Une seconde variété qui est représentée

figure 128, et dont le signe est *eD, a été appelé*

cmn

ascendante y parte que les trois lois dont elle dépend suivent la marche indiquée par ce nom, en partant des angles et des bords inférieurs du générateur (1). Voici les mesures de ses angles saillans. Incidence de c sur c', i20â; de c sur m, ou de é' sur mr9 i65d5i'49*;de m sur m', n4di8'56"; de 71 sur n9 i6id48/ 18"$ de n sur la face de retour, ioid32/ i3".

Cette dernière incidence est égale à l'angle au sommet du rhombe primitif. Je vais prouver que cette égalité peut avoir lieu relativement à tous les rhomboïdes obtus dans lesquels les carrés des exprèssions des demi-diagonales sont des quantités rationnelles, quelles que soient d'ailleurs les mesures de leurs angles , en sorte que la loi qui la donne dépend, pour chaque rhomboïde , du rapport entre les diagonales dont il s'agit.

Il est d'abord facile de voir que le sinus de la moitié de l'incidence égale à l'angle du rhombe pri-

(1) J'ai déjà indiqué, p. 34° > celte de ce* lou qui donne lea faces n% n*

mitif étant alors au cosinus comme g : p, et leur rapport étant le même que celui de de (p. 324) ou de # à ek9 on aura l'équation

d'où l'on tire, en mettant à la place de ce* sa valeur gp1 — 3g%, et en faisant lés opérations convenables,

ou en simplifiant,

Extrayant la racine du premier membre , on a

ce qui donne

183. 11 y a une manière beaucoup plus simple dé démontrer la même propriété. Elle est fondée sur l'observation que quand la plus petite incidence de deux faces du dodécaèdre, telles que dpf, qpf (fig. 17, pl. 16), est égale à l'angle dfq du générateur , la ligne dk perpendiculaire sur pf prolongée se confond avec l'arête df, puisque l'on a ek=ps=:ef. Il en résulte que les angles dfp^gfp sont droits, et

par conséquent les triangles dp/, qpf sont perpendiculaires sur le plan du rhombe dfqs.

Soit toujours a/7iW( fig 19) la coupe transversale du générateur, prise par un plan perpendiculaire aux arêtes aft, df (fi* 17). La ligne m/(fig. ic))étant perpendiculaire sur le prolongement de /a, coïncidera avec la face dpf (fig. 17) du dodécaèdre. Soit mou (fig. 19 ) le triangle mensurateur , d la dimension qui sur la molééule répond à amy et n le nombre de rangées soustraites. La ligne at étant la cosinus du petit angle du rhombe primitif, nous aurons

om:ou::dxn:d::am:at :: 2p*:#* — p'(p.392),

ou

n : 1 :: zp% :g%—pûi

donc

Ainsi la valeur de n est égale au rapport qui repré» sente la valeur du cosinus du petit angle du rhombe primitif. Mous avons déjà vu que les valeurs correspondantes relativement à d'autres formules qui généralisent la propriété du dodécaèdre métasta tique (p. 33o) et du rhomboïde inverse (p. 399), dépens daient du même rapport , en sorte que celui-ci sert à lier toutes ces propriétés doublement intéressantes > soit en elles-mêmes, soit par leur réunion autour d'un point commun de ralliement.

5Go TRAITÉ

183. Si Ton fait P=V^> on trouve n=4, comme dans la variété qui est le sujet de cet article-

Si l'on suppose g= V5,/?= "|/3, comme dans l'argent antimoine sulfuré, on aura tï = 3.

En faisant g= \/2,/?== V*> on trouverait /i=a, ce qui a lieu, comme nous le verrons dans la suite, dans une variété du dodécaèdre rhomboïdal , c'està-dire d'une forme primitive dont la théorie peut être ramenée à celle du rhomboïde.

Lorsque # est égale à p, comme dans le cube, on

a n—^> c'est-à-dire qu'alors n devient infinie, en

sorte que le dodécaèdre se confond avee le générateur. Passé cette limite, le générateur devenant un

rhomboïde aigu , on a nt=. — j^r~^ > c'est-à-dire qu'alors la valeur de n devient négative.