tà :: • <p3* :» 5 • i

Reste à chercher ot. Si du point c (fig. 1*4) nous menons une perpendiculaire sur l'axe , elle tombera à l'extrémité a de cet axe. Car çf=\of\ donc, puisque ca est parallèle à fr , la distance ar sera \ de or. Donc ar=\ao, d'où il suit que l'extrémité a de la perpendiculaire se confond avec celle de l'axe du - noyau. Donc, puisque la ligne c7 (fig. ia5) corres- ■ pond à c« ( fig. 1 24 ) , le point c (fig. 1 20 ) est telle-t ment situé , que 07 est l'excès de l'axe du métastatique sur celui du noyau; donc ot = 3; donc la proportion 07 : crA :: 5 : 1 devient 3 : <r\ :j 5 : 1 y doneo-A = f.

Cherchons maintenantes ou son égale ac (fig. 124J. or *fr::ao:acy ou 4 : 3 3 : ac = \ =cr; donc l'équation cA= co"-— trA devient cA=| — § = ~,

Reste à chercher Ar. Les triangles cr£ et cT/t donnent cr : t£ :: c7 : s^t , ou cA+at : tÇ" Or ,

d'une part, t£= 5Ar , parce que ces quantités sont proportionnelles à 00*=: 3 et ?A?s:|.

D'une antre part, appelant g et />' les deux demidiagonales de l'équiaxe, on a

Enfin, cX—yô ; donc la proportion cA-f-Ar •tÇ\\cs\: devient -;%-f-AT : 5Ar :: 3 • 1 ; d'où Ton tire At=- Donc , substituant à la place de c\ et de At la valeurs dans l'équation ct=cA+At, ou aura

a\ Pour ra.

t<t=zc<t— cA— At=| — 5 — 1

Donc ct= ; donc aussi c£= 2f/*? ce qu'il ia! prouver. Maintenant , puisque

^(fig. u3) :yt;:: v/5:\/^,

nous aurons

c£ : >Ç :: V^o : VU:: \/5 : \/3,

ce qui est précisément le rapport entre les i demi-diagonales du rhomboïde inverse. Ainsi deux triangles €/a^, icy, l'un appartient à l'éq et l'autre à l'inverse; et les deux hauteurs c£ , | ces triangles ont entre elles le même rapport qi hauteurs cA, ih des triangles qui composent 1 pézoïde irez.

Passons au trapézoïde cypr, et cherchons <T les expressions des trois côtés du triangle cyr.

i °. Pour cy . yx .

g cÇ (fig. ia5)= y/(cr)--f

Donc Vf; donc cy= V'I+f = V^- :f«« 2°. Pour cr.

^ cr= VW + (*/•)•=? Vf+J = VI

3°. Pour >r. Si l'on fait passer par la ligne y* un plan perpendiculaire à l'axe, ce plan coupera l'axe au point v (fig. is5.) Cherchons la valeur de ov. Nous

""avons

î^u, cet

OV=0(T 0>=O? TÇ=Z07 5AT = 3 — ~=|.

r-Or, l'axe 0^=9=^. Donc le point ^ (fig. 123) 'qui est à la hauteur du point y (fig. 1 25) se trouve situé vis-à-vis les de l'axe. Mais le point d (fig. ia3 /j.yjet 124) est situé vis-à-vis les f de l'axe, puisque. • . t entiri°^=^ donc le point y (fig. 123) est au milieu de

.l'arête od. Mais le point r est au milieu de l'arête df.

1 erse Ai r J

• Donc

lient 2 J

"PP* D'ailleurs, cr=V^3 et cy — \/2. Concluons de J^ là : i°. que l'angle ycr est droit; a8, que le triangle cyr est semblable et égal au quart d'une des faces du ^^noyau divisée par les deux diagonales.

Ayant déjà l'angle ycr de god, cherchons encore les angles ypr et cyp.

/{crfÀ, x°- P°ur l'angle ypr. Cet angle est le supplément ^^pde dpr. Or, dans le triangle rpdy nous connaissons dr=^dj\={- \/5. De plus,

;,r==/r=V/(WT(iÂ);=V/|T^=ÎV/^-

Donc

dr : pr :: \Ao : s/Tî

Enfin , l'angle pdr , qui appartient à l'une des faces du cristal métastatique est censé connu, et sa valeur est de 54d 27' 3o". D'après ces données, on trouve que dpr=52ô 34' 7", d'où il suit que ypr= i2-]d a5'53".

2*. Pour l'angle cyp. Cet angle est composé des deux angles cyr et /^r , dont le premier est la moitié de l'angle obtus du rhombe primitif, c'est-à-dire qu'il est de 5ocl46/6'/. Reste à trouver p>r, ce qui sera facile d a près la connoissancede^r=i 2 7<l25'53fr?

de pr=\ el de yr=\J 5 . On aura py n= 2 tfo'a^i laquelle valeur ajoutée à celle de cy r, donne -^fâ^o* pour l'angle cyp. Le quatrième angle crp sera donc de 67<*47'37".

Nous avons encore à déterminer l'incidence de cypr sur cczr, et celle de cyt** sur cpr.

i°. Pour l'incidence de cypr sur cs/r.

Soit ttz (fig. 126) le même triangle que fig. 123. Menons en (fig. 126) située comme r/'(fig. 123), et tellement prolongée, que les lignes r/i, zn menées à son extrémité soient perpendiculaires sur elle. Menons aussi cA, hauteur du triangle rez, ensuite nh* puis ng perpendi* uliy>*mur er, na perpendiculaire sur cA, et enfin ag ' denre de «cr sur c/fl mesure rineidenceB

e //gr/ qui mesure Finci- UppK 1 de celui qui des. vv~ , cypr

•ce lie relie

de l'angle nga (fig, 126). Déterminons successivement ng et na.

iw. Pour na. A cause du triangle rectangle enh ,

cnXhn

ch=\/\. rhlhni; V^V^j parce que l'angle nrz jnesure la plus petite incidence des faces du cristal

jnétastatique. Mais rA=v/i;donc

Dune

— — T7= — — Vis

3*. Pour ng . ng =

en X nr ~^™,— """"^ • cr

INous avons déjà cn= V, ; nrz=\/(rl^-f(hnf= vJ+W= VI 5

doue

Donc ng'.na :: >/ïï : y/g:: v7r? : i. D'où il suit que nga = 45d; et par conséquent l'incidence de cypr sur czir est de i35<*.

ap. Pour l'incidence de cyfxt (fig. 123) sur cypr.

Soit (fig. 127) le même triangle que fig. 123.

Menons cv (fig. 137) située comme co (fig. n3)d limitée dans sa longueur, de manière que les droite* yv, ev (fig. 127) menées à son extrémité soient pet. pendiculaires sur elle. Menons aussi vÇ perpendiailaire sur ys, vX perpendiculaire sur cÇ , vt* perpenAculaire sur r£ , et enfin A^\ L'angle oAtt sera le supplément de celui qui mesure l'incidence proposé?. Cherchons successivement rA et >7r.

i°.PourrA. ,A=^A

Nous avons trouvé plus haut cy = V^. Mais

et nous avons eu aussi c£= \/| ; de plus, yÇ = V'î-

Or,

>£ : £»- " Va : v/3.

DoncÇ»= V^; doue cr= yf— J-= y/ïï=\'\

donc

a*. Pour rt «r=^, c= Vf, 0- \/£ Vl i

donc

ce qui est le rapport entre le côté du rhombe primitif et la moitié de la diagonale horizontale. Donc

angle >wr = =5oa5o o , d Ou il suit que

l'incidence de c>/Ué(fig. 1 2 3)sur cypr est de 1 a()d 1 3' 54".