La figure 129 représente une autre variété
eu 4 7 1
Je lui ai donné le nom limitative , parce que les faces •>}» et n , dont l'une résulte d'un décroissenient intermédiaire, et l'autre d'un décroissenient mixte, ont été produites, pour ainsi dire, à l'imitation de celles qui, dans d'autres variétés , sont dues>^** n^u différentes et en même temps plus simnle/
Les premières , si elles étaient prol ^'entrecouper, composeraient la surfi
caèdre semblable à celui auquel appartiennent le9
laces yyjr (fig. i3o) de la variété dïennéaèdre , les-
quelles dépendent du décroissement D.
Pour démontrer la relation qui existe entre les deux décroissemens , supposons que pu (fig. i3o)
représente le dodécaèdre dont il s'agit. 11 est évident
que, dans l'hypothèse du décroissenient D, le générateur tournera ses faces vers les arêtes les moins saillantes, telles que y. Mais dans lé dodécaèdre qui résulterait du prolongement des faces >[/, 4 (fig- I29)> ce seraient au contraire lés arêtes lés plus saillantes * telles que £ (fig. i3o), qui répondraiént aux faces du générateur (1). Ainsi la question se réduit à chercher4 la loi de décroissement intermédiaire en vertu de laquelle le générateur, considéré comme noyau hypothétique, produirait lé dodécaèdre, avec la condition que les arêtes € fussent tournées vers les lacés dé ce noyau.
En appliquant ici les formules qùe nous avons données ci-dessus ( p. 538 ) , nous aurons
a=3, g= V/3, N=|, a'=3,g>'= V^i «e qui donnera
r=| , mz^l , et * :/ :: 7 : 2*
1) Dan» le cas présent, ces arêtes sont celles qui naU ent de Fiateheotion des faces 4*» 4"» situées en avant.
$6j TRAITÉ
On trouvera ensuite rc— résultats qui s'accordent avec les indications du signe du cristal.
D'une autre part , les pentagones a , m , ayant leurs grands cotés sensiblement parallèles entre eux , il est ùéle de voir que dans le rhomboïde qui résulte de imr prolongement , les diagonales obliques sont parallèles aux arêtes les moins saillantes du dodécaèdre duquel appartiennent les faces tp, «vj/. Cherchons d abord le rapport entre les demi-diagonales g' etp du rhomboïde dont il s'agit.
Soit toujours adsg (fig. 16, pl. 16) la coupe du générateur, et dp une des arêtes les moins saillante» du dodécaèdre. Mous avons, dans le cas présent,
donc pr=8.
Mais dr iprii* : 8 :: i : 4;
donc g' : Vty'1 — g" 1 :4>
ou g'% : $p'%—g'% :: i : 16$
d'où Ton (ire
ce qui indique que le rhomboïde est le contrastant
saillantes, et par conséquent les faces du rhomboïde sont tournées vers les bords supérieurs du véritable générateur , d'où il suit que le rhomboïde est produit par renversement sur les angles inférieurs de ce générateur, et que la loi qui le donne a pour exposant ^ comme je l'ai démontré (p. 378). Ainsi le décroissement a lieu par 7 rangées en largeur et par 5 en hauteur , comme l'indique le signe. J'ajouterai ici les mesures des principaux angles du cristal. Incidence de c sur c , i20d ; de c sur w, i5od; de 4 sur «4^ io8d56'a"; de 4 sur 4'> i34d25'2"; de n sur », 65d 4 1'4"; de n sur 4 > *5>7d 12' 3i"; de < sur (y 1 37d 39' 26"; de t sur t\ 1 59d 1 1 ' 34".
i85. La variété qui va maintenant nous occuper appartient au fer oligiste. La fig. i3i la représente , et son signe rapporté au noyau ( fig. 1 3a) est
DPE5SEE,fEA/Je la nomme fer oligiste soustractif,
k P n us
parce que l'exposant 3 de la loi qui donne les faces n est moindre d'une unité que la somme 4 des autres exposans. En examinant son signe, on concevra que sa surface est composée de six faces verticales k} kf situées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier; de douze autres laces tï, /*, n\ ri, qui étant prises six à six et prolongées jusqu'à se rencontrer par leurs parties supérieures, formeraient deux pyramides droites dont les bases se confondraient avec celles du prisme; de six pentagones P, P, parallèles aux faces du noyau, de six autres $, placés trois
564 TRAITÉ à trois aux extrémités du cristal, et enfin de sii quadrilatères u qui interceptent les angles solides à la rencontre des faces A: et n* J'ai à prouver que ces dernières facettes sont des rhombes, et que leur figure symétrique peut avoir lieu dans une infinité de cas, sous une condition qui difîere de celle à laquelle est soumise la même figure dans la variété euthétique de chaux carbonatée (p. 5o5). Voici en quoi elle consiste :
Soient bxqz (fîg. i33), qztl, etc. , six feces verticales analogues aux pans d'un prisme hexaèdre régulier , et pbzy une pyramide droite qui repose sur la base de ce prisme ; soit de plus drsk un quadrilatère qui remplace l'angle solide t, et qui ait ses deux bord* supérieurs dr , dk , parallèles aux arêtes pz , py9 de la pyramide. Ce quadrilatère sera un rhonibe, quelles que soient les inclinaisons des faces de la pyramide sur la base.
Pour le prouver, je mène le rayon oblique et de la base, ensuite jy , et je prolonge le plan zpy , jusqu'à ce que ses deux sections sur les pans ztlq , jrtlu , se rencontrent en un point n de l'arête tl. Il est évident
que les quadrilatères drsk,pzny, sont semblables ; il
sulfit donc de démontrer que Si l'on mèuv pg à fendrôit t et qu'on la prolonge iudéfi point w, puisqu'elle rest plan du i < ilatère pzn parties PJn* Or1
ier est un rhonibe.
|f s'entrecoupent,
le passe* r le
li renie
parce que la base du prisme est un hexagone régulier; donc les deux, triangles sont non-seulement semblables, mais égaux; donc gp=gn\ d'où il suit que le quadrilatère pznjr est un rliombe, et ainsi du quadrilatère drsk.
Or, les bords supérieurs des facettes u (fig. i3i) étant parallèles aux arêtes que remplacent les faces P, ou, ce qui est la même chose, aux plus longs bords de ces dernières faces, et cela par une suite de ce qu'elles proviennent du décroissement EnE, il en résulte que ces facettes sont aussi des rhorabes, et l'on, juge aisément que cette figure nç dépend point du rapport entre les diagonales, du générateur, mais qu'elle tient uniquement à une combinaison de lois de décroissement d'où résulte le parallélisme dont j'ai parlé. Voici les principaux angles du, cristal, :
Incidence de k sur k , i aod ; de k sur /*, 1 5od a6' ; de n sur ra, I28da8'; de n sur rc', i2od52'; de P sur n , i54d i3'j de P sur s+ i44d8' j de s sur &> i44di de P sur u9 128^39'.
186. Je n'ajouterai plus qu'une variété que je choisis dans l'espèce du fer sulfaté, non qu'elle offre des propriétés remarquables, mais parce que les décroissemens dont elle dépend agisseut à jla fois sur ses différentes parties, et ont toutes une même mesure , ce qui est très rare dans les solides dérivés d'un noyau rhomboïdal, qui n'ayant pas un caractère particulier de régularité j comme le cube et l'octaèdrfe
à triangles équilatéraux, n'exige pas que les lois qui produisent ses formes secondaires participent de sa symétrie.
Le rhomboïde primitif P (Cg. i34 ) du fer sulfaté, qui est aigu, a ses diagonales g et p dans le rapport
de v/7 à V^10- La forme secondaire dont il s agit est représentée figure i35, et a pour signe PDE,JEBA,
d'où Ton voit que les décroissemens qui lui donnent naissance ont lieu par une simple rangée sur tous les angles du rhomboïde primitif. Je nomme cette variété fer suif uré pantogène % c'est-à-dire qui tire son origine de toutes les parties de son mryau. Voici les mesures de ses angles.
Incidence dePsurP, 8iJ23'; de P sur n9 1 i8*5Ç; de P sur o, 1 *3â 34' 5 de P' sur o , 1 35d 48' ; de P sur r, i3od4i'; de P ou P' sur s , i3()ai8'.
Je n'ai point parlé de la tourmaline dout la forme primitive est aussi un rhomboïde , et qui offre plusieurs variétés intéressantes, parce que cette substance est du nombre des corps naturels qui s'électrisent par la clialeur , et dont la description fera le sujet d'un article partictdier.
Formule pour la détermination des angles des
formes composées.
187. J'ai donné des formules générales pour déterminer immédiatement les incidences mutuelle*
des faces qui appartiennent aux formes secondaires simples , produites en vertu d'un seul décroissement par un nombre quelconque de rangées soustraites sur tel bord ou tel angle d'un rhomboïde primitif.
Les surfaces des formes que j'appelle composées étant des assemblages de facettes de différens ordres , qui se rencontrent et s'entrecoupent dans différentes directions, la complication qui en résulte semble d'abord écarter l'idée d'étendre à ces formes les avantages qui naissent des formules générales, relativement à la détermination des premières. Il ne reste plus alors que des méthodes particulières, qui ne conduisent au but proposé qu'à travers les détails prolixes d'une opération que Ton est obligé de recommencer tout entière, chaque fois qu'il survient un nouveau problème à résoudre. Ce n'est que depuis peu de temps que j'ai conçu l'idée de généraliser, autant qu'il serait possible, les applications de la théorie à la recherclie des angles des formes secondaires composées , et les résultats de mon travail , que je vais exposer, m'ont fait regretter que cette idée ne se soit pas offerte dès le commencement.
Les angles dont il s'agit sont produits par le concovirs tantôt de deux faces situées sur deux rhomboïdes différens , tantôt d'une face de rhomboïde et d'une autre face qui appartient à un dodécaèdre > tantôt enfin d'une face située soit sur un rhomboïde, soit sur un dodécaèdre , et d'une seconde qui est perpendiculaire ou parallèle à l'axe.
5Sa TRAITÉ
La détermination du premier de ces angles souffre peu de difficulté. C'est vers celle des deux autres angles que j'ai dirigé mes recherches , et je suis parvenu à circonscrire les différeus cas auxquels elle se rapporte (i) dans une même formule , qui s'appKque directement à l'un d'eux, et n'a besoin que d'être plus ou moins légèrement modifiée, pour donner tout d'un coup la solution du problème dont chacun des autres offre le sujet. Elle m'a même paru mériter d'autant plus d'être publiée, qu'indépendamment de l'avantage qu'elle a d'apporter line économie de temps et de travail dans les applications de la théorie, elle peut être employée au développement de plusieurs propriétés remarquables, que réalisent une partie des formes dont j'ai parlé, et que je ferai bientôt connaître,
188. Mais avant d'exposer cette formule il est nécessaire d'entrer dans quelques détails sur les différens 'cas auxquels clic petit s'appliquer, et sur les quantités qui m'ont fourni les données d'où je suis j>arti pour arriver à mon but.
La construction de cette for 'épend du rapport entre trois coordonnées^ |p q[ perpendiculaire menée d'un d<
( lu* de mon plan le c
1' "»e face de rhomboï
d 'lùlti à l'axe, parce
^ 4 y employer und
du dodécaèdre, pris à volonté, et les deux autres sont les sous-divisions de Taxe situées de part et d'autre de cette perpendiculaire. Je vais indiquer ces coordonnées relativement à chaque cas particulier.
Je supposerai d'abord que les dodécaèdres dont il s'agit aient été produits par les décroissemens ordinaires. Il pourra arriver que ces décroissemens aient eu lieu sur les bords inférieurs du rhomboïde primitif, ou sur ses bords supérieurs ou sur ses angles latéraux. Dans le premier cas on voit, par la seule inspection de la fig. 16, pl. 16, dont nous avons déjà fait usage pour la théorie de l'espèce de décroissement dont il s'agit, que les trois coordonnées sont les
lignes Jr, pr et wr, qui ont pour expression
» 1 a (an 4-1) 4. , a /*-4-2\
Dans le second cas, aclsg (fig. 5, pl. i5) étant la coupe principale du générateur, et amsp celle qui lui correspond sur le dodécaèdre , les trois coordonnées sont mu y au, us 7 que nous avons représentées
algébriquement par les expressions — jp- Vf#* >
an — \ n 4- »
On 7 ou
La figure a été tracée dans l'hypothèse où le dodézq* tournerait ses arêtes les moins saillantes vers 1 noyau. Alors au est plus grande que us.
57o % TRAITÉ
Lorsqu'elle est plus petite , ce sont les arêtes les plus saillantes du dodécaèdre qui répondent aux faces du noyau. Mais il n'y a de changé que le rapport entre les expressions des coordonnées, par une suite de ce que la quantité n se trouve diminuée.
Le troisième cas exigera un calcul particulier pour mettre les expressions des coordonnées sous la forme qui convient à la formule. Dans la figure 29, pl. 17, qui est celle dont nous nous sommes servis pour les résultats relatifs aux décroissemens sur les angles latéraux, les lignes oz,pxne coïncident pas sur une même direction avec les lignes ln> dr\ elles sont situées au-dessus ou au-dessous, suivant que le dodécaèdre tourne vers le noyau ses arêtes les plus saillantes, ou les moins saillantes. Cette différence de position est une suite du parallélisme qui a lieu entre to et ad. Nous n'avions besoin alors que des expressions de In et dr. Mais ici il est nécessaire de chercher celles de oz et r/r, qui sont les véritables coordonnées, prises sur la direction de l'axe.
DE CRISTALLOGRAPHIE. bj\ Or, d'ime part,
tz : oz :;ar : dr :: \a : V
donc
D'une autre part,
donc
iz : oz i> : dr :: « • V/|^1 3
. __gjL aw + 5 (a»+a)(a/i-fr3) " l/fe* .6» a — (a/i+i) 6a
Dans la figure 29, £/z est plus petite que iz, par une suite de ce que le dodécaèdre tourne ses arêtes les plus saillantes vers les faces du générateur. Si elle était plus grande par une suite du contraire , les expressions des coordonnées resteraient les mêmes : il n'y aurait de changé que leur rapport.
Si le dodécaèdre est produit par un décroissement intermédiaire, on substituera le noyau hypothétique au véritable , et l'on prendra les coordonnées dans la coupe du dodécaèdre qui naîtrait d'un décroissement sur les bords inférieurs de ce noyau hypothétique ; ce qui fera rentrer le cas dont il s'agit dans le premier de ceux que nous venons de considérer.
189. Je vais maintenant donner la construction de la formule générale dans laquelle les expressions des trois coordonnées n'ont besoin que d'être remplacées \n» chaque cas particulier par leurs valeurs mimé-*
riques pour conduire à la solution du problème proposé,
Soit ? y. (fig. i36) un dodécaèdre produit par un décaissement ou, réel ou hypothétique sur les bords inférieurs a A, bh, etc., d'un noyau rhopiboïdal, et dont lessommets soient remplacés par les faces >é<TA, etc., et d'un rhomboïde quelconque originaire du véritable noyau. Ou propose de déterminer l'incidence de l'une dçs mêmes faces sur les faces adjacentes r, r, du dodécaèdre. Nous supposons ici que ces faces naissent sur les arêtes longitudinales les moins saillantes du même dodécaèdre*
Par les angles a , b , faisons passer un plan asb parallèle à l'axe, et coupons-le par un autre plan agb perpendiculaire au même axe. Soit acbtg (fig. 1 37 ) In pyramide donnée par ces plans, et hgk un plan parallèle à la face yh ( fig. 1 36 ). Menons gp prolongée convenablement, et abaissons sr perpendiculaire sur gk prolongée, puis sz. L'angle szr sera le supplément de l'incidence cherchée.
Soit ochnz (fig. i38) la coupe du générateur, et du, dty deux arêtes longitudinales du dodécaèdre. Les deux lignes ku,kt, seront les coordonnées dont nous avons parlé plus haut, et qui ont pour expressions générales ham^~~rx* Représentons-les, pour abréger, par 5 et t\ et enfin exprimons par m, 6, les deux lignes cg^cp, dont le rapport est celui de g' : V2P^ — et P' étant les
demi-diagonales du rkomboïde dont une des faces est y\J"e.
Cela posé, cherchons successivement $r et rz, qui sont l'une le sinus, et l'autre le cosinus de l'angle szr. i*. Pour sr. Les trianglés semblables pcg , prs ,
donnent sr : pr \\ cg\cp"nt\b\ doue sr=z^ Xpr.
Calculons pr.
pr : ep :: ps} ou cs—cp : gp\
donc
pr: b :: b: v^+^î
mais
€5(fig.i37):c^:: A^:rfA:(6g. i38),oucs:ra::s:v^ïF>
d'où l'on tire
7ns
es =
✓te"
donc
ms s
ce qui donne
Multipliant cette valeur de pr par pona
2%. Pour rz.
rz :gr :: pklgky d'où rs=K
oms
m(jny $g* -f" bs)
~ vW(m* + b* *
D'une autre part ,
pk : cb :: pa : es, ou pk : g :: es — b : ,
d'où l'on tire De plus ,
« /mV(ma + ft,+g*(mf — 6 V
Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression de /t , on aura
Maintenant , si nous prenons le rapport de sr à n9 simplifié par la suppression des facteurs communs aux deux quantités, nous aurons
èr: rz : : V^m V(m*+ *")+«*( ™—b W) :g(m ✓&•+&•). 190. U est aisé d'introduire dans cette formule la
seconde coordonnée t ; pour cela , remarquons que le point c (fig. 137) étant situé au milieu de la diagonale oblique du noyau, es (fig. 187) est la moitié de ap (fig. 16, pL 16). Or,
ap — ipn — un— it — s ; donc c* = fl*~-.
Mais nous avons trouve plus haut c.?= 'j/i^p' ; donc
et
Si l'on substitue cette valeur de mV dans la formule, celle-ci prendra la forme
%r : rz :: \f{it— */|(/7i*-f6m)4-(//w— *b\/±g*)%
: 2m\/&+bs (A)(i).
191. Les faces du rhomboïde, en s'inclinant dans un sens ou dans l'autre, subissent des variations qui se rapportent à certaines limites dont chacune présente sous un nouvel aspect géométrique le cristal qui s'y rapporte. Mais il est facile de conserver à la formule sa généralité, en la modifiant d'une manière assortie à ces variations.
(i) Pour faciliter les applications aux différens cas qui peuvent avoir lieu, je désignerai cette formule et les suivantes par les lettres A , B , C . . . . qui serviront dé renvois.
5t6 TRAITÉ
Supposons d'abord que les trois faces situées vers chaque sommet restant fixes par leurs angles inférieurs € ( fig. 1 36 ) s'abaissent par leurs parties supérieures , en formant entre ellés des angles toujours plus ouverts. 11 y aura un terme où elles coïncideront sur un même plan perpendiculaire à l'axe, comme on le voit fig. x3<). Alors la quantité b s'évanouit, et la formule devient
sr : rz :: y/i2**— *)* + 3** : 2£
192. Concevons maintenant que les mêmes faces se relèvent par leurs parties supérieures, en faisant avec l'axe des angles toujours plus aigus. Leurs diagonales obliques finiront par coïncider avec les arêtes th (fig. i36) du dodécaèdre , et si l'on suppose qu'ensuite elles se meuvent vers Taxe parallèlement à elles-mêmes , la forme se présentera sous l'aspect d'un dodécaèdre (fig. 140) dans lequel les arêtes longitudinales les tnoins saillantes seraient reniplacées par des hexagones fy fy dont les plus lougs bords «T, cf, seraient parallèles. L'incidence de ce* faces sur leurs adjacentes dans le dodécaèdre est censée être donnée d'avance , comme étant égale à la moitié de celle de r sur plus à 90e1. Mais si l'on voulait appliquer la formule à ce cas , On ferait attention qu'alors le rapport de m à b devient égal à celui
de Vî£* à s\ et par la substitution de ces secondes quantités aux premières, la formule ordinaire se ré*
duirait à
sr : rz j : Viit^syjfâ+s') : 4 vV+*4. («)•
193. Les faces du rhôipboïde continuant de s'incliner dans le même sens, interceptent les angles latéraux du dodécaèdre , en sorte que la forme devient semblable à cellp qu'on voit (fig. 141 ). La construction à laquelle se rapporte la figure 137 se changé alors en celle que représenté la figure 143, et qui ne diffère de l'autre qu'en ce que le triangle hsk y est situé ën sens contraire de la position qù'il a dans celle-ci; Le rapport entre les deux côtés de l'angle qui donne l'incidehce proposée, est alors celui degr : rz (fig. 142), et si l'on cherche ce rapport > en assimilant la marche du calcul à celle qui a été suivie à l'égard de la construction de la figure i3j) on trouvB
lequel rapport fest le même que celui qui est indiqué par la lettre (A) , excepté que dans celui-ci le second
membre du premier terme est (ma — ai Vfg^)% où il y a inversion dans les signes.
194. Àu-delà du terme précédent, les faces du rhomboïde, en se relevant de plus en plus par leurs parties supérieures, arrivent au parallélisme avec Taxe, et à ce terme la forme présente l'aspect d'un
dodécaèdre dont les faces se combinent avec les pan* d'un prisme hexaèdre régulier, produits en vertu
du décroissement e (i), ainsi qu'on le voit fig. i43. Dans ce cas m devient nul, et la formule ^C) se change en la suivante :
On peut remarquer que des deux triangles dont chaque trapézoïde c est l'assemblage, l'un, tel que kln , est tourné vers une face du générateur , tandis que l'autre, ksn , correspond à l'un de ses bords contigus aux sommets. 11 en résulte deux incidences différentes d'un même trapézoïde sur les faces adjacentes du dodécaèdre , que l'on détermine à l'aide de la formule, en faisant successivement s plus petite et plus grande que t , ou réciproquement.
ig5. 11 est facile, en faisant subir un léger changement aux formules précédentes, de les rendre suscej>-
(i) J'omets le cas où les p
croissemerU 1), parce que Y faces du dodécaèdre, telles deux cotés d'une nume art r» — ^it d'en prendre la moitié îûce de l'une quelcouq ?cent.
ismfi résultent du dent entre elles deux . 1^9) , ' «es des ant c« vi , il
tibles d'être appliquées au cas où le dodécaèdre a pour faces des triangles isocèles ; il suffit de considérer qu'alors les quantités s ei t deviennent égales , d'où il suit que, dans le premier terme, il faut mettre s à la place de 2/— s.
196. Je vais maintenant faire des applications de* quatre formules à des variétés de formes que je choisirai parmi celles qui appartiennent aux trois cas que le dodécaèdre est susceptible d'offrir.
La variété analogique de la chaux carbonatée (fig. 1 44) fournit deux exemples du premier cas, dont l'un concerne l'incidence des faces r du dodécaèdre sur les faces g de l'équiaxe, et l'autre celle des mêmes faces sur les pans c, c, parallèles à l'axe. Son signe rapporté au noyau que représente la
figure i45 est eDB.
c re
Ici les arêtes les plus saillantes du dodécaèdre sont tournées vers les faces du rhombpïde , d'où il suit que t est plus grande que s. Nous aurons donc, d'après les expressions générales de t, s, m et b, et la formule (A) ,
et (A)
sr irz:: v/36 x 5+L(8-2) t/3]' : (4+4) y/3 :: : V* *
ce. w k J oit être, parce que l'incidence proposée est moitié de l'angle obtus du rhombe primi- 9od> c'est-à-dire qu'elle est de i2cpiZ'5i{.
38o TRAITÉ
L'autre exemple offre deux incidences différentes, dont l'une est celle de la face r", et l'autre celle de la face r sur le même trapézoïde c'.
INous aurons pour la première
ce qui donne
(D)gr:rz:: V4^:4 \/3,
d'où l'on conclut gr=rz; c'est-à-dire que l'incidence dont il s'agit est exactement de i35a, ainsi que je l'ai annoncé en traitant de la variété dont il s'agit ici. i Pour la seconde ,
donc
* = 4> s = 5, g— Vaj
gr:rz :: V}:S^
d'où l'on conclut que l'incidence proposée est de
197. Les deux exemples suivans serc~ dodécaèdre auquel appartiennent les f la variété paradoxale de la même su biné avec des faces les unes/*, yv, obi très c, c' parallèles à Taxe (fig. 146), faces g et f f *4?) toutes oblique
dodécaèd* termédiai.
ceux qui \
luit par un décro imme je l'ai dit, j ^ns le premier ci
Goo<
stitnant le noyau hypothétique au véritable. La dernière variété, que j'appelle articulée, a pour
signe/,E'BlD,\DE,lEB. Celui de l'autre, qui porte le
nom à* itérative , est ^'E'B'D^E^E. Le noyau hypothétique étant le rhomboïde inverse dans lequel g= v/3, a=6, et l'exposant du décroissement étant 3 , l'axe du dodécaèdre sera égal à 1 2 , et les valeurs de s et de t seront 7 et 5.
Nous avons à déterminer, dans la variété articulée (.fig. 147)» les incidences de f et de g sur x. Le rapport de m à 6, qui est celui de a à 1 , étant ajoute aux valeurs qui viennent d'être indiquées, la formula devient, relativement à la face^,
(Aisrlrz'.iy/ÏSQ; 11,
d'où il suit que l'incidence est de i3i*4' 1 lf/- Pour avoir celle de f sur *, nous nous servirons des mêmes expressions, excepté le rapport de m à 6, qui est ici
celui de 2 à 1 . Nous aurons ainsi srlrz" \/6 : 8 , ce qui donnera i63d58V pour l'incidence cherchée. En conservant à s et t les mêmes valeurs, nous aurons pour l'incidence de x" sur c , dans la variété itérative (fig. 146), (D)gr: rz :: 1 : 7 , et l'incidence sera égale à i5gd 18'. Faisant $=5, et *=7, pour
de x sur c, nous aurons grl rz y3i : 5, ce iei3id34'8".
58a TRAITÉ
^ Les deux variétés que nous considérons ici offrent Ja réunion des faces r,g, c, de la variété analogique , et la manière dont ces faces se combinent avec les faces x, donne naissance à des rapports mutuels qui me paraissent mériter d'èlre remarqués. Dans l'analogique, les trapézoïdes qui remplacent les sommets du dodécaèdre sont composés de deux triangles réunis par leurs bases , dont l'un, tel que ont (Kg. 1 4 f), qui est semblable à la moitié d'une face du rbomboïde équiaxe, entre dans l'ordre de la structure, et l'autre, tel que ohl, qui est semblable à la moitié d'une face du rbomboïde inverse , ne se rencontre là que par l'eifet des intersections des faces g avec les faces r. Dans la variété articulée (fig. 147) les marnes triangles qui sont aussi accolés l'un à l'autre, ont leurs positions respectives déterminées par les lois ^le la structure, en sorte qu'ils forment entre eux un angle de îffin'^çj*.
Les triangles obtus qui font partie des faces c de la variété itérative ( fig. 146) sont semblables à ceux qui leur correspondent sur la variété analogique, en sorte que leur base est à leur apothème dans le même
rapport de V4 * V^3; mais l'apothème du triangle aigu, dans la variété articulée, est à celui du triangle obtus comme 3 est à i , au lieu que dans l'analogique il n'en est que le double. C'est une suite de ce que les apothèmes sont entre eux dans chaque dodécaèdre comme Fexposant n du décroissement est à l'unité.
1 98. Je choisirai , pour dernier exemple , un des cas où les faces du dodécaèdre sont des triangles isocèles, comme les faces £, £ de la variété synallaclique (fig. qui se combinent avec celles de la variété analogique (fig. i44)- ^ dodécaèdre a pour signe
Son noyau hypothétique serait le prisme
hexaèdre régulier, qui dépendrait des décroisse-
mens DA, et aurait une hauteur égale à l'axe du véritable noyau; et le signe du dodécaèdre rapporté à ce
prisme serait B, B représentant le côté de l'hexagone.
On trouve, à l'aide du calcul, que le rayon de la ha*e commune des deux pyramides, dont le dodécaèdre est l'assemblage , est a l'axe de chacune d'elles dans le rapport de 1 à 3 ; et parce que ce rayon est égal à la ligne dr (fig. 1 ) dont l'expression est 2 , on a ici s =6. Pour avoir maintenant l'incidence de £ sur g, on mettra dans la formule (A) 5 à la place
quantité \/3 , et au rapport m à b celui de 2 à 1 > qui a Ueu dans l'analogique, on trouvera
st :rZ:i v/«: v/5,
ce qui donne pour l'incidence cherchée, ia8d 19' 44"- Celle de £ sur c sera tirée de la formule (D) avec les mêmes substitutions , ce qui donnera grl rz 1 1 3 : 3, d'où l'on conclura que l'incidence est de 1 46e* 1 8' 3^'.
19g. Je passe aux dodécaèdres compris dans le
second cas, qui naissent d'un décroissement sur les bords supérieurs du générateur. Maïs, avant de citer des exemples , je vais déterminer d'une manière générale le noyau hypothétique , qui est aussi susceptible de produire, le dodécaèdre a l'aide d'un décroissement sur ses bords inférieurs. J'en userai de même pour les dodécaèdres cjui se rapportent au troisième cas. La considération de ces noyaux, outre l'extension quelle donne à la théorie , a l'avantage de faire apercevoir les propriétés dont jouissent une partie des variétés auxquelles elle s'applique.
Je supposerai d'abord que us soit plus grande que au , comme on le voit (fig. i49)- Soit a l'axe as du générateur, g sa demi-diagonale horizontale, n l'exposant du décroissement qui produit le dodécaèdre , en agissant sur les bords supérieurs du générateur. Les valeurs numériques de ces trois quantités sont censées être toujours connues. Soit, de plus, a! l'axe du noyau hypothétique, g' et p les demi-diagonales de ses faces, n' l'exposant de la loi qui donne naissance au dodécaèdre eu agissant sur ses bords inférieurs, et n" l'exposant de la loi susceptible de produire le noyau hypothétique, eu agissant sur l'angle supérieur du générateur.
Déterminons successivement ces cinq quantités.
j*. Pour a'. Nous avons eu plus haut au=^n * .a, et — -3 — «•
Maintenant
a =3us—ôau— a.
2°. Pour #\ Nous avons eu mw= — - vl#^ Or, la même quantité est égale à V^*- Donc
3'. Pour y = VVH-ia*'.
4°- P°ur partie de l'axe du générateur qui
excède de chaque côté Taxe du noyau hypothétique»
et qui a pour expression ^j-^ » est — — m
Or a — a! — a — - — -— a=2a — — j donc
(/» — Q fl — a' a
d'où Ton tire
, an-i-a'n — a
5°. Pour
d'où Ton conclut
et
On tire de cette équation
w za'g 4- ag
aag — aag f
200. Supposons maintenant plus grande que tfj , ainsi qu'on le voit ligure 5, pl. i5.
Nous aurons, i*. pour a',
a = oaw — v5w5 5= — — a = — - — .a.
2*. g' aura encore pour expression — — g.
3°. Celle de // sera de même \/jg" + W%- 4°. Pour n!.
-7 — -r= — - — . ur, a — a —a— — - — • .a — —
donc
-7 = et a n=an — a, a ou n =
5°. Pour /i . Son expression sera toujours
aoi. C'est encore la cristallisation de la chaux carbonatée qui m'a offert les deux variétés que je vais citer comme exemples de dodécaèdres compris dans le cas que nous considérons ici. Les faces qui se combinent dans l'une et l'autre avec celles de ces dodécaèdres sont situées parallèlement à l'axe du générateur.
La première, qui est représentée (fig. i5o), et
qui porle le nom de bisadditivc* a pour signe Be. Le
dodécaèdre qui en fait partie tourne ses arêtes les plus saillantes, telles que d, vers les faces du générateur.
Supposant a = 9, doù il suit que ^ = ^2^7,
et p = \/\8y et déterminant les autres quantités d'après les valeurs algébriques trouvées plus haut , nous aurons, pourl'axedunoyauhypothétique,a'=3;
pour ses demi - diagonales , g = \/^5 , pf = V26; pour l'exposant de la loi qui produit le dodécaèdre en agissant sur les bords inférieurs du noyau hypothétique, ri — i\ et pour l'exposant de la loi qui donne naissance au noyau hypothétique en agissant sur les angles supérieurs du générateur, n"=j; ce qui donne pour le signe représentatif, À.
On voit que la loi qui produit le dodécaèdre est la même que celle qui a lieu pour la variété métastatique, en agissant par deux rangées sur les bords correspondans du générateur. Mais de plus , si Ton cherche le rapport entre le sinus et le cosinus de la demi-incidence de 7 sur 7', on trouve qu'il est celui
de V29 à \/3 , lequel a lieu aussi dans le dodécaèdre métastatique (p. 336), avec cette différence, que l'incidence qui en résulte dai\p le premier dodécaèdre appartient aux faces les moins inclinées en treilles , tandis que dans le second ce sont les faces les plus
inclinées qui la donnent. J'ai cru qu'il ne serait pas indiffèrent de faire remarquer cette analogie entre les lois de structure relatives à deux rhomboïdes qui contrastent si fortement par le rapport de leurs dimensions, l'axe du générateur étant à la demi-diago-
îiale oblique comme 3 à et celui du noyau hypothétique étant a la même ligne comme 3 à
ou comme 3 à 5 \/3.
Les sinus et les cosinus des angles égaux aux moitiés des incidences qui diffèrent dans les deux dodécaèdres, offrent aussi une corrélation qui me parait mériter d'être citée. D^ns le métastatique , leur rapport est celui de \/5 à \/3 , et dans la variété bisad-
ditive, celui de V175 à V/3, ou celui de 5^5 à \/3 t d'où Ton voit que le cosinus étant le même de part et d'autre, les sinus sont entre eux comme les demidiagonales du générateur et dunoyau hypothétique.
Le calcul donne pour l'incidence de 7 sur 7', qui est commune aux deux dodécaèdres, i44dao' 26", et poufc celle de 7 sur 7 , qui est particulière à celui-ci,
11 me reste à indiquer les deux incidences des faces 7,7, sur les pans du prisme. L'arête dy qui est la plus saillante, étant tournée vers l'un des rhombes du générateur, on fera, dans l'application de la formule a l'incidence de 7' j>u de 7 sur c", s = 4* <=3,
et l'on aura (D)gr : sz " V7T1 , ce qui donne 1 io(1 43' 43", pour l'incidençe dont il s'agit. L'arête n
étant au contraire lâ moins saillante, les valeurs de s et de t seront 5 et 4 > et Ton trouvera
gr : sz:: VÏÔ3 : 5,
<:e qui donne pour l'incidence de 7 'sur c, 1 16*14' 19".
202. La variété que je nomme surbaissée , et dont on voit la projection (fig. i5i ), se présente naturellement à la suite de la précédentè, comme exemple d'un dodécaèdre qui tourne ses arêtes les moins saillantes, telles que A, vers les faces du générateur, ainsi que l'indique la figure 5, pl. i5, dans laquelle us est plus petite que au. C'est ce qui la distingue de. l'autre, avec laquelle elle a beaucoup d'analogie par son aspect , en sorte qu'à en juger d'après le coupd'œil, on peut être tenté de les confondre. Le signe
de celle dont il s'agit ici est be. En supposant que
l'on ait comme ci-dessus, a =9, g = s/n^^p^y/ 18, et en suivant, par rapport aux valeurs numériques des autres lignes, la marche qui a été tracée à l'égard de la bisadditive , on trouvera
a'=3, = v/4», />' = V^7, t*'=2, nh = i ,
ce qui indique deux rangées de soustraites sur l'angle supérieur du générateur. On voit que la loi qui produit le dodécaèdre, eu agissant sur les bords inférieurs du noyau hypothétique, a heu paf deux rangées comme dans la variété métas ta tique, et aussi comme dans la bisadditive. A l'égard des incidences
mutuelles des faces du dodécaèdre, od a pour le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de
celle de t sur i celui de V89 à \/3, ce qui doiw pour cette incidence i5()d 1 1' 34", et pour le rapport entre le sinus et le cosinus de la demi-incidence def
sur t! , V20 î V3 , d'où Fon déduit pour cette incidence i37d39;26f.
Dans les applications de la formule relative aux incidences sur les faces c, on fera s=5, *=4,srd s'agit de celle de t ou de t1 sur c', et Ton aura
(D)grirz :: \/&} :5y
ce qui donne pour cette incidence I2id25'3"; et s'il s'agit de celle de t' ou de tu sur c, on fera $=4i '=5;
on trouvera gr\rt\i ViQl^y ce qui donne pour cette seconde incidence 1 i4a38'5o'\
2o3. 11 me reste à traiter des dodécaèdres qui appartiennent au troisième cas, et qui sont produits par des décroissemens sur les angles latéraux du générateur. Je suivrai ici la tnème marche que dans l'article précédent, où j'ai commencé par déterminer d'une manière générale le noyau hypothétique*
Le dodécaèdre est susceptible, comme ceux qui sont compris daus le seconr1 différentes, selon que ses sont tournées vers les lac c'est le contraire qui a liei la première de ces positki
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5fli
sont les plus saillantes, répondent aux diagonales obliques ad, gs, de la coupe principale du générateur. Le quadrilatère oa'ps1, qui est celle du noyau hypothétique, tourne vers les mêmes diagonales les ' bords supérieurs ao, ps1 du rhomboïde auquel il appartient, et les diagonales obliques a!p,os' correspondent aux bords supérieurs ag, dsy du générateur.
A mesure que le décaissement qui donne le dodécaèdre devient plus rapide, les arêtes to, pi, se rapprochent des diagonales ad, gs, et leur différence de longueur avec les arêtes oi , tp, va en diminuant, en sorte qu'il y a un terme où elles deviennent égales , et à ce terme le dodécaèdre se trouve converti en double pyramide droite. Au-delà de ce terme, les effets inverses des précédens prennent leur place, ainsi qu'on le voit fig. i53. Les arêtes les plus saillantes 01, tp, du dodécaèdre, qui sont en même temps les plus courtes, sont tournées vers les bords supérieurs ds, ag, du générateur, et le contraire a lieu par rapport aux arêtes ol , pi. D'une autre part , les diagonales obliques a!o , s'p , du noyau hypothétique, et celles du générateur sont en regard, et c'est la même chose à l'égard des bords supérieurs.
J'ai déjà remarqué plus haut que les lignes oz,px, qui sont les perpendiculaires sur l'axe, dans le noyau hypothétique, ne coïncident pas avec les directions les lignes gn, dr, qui font la même fonction dans le
éuérateur : elles sont tantôt plus éloignées (fig. i5a)
5<p TRAITÉ
et tantôt plus voisines du centre (fig. i53). La différence va en diminuant, à mesure que le dodécaèdre approche du terme où il devient un solide pyramidal , et où l'axe du noyau hypothétique s'évanouit. Je reviendrai plus bas sur le défaut de coïncidence dont il s'agit , et je déterminerai le point de Taxe h', qui donne la limite au-delà et en décade laquelle les perpendiculaires sur l'axe subissent un changement dans leurs positions respectives.
204. Je reprends maintenant la figure i5i , et je vais déterminer diverses quantités relatives à l'hypothèse qu'elle représente.
Soit A l'axe du générateur, G et P lés demi-diagonales de ses rhombes, - le rapport de A à G, n l'exposant de la loi qui produit le dodécaèdre en agissant sur les angles latéraux , a l'axe du noyau hypothétique, g1 et p' les diagonales de ses faces , n' l'eXposant de la loi qui en agissant sur ses bords inférieurs donne naissance au dodécaèdre, et n" l'exposant de la loi susceptible de produire le noyau hypothétique comme forme secondaire du générateur.
J'ai donné plus haut les expressions des trois
i cation delà nues l'or
pr
lignes az, tz, iz, nécessaires pour f'orinule, en adoptant comme r
posant n et le rapport -« J'ai
dont il s'agit tz = f\ u , ïz=.ii Je ' *<rverai? pour la fac
j'en déduirai celles des diverses quantités dont j'ai parlé.
1 °. Pour A ou as.
as . as
i=ti—2at=ti donc
un n 7
donc
t>u et
donc
ti~ 2a*=6/i+3 — fc*^*J
as . n=6>i* + 3/i — as^ yis . /î+a«=6n*+3w;
Sn9 +3/i
