Imaginons que les choses restant d'ailleurs

dans le même état, la seule différence consiste en a: qué le noyau hypothétique soit placé de manière que ses faces correspondent aux arêtes les moins saillantes du dodécaèdre. Dans cette hypothèse, on aura

2N + 1 ag L l4 ^ftN + i r— a(5N— 3) g* 3— «' jTfT

* : .y :: 6r+n — m :6r+2-*-m — 6mr:: 4 • — 1 }

ce qui indique un décroissement sur l'angle e.

On fera donc #=4> J^= i- Mais Nt=3. Donc la

formule 71= — — --^ — ~(p- 49$) deviendra rc= 2,

On pourra vérifier ce résultat, en supposant que le rhomboïde équiaxe fasse la fonction de générateur , et en cherchant dans cette hypothèse le rapport entre les demi-diagonales g' et p' du noyau hypothétique.

Faisant donc#= yï^> a=3, 71=2, x=\,y=. 1 , on aura (p. 497)

ainsi que cela doit être, puisque c'est le rhomboïde

fonction de noyau hypothétique.

176. Prenons pour générateur un rhomboïde dans lequel on aurait .g^s^fô, pz=z\/i^^ ce qui donne a =3. Supposons de plus N = 4? e* proposons-nous de déterminer la loi eu vertu de laquelle

544 TRAITÉ le dodécaèdre serait produit par le rhomboïde de 104dr> considéré de nouveau comme noyau hypothétique. Nous durons g' = y/3 , et a' es 3. Choisissons le cas où les arêtes les plus saillantes du dodécaèdre seraient tournées vers les faces du noyau dont nous venons de parler.

Dans cette supposition ,

r— a(3N — 3)V' 3— 4? Cl m— aN-f-i ^

D'après cela , on trouve par la Formule ci - dessus (p.537) # :y :: 1 : 5 , ce qui indique un décroissement sur A. Ainsi il faudra faire xlynSli. La formule relative à n (p. 5a3) donnera

Ces résultats ne sont autre chose qu'une inversiou de ceux qui ont été exposés (p. 53a), et dans lesquels le rhomboïde de io4dy a été pris pour générateur, tandis que celui qui a ses demi-diagonales dans

le rapport de à y 1 7 a (ait la fonctioh de noyau hypothétique.

177. Pour faire une nouvelle application, choisissons le dodécaèdre résultant du prolongement dès faces A, A ( fig. 118), qui appartiennent à la chaux carbonatée isométrique ( p. 54a). Ce dodécaèdre est représenté séparément (fig. 119). Si nous prenons pour noyau hypothétique le rhomboïde inverse de

la même substance, et si nous lui donnons sa position naturelle, relativement au générateur, il est facile de voir que ses faces seront tournées vers les arêtes les plus saillantes, telles que «, du dodécaèdre.

Cela posé, nous aurons £=:\/3> a=3, N=3,

g1 = V^3 , a' = 6 ; donc

Donc la proportion # ^::6r— 771+2 :6r— 7/1+2— 6mr deviendra xlylï 1 ^2, d'où Ton conclura que le décaissement intermédiaire agit sur les angles E du rhomboïde inverse, de manière quex coïncide avec B, eijr avec D. Faisant donc xz=z2,y = 1 , nous aurons

1 78. Tout restant d'ailleurs dans le même état substituons au dodécaèdre qui résulte du décroisse-

ment D , le metas ta tique dont le signe est D , auquel cas nous aurons N = 2.

Dans cette hypothèse, on trouve

ce qui fait connaîtré que, dans ce cas, on a aussi

sz (fig. ii5) = oj

d'où il suit que lô point z se confond avec le sommet s, et que la diagonale du noyau hypothétique est pa-

546 TAA1TÉ

rallèle à l'arête fis. Si l'on fait r=o, dans le rapport de ara y, on auraxlj" :: 2 — m 12 — //i,uu d'où l'on conclura que le décroissement qui donne le dodécaèdre est du nombre des décroissernens ordinaires sur les angles E. Pour avoir w, on peut choisi

à volonté entre la formule 7&=^2i— 1£ (p. 44o

relative au cas où x est dans le sens de D , et la for-

mule n — ^ - (p. qoï)), qui se rapporte au

IN jy

cas où est dans le sens de B. L'une et l'autre douneront n = 2.

Nous avons présenté plus haut le même problème, sous une autre forme (p. 43o) , en cherclianr la loi en vertu de laquelle le dodécaèdre métastatique serait produit par un noyau hypothétique dont les faces seraient parallèles aux arêtes les plus saillantes de ce dodécaèdre. Nous avons eu alors pour la valeur de n l'unité , c'est-à-dire une quantité sousdouble de celle que nous venons de trouver, parce que s désignait le nombre des diagonales soustraites, au lieu qu'ici il indique le nombre de rangées soustraites.

179. Les résultats précédens peuvent être employés avec avantage pour faciliter et simplifier la détermination des formes qui dépendent des décroissemens intermédiaires. Supposons, par exemple, qu'ayant observa l,i '^sv <:;trl>onulée numérique (fig. 81 ), on ait «|HjPe \ •uboïcle dmi

clic porte l'empreinf Jm « »ux carbo-

natée équiaxe, ce qui est d'autant plus aisé que l'on peut mesurer immédiatement les incidences des faces de ce rhomboïde. On cherchera la loi de décroissement en vertu de laquelle le dodécaèdre auquel appartiennent les faces y> y, serait produit par le rhomboïde dont il s'agit. Cette loi, comme nous l'avons vu, a pour exposant f. On considérera ensuite le même rhomboïde comme étant le générateur, et le rhomboïde primitif comme étant le noyau hypothétique , et appliquant ici les formules qui donnent le rapport entre x et y ( p. 539 ) , et lps valeurs de m et de r, dans le cas où le dodécaèdre tourne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du noyau hypothétique, on fera g=\/i2, a=3, N=| , g=\/5, a'-=3, ce qui donnera r=}, m— et x^::3 :a. Mettant à la place de N , x ety, leurs valeurs numériques, dans la formule n = ^~^^9 on trouvera n = | , et l'on sera ainsi parvenu par une méthode indirecte, mais expéditive, à un résultat qui aurait pu exiger de longs tatonnemens , si l'on avait cherché immédiatement la loi du décroissement intermédiaire.

De diverses formes secondaires dérivées du

rfiomboïde.

Parmi les nombreuses variétés de formes originaires du rhomboïde, que nous offre la cristallisation , surtout dans l'espèce de la chaux carbonatée , j'ai choisi, pour les résultats que j'avais à exposer,

celles qui m'ont paru se prêter le mieux aux applications de la théorie dont ces résultats ont été le sujets. Je vais en décrire encore quelques-unes qiE n'ont point trouvé place dans les articles précédent, et que je crois dignes de l'attention des géomètres.

180. La première, qui appartient à la chaux carbonatée, porte le nom analogique, à cause des propriétés qui mettent en rapport ses différentes parties, soit entre elles, soit avec d'autres formes remarquables par leur symétrie, comme celles qui offrent des angles droits , ou des angles de 60 degrés. Les figures 121 et 122 représentent celte variété d<

le signe rapporté au noyau (fig. 120) est £?£>B. Sa

erg

limite géométrique est celle que montre la fig. 121, où toutes les faces sont des quadrilatères ; mais il arrive assez souvent que les unes prennent respectivement plus d'étendue que les autres, d'où résultent diverses modifications accidentelles ; dans celle que l'on voit (fig. 122) le cristal est censé avoir subi, dans le sens de son axe , un allongement qui change les trapeWides c, c (fig. 1 2 1 ) en hexagones.

Les différentes faces qui composent la surface de cette variété sont situées si avantageusement , que la connaissance acquis ment entre elles ce, pour vérifier les lois Mais en faisant abst me prop'- \h clé

DE CRISTALLOGRAPHIE. hfa

du cristal ramené à sa limite, et ensuite les incidences des faces d'un ordre sur celles de l'ordre voisin.

Soit cr/sffig. 1 23) une des faces verticales c (fig. 1 2 1), cypr,cesz(fïg. 1 23) deux des faces r(fig. 121) qui appartiennent au cristal métasta tique, etyam (fig. 1 23) une des faces g de l'equiaxe. Soient de plus dof, qqf, àtify quf (fig. 123) quatre faces du cristal métasta tique supposé complet. Menons l'axe ow, les deux diagonales ci, rzdu trapézoïde cr/z, la grande diagonale yr du trapézoïde cypr, et tes deux cja, yt du trapézoïde yce/u,.

Commençons par criz. Les points r, z étant situés au milieu des arêtes dfy qf, qui sont communes au cristal métastatique et au noyau , il est évident

que rz=g= \/3.

Donc rh = Soit h (fig. 124) le même point que figure 123. Si nous menons hc parallèle à l'axe, cette ligne sera aussi la même que figure 123. Or, le point h (fig. 124) est situé au \ de la diagonale oblique ft\ donc fh=ip. Mais /A \ ft :: hc : to. De plus to— 2a =6; donc la proportion devient

donc Ac=£; donc (fig. ia3) rh\hc" ^{:f:: donc le triangle rcz est équilatéral.

D'une autre part, hi (fig. 124) est* égale à là même ligne (fig. 123), et en comparant les trianglès semblables fhi,ftu, on en conclura que hi=^^ttt~\^ °nc hi (lig*. ia3)= ± hc. D'après ces données on

m fines hst

ttarv

> ri.

sir -~ 1 - -i^i