 7i='T~*"ay ( p. 454 )# xy y xy \y t
Si l'on substitue cette valeur — — 2. de n dans celle
xy
5aa TRAITÉ
dea'qui est at nJV^Xmy\ on trouve a'=a( — - — \ 1 \ nxy — y / \ax — gyj
ce qui doit être, puisqu'alors le noyau hypothétique
s'évanouit.
Si n diminue au-delà du ternie qui donne h double pyramide, aa> deviendra plus petite que m, et les faces N«Q, OiQ ( fig..i o4 ) feront entre elles de plus petits angles que les faces QaC , BaC. En même temps le noyau hypothétique tournera ses diagonales obliques vers les arêtes ds , ag , et ses arêtes vers les diagonales ad, sg, comme on le voit figure i 1 1 .
La valeur de^' sera la même que ci-dessus (p. 5i5), , , j. , nxy-f-x-f-y
c cst-a-dire que /r =xr. — *
1 ° ° nxy —y
Pour avoir celle de p', on mettra as — aoù à la place dertû)— coSjOU 2x — y — nxyk la place de nxy — ix-\-y (p. 5i5), et en suivant la même marche pour le calcul, on aura
et
f ax — y — nxy , nxy — y a —a . ' , ou a=a . —
n xy — y 2.x — y — iul y
donc
rapport qi
(p.5i5), qui forme
de celui ([ne n, ngemenl de sig, âral"ur de la fra
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5s3
par ^a*, ce qui est conforme à l'analogie des autres dccroissemens.
En poursuivant le calcul, d'après la même substitution , on trouvera
N = J^ au lieu de N=:
nxy — x x — y y
d'où l'on déduira n = x+x~~ym
Pour avoir l'expression de ri, on supposera que les côtés de la coupe principale aWA (fig. m) du noyau hypothétique se meuvent parallèlement à eux-mêmes en s'écartant de l'axe , jusqu'à ce que la coupe principale du générateur se trouve inscrite dans la précédente , comme le représente la fig. 1 1 2. Il est facile de juger, à la seule inspection de celle ci, que le décroissement relatif à ri est censé agir par renversement sur l'angle supérieur de la face du générateur à laquelle appartient la diagonale ad.
Or, d'une part,
A'r : ar :: Aju(fig. 1 1 1 ) : a'/* Il \/\g'% : fa'; d'une autre part,
Vr : ar (fig. 1 1 a) :: (n'+i)Vl? : ~r • « (P- 3 17>; ]»nc
nxy+x+y , <r . — ^ ^ , et a = a •
3 n rv — v 7
2a: — y — »ry
Si dans la proportion précédente on met à la plac? des rapports entre g1 et # , et entre a! et a , ceux de leurs expressions algébriques, et que l'on dégage n',on
trouvera n! x+y ^ valeur qui est la même
que celle qui a été trouvée (p. 5 17) pour le cas oû aco est plus grande .que «s, parce que le décroâr sement se fait de part et d'autre sur l'angle A du générateur, en sorte qu'il ne tient qu'à la valeur de n qu'il agisse d'une manière directe ou par renversement. Le premier cas aura lieu toutes les fois
que n sera plus grande que la quantité (p. 52 1 )
xy
qui donne la double pyramide droite, et le second toutes les fois qu'elle sera plus petite.
Quant aux rapports entre le* sinus et les cosinus des angles qui donnent les moitiés des incidences des faces du dodécaèdre, ils restent les mêmes que dans le cas de aa> plus grande que a>s , par une raison sent- Llable à celle que j'ai exposée page 458.
i63. Si l'on s'en tient aux résultats admissibles en Cristallographie, l'hypothèse dans laquelle le noyau hypothétique serait semblable au générateur ne peut être réalisée par l'espèce de décaissement dont il s'agit ici. Car il est facile de voir que pendant toutes les variations de x,y et n, qui modifient les angles du dodécaèdre secondaire, Taxe du noyau hypothétique ne pouvant surpasser en longueur celui du générateur, et d'une autre part Ja quantité ncê
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5a5
î fig« 197 ) on Vs#* étant toujours plus grande que
c?r (fig. io5) ou V/f#*, il n'arrive jamais que les dimensions du noyau hypothétique soient en rapport avec celles du générateur. Cependant , comme le calcul conduit à des formules qui représentent ce dernier cas, j'ai cru qu'il ne serait pas inutile de faire connaître ce que signifient ces formules , et de donner ici un nouvel exemple de ces sortes d'excursions que font les théories, au-delà des limites tracées par les résultats de Ja nature.
Concevons que l'axe du noyau hypothétique soit égal à celui du générateur. Faisant a'=a, dans
. , ax— v — nxy 1 équation a — - «S nous aurons
* nxy — y 7
a*— y — nxy = nxy — y ,
ce qui donne n = Si nous mettons cette valeur à
la place de n, dans la quantité (nxy — x) Va* (p. 5ig) qui représente le cosinus de la moitié de l'angle que font entre elles les faces QaC, BaC (fig. io4) du dodécaèdre secondaire, nous aurons
pour résultat {x — x) \/a*> c'est-à-dire qu alors le cosinus s'évanouissant , les deux faces dont il s'agit coïncident sur un même plan , en sorte que le dodécaèdre se trouve transformé en rhomboïde. Les faces du noyau hypothétique se confondent avec celles de ce rhomboïde, en sorte que le nombre de rangées soustraites désigné par N devient infini. Effective-
5a6 TRAITÉ
ment, si dans l'équation N=;j^— - (p- 5*3), <n
substitue ù n sa valeur i , on trouve N=— *S quantité infinie. Au-delà de ce terme, Je point « (fig. m) continuant de monter, et Je point A de descendre, les lignes ar\, aX arrivent a Ja position horizontale. Dans ce cas am s'évanouit, c'est-à-dire que l'on a
inxy — x—y^=o (p. 5i4), ce qui donne w=^. Si l'on met cette valeur de n dans l'équation
^ 2x — y nxy * nxy— y 9
celle-ci devient a'=3a, ce qui doit être, parce qu'alors les lignes an , As* devenant les perpendiculaires sur l'axe, dans le noyau hypothétique , il en résulte que les parties de cet axe situées Pune en dessus et l'autre en dessous de ces perpendiculaires sont égales à a* ou à l'axe du générateur.
164. Si n continue de diminuer, lesatéfes an, A* se renversent pour s'incliner en sens contraire de la position qu'elles ont dans la figure, tandis que les arêtes «« , restent inclinées dans le même sens. C'est à un certain terme, coinujmdans ces variations, que le noyau hypothétique semblable au gé-
nérateur, ainsi qu'on le voiM F , ^ 0113 *
comme dans tous les aulres^L tm Adt?'
sy qui répondent à an,sn (^^^^Dlc^B^^H* satisfaire » h condition qui
confondent avec les angles solides du noyau hypothétique. C'est ce que nous allons vérifier à l'aide du calcul.
Le quadrilatère frurf (fig. n3) étant la coupe principale du noyau hypothétique, et adsg celle du générateur , menons y$ perpendiculaire sur l'axe £u, et qui aura pour expression \/ fë*. Soient dv et #3" les lignes qui, dans le cas présent, répondent à celles que désignent les mêmes lettres (fig. 107). Par les points a, v menons la ligne indéfinie av , et désignons par y' le point, quel qu'il soit, ou die rencontre la perpendiculaire y<p. IJ s'agit de prouver que
Puisque le noyau hypothétique est semblable an véritable , nous aurons
Or, 9/j'— 3g*=a\
Donc ^-y-nxy
„Xy+x+y >
d'où l'on tire
x — ay
zxy
\ l'on met le dernier membre à la place de /*, dans * équations qui donnent les valeur* de dp (p. 5 1 1 ) ;
5a8 TRAITÉ g$(p. 5i2),/et al (p. 523), dl&
Menons perpendiculaire sur Cherchons successivement o§ et
b proportion devient
^tOIlC ^
1*. <jf = — «*•
^:r*::i$:rfr, ou «g : s*:—*— Vf : \ û
y. ax h x — a y '
x — 9 y x — sy
ietsc la proportion * v% :: «<p : j/p devient
•V DE CRISTALLOGRAPHIE. 6a$
ff. it mettant a k place de à' sa valeur a . — — r *
Mais
'donc . y'<p== V^g"-
Donc les points y1 et 5^ se confondant , la ligne àv ' *' prolongée passe par l'angle solide du noyau hypothétique.
Maintenant cfo, prolongement de ad> étant l'andlogue de #9- , il faut encore prouver que si , par les points a, n , on mène une ligne indéfinie, laquelle ré- -I pond à l'arête (fig. 1 1 1 ) , le point y" (fig. 1 13) y quel qu'il soit, où elle rencontrera la ligne y$, se confondra avec les points y\ y; où , ce qui revient au mêméj il faut prouver que la ligne indéfinie menée par les points a, et qtri répond à a A (fig. 107) , \a couper la perpendiculaire ira (fig. 1 13) sur l'axe -" du noyau hypothétique, en un point 9^ qui sd k Confond avec le point 7r , en sorte fpie l'on aura
lacnons perpendiculaire sur l'axe successivement aie et av.
Cl),
aajc
3jr — 2^
donc
2r / t — ay \
-f-a$=ïa' — t« + «:
: rs :
donc donc
portion car : Stt :: a<r : w'* devient
Efar
doue la pi
i clé a sa valeur a . — ^-r ,
^vîw ou Viér'*- Donc les
2fl
i65. Je n'ai rencontré jusqu'ici aucun exemple d'un décroissement intermédiaire sur A. Mais pour avoir une application au moins hypothétique des résultats précédens, choisissons d'abord le cas où aw
est plus grande que a>«, et faisons g=z \/3,p= V^,'
a = V9, comme dans le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée , et x=5 , y = t , « = 3.
Dans le cas où le solide secondaire que je supposerai être représenté par la figure 104, tourne ses faces les plus inclinées vers les rhombes du générateur, on trouvera $ : p' :: \/47 : V/53 , ce qui donne <pour les angles plans du rhomboïde hypothétique n8d2'4"> et 6id57'56f. On aura, dans la même hypothèse, N=| et //=§. Le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de l'angle qui mesure la plus grande inclinaison des faces du dodécaèdre
sera celui de \/ \$i : \/4, d'où il suit que l'angle dont il s'agit est de i63d4i'54'. Le rapport analogue, pour la plus petite inclinaison, sera celui
de \/i 74 à 5, et l'on aura, pour cette inclinaison
Dans le cas de la double pyramide droite hexaèdre, on trouv era /i=f .
Si l'on suppose ensuite que aco soit plus petite que 'os, ou, ce qui revient au même, que le dodécaèdre tourne ses faces les moins inclinées vers les faces du générateur, et si, en continuant de faire
53a TRAÎTÉ
ou désigne n par la fraction f , on trouvera
et pour les angles du rhombe qui dépend de Ce rapport , 1 i8d 29' 4"? et 6 î^o' 56"; pour N le nombre 4 , et pour n1 la fraction £ , sur quoi il est à remarquer que le rhomboïde produit par le décroissement iuverse que désigne cette fraction est semblable à celui qui résulterait d'un décroissement direct par deux rangées sur Pangle A du générateur j car la
formule n~ + A (p. 319) donne, dans ce cas,
Le rapport entre le sinus et le cosinus de l'angle qui mesure la plus grande inclinaison des faces du
dodécaèdre secondaire sera celui dey'2I9* 1 > qui donne pour cette inclinaison 172* 16' 6", et le rapport correspondant, pour la plus petite incliT
naison , sera celui de >/lîi à 2 , d'où Ton conclura que cette dernière inclinaison est de i48d fyJ 54".
J'ai choisi le rapport 5 à 1 pour celui de x à j-, parce qu'il donne des quantités positives pour l'axe du noyau hypothétique et pour les autres lignes qu'il s'agit d'évaluer , lorsque Ton veut pousser les applications du calcul jusqu'aux résultats de pure curiosité dont j'ai parlé (p. 52D et suiv.). Ainsi , dans le cas où le noyau hypothétique devient semblable au gé-
DE CRISTALLOGRAPHIE. 533 aérateur , comme on le voit (fig. 1 13), on trouve
g' on g.— ^=15 \/3 y et a' ou a.— ^=15x3. Si Ton fait x=/[,j= i , on trouve dv=z5 V£*-fy>%
c'est-à-dire qu'alors Taxe du noyau hypothétique devient infini. En voici la raison. Nous avons, dans
le cas présent, ad : d* ip : 5yV 4- p* > et
g& : ag :: £ . a/? : s/g^+P " V : 5vV+/>*-
Donc les triangles adv , étant semblables , les lignes a*7r\ ay' d'une part, et sir' de l'autre, coïncident sur une même direction, d'où il suit que ay1 devenant parallèle à sy' et <t7t' à s7r', les points de concours de ces lignes, ou, ce qui revient au même, les angles y , tr du noyau hypothétique sont censés être à une distance infinie de l'axe as. Donc l'axe £u devient lui-même une quantité infinie.
166. Je terminerai la théorie des dccroissemens „ intermédiaires relatifs au rhomboïde , par lg solution d'un problème analogue à celui qui nous a occupés pges 416 et suivantes. Dansoe dernier, j'ai supposé un dodécaèdre produit par un décaissement quelconque sur les bords inférieurs d'un rlwmboïde pris pour générateur , et j'ai prouvé que l'on pouvait çon-
sidérer dans ce dodécaèdre plusieurs noyaux hypothétiques, dont chacun était également susceptible de lui donner naissance. Mais les dccroissemeos qui se rapportaient à ces divers noyaux étaient de ceux qui ont lieu, d'après les lois ordinaires , soit sur les Lords B ou D, soit sur les angles E, A ou e. Le problème dont il s'agit ici est d'une beaucoup plus grande généralité , en ce que l'on peut assigner aux faces du rhomboïde hypothétique une infinité de positions, dans chacune desquelles la loi qui en fait dépendre le dodécaèdre est du nombre des lois intermédiaires.
Voici donc l'énoncé du problème : Etant donné le rapport gl p entre les demi -diagonales d'un rhomboïde considéré comme générateur, l'exposant N du décroissement qui produit un dodécaèdre, en agissant sur les bords D du générateur, et le rapport g':p' entre les demi-diagonales d'un noyau hypothétique quelconque qui soit seulement une forme secondaire relativement au générateur, prouver qu'au défaut d'une loi ordinaire il y en aura toujours une intermédiaire susceptible de produire le dodécaèdre , comme forme secondaire dérivée du noyau hypothétique, et déterminer les quantités y et ny dont les deux premières représentent les nombres de molécules soustraites sur l'angle du noyau hypothétique, auquel se rapporte le décaissement, et la troisième le nombre de rangées soustraites, en vertu du même décroissement.
167. Soient bshy gsh (fig. u5), deux feaes du dodécaèdre limitées par un plan horizontal bhgj et par un plan vertical bsg. Supposons d'abord que ha soit une des arêtes les plus saillantes. Soit ukt la section de la face du noyau hypothétique , laquelle est tournée vers hs. 11 est facile de concevoir que , dans le cas présent, le dodécaèdre est /censé résulter d'un décroissement sur les angles E du noyau hypothétique , de manière que x est dans ta sens de D, et jr dans le sens de B. Mais nous verrons que les formules auxquelles on parvient s'appliquent également soit au cas où x serait dans le sens de B, soit à celui où le décroissement agirait sur un autre angle  ou e.
Coacevons qup M, ho soient deux perpendiculaires sur l'axe du dodécaèdre, puis menons bgj tu y ensuite se perpendiculaire sur bgy et hz à la rencontre de tu et de se.
Soit bo=m . ho, m étant une quantité que nou* déterminerons bientôt* L'angle hoc étant île 60*, oa aura
ocs=j6o=î//i . ho y
bc=\/(bo)%—{pcy= \/m% . W-r-i/n1 . (ho)*-
=m.ho\/$,
donc ho= .
Mettant cette v4*W à h place de ]fe 4aas réqua,-
53S TRAITÉ tjon bçzs=m , ho . on aura
Supposons, que c* représente le tiers <le Taxe du noyau hypptliétique ; nous aurons
cje=Ja# et cA= Vl^7.
Soit sz = ra', r étant une quantité quq ppus déterminerons plus bas : nous aurons
Or, les triangles semblables suz, sbc donnent
« : se :; u* : bc, ou ra' : — :: u% : g' . — ;
d'où Ton tire
UZ~ (3r+i)(a-/n)' D'une autre part, il est évident qu'à cause de
donc
168. Soit amnfi (fig. 116) le rhombe dont le triangle wA* (fig. 1 15) fait partie. Mous aurons
ah (fig. 116) : au ;: *
Sojt ah=x , asy ; hz renferme autant de diago-
nales obliques de molécule qu'il y a d'arêtes de moléfcule coutenues dans aÀ-+-a*/, et uz répond à autant de diagonales horizontales de molécule qu'il y a d'arêtes de molécule comprises dans .........
umz=am — auT=ah — au. Donc
hz : uz :: (x+y)p' : (*— y)g'-,
dono
x+ylx—y :: (3r+i)(2 — m). 3r.m.
Mais xly comme la somme des quantités x+y et x—~y est à leur différence} donc nous aurons aussi
x lyi ; (3r+ 1 )(s — m)-|-3r . m: (3H- i )( 2— m)— 3r . m ;:6r — /n 4-n :6r — /n-f-a— 6mr.
Or, la quantité /n, qui exprime le rapport entre bo et (6g. 1 15) est évidemment une quantité rationnelle, puisque ces deux lignes sont en rapport commensurable avec la diagonale d'une autre part, le noyau hypothétique étant une des formes secon-^ daires dérivées du générateur, son axe a9 est eu rapport çommensurable avec l'axe a du générateur , et par conséquent la quantité r qui exprime le rapport entre sz et a est aussi une quantité rationnelle; donc le rapport entre x et y sera toujours lui-même un rapport rationnel. Dailleurs on a
expression dans laquelle tout est rationnel. Donc, il y aura toujours une loi admissible de décroissement, en vertu de laquelle le dodécaèdre pourra être produit par le générateur.
