Ce fait s'est mot
de chaux carbonatée .
éclairé, avait eu la 1 ment où il venait faisait partie de sa 1
En examinant
31 prisme, dont les le plus en où elles coïncidaient elles forfut changé onales, dont étaient le réautres ooiOe,
nzgones extrêmes -e jmensions, tandis t continuelle-
ine les points o et e, , ces derniers x. simples triangles,
je m aperçus qu«* droit par lequel une des arêtes < ; au même eiulmfacile de recuir vivacité de s»»
situés entre h La figiu < < ■
ayant fait disparaître iges de la surface entre les mains, et prisme, fut un rhomi becs] prises vers un entre elles d'envigrand angle EAI, t pour mesure , à peu
^mrdlement me suggérer , était qu'il n'offrait
rticulier d'une propriété commune à > a rie tés de la même substance, en sorte létaux de chacune d'elles renfermaient un u faitement semblable à celui qui était enms le prisme sur lequel j'avais opéré; mais \déc avait contre elle une difficulté qui parais- < Fautant plus embarrassante, qu'elle était sugi ce par l'espèce de forme à laquelle appartenait le noyau dont il s'agit. Elle consistait en ce qu'il existe parmi les cristaux de chaux carbonatée divers rhomboïdes que j'ai déjà cités plus haut, dont l'un, qui est beaucoup plus obtus, a son angle plan du sommet de 1 1 4d 1 8', et les autres qui sont aigus, offrent au même endroit un angle qui est successivement de 75** 3i', de 45* 34' et de 37* 3i'.
Il était difficile de concevoir comment la forme rhomboïdale, en supposant qu'elle fût toujours celle du noyau, serait restée semblable à elle-même, sans aucune variation, dans des cristaux qui la présentaient à l'œil sous des traits si différens des siens , et qui, comparés entre eux, n'avaient rien de commun que cette même forme prise en général.
Mais l'observation fit disparaître le paradoxe que semblait offrir le contraste entre les formes extérieures de ces rhomboïdes et celles de leur noyau , et elle prouva que ce noyau , en conservant ses dimensions et ses angles, était inscrit symétriquement dans chacun d'eux. Il ne s'agissait pour l'obtenir que de trouver les différens sens suivant lesquels devait
3n TRAITÉ
être dnxsê le rhomboïde qui le renfermait; c'est ce çur |e tù> édaircir par des exemples.
2v5. Je cbotàrai d'abord le rhomboïde obtus de i e4£ iS\ que Je nomme èquiaxe, et que représente la tiçjve £5, Je noyau qui lui est inscrit. Dans ce cas, plans <h\«urs doivent être dirigés de manière vçttii* interceptent les six angles solides latéraux j',/?,
jr . *t<v vfig. 39), et que leurs intersections avec les îiO» ixk rhomboïde soient parallèles aux diagonales tf&fe£ue$. Pur exemple, le plan qui intercepte l'angle s>fcjesv"%. 39), doit couper les deux faces aprz, «ras, suivant des lignes db, de, parallèles aux dia- ^.n-afes ar> axy d'où il résulte que ce plan détachera une pvramide triangulaire dont la base bed sera pa~ wJ&k à la face AEOI (fig. 38) du noyau. On concevra de même que le plan b' cf (t( fig. 3g ), qui intercepte l'angle solide u opposé à l'angle z , doit &<acfcer une pyramide triangulaire dont la base b * J! sera parallèle à la face A'KGH ( fig. 38) du ifc>v;ttt. Eu appliquant le même raisonnement aux autre* plans, on aura le rudiment de la division imvtuùque, dont l'effet est de mettre à découvert six trkui^les isocèles parallèles aux faces du noyau, et il e$t à remarquer que déjà les angles aux sommets de triangles, tels que cdb, cetb', sont égaux aux 4i*^o obtus EA1, HA'K ( fig. 38 ) des rbombes du a**a*x*t oat pour mesure ioi* 3a', comme ceux du ?*Mtt£Vtti* retiré du prisme hexaèdre régulier.
O , ja o^iùuue la division , parallèlement aux
mêmes triangles, les joints naturels mis à découvert par les plans diviseurs finiront par coïncider avec les diagonales obliques a*, ar, a'p, etc. du rhomboïde arxa! (fig. 3g); et à ce terme ^le noyau se trouvera isolé. II suit de tout ce que je viens de dire, que Taxe du rhomboïde circonscrit est égal à celui du noyau , que les bords supérieurs de ce dernier se confondent sur une même direction avec les diagonales obliques du rhomboïde dont il s'agit, et que ses angles solides latéraux E, O, I, K, etc. (fig. 38) sont tournés vers les faces du même rhomboïde. De là naît une considération qui s'étend à tous les rhomboïdes dont j'ai à parler dans cet article. Elle cousiste en ce que dans tous les solides de cette espèce les parties semblables situées trois à trois vers chaque sommet alternent entre elles , et parce que le noyau est toujours disposé symétriquement à l'égard du rhomboïde qui le renferme, la double alternative qui en résulte produit un assortiment de deux rhomboïdes dont l'uu est inscrit dans l'autre.
29. Je passe au second exemple , que je tirerai du; rhomboïde aigu dans lequel l'angle plan du sommet est de 75d 3 1' , et que la figure 4o représente circonscrit à son noyau. Je le nomme cliaux carbonatèe invertie , pour une raison que j'exposerai dans la suite. Je me bornerai à indiquer la marche que doit suivre la division mécanique, pour en extraire le noyau, que l'observation prouve être semblable à celui que renferment les deux variétés précédentes»
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lin coup-d'œil jeté sur la figure suffit pour faire ju* ger que les bords supérieurs ad, at, ab du rhomboïde circonscrit, et ceux qui leur correspondent vers le sommet opposé, sont parallèles aux diagonales obliques du noyau. Ainsi, les plans diviseurs doivent être dirigés parallèlement aux bords dont il s'agit, en disant des angles égaux avec les faces adjacentes. Il en résulte que les trois plans qui interceptent les bords supérieurs contigus à un même sommet a ( Cg. 4 1 ), mettent à découvert trois pentagones alongés flsor, xuzos, ypzor, dont les parties supérieures se réunissent en un angle solide semblable à celui qui est contigu au sommet A ( fig. 4<> ) du noyau. A mesure que Ton continue la division mécanique, les pentagones s'élargissent d'abord en se rapprochant du noyau, puis s'entrecoupent, et finissent par se confondre avec les rhombes du même noyau.
Le troisième exemple se rapporte au rhomboïde que représente la figure 4 3 circonscrit de même à son noyau. L?anglc baf de son sommet n'est que de 45* 34'. Ce n'est pas cette grande différence entre ses angles et ceux de son noyau qui m'a suggéré le nom de chaux carbonatée contrastante que je lui ai donné, niais une propriété remarquable dont il jouit et que je ferai connaître dans la suite. On juge aisément, à la première vue de la figure , que les faces de ce rhomboïde sont tournées vers celles du noyau , en faisant avec Taxe des angles beaucoup plus aigus. Cette cor-
relation indique que les sections lm9 lx9 rnx (fig. 43) des plans diviseurs sur les faces du rhomboïde, doivent être parallèles à ses diagonales horizontales; ces mêmes plans en partant des sections dont il s'agit, s'inclinent vers l'axe, de manière que les angles qu'ils font avec les faces bafr9 bauc , etc. du rhomboïde, sont de 149* ar, d'où il suit qu'ils forment par leur réunion une pyramide triangulaire Ixmy, semblableà celle qu'on détacherait à l'aide d'un plan mené par les trois angles E, I, G (fig. 4^) du noyau. Dans les divisions ultérieures, les nouveaux triangles mis à découvert s'approchant de plus en plus du noyau, arrivent à un terme au-delà duquel ils s'entrecoupent par leurs angles latéraux, et passent par degrés à la figure du rhombe. Ils ne sont plus alors distingués des faces du noyau.
3o. Le quatrième exemple me sera fourni par un rhomboïde encore plus aigu que le contrastant, dans lequel l'angle plan du sommet est de 37d 3i'. C'est celui que représente la figure 44 > en rapport de position avec son noyau, et auquel j'ai donné le nom de chaux carbonatée mixte. Ce rhomboïde présente le cas inverse du précédent, c'est-à-dire que ce sont ses bords obliques qui regardent les faces du noyau. Dans ce cas les plans diviseurs situés vers un même sommet s, partent de trois points pris sur les bords dont il s'agit, et mettent à découvert trois trapézoïdes prsn, ulsn, xtsr (fig. 45), inclinés de i55d 5o' sur les mêmes bords, et dont les triangles
latérales d'une pyra- .ie *es angles et par sa analogues font naître fig. 43), et qui a son - res& va comme de soi-même y .ur ce qui doit arriver jusse trouvent convertis mondent avec ceux du noyau, rhomboïdes que je viens de a nature présente isolément, entrent comme élémens , avec jCTis. dans des formes cristallines Le nombre de ceux que de seize • en y comprenant
de diviser mécaniquement , j'ai suivi une marche méon voit s'opérer, pour , le passage gradué du rhomqu'il renferme comme noyau, en peut, avec de l'habitude et ^ beaucoup plus promptemcnt indique comme d'elle-
r^hréser-
jcts cristaux calcaires , d'une forme e ssnnis successivement à la division uiiur-it des résultats analogues à celui ^T^T «fe :* rhomboïdes. Je me bornerai
du dodécaèdre à triangles
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DE CRISTALLOGRAPHIE. <i
scalènes que représente la figure 46, circonscrit à son noyau. Je le désigne par le nom de chaux carbonatée métastatique , dont l'interprétation sera donnée dans la suite par le déyeloppement des propriétés intéressantes dont il jouit. La manière d'obtenir tout d'un coup le rhomboïde qui fait ici l'office de noyau s'offrira comme d'elle-même , si Ton fait attention que les bords inférieurs EO, 01, IK etc. de ce rhomboïde se confondent avec ceux des triangles scalènes du dodécaèdre. Il en résulte que si l'on fait passer trois plans diviseurs par ces mêmes bords pris deux à deux , suivant l'ordre où ils forment des angles rentransEOI, IRG, GHE, tournés vers le point S, ils mettront à découvert les trois faces contiguës au sommet supérieur A du noyau. On répétera ensuite la même opération, en reprenant les mêmes bords deux à deux, suivant l'ordre alternatif, où leurs angles rentrans OEH, K10, KGH, sont tournés vers le point et l'on achèvera d'isoler le noyau.
Maintenant, comme la (orme du dodécaèdre diminue uniformément départ et d'autre, en partant des bords inférieurs du noyau, si l'on choisit le long des arêtes, obliques os, fa, hs (fig. 47) les plus longues, trois points n, x,p, pris à la même distance du sommet s , les plans rptu , ruxz, rpnz , menés par ces points, parallèlement aux bords EO et 01, IK et KG, GH et HE (fig. 46) mettront à découvert troi* rhombes parallèles et semblables à ceux qui termiueut le noyau du même côté. Le même résultai
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4a TRAITÉ
aura lien en sens contraire, à l'aide des trois plans diviseurs i^/fV, ^ux'z', r'p'n'z' analogues aux premiers, et en continuant l'opération vers le centre, on aura une série de rhombes croissons, dont chaque terme offrira l'aspect du noyau. Au contraire, lorsque l'on sous-divise le* rhomboïdes dont j'ai parlé d abord, les joints naturels passent par degrés de la figure du triangle ou du trapézoïde à celle du rhombe , par une suite de la manière dont le noyau est engagé dans ces rhomboïdes.
Les cristaux de toutes les autres substances minérales, soumis successivement à la division mécanique, ent servi à prouver la généralité du résultat, à l'égard duquel la chaux carbonatée avait pris l'initiative. Ceux qui appartiennent à une même espèce donnent un noyau d'une forme particulière et constante. Ainsi, dans l'amphibole, le pyroxène, le glaubérite, le plomb chroma té, l'arsenic sulfuré, o'est un prisme oblique rhomboïdal , dont la base est plus ou moins inclinée à l'axe, et dont les (aces latérales font entre elles des angles plus ou moins ouverts, suivant l'espèce à laquelle il appartient. Dans la chaux phospl>atée, Pémeraude, la cordiérite, la pinite, le cuivre sulfuré, c'est un prisme hexaèdre régulier, dans lequel le rapport entre le côté de la base et la hauteur, déterminé par la théorie , varie de même d'une espèce à l'autre. Dans le corindon , le quarz , la tourmaline, la ciwbasie , le fer oligiste > c'est un rhomboïde plus moins obtus ou aigu. Dans l'arragonite , le tri-
phane, le plomb carbonate, le plomb sulfaté, le cuivre phosphaté, l'antimoine sulfuré, etc., c'est un
ÎT
rapport de ses dimensions et de la mesure de ses angles. Les formes des molécules intégrantes participent des diversités que présentent les solides qui en sont des assemblages.
3a. La forme du noyau se rencontre , comme produit immédiat de la cristallisation, parmi celles des variétés de diverses substances, et un grand nombre de ces variétés présentent des faces parallèles à celles du noyau renfermé dans leur in térieur, combinées avec d'autres faces qui dépendent des lois auxquelles est soumise la structure, ainsi que je l'expliqueraidans la suite.
33. Lorsqu'un cristal se prête difficilement à la division mécanique , on peut encore déterminer les positions de ses joints naturels par différens moyens, dont le plus simple est fondé sur l'observation que je viens de citer. On reconnaît chacun des joints dont il s'agit , lorsque ayant fracturé le cristal de manière à laisser subsister en partie la face qui est parallèle à ce joint, on le fait mouvoir à une vive lumière. 11 arrive alors qu'au même instant où le résidu de la face dont je viens de parler renvoie à l'œil les rayons réfléchis, on aperçoit à l'endroit de la fracture d'autres reflets qui partent des lames intérieures , en sorte qu'en faisant tourner le cristal eu divers sens , on voit paraître et disparaître simultanément les rayons qui produisent les deux reflets. On en conclut qu'il existe
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<l;ms Pinte' rieur du cristal un joint naturel situé parallèlement à la face dont j'ai parlé.
3i^« lits ( ormes des noyaux obtenus par la division mécanique de tous les cristaux connus, que j'appellerai désormais formes primitives , se rapportent aux cinq genres suivant : le parallélépipède, l'octaèdre, le tétraèdre qui est toujours régulier, le prisme hexaèdre, pareillement régulier, et le dodécaèdre à plans rhombcs, tous égaux et semblables.
Formes des molécules intégrantes.
35. Dans les résultats précédens, nous n'avons conduit la division mécanique que jusqu'au terme où elle avait isolé le noyau du cristal qui lui était soumis, parce que déjà la forme de ce noyau pouvait être considérée comme un lien commun, qui unissait toutes les variétés relatives à une même espèce. Nous verrons ce lien se resserrer davantage, el les rapports «pirU fait naître entre les mêmes variétés devenir plus intimes , à Faide des observations suivantes et des conséquences qui en découlent*
La sous-division de la forme primitive, parallèlement à ses différentes faces, dont nous allons nous occuper, présente plusieurs cas diflcreiis qui dépendent de l'espèce de solide à laquelle appartient celle que l'on considère.
Si c'est un parallélépipède, il est bien év ident que ivision donne de petits parallélépipèdes semà lui-même; mais toutes les autres formes
6ous-di visées parallèlement à leurs faces, se résolvent en petits solides d'une forme différente. Prenons pour exemple le prisme hexaèdre régulier, et pour pins grande simplicité supposons que les plans diviseurs, parallèles aux faces latérales, passent parles centres des bases, le prisme se trouvera partagé en six prismes partiels qui auront pour bases des triangles équilatéraux ; et si l'on multiplie les divisions suivant des directions parallèles aux premières, et suivant d'autres parallèles aux bases , on aura toujours pour résultat un assemblage de prismes triangulaires équilatéraux , ainsiqu'il est facile d'en juger par l'inspection de la figure 48. Mais ce qu'il est essentiel d'observer , c'est que ces prismes sont tellement disposés, qu'étant pris deux à deux, ils forment des parallélépipèdes indiqués par AOipipiyt, etc. (fig. 49) , et qui, dans le cas présent, peuvent être considérés comme des prismes droits de i2cfi et 6od ; et il est visible que le prisme hexaèdre régulier peut être conçu comme un assemblage de pareils prismes.
36. Proposons-nous encore de sous-diviser le dodécaèdre rhomboïdal parallèlement à ses différentes faces, en faisant passer les plans diviseurs par le centre du solide.
Soit ep (fig. 5o) un die ces dodécaèdres. Supposons des plans coupans qui passent par le centre , et dont chacun soit parallèle à deux faces opposées du dodécaèdre. 11 est d'abord év ident que ces plans seront au nombre de six. De plus chacun d'eux , par exempJe
Dig
celui qui est parallèle aux rfaombes dlfn, bohi, passera par la diagonale gyy par les deux arêtes yeyer9 par la diagonale rqy et par les deux arêtes qpypgy c'est-à-dire que chaque plan passera par deux petites diagonales et par quatre arêtes. Or il y a en tout douze petites diagonales et vingt-quatre arêtes distinctes , dont chacune est commune à deux rhombes voisins; d'où l'on conclura que les six plans opèrent des sections sur toutes les arêtes et sur toutes les diagonales obliques du dodécaèdre. Donc il y aura toujours trois plans qui passeront par les trois côtés de chaque triangle, tel que ylgy ou yog, qui forme la moitié d'un rhombe coupé dans le sens de sa petite diagonale; et puisque ces plans passent en même temps par le centre c, ils détacheront une pyramide triangulaire , ou un tétraèdre. Donc le dodécaèdre se trouvera décomposé en vingt-quatre tétraèdres dont chacun aura pour faces quatre triangles isocèles égaux et semblables. Remarquons que ces tétraèdres , pris six à six, forment quatre rhomboïdes, dont chacun a l'un de ses sommets, tels que y, A, /, ou r, situé à l'extérieur, et l'autre au centre c du dodécaèdre. La figure 5i représente séparément le rhomboïde dont le sommet extérieur est au point y.
37. Je m'abstiendrai déparier ici de la sous-division des autres formes primitives, dont les résultats , moins simples que les précédens, conduisent à des solides de deux formes différentes. Je me bornerai à dire pour le présent que ce défaut de simplicité n'inté-
resse point la théorie, qui parvient aussi sûrement à son but, dans ces sortes de cas, que dans ceux qui ont rapport au parallélépipède, au prisme hexaèdre régulier, et au dodécaèdre rhomboïdLd.
Nous venons de voir que la sous-division de ces trois genres de solides, parallèlement à leurs différentes laces, conduit à trois formes différentes, qui sont le tétraèdre, le prisme triangulaire et le parallélépipède. Or, comme il faut au moins quatre plans pour circonscrire un espace, il en résulte que les trois formes dont il s'agit ayant successivement leur surface composée de 4 > 5 et 6 plans, sont les plus simples que Ton puisse concevoir. Nous verrons dans la suite que le tétraèdre est toujours un des deux solides offerts par la sous-division des formes primitives , différentes de celles que j'ai prises pour exemples, et que l'on peut, à l'aide d'une hypothèse plausible, donner l'exclusion à l'autre solide, ou le considérer comme nid.
38. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les solides qui résultent de la sous-division des formes primitives suivant des directions parallèles aux faces qui terminent celles-ci. Or , l'observation indique aussi dans certaines formes primitives des joints situés suivant des directions différentes de celles qui correspondent aux faces. Je me bornerai ici à ce qui regarde le parallélépipède, me réservant à faire connaître les résultats des observations relatives aux autres formes dans les articles destinés pour la partie
Dig
analytique, où je traiterai de ces formes. Voici quelques exemples qui se rapportent au cas dont je vien* de parler.
Le prisme droit rhomboïdal bh (fig. 5a), qui est la forme primitive de la staurotide, et dans lequel les pans les plus inclinés M, M, font entre eux un angle de 1 29d 3o', se sous-divise dans le sens d'un plan qui passerait par les petites diagonales bd,fh des bases, en deux prismes triangulaires isocèles égaux et semblables, d'où l'on voit que ces prismes sont réunis de la même manière que ceux qui composent les prismes rhomboïdaux , dont le prisme hexaèdre régulier peut être considéré comme l'assemblage. Dans la forme primitive de la baryte sulfatée, qui est un prisme de la même espèce, mais dont les pans M, M (6g. 53) sont inclinés l'un sur l'autre de ioicl ±, la sous-division a lieu dans le sens des deux diagonales bi, dk et xy9 hr des bases, ce qui donne pour résultat quatre prismes triangulaires dont les bases sont des triangles rectangles scalènes bok> boay etc. , égaux et semblables. Les prismes obliques rhomboïdaux, qui offrent les formes primitives de l'amphibole et du pyroxène subissent des divisions analogues à la seconde de celles dont je viens de parler. Dans le rhomboïde primitif AÀ'( lîg. 54 ) de la tourmaline, dont deux faces adjacentes prises vers un même sommet forment entre elles un angle de 1 33d 26', chacun des plans diviseurs qui sont au nombre de six , passe par va.e diagonale oblique, telle que A o} par l'axe A A',
et par l'arête A'o , comprise entre la même diagonale et l'axe, d'où il suit que les six coupes détachent au-> tant de tétraèdres , dont les faces prises deux à deux, telles que AEo , AoE , et AEA', AoA', sont égales et semblables. 11 en résulte que ces six tétraèdres sont assortis entre eux de la même manière que ceux qui composent les rhomboïdes dont la réunion produit le dodécaèdre rhomboïdal.
Ces solides , les uns prismatiques , les autres tétraè* dres, donnés par la sous-division d'un parallélépipède (jui feit la fonction de forme primitive, étant les analogues de ceux dont j'ai parlé d'abord, me paraissent devoir être placés à côté d'eux, dans l'ordre de la structure.
3g. Maintenant la division physique d'un minéral auquel je fais subir une des opérations dont je viens de parler, par exemple celle de la chaux carbonatée, a nécessairement un terme , et si j'avais des organes assez délicats pour atteindre ce terme, j'arriverais à des corpuscules quelconques que je ne pourrais plus sous-diviser ultérieurement sans séparer les molécules de chaux et d'acide dont ils sont les assemblages. La supposition la plus naturelle que je puisse faire ici, est que la route que j'ai prise est celle qui conduit à ce terme, c'est-à-dire que ce qui est au-delà du point où je cesse de voir ressemble à ce que j'avais vu jusqu'alors. Or, dans cette hypothèse, les corpuscules dont je viens de parler seraient des rhomboïdes d'une extrême ténuité, et delà même figure que ceux d'un
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5o TRAITÉ
volume sensible que j'avais d'abord obtenus. Ainsi nous admettrons dans les minéraux deux sortes du molécules; les unes que j'appelle molécules intégrantes, et qui sont censées être les plus petits solides que l'on puisse extraire du minéral sans altérer sa nature , et les autres que j'appelle molécules principes , molécules élémentaires , et qui sont , dans le cas présent , d'une part celles de la chaux , et de l'autre celles de l'acide carbonique.
J'observerai quesices corpuscules auxquels j'arrive, en continuant, par la pensée, la division mécanique jusqu'à sa limite, ne représentent pas exactement ceux sur lesquels agit l'affinité dan* la production des cristaux , ils nous en offrent les équivalens ; et les résultats que nous obtenons, en les adoptant, sont si parfaitement conformes à l'observation , que nous ne serions pas censés nous être trompés , en prenant les molécules de la théorie pour celles de la nature.
Nous admettrons donc trois formes de molécules intégrantes employées par la cristallisation dans la production des corps réguliers qu'elle offre à notre observation, savoir, le tétraèdre, le prisme triangulaire et le parallélépipède. Ces formes si simples et eu même temps si fécondes par la grande variété des résultats qu'elles sont susceptibles de faire naître relativement à une seule espèce de minéral, semblent eucore se multiplier par le rapport de dimensions ifui distingue chacune d'elles comparée à elle-même différentes espèces.
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i
Molécules soustractipes.
4o. Nous avons vu que Ie$ prismes triangulaires donnés par la division mécanique du prisme hexaèdre régulier sont assortis entre eux, comme si étant liés invariablement deux a deux, ils formaient des prismes rhomboïdaux, en sorte que le prisme hexaèdre peut être conçu comme un assemblage de ces mêmes prismes. Le dodécaèdre rhomboïdal présente une structure analogue à la précédente. Les tétraèdres que l'on en retire, à l'aide de la même opération, sont arrangés de manière qu'étant pris six à six, ils composent des rhomboïdes dont la somme équivaut à ce dodécaèdre. La même chose était faite, pour ainsi dire d'avance, à l'égard des prismes triangulaires et des tétraèdres offerts par la sous-division des diverses formes primitives qui se rapportent immédiatement au parallélépipède.
Or, les applications de la théorie aux formes cristallines dont les molécules intégrantes sont des pris* mes triangulaires ou des tétraèdres , soit que leur forme primitive diffère ou non du parallélépipède, s'assimilent a celles où les formes qu'elle considère ont pour molécules des parallélépipèdes 'semblables au solide primitif, c'est-à-dire que , dans le premier i cas, la théorie atteint son but, en faisatit faire aux parallélépipèdes composés de prismes ou de tétraèdres , les mêmes fonctions que celles qui,
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dans le second cas , dérivent de la forme propre parallélépipèdes indivisibles ou censés tels.
Je donne le nom de molécules soustractwes à ce» p»îtits parallélépipèdes qui sont comme les élémer.s k cuiiSiieratioQ suffit à la théorie, pour les nolecules intégrantes qui souvent les réunion. Dans les cas où aucune inDu n~ji<;l<7ne la sous-division de ces parallêi^ot^ies, i ^st Client que la molécule soustraciive « «ii:iai-ie * an nule intégrante.
il flit *i îne i ->q peut considérer la mole— ~ir i -«mine une unité sur laquelle opère ^•rt. -a ^ i nrm *z&ri à la sous-di vision qui . - ^ ^ unité en fractions repré- ^ tf^ -r lt »;itrr jic^jantes. Ce point de vue r.-- *. t « ----- » ti:r^e? ie généraliser la théorie et x . r i.:rac30. os. écarte de plus les dif-
— iirrui i^rv !iiùtre Tembarras de savoir
^ : -ir- ... :r . -t; it^mieTS résultats de la di- •* Ti ù -»xx rni n»:n& offriraient les vt-
r..,^^ ~ tr ;.c^ ^: -^mr^ :;insTétat d'isolement.
f- " - m in i. q^- iur ce qui précède que, ^«.-■t ' rw-HT^ Litï ies t:« auxquelles est
-* - - j-^i .t!^ciîzx ^ oae bornerai aux fvr.v>fî j* o.-ii ^ rari -r î^pipède , parce Y'* ^ a *n - *e c^e :> c. &zer une idée de la ?i*s#,fj* */~t:*z'4\f:*i- Là *:rL<-.jia:*oQ, et de la manière d'a^r An 1//^ #iont il v^it. Je réserve pour la partie Wiu\)ti/ju/; déWL> ri îiUis à la théorie des autres
formes qui ont pour noyau un solide différent du parallélépipède, et pour molécules soustractives des assemblages de molécules intégrantes prismatiques ou tétraèdres.
Des lois auxquelles est soumise la structure des
cristaux,
42. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les matériaux qui entrent dans la construction des cristaux,, et nous avons vu que les formes des molécules qui les^ ont fournis sont limitées à celles des trois solides les plus simples que l'on puisse imaginer. Il reste maintenant à expliquer comment la cristallisation parvient à faire sortir d'un espace si resserré cette multitude presque infinie de corps si diversifiés par le nombre , par les figures et par les combinaisons des faces qui les terminent.
Pour concevoir en général la marche des lois dont toutes ces diversités sont les résultats, observons que les lames que nous détachons lorsque nous divisons un cristal, en partant des points [es plus éloignés du centre, jusqu'à ce que nous arrivions au noyau, augmentent progressivement d'étendue, à mesure qu'elles se rapprochent davantage de ce noyau. Or, pour se faire une idée du mécanisme de la structure dans le passage du noyau aux formes secondaires , il ne s'agit que de prendre les lames dans» l'ordre inverse, et il est bien évident que, prises de cette manière, elles décroissent progressivement, à mesure1
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qu'elles s'écartent du noyau, par la soustraction d'une certaine quantité de molécules destinées ii les compléter, dans le cas où elles auraient enveloppé le noyau, qui n'aurait fait alors que s'accroître, en restant toujours semblable à lui-même. Et comme le décaissement se fait d'une manière uniforme et régulière, puisque son cflet est de faire naître des faces planes ou qui nous paraissent telles, nous en conclurons» que les lames dont il s'agit et que j'appelle lames (le superposition > subissent leur décroissement de manière à conserver toujours des figures rectilignes.
43. Avant d'aller plus loin, je ferai une observation importante pour l'intelligence de ce qui précède , et qui s'étend à tout ce que je dirai dans la suite. Elle consiste en ce que, dans la réalité, un cristal n'est autre chose depuis son centre jusqu'à, sa surface, qu'un assemblage de molécules disposées symétriquement, c'est-à-dire que la distinction entre le noyau et la matière enveloppante n'est qu'un moyen de faciliter les applications de la théorie. Comme le noyau donné par la division mécanique poussée jusqu'à un certain terme est une partie constante qui est commune à toutes les variétés d'une même espèce, nous considérons chaque cristal comme étant composé de celle constante, plus d'une variable dont la détermination est l'objet de la théorie.
Je ferai voir dans un article à part que le cristal naissant est déjà semblable à celui que la nature nous présente entièrement formé, et qu'il ne lait
ensuite que s'accroître par une succession de couches qui se recouvrent mutuellement. La structure se combine avec cette augmentation de volume, et les choses se passent comme si la cristallisation avait commencé par produire un noyau égal et semblable à celui que nous obtenons à l'aide de la division mécanique , et qu'ensuite ce noyau se fut accru par unesuperposition de lames analogues à celles que nous détachons successivement, au moyen de la même opération. En un mot, je donne ici l'ordre de la structure et non celui de l'accroissement, parce que la considération du premier est le véritable guide que doit suivre la théorie pour arriver a son but, en partant d'un fait donné par l'observation, qui est l'existence du noyau , et en ramenant à ce fait toutes les variations que subissent les formes dont la structure n'est que la continuation de celle àu même noyau, soumise à certaines lois que je vais exposer.
44- H suit de ce que j'ai dit plus haut, que les faces des cristaux secondaires ne sont autre chose que la somme des nouveaux bords qui résultent de l'alignement des molécules aux endroits où les fomes de superposition subissent des décroissemens , d'tn\ l'on doit conclure que la différence entre «me fewne et la suivante, vers les mêmes bords , est toujours égale à une ou plusieurs rangées de molécules soustraites. Or, on peut prendre ces rangées suivant diverses directions, que je commencerai par faire connaître y avant d'arriver au développement de la théorie.
Digitize
Soit ABCD (fig. 55), une face d'un noyau que nous supposerons, pour plus de simplicité , être d'une forme cubique, sous-divisée en une multitude de petits carrés a, è, c, d, etc. , qui soient les facettes extérieures d'autant de molécules de la même forme. D'après ce que j'ai dit plus haut , toutes ces molécules peuvent être conçues comme des unités employées par la cristallisation à la formation du noyau cubique , sans qu'il soit besoin d'avoir égard aux sousdivisions que ces unités pourraient être susceptiblesde subir, et qui conduiraient à des molécules intégrantes d'une autre forme. Mais les différentes manières d'agir des lois auxquelles sont soumises dans leur arrangement les molécules qui produisent la matière surajoutée au noyau, exigent que nous considérions ces molécules tantôt comme continuant de fiùre la fonction d'unités, ce qui est le cas le plus ordinaire , tantôt comme formant des molécules d'un ordre supérieur, qui seront des assemblages des mêmes unités prises deux à deux , comme a et b , c et d , i et /, etc., ou trois à trois, comm a, b et c, d, e etj\ k+ i et m, etc., c'est-à-dire que dans ce dernier cas forces d'où dépend la cristallisation agissent sur tw4eculcs composées dont je viens de parler , aa^»V ie> fois analogues à celles qui ont lieu le ï» oc^^Viûéûient par rapport à des molécules
à^fe&cules soit simples, soit composées, sont c****^ taner est rangée, lorsque les centres de leurs
faces extérieures sont sur une même ligne droite. Si les molécules sont simples, il y aura deux cas qui satisferont à cette condition ; dans le premier , la ligne qui traverse les centres, et à laquelle je donne, pour abréger, le nom de ligne centrale, est parallèle à l'un des bords de la face primitive que l'on considère. Ainsi toutes les molécules désignées para, 6,c, J,etc. (fig. 56) , dont les faces extérieures ont leurs centres sur la ligne FG, forment une rangée. Dans l'autre cas, la ligne centrale est parallèle à l'une des diagonales de la même face; ainsi les molécules désignées par x, y,z,q,f, dont les faces extérieures ont leurs centres sur la ligne NL parallèle à la diagonale AC, forment également une rangée.
Lorsque les molécules sont composées , la ligne centrale n'est parallèle ni à un côté ni à une diagonale , mais elle fait avec l'un et l'autre un angle qui varie suivant le degré de composition.
45. Supposons que les molécules simples soient liées deux à deux comme a, b (fig. 57 ) ; menons OR qui coïncide avec la diagonale du petit rectangle relatif aux deux molécules, auquel cas elle passera nécessairement par le centre de ce rectangle ; les molécules simples désignées par o et a, t et r, q et £, etc., formeront une rangée de molécules composées, semblables à celle dont j'ai parlé, en sorte que la ligne centrale TY sera parrallèle à OK.
Prenons les six molécules désignées par A, /, m, a,b9 c, pour en composer une seule ? dont la lace
Dig
sa dkgonale dans le sens de PR. Le* amples groupées six a six dans les es- Tuo pr y<f%K > un second par Çftw, bu *rc««èinc par fs£t , elc. , formeront une rangâe ne naokéroks semblables à celle dont la ligne PR trak base dia«onalemerit , de manière que la ii^ueeentraleLZ sera parallèle à cette même ligne.
4<x On peut donc considérer les deux lignes centrales dont Tune est parallèle au côté et l'autre à la <: <??oale „ comme les deux extrêmes entre lesquelles *e> rosirions <k* autres lignes centrales peuvent varier f nf^jueà Tuiâni. Mais nous verrons dans la suite que c "Je lariatîan est restreinte par la cristallisation de irisière à ne pas dépasser un certain degré de simplic:te„ en 5**rte quîci comme dans un grand nombre cintres plieooittènes, l'observation prescrit des limites à i* tîieorîe, qui n'en connaîtrait aucune si t.I-j irsÉàiî ihau usinée à elle-même.
Ces par à» soustractions d'une ou plusieurs rangée? or *niàî*niùfs, soit simples soit composées 7 que s ofw* ; it- àfvroissemens des lames appliquées sur le ncvamXki appelle décrois semens sur les bords ceux dans les^aefe ù ligne centrale est parallèle aux bords ; detra«****vw sur les angles ceux dans lesquels la même hgjie est tournée vers une diagonale, i4l dècroissfmttui intermédiaires ceux dans lesquels la position dcU lî^ue centrale est inclinée en même len»y* au cote et à la diagonale.
Venons maintenait aux applications :
Décroissemens sur les bords.
48. Soit AG (fig. 58 ) un prisme droit symétrique faisant la fonction de forme primitive à 1 égard des cristaux d'une substance minérale ; ce prisme peut être conçu comme résultant de la superposition d'un certain nombre de lames carrées , situées parallèlement aux bases, et composées chacune d'un égal nombre de petits prismes semblables au prisme total, et il est bien évident que si la superposition continuait avec la même uniformité en parlant des deux bases , le prisme ne ferait autre chose que s'accroître dans le sens de sa hauteur , en conservant la même épaisseur.
Supposons une suite de lames appliquées sur la base ABCD , et soumise à un décroissement sur les bords qui soit le même pour tous. La première lame aura vers chaque bord une ou plusieurs rangées de moins que dans le cas où le prisme aurait continué de croître en hauteur, sans varier dans son épaisseur. La seconde comparée à la première en différera du même nombre de rangées , et ainsi de suite.
Or, il est facile d'abord de concevoir que l'effet du décroissement poussé jusqu'à sa limite sera de produire une pyramide droite quadrangulaire ABCDO ( 6g. 32 , pl. 2 ) qui reposera sur la base ABCD, et dont les faces seront interrompues par des angles alternativement rentrans et saillans , semblables à ceux que font entre eux les degrés d'un escalier, en sorte
Digit
£o TRAITÉ
que dans la réalité elles ne seront autre cîiose qu'un assemblage de lignes situées aux endroits des arêtes saillantes. Mais telle est la ténuité des molécules, que les inégalités dont il s'agit échapperont à l'oeil, en sorte que les faces de la pyramide s'offriront sous l'aspect de plans continus, du inoins en supposant que la cristallisation ait atteint tout le iini dont elle est susceptible.
4g. Je n'ai considéré l'effet du décroissement que par rapport à la base supérieure ABCD de la forme primitive. Mais la symétrie avec laquelle agissent les luis de la structure exige qu'un pareil décaissement fasse naître sur la base inférieure une autre pyramide égale et semblable à la première, et à laquelle ou peut appliquer tout ce que j'ai dit de celle-ci.
Soient Cftivt , Ce J'y , CuXy ( fig. 58 ) les trois (aces analogues à CDAB, CBLG, CDFG, sur la molécule située en C.
La petite ligne Cy perpendiculaire sur les arêtes Cp,^A sera ce que j'appelle la dimension en hauteur, rapportée à la molécule, et les lignes Cp, Ce, perpendiculaires l'une sur CB, l'autre sur CD, seront ce que je considère comme les dimensions en largeur relatives à la même molécule. Désignons Cy par h > cji f*i ci par /.
Soil emrs (Cg. 59) le même plan que (fig. 58)? ;,*\ue\ passe par les milieux des arêtes AD, BC, per- ^^Viranent à la base ABCD. Soit de plus edig *- '^Vicocpede la première lame de superposi-
tion, prise sur le même plan \fkap celle de la seconde, Itv q celle de la troisième , etc. , mg indiquera la différence entre la première lame et la seconde, dans le sens de la largeur, en sorte que s'il n'y a qu'une rangée de soustraite, on aura mg (fig. 5<)):=Q& (fig. 58)=/. S'il y a deux rangées soustraites, on aura mg= 2 /, et ainsi de suite. Soit en général n le nombre de rangées soustraites; on aura mg=nxL 5o. Jusqu'ici nous avons fait abstraction de l'épaisseur des lames de superposition , et nous avons supposé tacitement qu'elle était égale à Cy ou à une hauteur de molécule. Mais il peut arriver que chacune de ces lames ait une épaisseur double ou triple, etc. de celle d'une molécule , et que cette épaisseur se combine tellement avec la différence en largeur que l'effet du décroissement soit encore une pyramide. Dans ce cas , si nous désignons par n' le nombre d'épaisseurs de molécules contenues dans celle de chaque lame, nous aurons gi (fig. 56)= nX,h.
Si l'on mène les droites eo, mo, tangentes aux points dj i, i, a, etc., elles seront les apothèmes des triangles DOA, COB (fig. 3a), et si du point o (fig. 5g) on abaisse ob perpendiculairement sur em, l'angle omb sera égal à l'incidence de l'une quelconque des faces de la pyramide DCBAO (fig. 3a) sur la base; en lui ajoutant god on aura l'incidence de la même face sur le pan adjacent; d'une autre part , l'angle mob (fig. 5g) mesurera la moitié de l'incidence de l'une quelconque des mêmes faces, par
Digi
£0*> î-£ - 3 3 ^ SOT la fa Ce DOA
petits triangles 77?^£ ,
au triangle mbo. On
^n*m#? *^ r-an^i+f?. *t ^>er^kmerjt à celui qui
it, c'est-à-
mgi.
un parai lé-
r'o . ic«ruel cas les faces a ba^? ABCD des angles obtus. Soit >> la
-^tisx^c* :t e Tirutff? en. C ; les facettes Ctct-y ,
emticuiaires l'une sur yx ,
relatif à un
^le/CT qui me-
-, connais- ^ ihpxs C/, C;r, et de plus
rangiez,
ii'. a ào* ^rxLiiiltf par le décroissement
"M i r^rr :inir oja^truure le triangle mensurateur
qui agirait parallèle ce triangle analo-
gues à mg et gi seraient alors fonctions des perpendiculaires menées du point C sur ev et%^A, et au lieu de l'angle mgi on aurait celui que fait CDFG avec ABCD.
5a. Lorsque la relation entre nX.1 et n'xA est telle que n' étant égale à l'unité , n est égale à 2, ou 3 , ou 4 , etc. le décaissement est dit avoir lieu en largeur, par 2,3,4 rangées, etc. , sur le bord qui lui sert de ligne de départ; lorsqu'au contraire n étant l'unité, n' est égale à 2, ou 3, ou 4> etc. , le décaissement est dit avoir lieu en hauteur, par 2,3,4 ran~ gées, etc. Ainsi, cette expression, tel décroissement a lieu par 3 rangées en largeur sur tel bord, suppose tacitement que l'épaisseur de chaque lame de superposition soit égale à une épaisseur de molécule; et cette autre expression, tel décroissement a lieu par trois rangées en hauteur sur tel bord, emporte la condition que la quantité dont chaque lame décroit dans le sens de la largeur, soit mesurée par une rangée de molécules.
Mais il peut arriver aussi que n et nr soient égales à des nombres différens et tous deux plus grands que l'unité; par exemple, que Ton ait n=3, ti' = 2, ou bien n=4? 5 : alors le décroissement s'appelle mixte, parce qu'il participe des deux précédens. Dans le cas où w= 1 , et n'= 1 , on dit simplement que le décroissement a lieu par une rangée. Ce cas se rencontre dans plusieurs variétés qui appartiennent à diverses espèces de minéraux. Mais la loi qui le donne
î*trr?. ' -EuiL^u. de nouv elies»
» - soit le
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UCDC
Tiantités \ o et v
la perpeadicuîarr * snrtm des
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est à NS, c'est-à-dire comme 20r : NS, ou comme 2:1, ce qui donne 33', pour l'incidence cherchée.
54. Je placerai ici une réflexion sur laquelle je me propose de revenir dans la suite avec de nouveaux développemens. J'ai déjà dit que la furme p rimitive ou le noyau d'un cristal n'était autre chose qu'une donnée prise dans la théorie, pour faciliter la détermination des différentes formes cristallines relatives aune même substance. Les dimensions de cette forme ramenée à sa véritable limite, lorsqu'elles ne sont pas données à priori, comme dans le cas du cube, du rhomboïde , du dodécaèdre rhomboïdal , etc. , se déduisent de celles qu'il faut supposer à la molécule soustractive,pour que les décroissemens qui donnent les formes secondaires soient, en général, les plus simples possibles. Ce que je viens de dire sert à expliquer pourquoi, dans le cas dont je viens de parler, la cristallisation, qui ne consiste proprement que dans une réunion de molécules, soumises à un arrangement symétrique , substitue aux formes primitives indiquées par la théorie , des solides qui ont à la vérité leurs faces situées parallèlement à celles de ces formes, mais qui s'en écartent plus ou moins par le rapport de leurs dimensions. Ainsi , dans la variété de mésotype qui vient de nous occuper, le prisme a plus ou moins de hauteur relativement à son épaisseur, suivant les cristaux dans lesquels on le considère. Il suit de là que quand on dit des pyramides sur-ajoutées à ce prisme, qu'elles naissent d'imdéj. 5
Digitiz
H TRAITJ se combine avec d'autres, cf< faces qui modifient soit les j interposé entre elles.
53. Soit AS (fig. 61), In type , qui est un prisn i < dans lequel le rapport
ON de la base , est < qiû donne god 20' plus, la bailleur " Or menée du •■
SoitOH=\ ON= 1/8,-
La fi:-'1 substat quellr
mina Pro;
- des bases de . .:z nireusement nations de cette r apport, que dans -2 v.cimc les py racles qui seraient * -<rse, les faces qui , dans les appliqua leur correspon- -■orenieut dite.
1er les applications * triangle mensurateur m? * :eu\ auxquels nous les ~. u peut supposer, par - r- ^latif au décroissement
de
^ - :JLBO(fig. 3^ ), soit situé ~ --a [ cir les arêtes CO, AO, -;C5 de la diagonale menée . le triangle dont il s'agit ; . mi est censé appliqué sur la
- manière que le pointe (fig. 63) -iif C{fig. 58), renfermera au-
■ - «^e le côté gm (fig. 59) . ù fig. 58;. Donc désignant .i r'jpt, nous aurons ci (fig. 63; — , il est é\ idem que son ex- 7 e celle du côté#/ (fig. 5c,), -, -a-dire qu'elle sera n' X h.
- mensurateur dont je vieu*
::ne l'incidence de l'une quelconque des ■ ues de la pyramide (fig. 32) sur la base i't en ajoutant 90e* à cette incidence on a <{iie font entre elles les arêtes CO, CG , ou DF, etc.
»u. 11 arrive souvent que l'effet d'un décroissemcnt arrête à un certain terme, en deçà delà limite vers laquelle il tendait. C'est ce qui aurait lieu, par exemple , si la partie ajoutée au noyau (fig. 58) par 1 effet du décaissement qiû agit sur les bords de la base ABCD, au lieu d'être une pyramide complète , s'offrait sous l'aspect d'une pyramide tronquée parallèlement à sa base. Dans ce cas, les faces produites par le décroissement seraient des trapèzes adjacens par leurs bases supérieures à une lace terminale semblable et parallèle à la base ABCD.
57. La baryte sulfatée nous offre un exemple de cette modification dans une variété représentée (fig. 64 )> c* <ïue je nomme subpyramidée. La forme primitive est un prisme droit rbomboïdal (fig. 65), dans lequel le rapport des demi-diagonales DP, CP
et de la hauteur CG , est celui des nombres \/ 1 1» ,
y/8 et \/z 1 • Le décaissement qui donne les faces z, z, etc. (fig. 64) > a lieu par deux rangées en hauteur sur les quatre bords de la base ADCB (fig. 65 ).
Soient Cefy , Cfi^yy Cfte, les facettes extérieures d'une molécule soustractive située en C. Menons Cd perpendiculaire surjuv, et dont le prolongement de *era aussi perpendiculaire sur AD.
Digit
Sut cesg ( fig. 66 ) la coupe du noyau prise par — ï4** qui coïncide avec CG, G? (fig. 65), et kdin fç. 66), la coupe de la première lame de KrT«ÊTp:^itk*i ? fkap celle de la seconde, etc.- cni rqctsœtcfa le triangle mensurateur dans lequel *-=Ci -î- 65% et ni=2Cy. Or, parce que les ~-^îi sï:£d. de la molécide soustractive sont propor- ^.c^ie? a celles du noyau, Cd : Cy :: Ce : CG.
>^ DP=\n,APou;CP=\/«,CG=N/^-
Aû=\ "l*/+(AP)t= Cex AD=APXDB, O x \ âô = Donc Ce= V^?. • •
ÏW- OrCG:: y/?: y/Ziv.y/S*: V35::Crf:C>.
r»?oc e*:^ fig. 66) :: v/3a : a y/35- V^: \/35.
L i^eur^ i jLrole cni est droit; d'après ces données, -in^it :«-'t est de 64a26', et l'angle cin de 25d34', a ;u 1 Hut vjue l'incidence de z sur M (fig. 64) est : - jc\ et celle de z sur P de i i5d34'. jc. J\âi supposé que le décroissement qui donne !<:> ac*tte> r avait une marche ascendante en iessus* ie> bords CD, CB, etc. (fig. 65), de la base nov;«i* en Kcte qu'il tendait à produire une py* iti-cesus de cette base. Mais on peut supu vAm^raure, que le décroissement ait un* vie*tfcdauite en dessous des mêmes arêtes, «iCjw ^ue les taees qui en résultent , ayant les Ttur'fc^o ^vLajasotts que dans le cas précédent , ten- * >ur des arêtes communes situées au-
dessus des lignes tx, sx (fig. 64), qui divisent transversalement les faces M, M en deux parties égales. Alors la base P (fig. 65 ) sera censée rester intacte, et les lames de superposition partiront des faces M , M, pour s'appliquer les unes sur les autres. On conçoit aisément que si le décroissement atteignait sa limite , la surface du cristal serait composée, dans le s°ns latéral, de huit trapèzes accolés deux à deux par leurs grandes bases, et compris entre deux facesterminales parallèles et semblables aux bases delà forme primitive. Ayant prolongé indéfiniment la ligne ic (fig. 66), prenons sur cg une partie cz égale à m, et menons zo perpendiculaire sur cg. Le triangle czo deviendra mensurateur relativement au décroissement dont nous venons de parler, et il est évident qu'il sera égal et semblable au triangle incy en sorte que cz étant égale à in, par la construction, oz sera égale à en. Donc , puisque in est double de Cy (fig. 65), le décroissement aura lieu par deux rangées en largeur, entre les bords BC, GL d'une part,, et CD, GF de l'autre. Si dans le décroissement rap.» porté aux bases , comme dans la première hypothèse, il y avait trois rangées de soustraites en hauteur , celui qui lui correspondrait vers les faces latérales se ferait par des soustractions de trois rangées en largeur , et ainsi de suite pour les décroissemens plus composés.
59. Concluons de là que si l'on suppose deux décroissemens qui agissent de part et d'autre d'une
7c TPAITÉ
mire? +z a. c> ~r«r à produire des faces qui tr. jtw. -*zz r^i n^rr.^ p[*n , chacun d'eux sera Fin- ;.c l'i -ir». AiX^. cen décroissement mixte qui « tt* j: r ^ : *n y. té par trois rangées en largeur, et : .tri:: >:i laruwir. aorait pour analogue, du côté in »t:rr Moment par deux rangées en lar- L-rir -s. :ms ^1 aan^ur.
Zaïir o~ -7*mJ^LIesà celui de la fig. 32, pl. 2 , *;>* ni icTT i^iement est de produire des pyra- -r..-i*r= inniiuui**» fur les bases du noyau, il est na- :^ ;i- ;'jiiî:iuur,f!:laiii2rcbedudécr()isseiiientconirne ^ ntiUMti. TfL iu contraire, les faces produites par . :.-;rr î^emiiij: *e réunissent sur des arêtes situées TTiumpi: - . - mr, vruant les faces M , M ( fig. 65 ) , - jutl I.-i if e sidérer la marche du décroisscr. :-.~7..^ L s.^Ijnte.
L r>->f r-.i'ct du décroissement se borne à 7. : ; i 1 : des bords CD, BC, des faces r, r r^r.iennent pas à se rencontrer, il
:jrrr* te %r->e 1 V Jet du décroissement soit beauv. \ . ^lii «ie Là limite à Inquelle répondent les : ^:7„ . c*;m; lc*es ? que de celle qui réside dans - r 7^ des faces z, r, au-dessus des arêtes tx ~ - ..r Lt ir^r les deux limites il est une multitude î\. -TrrH^iiaires que les diflerens cristaux de la même t.. ..:>:.- *:tr; siï>eepùbles d offrir. Mais comme la man: r . ^r -tenter le décroissement doit être uniyTaisil^ie peut, dans ces sortes de cas, indi- ^ -Ut i^uî^t ètreprelei ée. Ainsi, ayant remarqué
que les facettes z , lorsqu'elles se retrouv ent sur des variétés de baryte sulfatée , différentes de celle qui vient de nous occuper, y sont combinées avec d'autres facettes dues à des décroissemens dont l'expression la plus simple et la plus naturelle est celle qui suppose leur marche ascendante, j'ai assimilé à cette marche celle du décroissement qui donne les facettes zy en supposant qu'elle ait lieu dans le même sens.
11 peut arriver enfin que des faces analogues à z , z se prolongent de part et d'autre des lignes /r, rny jusqu'au point de masquer entièrement les bases P et les pans M, M de la forme primitive, auquel cas le solide secondaire sera un octaèdre rhomboïdal. Le choix entre les deux manières de représenter l'effet du décroissement devient alors indifférent en luimême. Cependant, si aucune raison particulière ne décide de la préférence , je crois plus convenable de la donner à l'expression qui suppose que le décroissement ait une marche ascendante, parce que l'idée que fait naître l'octaèdre dont il s'agit, d'après les relations de position qui existent entre ses différentes faces et son axe vertical , est celle d'un solide composé de deux pyramides jointes base à base, et qu'on se représente naturellement une pyramide comme un assemblage de lames décroissantes superposées depuis la base jusqu'au sommet.
61. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'exposer un résultat général d'obscrvalion relatif à l'influence qu'a sur les décroissemens le rapport qui
7o TP \
même arête, de manu r soient sur un même pl.
verse de l'autre. Ainsi , 1 aurait lieu d'un côté pin
par deux en bailleur, opposé, un décrois^ n «4e ur cl I tois en liauh
Dans les cas semN où ÎY-Hél du décrois ut ides appliquées ^ tin t ! tic considérer !; ascendante. Si, ini < le dé(Toisscinenl :
la totalement , en !
il i:nm iendra de ; liant comiiikî de-
(>o. Lorsrpnfli ire naître à lit i
(% 64), fflli r
peut arriver <p coup plus vois:
pyramides cor la réunion <!
et sx. Entre d'in terme* 1 Variété soi) ilière de forme, 1' «juerec!
Ï>E CRISTALLOGRAPHIE. y3
no ii indiquer ici ce résultat aussi simple , auquel j'ai donné le nom de loi de sy- [proposant d'en développer toutes les con^ dans un article qui lui sera spécialement
> après les conditions énoncées ci-dessus, si •s douze bords d'un cube AO' (ttg. 67 ), que allons maintenant considérer comme forme ■ îLve, un seul subit une loi de décroissement , us autres la subiront également. Supposons que oroissement ait lieu par une rangée, les lames uperposition empilées sur les six faces du cube luiront autant de pyramides triangulaires, dont -ases se confondront avec elles, ainsi qu'on le ^ iig. 68), et il est clair que les faces de ces pyras seront inclinées de 45d sur celles du noyau, îo cas présent, où les deux décroissemens qui >ont des deux côtés de chaque bord du cube ont ; par une rangée étant la limite de tous les cas où docroissemens sont inverses l'un de l'autre, les os qui en résultent sont aussi sur un même plan, ne les vingt-quatre faces qui composent la surface s si\ pyramides se réduisent à douze faces dis- ! nctes qui sont des rhombes égaux et semblables sOth ^OEr, /(M)', etc. (fig. 63 et 69). Le dodécaèdre rbomboïdal que nous av ons v u au rang des formes primitives se retrouve ici parmi les formes secondaires, et nous le verrons dans la suite reparaître sous le même titre comme modification de l'octaèdre régulier.
existe s dhTéYen.
ramené i°. Si une forn d'une m à son im rcsleron!
a lieu imposent (!
les autre autant u rem ni en I que la \, tombât !
qu'ils Dedans les ou deux arriver cj croissent ou que IV l'autre rc> danee nn dont char;
Les cou à une au li conduire < Mrs sur la Manies en
' -xd de la -Mètredé- ■ * a nombre de 491 3, « / rendre " *i faces du ^ ices qui se
>rct»~ » Jes axes qui - "--iiTs. tels que s, s' " quatre de ses -ies que rO*)', rue ces laces d'une autre - ^équipassent
du Jardin du =• uémes formes dont :: ont cet avantage t - ?s sens, saisit plus .r ~ d'eroissemen* - = - 4,:. D'autrei so— :. : mécanique du dont il est simples, 1 - :fa r^e nous avons ^. c a laquelle il t zr;** différence . - -r - -ji Ô5s cristaux
par deux angles solides trièdres, tels queO, A', le dodécaèdre aura six de ses faces situées parallèlement à cet axe, telles que * rEYO', OV1'/, ri'r'I, Ir'As, sA*'E, E/'E'r, lesquelles, à cause de la régularité de la forme primitive et de l'action symétrique des décroissemens, font entre elles des angles égaux ; et comme la même disposition se répète dans tous les sens, il en résulte que l'incidence mutuelle de deux faces quelconques adjacentes est de 120e*.
La cristallisation nous offre un exemple du décroissèment dont je viens de parler, dans une substance pierreuse à laquelle j'ai donné le nom à'aplome. La même structure a lieu dans une variété de fer sulfuré où les faces du dodécaèdre rhomboïdal se combinent avec huit facettes triangulaires situées à la place des angles solides trièdres, et qui dépendent d'une loi que je ferai connaître dans la suite.
64. Pour que la lame située au sommet de chaque pyramide se réduise à un simple cube, ainsi que le représente la figure 70 , il faut supposer que le coté du noyau soit composé d'un nombre impair d'arêtes de molécules. Dans celte hypothèse, qui est la plus naturelle que l'on puisse faire, les nombres de molécules des lames consécutives , en partant des sommets des pyramides, forment une série dont les différens termes sont les carrés des nombres impairs 1, 3, 5,7,9, etc > et ^ont 'e terme général du rang n est {m — 1)*. Si l'on prend la série en sens inverse, c'est-à-dire en partant des faces du noyau, et si l'on
T7-AÏTK
* , * p-' ^ r :::i>re d'arêtes comprises dans le ' />: ,wt«*:. et par w' le rang d'un 1er me quel- ^ , i~ de celles que renferment succès-
ft fr/^r.t Jr* Loues de superposition, formeront la
yr^s^bt.x'^Ai — 2.C — 4>C — 6, C — 8, ctc
— zii . nombres de molécules qui composent < *jt:z*& «eront égaux aux carrés des termes de cette r de sorte que la somme de toutes les
: .>ir.t*>* comprises dans la lame du rang ri sera
\jè quantité C étant donnée, il est facile de conjure le nombre total N des lames de superposition c'ii composent une même pyramide, en faisant atten- :: ri que N est le nombre des termes d'une progression arithmétique décroissante^C — 2, C— 4> C — 6, f — fS, etc.... , dont le dernier terme est l'unité. En expliquant ici les formules relatives à ce genre de
•pressions, on trouvera N=- — -«
'.'.>. On peut déterminer de même en fonction r C le nombre de tous les cubes élémentaires dont \r dodécaèdre est l'assemblage. Pour y parvenir > ; î>serve que le nombre de ceux qui composent l'une quelconque des six pyramides superposées aux faces en noyau est égal à la somme des carrés des termes
«:e la suite arithmétique 1.3.5.7. 9 ^ — 2'
si Ton désigne en général par a le premier terme c jne pareille suite, par u le dernier, par r la différence entre deux termes consécutifs , et par s' la
tomme des carrés de tous les termes, on a la formule
s,= aCg - a3) + 5r(M'+ oQ 4- r*(u - a) ,
(1) Cette formule , dont l'usage s'étend à toutes les questions du genre de celle qui nous occupe, ne faisant poinj: partie des élémens ordinaires de l'Algèbre, je crois utile d'en donner ici une démonstration simple , qui dispensera le lecteur de recourir aux ouvrages qui en traitent d'une manière spéciale.
Soient a, b9c,d, t , u , les termes de la progression
dont il s'agit , et n leur nombre. Déterminons d'abord leur •omme , que je représenterai par s. Nous aurons b =a -f- r ;
c = b-t-r,d=zc + r; w=t + r\ et en élevant chaque
membre de ces équations au carré ,
6* = aa + 2ar-f r*, c*=b* + 2br + r*,
Egalant la somme des premiers membres de ces équations à celle des seconds, supprimant les quantités communes aux deux sommes , et transposant aa dans la première , on a
u1 — a*~2r{a + b + c-{-d+.. . + f )+ra(n — 1). Or,
oonc
Si Ton suppose C=i7 comme dans la figure, le nombre dont il s'agit sera égal à 8993.
Si C devient infini, alors 3C* et 2C s'évanouissent devant 2C3, ce qui indique que la solidité du dodécaèdre considéré comme corps géométrique est double de celle du noyau. Effectivement, si l'on mène par les arêtes du noyau des plans qui passent en même temps par le centre , ils détacheront six pyramides égales à chacune de celles qui sont le résultat du décroissement.
66. Supposons maintenant que chaque bord du cube serve de ligne de départ à deux décroisscmens , dont l'un ait lieu d'un côté par deux rangées en largeur , et l'autre du côté opposé par deux rangées eu hauteur. On voit d'abord que l'un des décroisscmens étant l'inverse de l'autre, les deux faces qui en naîtront se trouveront sur un même plan , d'où il suit que l'on aura encore un dodécaèdre , mais qui devra différer du dodécaèdre rhomboïdal par les figures et les inclinaisons de ses faces. On conçoit de plus que le résultat sera variable suivant les div erses manières dont les directions des décroissemens seront combinées entre elles. Si l'on suppose, par exemple, que le clécroissement en largeur agisse parallèlement aux
quatre bords des deux faces AEOl, A'E'OT (fig.67),* il produira deux pyramides qui reposeront sur ces mêmes faces. Mais les autres décroissemens qui auront lieu parallèlement aux bords des faces latérales ne pourront produire de semblables pyramides. Ainsi,
sur les
~ froissement par * l'autre côté des e même que celui que Ton arrange 11', la simili-
inx diiiërentes faces nu est contraire à la Le seul ^eux condirruf.iTc rue des dé- - it^s *i\ioentes à un l'.Lt. I0OTE', OOTI, \. TS , menées '"t.7îe?. suivant trois
nsque
triangles
- : tiix. T e<c le même :inrzi- tr le coté 17*
- ^-~î :sç 5- \ perpen-
: x :v*.* Il vilg. 71 ) - . ^r.< V <eus de la e ruro-' ;* y 71)
- r ringôes en
- ■* - --2>:A;ng .67), wto*: -^r if-n rangées
^ - - \ . c: . et qui a
DE CIUSTÀLLOGIUPHIE. kt
Soient Pux, Pym(fig. 72) deux antres triangles mensurateurs dans lesquels le point P est le même que (fig. 67), le côté Pu (fig. 73) étant dans le sens de PQ ( fig. 67) , et le côté Vy ( fig. 72 ) étant sitoé sur le carré EOO'E' (fig. 67 ), perpendiculairement à la ligne RS; d'où il suit que le triangle Pym (fig. 72) se rapporte au décroissement par deux rangées en, largeur, qui a lieu en allant de EO vers E'0; (fig. 67), et le triangle Pux au décroissement par deux rangées en hauteur qui est l'inverse du précédent , et qui a lieu en allant de EO vers AI (fig. 67).
68. On voit par la disposition de ces triangles que les faces produites en vertu du décroissement qui agit parallèlement aux bords 01, EA , étant inclinées sur les bases d'une quantité égale à l'angle gïh (fig. 71), tandis que celles qui résultent du décroissement dont les directions sont parallèles aux bord? EO, Al (tig. 67), faisant avec les mêmes bases ua angle beaucoup plus ouvert, mesuré par xPu (fig. 73), les quatre faces ne se réuniront plus en un point commun, comme dans l'exemple précédent; mais les premières , qui convergent davantage l'une vers l'autre , iront se rencontrer sur une arête commune: située au-dessus de PQ (fig. 67), en sorte qu'elles seront des trapèzes lOpj, AEpq (fig. 73), tandis que les deux autres seront des triangles OEp, Alçr, qui auront leurs sommets aux extrémités de l'arête pq. Les mêmes effets se répéteront sur les faces Oll'O7, EOO'E' (fig. 67); mais les lignes de jonction pg7
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vii^r^s aux trois faces
iti
là
elles , il en ré- ^ peOri,E/rt),etc., n-^e situé de l'autre t. s -m* nie la surface du solide icirre pentagones égaux
dans chaque fi ~> ~ les côtés 0/ , I* , adjapur une suite de ta * le la symétrie avec laquelle EVf plus, chaque trapèze i i thit? et tes communs avec les
-.racées, '"rf. ,.V>, O/i!', savoir, O/, 0*, - . . ii i eu me ces mêmes côtés sont égaux .i isn :e i i^pe in . qui peut être conx :a« cocamune des pentagones -ni T. e 'i-JiiVrsrxi i-Lleurs que, dans le cas de *î jnss 7ecr? vrae chacun des antres
déterminerai, et îe eioppemens sur les proîl s'agit, qui diffère essenreçulier de la Géométrie, laxistes Font confondu, le présent , à indiquer Fiu- -TaiMCv nés, aux endroits où ils rase commune, par exemple, ■SO : ml SI. Cette incidence
est évidemment le double de l'angle Tgh (fig. 71 ) , qu'il est facile de déterminer, d'après l'observation que le triangle hTge&l rectangle en A, et que son côté TA est double du côté hg, en conséquence de ce que le décroissement qu'il sert à mesurer a lieu par deux rangées de molécules cubiques. En partant de ces données, on trouve que l'angle T^A=63d26'6r/, d'où il suit que l'incidence cherchée est de I36d52'i2f/.
On voit (;fig. 75 ) une imitation de la structure qui vient d'être exposée, du même genre que celle que présente la figure 70, et qui se rapporte au dodécaèdre rhomboïdal.
70. Les lames de superposition empilées sur les diverses faces du cube , dans la variété qui nous oc-» cupe , étant de niveau deux à deux dans le sens du décroissement en hauteur, tandis que dans celui du décroissement en largeur elles diminuent sans interruption , il en résulte que les nombres de molécules dont elles sont successivement composées forment deux séries, dont l'une comprend tous les cas où le rang n! d'un terme donné est un nombre impair , et l'autre ceux où il est un nombre pair.
Pour trouver les formules relatives à ces deux espèces de cas, désignons par c le nombre d'arêtes contenues dans le côté du noyau $ soit g la plus grande dimension des bases rectangulaires de l'une quelconque des lames de superposition, etp la plus petite , auquel cas le produit gp représentera généralement le nombre de molécules comprises dans chaque
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?4 TtJJTt
5 T« prend les séries en par- ??t aisé de voir que p sera
16, etc.,
* irrt m *ratfni i sera égal à c~ 4^'. D'uue
ivement à c-— 2, c— 2, 'K vj:-. : c'est-à-dire que si ri est «ira £=c — ri — 1, et si ri est m mn 4r=c — «'.Donc dans la série icivjir- r7=V — n— 1 )(c — 4"')? ei dan* ~:Ik icsr 1 1 nnmir- 7mr> ^»== (c — ri )[c— ''fin'), exprès* 5itn^ rra i±* dife^L: -qu'en ce que le premier facteur it " uik juumirdune unité que celui de l'autre. ?-rtnr TTHf t r^al à l'unité dans la dernière > î hna ott k nombre d'arêtes de molécules
bord du noyau soit un mulrni à? i raOTmté de l'unité, en sorte que si l'on > le nombre total des lames , on doit :\ = : . ÏVmîc , vn général , c it= 4IN -f- 1 . Si : en ^nsùinp «ïtf valeur de c dans les formules pré-
relatiVe aux nombres impairs
mi ^ rapporte aux nombres pairs sera
CT«suu^ nu ie Sflerent que par l'addition d'une unite iao^ i: Tnan^rfecteur de la seconde.
~ \a iiïTir; * été construite dans l'hypothèse Ti-rm. ^rnt W ci^ renfermerait dix-sept arêtes
DE CRISTALLOGRAPHIE. S5 de molécules. Donc c— 1 7. Or, la formule c — $N=i
Ml
de molécules contenues dans la troisième lame, prise pour exemple , ou (4N— ri)( 4N— 4rc'-f- 1 ) sera
et le nombre de molécules contenues dans la quatrième lame, ou (4N — n'+ i)(4N-^-4/ï/+I) sera
Le solide que nous considérons ici diffère du dodécaèdre rhomboïdal (fig. 70), eu ce que, dans celuici, la dernière lame se réduit toujours à un simple cube , au lieu que dans l'autre le nombre des molécules qui composent la lame correspondante dépend de celui dont le noyau est l'assemblage.
72. Proposons-nous maintenant de déterminer en fonction de c le nombre de cubes élémentaires qui composent ce dodécaèdre.
Continuons de partager l'ensemble des James de superposition appliquées sur chaque face du noyau en deux séries, que nous prendrons dans un ordre inverse de celui que nous avons supposé plus haut , c'est-à-dire en allant vers le noyau, en sorte que les termes dont le rang était pair deviendront ceux d\m rang impair , et réciproquement.
Soit dans le cas présent g la plus grande dimension , et p la plus petite dimension de la première lame de chaque série j spit r' la différence entre deu*
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grandes dimensions consécutives , r celle entre les petites dimensions correspondantes , et n le nombre des lames ; on aura successivement pour les nombres de cubes qu'elles renferment
(S+O 0>+'") =gP+l»f +gr° + rV; (g+ar') (p-f-v* )=?/>+ *P* +ag^ + 4'''"$ (5:4-3/) (p+3r")=2p-|-5/>,' + %r" + 9rV; (g+40 (p + ** )=£/>+ 4/"' +4^* + >6rV;
fe+("-iy][p+(n-i>']^
Réunissant toutes ces quantités , on aura pour l'expression générale de la somme S des lames ,
S=ngp + [i +A+3 + 4+ .... +(n— iXKpr'+gr")
+[i+4+9+^+.-.-+(»-oïy^
Or, si l'on applique aux deux séries que renferme cette expression, les^formules de la page (77), on trouvera
et
Donc l'équation ci- dessus devient
Maintenant, si nous supposons que la première lame de la série des termes impairs se réduise à une simplo
rangée y nous aurons pour celte série, p— i ; et pour celle des termes pairsj?=5.
Dans le premier cas,
S = ngH — (r +gO + g" rr >
et dans le second ,
S — Sng-\ — (ôZ+gO H g- rr .
Les valeurs de r , r", £ et /z , sont les mêmes dans les deux cas. Si donc on réunit les seconds membres de ces équations, on aura l'ensemble des deux séries , ou
Nous avons trouvé plus haut (page 85) N — — j N désignant le nombre total des lames comprises dans les deux séries. Or , N=2/i ; donc, n— — g— • D une
autre part, g est égal à c moins 2 pris autant de
fois qne n renferme d'unités. Donc#=c — 2n=—r-\
Enfui r'=2,r"=8. Substituant dans l'expression ci-dessus les valeurs de n, gy r\ r', et réduisant, on
aura llc3~5^* + 4-. Multipliant par 6, et ajoutant c3, qui est le nombre des €ubes que renferme le noyau , on obtiendra la somme totale de ceux dont
le dodécaèdre est l'assemblage, ou — jg; f
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*=" — r>mme dans la figure ^5 ,
des cubes élémennnmr auquel cas ac* et 43c
ita-4 cr ; c est-a-
le dodécaèdre comme »Hdhé sera à celle du ~~ * ™ -^n peut démontrer d'ail-
«il
e defersulluré(fig. 76) décroissement analogue à au dodécaèdre à faces * rma lieu par quatre rangées en par quatre rangées en hau- : rr?o>t». Dans les cristaux observés
n'atteint pas sa limite , de î du cristal secondaire parallèles aux (aces du noyau , ^ ': . ; . îf, données par les décroisseeaepnes. La face £w située à la droite du décroissement par , si dans le triangle Thg - ~~-=;^ on trouve que l'angle Tgh J al il suit que l'angle gïh est
r vt jSl iuue id5d57'49" pour l'inci-
^ ^ ^\ et io4d3' 1 1" pour celle
it le prisme droit rec- •mt ( Gg. 77), dans lequel lè
DE CRISTALLOGRAPHIE. 89 rapport des côtés CD, CB, CG est celui des nombres \/6, V3 et v/â, et qui est la forme primitive de la cymophane. Les côtés dont il s'agit étant dans trois cas différons, si l'un quelconque d'entre eux, tel que CB , sert de ligne de départ à un décaissement, il n'est pas nécessaire que les deux autres en subissent un semblable, et il peut même arriver que ceux-ci restent libres; il faudra seulement que le même décroissement se répète sur les trois bords AD, FN , GL qui sont identiques au premier.
Cest ce que l'on observe dans la variété de cymophane représentée ( flg. 78), et que je nomme anamorphique. L'effet du décroissement, qui a lieu par une seule rangée sur les quatre bords désignés , est de produire au-dessus de chaque base, telle que ABCD (fig. 77), un prisme triangulaire BCOKAD (fig. 78), appliqué par un de ses pans sur cette base, et dont les deux autres pans BCOK , ADOK sont la somme des bords décroissais sur les lames de superposition. Il est facile de voir que dans le triangle mensurateur abc (fig. 79), qui se rapporte ici à la face BCOK ( fig. 78) , le côté horizontal ab ( fig. 79 ), est au côté vertical ac comme CD est à DF ou CG ,
c'est-à-dire comme \/ô : ou comme s/% : 1 , d'où il suit que l'angle cba (fig. 79) = 3od. Ainsi l'incidence de BCOK (fig. 78) sur BCGL sera de i20d. J'appelle cette variété anamorphique , parce que si s on hii faisait prendre la position en apparence la plus naturelle d'après son aspect e* teneur ; qui est celle
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S- TF.AITÉ
d'an }^\^iie , la base M étant alors située
Lonz n élément , la forme primitive se trouverait cor:in:e ren\ ersée.
7"}. D&ns toutes les variétés que nous avons considérées jusqu'ici, les lames de superposition décroissent de tous les côtés à la fois, ou si elles ne décroissent que vers deux de leurs bords , comme dans la cymophane anamorphique (fig. 78), les autres bords ne ïtnt autre chose que se mettre de niveau entre eux, en restant sur le prolongement des faces M du noyau. Mais il existe des variétés dans lesquelles certains bords, sans être soumis à aucun décaissement, subissent des variations qui secondent les effets des décroissemens relatifs à d'autres bords , et concourent avec ceux-ci vers le but de la cristallisation. Nous allons en citer quelques exemples.
Reprenons le dodécaèdre à triangles scalènes(fig. 80) que j'ai déjà cité comme ayant pour noyau le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée, et qui est situé de manière que les petits côtés EO, 01, IK, etc. , de ses faces triangulaires se confondent avec les bords inférieurs de ce rhomboïde; d'où l'on voit qu'il résulte <l'un décaissement dont l'effet se répèle des deux côtés de chacun des mêmes bords, tandis que les bords supérieurs AE, AI, etc. , ou A'il, A'K, etc. , sont libres de tout décroissement. Or, en même temps que ïes lames de superposition diminuent vers les premiers bords, elles s'alongent vers les seconds, de manière à envelopper les parties du noyau adja-
ccntes aux sommets A, A'; c'est-à-dire que la cristallisation agit à l'égard de ces mêmes parties comme elle ferait dans le cas où le décaissement étant nul , le noyau s'accroîtrait dans tous les sens, en conservant sa forme.
77. Il suit de là que la mesure des décroissemens ne se détermine pas d'après les différences entre les lames de superposition considérées dans toute leur étendue , mais seulement d'après les quantités dont elles se dépassent mutuellement vers les parties qui sont soumises à ces décroissemens. Tout le reste est censé être compris tacitement dans la solution des problèmes. La théorie n'a même besoin que de con-
fe.
sèment , parce que la première lame de superposition étant donnée, un a un triangle mensurateur qui sert à déterminer la position du plan produit par le décroissement. Cependant il n'est pas indifférent de pouvoir se rendre compte à soi-même de tous les détails relatifs à la structure d'un cristal, de manière que si l'on avait à sa disposition un certain nombre de petits solides semblables aux molécules soustractives , on pût les arranger comme par assises autour d'un noyau donné , dans un ordre conforme à celui de la nature , et produire ainsi une imitation artificielle du travail de la cristallisation. Je vais en conséquence faire en quelque sorte l'analyse d'une structure analogue à celle qui nous occupe ici, en ayant égard à toutes les variations particulières, à
9a TRAITÉ
l'aide desquelles les lames composantes concourent , comme de concert, à l'effet qui résulte de leur ensemble.
78. Pour revenir au dodécaèdre dont j'ai parlé t et que je nomme chaux carbonatêe métastatique , la théorie prouve que le décroissement dont il dépend a lieu par deux rangées. La figure 8 1 représente l'espèce de pyramide qui s'est formée au-dessus du sommet supérieur du noyau , lequel se trouvant ainsi en partie à découvert , permet de saisir plus, facilement la marche de la structure.
Si l'on suit l'ordre des lames de superposition qui s'appliquent trois à trois les unes sur les autres, en partant des faces du noyau, on voit que les trois premières , par exemple , au lieu de rester de niveau vers leurs parties supérieures, avec les faces adjacentes du noyau, s'étendent vers ces mêmes parties par l'addition d'une rangée de molécules, laquelle est commune à deux lames. Les trois lames suivantes non-seulement s'étendent pour recouvrir cette rangée additionnelle, mais prennent un accroissement ultérieur, par l'addition d'une nouvelle rangée qui est de même commune à deux d'entre elles. Cette distribution , qui se répète dans toute la hauteur de la pyramide, est nécessaire, pour éviter les angles rentrans qui sont exclus par la cristallisation , au moins dans les cristaux solitaires.
On peut considérer l'assortiment des trois lames superposition situées à une hauteur quelconque ,
comme formant une couche confposée de petite rhomboïdes semblables au noyau. Ainsi la dernière couche qui répond au sommet s (fig. 80), a pour elemens sept petits rhomboïdes. Cest une suite de ce que sa partie concave, dans laquelle est emboîtée la couche suivante, a une capacité égale à un seul rhomboïde, en sorte que l'ensemble de cette capacité et de la couche forme un rhomboïde total qui est le plus petit possible, parmi tous ceux qui sont des assemblages de rhomboïdes élémentaires, puisque son côté est seulement égal à deux arêtes de molécule. Le même raisonnement s'applique a toutes les autres couches, dont chacune, considérée en elle-même, n'est autre chose qu'un rhomboïde évidé à l'endroit par lequel elle s'applique sur la couche inférieure.
79. 11 est facile de déterminer le nombre de rhomboïdes élémentaires qui composent une couche d'un rang donné. Ce nombre étant constant relativement à la couche terminale, que nous supposons appartenir au minimum des rhomboïdes composés de rhomboïdes simples, nous allons d'abord renverser Tordre, en prenant la couche dont il s'agit pour la première. Cela posé, je remarque que chaque couche peut être considérée, ainsi que je l'ai déjà dit, comme un rhomboïde dont on aurait retranché un autre rhomboïde plus petit, à l'endroit où cette couche s'applique par sa concavité sur la convexité de la couche suivante. Soit x le côté du premier rhomboïde. Comme chaque couche n'a que l'épaisseur d'une molécule, il est fk-
Digit
S4 TRAITÉ cile de voir que a: — i désignera le côté du second rhomboïde, ou de celui auquel répond la concavité delà couche dont il s'agit. Donc le côté du rhomboïde auquel répond la partie cachée de la couche suivante sera aussi x — 15 niais, à cause du décaissement par deux rangées, le côté du rhomboïde auquel appartient cette dernière couche, considérée dans sa totalité, est plus grand de deux unités que celui du rhomboïde relatif à la partie cachée : donc son expression sera x — 1 +2 , ou x «+- 1 . Mais x est le côté du rhomboïde auquel répond la couche précédente ; donc les côtés des rhomboïdes auxquels appartiennent les différentes couches , prises en partant du sommet, forment une progression arithmétique croissante , dans laquelle la différence entre#deux termes consécutifs est l'unité. Donc puisque le côté du rhomboïde relatif à la première de toutes les couches est 2, la série des différais côtés sera 2, 3, 4* 5, 6 , etc. , dans laquelle désignant par x un terme quelconque, et par n le rang de ce terme, on aura
ar=w+ 1.
Maintenant, si de la solidité x3 du rhomboïde au^ quel appartient la couche du rang ji, on retranche la solidité (x — 1)3 du rhomboïde qui répond à la concavité de cette couche, on aura 3#J — 3*-f-i, pour l'expression du nombre de rhomboïdes compris dans cette même couche; et si dans cette exprèsswju od met à la place de x sa valeur w+i , elle
devient
80. Prenons maintenant la couche qui recouvre immédiatement le noyau pour la première : soit C le nombre d'arètes de molécules contenues dans le cote de ce noyau, N le rang d'un terme quelconque, et soit toujours x le côté du rhomboïde auquel appartient la couche de ce rang. Si .r=C — 1, comme dans la première couche, on a N=i, Si x=C — 2, on a N = 2 , etc. Donc, en général, .r=C — N. Mais nous avons eu x=n-\-i; donc rt=C — N — 1. Si Ton substitue cette expression de n dans la formule 3n*+3n+i , on trouve 3 (C-N)'-f- 3(N— C)-f- 1.
Supposons, par exemple, que l'on demande le nombre de rhomboïdes que contient la sixième des couches prises de bas en haut, dans un solide représentatif semblable à celui delà fig. 77. On aura C= 10, N = 6 ; ce qui donne, pour le nombre cherché, 3 (4)*+ 3 (6 — 10) +1=37. Eu doublant ce nombre, on aura 74 pour celui des rhomboïdes compris dans l'ensemble des deux couches qui se correspondent vers les deux sommets du noyau.
La même couche étant la troisième en parlant du sommet , si l'on fait n = 3 , dans la formule 3 7i% + 3 n + 1 , on trouvera de même 37 pour le nombre de rhomboïdes que contient cette couche.
On peut présumer avec beaucoup de vraisemblance que la formule 3/iâ+3/i+i, appliquée auxdifférens termes d'une suite dans laquelle x est égale successi-
g6 TRAITÉ
vement à 2, 3, 4> 5 , 6, etc., représente les des couches de superposition , prises depuis le sommet, dans tous les dodécaèdres analogues à celui que nous considérous ici. Toute la différence consistera eu ce que , dans ceux qui sont d'un plus gros volume , le nombre des termes de la progression sera plus considérable. Mais deux progressions quelconques auront toujours une partie commune.
8ï. Proposons-nous maintenant de déterminer le nombre de tous les petits rhomboïdes qui composent le dodécaèdre dont il s'agit, en supposant que Ton connaisse le nombre C d'arêtes comprises dans le côté du noyau.
La formule 3/i*-f-3/z-f- 1 , qui exprime le nombre de petits rhomboïdes compris dans une couche du rang fait voir que la somme de ceux que renferment toutes les couches superposées à un même sommet du noyau est égale à trois fois la somme des carrés des nombres naturels 1 , 1 , 3 , 4 > etc. , en comptant n pour le dernier ; plus, à trois fois la somme des mêmes nombres; plus, au nombre désigné par n.
Or , d'après les formules démontrées à la page (77), on a
«t i+a'+3'+4' + 5'+...+n'=an>+gB'+"
Donc la somme de tous les petits rhomboïdes compris dans les couches superposées à un même sommet du noyau sera , en général ,
ou
mais à cause du décroissement par deux rangées n=C — 2. Si l'on substitue cette valeur de n dans la formule, elle deviendra
Or la somme S de tous les petits rhomboïdes dont le dodécaèdre est l'assemblage , est égale à C* plus au double de la quantité précédente ; donc
S=3C3— 6C» + 6C— 4=3 (C3-aC+ aC) — 4.
Supposons C— 10, comme dans la figure; on aura S^=3ooo — 6oo+6o~4:==2456.
82. La formule précédente se rapporte au cas où le sommet du dodécaèdre est supposé au point / (fig.8i), que l'on peut considérer comme le sommet physique du dodécaèdre, dont le sommet géométrique est eu Or , plus le nombre C augmente , plus le point s se rapproche du point/, et si Ton sup-
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98 TRAITÉ pose C infini, les deux sommets coïncideront en un même point ; dans ce cas, les quantités 6C*, 6C et 4 s'évanouissent, et l'on a S=3CS. Effectivement, on prouve par un calcul direct, ainsi que nous le verrons dans la suite , que si Ton considère la surface du dodécaèdre comme composée des plans tangens à tous les bords inférieurs des lames de superposition , ou , ce qui rev ient au même , si l'on considère le dodécaèdre comme un corps géométrique , sa solidité est triple de celle du noyau. A la rigueur, C n'est jamais infini dans la nature ; mais il est si grand, à raison de l'extrême petitesse des molécules , que la distance entre s et s' peut être considérée comme nulle.
Je reviendrai dans la suite sur la même variété , dont je déterminerai les angles d'après les formules générales relatives au rhomboïde. Je ferai connaître en même temps plusieurs propriétés remarquables dont elle jouit.
83. Je vais citer un nouvel exemple que je tirerai encore de la chaux carbonatée, en continuant de prendre pour noyau le rhomboïde de io4di, que jt suppose ici représenté par ABGA'HD (fig. 82).
Concevons un décroissement par une simple rangée sur les bords supérieurs AB,AD, AF,etc. 11 produira de pa? t et d'autre de chacun de ces bords deux laces qui seront de niveau , comme celles qui se forment des deux cotés d'un même bord dans le dodécaèdre originaire du cube (fig. 70) ; en sorte que le
DE CRISTALLOGRAPHIE. 9j
nombre des &ces réeUement distinctes du solide secondaire sera de six, c'est-à-dire qu'il sera égal à celui des bords qui servent de ligne de départ aux décroissemens , et il est facile de voir que les trois faces qui naissent, par exemple, autour du sommet supérieur , savoir , ALMO , ARSO , ALNR ( fig. 82 ) , étant situées en sens contraire de celles qui appartiennent au sommet inférieur, savoir, Af SRN, À'M LN , A'MSO , le solide secondaire sera un rhomboïde beau* coup plus obtus que le noyau, dans lequel les petites diagonales des rhombes coïncideront avec les bords supérieurs de ce noyau , et dont les angles solides seront situés au milieu de ses faces. Car les deux rhomboïdes ayant le même axe, si l'on conçoit un plan mené par les trois points L, O, R, il passera nécessairement par les trois diagonales horizontales supérieures des deux rhomboïdes , et par conséquent il passera par les angles solides B, D, F, du rhomboïde primitif, d'où il suit que ces points sont situés au milieu des diagonales menées de L en O, de O en R, et de R en F , c'est-à-dire qu'ils coïncident avec les milieux des faces du rhomboïde secondaire.
Les mêmes rliombes seront chargés de cannelures produites par les saillies et les rentrées alternatives des bords des lames décroissantes, et situées parallèlement aux petites diagonales, comme dans le dodécaèdre (fig. 70) qui nous a déjà servi de terme de comparaison. Les lames dont il s'agit subissent encore ici , dans les parties que le décrois&ment n'atteint
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DE CRISTALLO&ftIPHIE. ici
CXOU, les trapèzes ABXO , À-DUO, et les triangles BCX, DCU, sera le sixième dé'-fo matière qui enveloppe le noyau, ou ce qui revient* au même, il sera l'assemblage des lames de superposition -empilées sur la face ÀBCD du noyau. Il s'agit donc d'analyser ce solide pour arriver au résultat proposé.
Soit ac (fig. 84) ce même solide. Par les points ar, 'u^ menons le plan xpu parallèle au rhombe abc d. Toutes les lames de superposition situées entre l'un et l'autre auront des figures pentagonales telles que efghie, et toutes celles qui sont comprises entre xpu et le point q auront des figures triangulaires. De plus, le point x (fig. 84), ou X (fig. 83), étant situé à la moitié du côté OM, il est évident que le point p( fig. 84), divise en deux parties égales le côté ao qui est tangent à tous les angles supérieurs des lames de superposition. 11 suit de là qu'il y a autant de ces lames situées entre le triangle xpu et le rhombe abcd> qu'entre le même triangle et le point a-; d'où nous conclurons que le nombre total des lames de superposition- doit être pair. Par une suite nécessaire le côté ÀB du noyau doit être composé d'un nombre impair d'arêtes de molécule, puisque ce nombre excède d'une unitécelui des lames de superposition , à cause du décrois sèment par une rangée. Nous supposerons ici que ce nombre soit égal à g.
85. Maintenant, pour concevoir comment les diverses lames pentagonales et triangulaires dont le solide ac est l'assemblage , sont uniquement compo-
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,o* TRAITÉ
secs de rhomboïdes > et comment elles subissent le* variations auxiliaires dont j'ai parlé, imaginons qu'elles se projettent lôutes sur un plan qui coïncide avec le Thombë'Qbcd. L'ensemble de leurs projections sera représenté par la Ggure 85 , dans laquelle le rhombe €tb&t est le même que figure 84* Le pentagone efghi ... -(fig. 85) est la projection de la première lame de su- \ perposition qui est aussi indiquée ( fig. 84). Les bords ef, ei (fig. 85) sont dans le sens du décaissement, qui seul suffit pour déterminer la forme secondaire. Les deux rangées situées le long des bords fg,ih, sont destinées à envelopper les parties correspondantes du noyau, pour éviter les angles rentrans. Chacune de ces rangées étant commune à la lame que représente la figure et à celle qui est appliquée sur la face primitive adjacente, on voit que dans le cas où Ton voudrait construire une imitation artificielle du . rhomboïde secondaire , il ne serait pas nécessaire d'ajouter une semblable rangée à la seconde lame dont je \ iens de parler. La base gh du pentagone est composée d'angles alternativement rentrans et saillans. C'est ce que l'on concevra , en faisant attention que cette base étant parallèle à la diagonale ux ( fig. 84 ) , et les bords des lames décroissantes étant parallèles à l'autre diagonale co située sur le prolongement du bord A'C du noyau (fig. 82 ) , la base dont il s'agit, coupe perpendiculairement les cannelures produites par les saillies et rentrées alternatives des bords décroissans $ d'où il résulte qu'elle doit former une ligne
DE CRISTA LL0GRAPH1E. ic5
anguleuse assortie à l'effet du décroissement sur la surface dont elle fait partie.
Dans les trois projections suivantes Imnvk, rstzv, yxutyS*, il y a de même addition de deux rangées vers les bords Im, en, rs, zt,yxyyu , pour remplir le vide que laisseraient entre elles les partie» correspondantes, si cette addition n'avait pas lieu. Mais le nombre des rhomboïdes ajoutés décroît d'une laine à l'autre , en sorte que sur la dernière il n'y en a plus qu'un seul, indiqué parj'* ou yu. Au-delà de ce terme , qui répond au plan xpu {fig. 84) > les projections cessent de s'accroître par leurs bords latéraux r en sorte qu'elles se réduisent aux assortimens compris dans les espaces estXp (fig. 85) , Çmnwfz, Sghipv, et la dernière se réduit à un rhombe cm , qui indique le rhomboïde situé à l'angle o (fig. 84). Dans k réalité, ces espaces sont des pentagones* dont les côtés latéraux sont égaux chacun à une arête ss, Çm, 3#, de molécule. Mais à cause de l'extrême ténuité des molécules, ces côtés sont censés infiniment petits , en sorte que les pentagones se présentent sous l'aspect de triangles isocèles.
86. Dans le cas présent , les nombres de rhomboïdes qui composent les couches successives composées chacune de six lames de superposition, forment deux séries dont chacune suit une loi particulière. La première répond aux couches situées entre le triangle xyw (fig. 84) et le rhombe abcd, et la seconde aux couches comprises depuis le même triangle jusqu'au
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PC rl.
vaut égaux dans les r -rr* de molécule com- 3 > ^ noyau étant égal à la
-m un* a f unité, il suffira de w Jimnn» poar savoir à quelle if -*ocn* ft un rang donné , et ~ tj- rnr>,i'*les dont elle est com- .a Annule relative à la
a les termes, N+ 1 sera celui -nraprlses dans chaque côté ïx'fig. 84) étant la somme . ~ ( fig. 85), et la ligne ao - *r mirant la somme des points a, I <&c évident que chacun des '. .c<ir. etc., des lames de superpoj3ar^z^nraQaniBiti la première série, est égal au
Mfwr * .mummÊ* *fzkz* klmnf(ûg. 85), comme
rn oovau, dont on aurait ree la partie inférieure. Soit « en de molécule comprises dans ,at se compose l'un quel- - ûq aura x=(N+i)* — s.
à chaque pentagone , tel t ji <i 5rence entre le nombre ^ t^*"^ «comprimes dans le rhombe .anr !e TOftgt^ mm ( fig. 85 et 86 ) .- Mnôre de &cettes comprises dans
DE CRISTALLOGRAPHIE. io5
ce même triangle. Soit C le nombre d'arétes de molécule contenues dans le côté soit du rhombe , soit du triangle, s sera égal au triangle inférieur m-\n , plus à la somme des petits triangles mSg, gre, etc. , situés
au-dessus de la diagonale mn. Or , l'expression du
triangle inférieur est-^-; et parce que le nombre de
diagonales de molécule comprises dans la diagonale mn est égal à celui d'arêtes de molécule contenues dans le côté mr, la somme des petits triangles
niS'gi grc, etc., sera — . On peut appliquer le même
raisonnement à tout autre pentagone. Donc , en général ,
,=i(CH-C). Donc, «=(N-4-i)a— KCm+C).
Maintenant soit ri le rang d'un terme quelconque, dans la série prise en partant du noyau, la quantité G est successivement gca, mv, etc., c'est-à-dire 2 , 4 5 6, etc., ou en général iri. Donc, substituant iri à la place de C, on aura ar=(N+ 1)* — inl% — ri.
Or, chaque couche étant composée de six lames , on aurait son expression en multipliant la précédente par 6, si chaque lame n'avait pas de rangée commune avec les lames adjacentes. Il faudra donc déduire de l'expression précédente multipliée par 6 la moitié de la somme des petits rhomboïdes contenus dans les rangées communes. Mais ces rangées ont successivement pour côtés les lignes fg ,lm, rs, etc. , dont la première renferme deux arêtes de molécule de moins
^ :j. i- - m: î-à deuxième deux de moins
Donc, puisque
> — 1.5— 3,N— 5, etc., rt I'=>--an'4-i. Or,
les
Miiacws: iocc. retranchant de la pre- CT fk > — xi'-r r . on aura pour celle s-n*; meiL-jninie pré .ims la première série ,
^-J-S—yn'+ri).
:p-tt?ns- -e* ^erni^s de la seconde série ^r.mt; is il esl facile de voir
lux nombres de
r --me sios i» triantes gr*A ,
. ^ r -~ . TiTr^eequia été dit ^ * ^ - ^riv- imntf itf » castres a pour
~* r =-C% — C.Soit n
^ r-L~ n^a-ïve-i* r^ant toujours , ^ ^ ~ : ^i--: eçil saccessive-
? ^ .a ion^?coeralC = 2«.
?*rra an* — /!•
, 4f. x .... - > r robee total des
-m • - - t> : - , si nous con-
» ^,.r t * 1» terme quel-
DE CRISTALLOGRAPHIE. icy
conque, en parlant des faces du noyau, nous aurons en général n=TS — rc'-f- i , et l'expression a/i* — n deviendra a(N — /l'-f-i)1 — N-f-rc— i, qui se réduit à a(N— W')*+3(N— n) + \. Dpnc cliaque terme de la deuxième série sera représenté par
88. Supposons que l'on demande le nombre x de rhomboïdes contenus dans la troisième couche, le côté du noyau étant égal à 9, comme dans la fig. 85 ; en prenant la formule relative à la première série , on aura
*=6(NM- N— 27ï/*+/ï>=6(64+8— , 8+3)=34a.
Si x appartient à la deuxième série, et que le terme que l'on cherche soit, par exemple, le sixième, on aura , en employant la formule relative à cette série ,
x=6[]2(N-n0,+3(N-ii/)4"O=;6C2C8-6)a+3(8-6)+i]=9o.
8g. Je terminerai cet article par la solution d'un problème analogue à celui dont nous nous sommes occupés à l'occasion du dodécaèdre métastatique, et qui aura pour but de déterminer généralement le nombre de rhomboïdes élémentaires contenus dans un rhomboïde produit par la loi de décroissement que nous venons de considérer, en prenant pour donnée le nombre d'arêtes de rhomboïdes élémentaires compris dans le coté du noyau.
Nous prendrons ici la série dps lames de supnpo-
• / ^: ■> ^ r.r-*-<ire dans le sens où ^ A.t*r.?r *t v»n* :^ w^-^r ^ comme ci-
^f *&~> *n î^it >^j*» d'un %*I nombre de
r ^^r, tw .'.i^'i * in r ui>r» :e ruïtîts rhomboïdes ' j> - *rrr^ * m r^* *ri rr» If» point o (fig. 84)
-* fi- s ta 7 ~i binant 1 ce qui a lieu par
v -r « in* irr> ;n .irivan. >ous avons vu * tip / -i ^rT-i/in 1" in vmr quelconque de
^r.f. *<at rr — <u !>.nn la */mme de tous les !-rr*#T" ^uiip % î.l; i r,crune des carrés des iii..u.-^i . +ji 9r>z*r-z iii.^^ «ie ces nombres ::- -r:fc -^j-sïi ^ vrr3ii=ï- 2if.ins la somme des
-«rcr^nte par n le nom- „ m ':"*■>-■=* i«= formules de la
Par crc*»~nei£ la *.rn,Tre isf termes de la pre-
~~7-' ; »bet::3anit à la place de /i cette — — ^**~ Donc la tota-
nE CRISTALLOGRAPHIE. 109
lité des six séries relativ es aux six faces du noyau aura
. qC3— 3C» — qC+3 pour expression .
go. Passons à la série suivante, et supposons d'abord que chaque lame de superposition n'ait pas de rangée commune avec les lames adjacentes. Dans celle hypothèse , l'expression d'un terme quelconque du rang n\ en partant du noyau, est (N-f- 1)* — 2nr*~n (page io5). Soit ri1 le rang du terme qui répond à n\ en allant au contraire vers le noyau \ nous aurons
Donc
n"=±W— N/i"-f-N-f-fe"* — 2n"+ 1.
Si l'on substitue cette valeur et celle de n' dans l'expression d'un terme quelconque , et qu'en même temps on réduise , on trouvera, en donnant un même dénominateur à tous les termes,
— ^ — -î=(aN+5)/i#— nn'*+ — ~.
Donc la somme des petits rhomboïdes compris dans la sé.rie dont il s'agit ici , est composée du produit de (aN+5) par la somme des nombres naturels, en prenant autant de ces nombres que la série renferme de termes, moins deux fois la somme des carrés des
mêmes nombres, plus la quantité prise
autant de fois qu'il y a de termes dans la série, c'est-
Retranchant celte quantité de
ioC3— i5C'-t-aC-t-3 ,
on aura pour le nombre de rhomboïdes élémentaires compris dans la seconde série,
ioC*— aiC'+ 14C — 3 ' 4 ;
ajoutant l'expression de la première série , ou
plus la valeur C5 du noyau, on trouve que le nombre de tous les petits rhomboïdes que renferme le rhomboïde secondaire est 4C3 — 6Cft«4-3C.
91. Supposons C =9 , comme dans la figure, le nombre des rhomboïdes élémentaires sera égal à i\
Si I on fait C infini , auquel cas C* et C s'évanouissent devant C3 , ia solidité du rhomboïde secondaire sera quadruple de celle du noyau, ce que démontre également le calcul , lorsque l'on considère le rhomboïde secondaire comme corps géométrique.
Dècroissemens sur les angles et décrois semens
intermédiaires.
92. Nous allons maintenant nous occuper des décroissemens sur les angles j mais après avoir donné quelques notions générales relatives à la marche de ues décroisrsemens, je réunirai avec eux, sous un
à-dire < ~ * ttosLc inUrmè-
(aN- - «este en r
.as :mi solide priiroit sy-
de petits
as* • • .^5Œ» d'autant de
SuL> .2^ rii ; me sente de lames
aun - : -ornant vers leurs
iffir^rîions d'une simple
6>C- Trôna nous servir du
~ — sr * ^ effets du décroisse-
^2T je ont il s'agit , en sup-
. ~ -s* jetées sur ce même
don .j, -
-nous a considérer ce qui
du ^ tel que D, attendu
ran, ' ^ ^xe même cas que celui-ci,
traii ~: - i-enuère lame de superpo-
et in presenlt u tigure, sera
nous ~ ... -^r-uie désignée par lalettrea;
moins que la prem
nar b, k ; que la troisième c'est-. ^ ies trois molécules dé-
fois la ^ ^ . - iutie.
tant d Le primitif défi
moins . .^ . W, les deux mole-
\ ^ L> bases sont tiesiçn**»
ïi'iuitcpiiar mot-
DE CRISTALLOGRAPHIE. n3
cules dont o5jp, m, d, représentent les bases. Il est \ isible que la nouvelle facette latérale que le décroissement fera naître sur la première lame de superposition, parla soustraction de la molécule a, ne sera réellement composée que des deux arêtes yy' , S<f* ( fig. 88); que la facette qui correspondra à la précédente sur la seconde lame, sera l'assemblage des trois arêtes ce', ee\ et ainsi de suite.
93. De plus, il est facile de concevoir que la face produite par le décaissement ne sera plus simplement sillonnée par des espèces de cannelures, comme dans les décroissemens sur les bords ; mais elle sera bérissée de pointes y, cT, €, e, £, etc., qui, étant toutes de niveau, et écbappant à l'œil par leur petitesse, s'offriront sous l'aspect d'une surface continue.
Une nouvelle différence qui existe entre les décroissemens sur les angles et ceux que subissent les bords, consiste en ce (pie ceux-ci , en supposant qu'ils agissent sur les quatre bords des lames de superposition , emportent ces bords tout entiers , au lieu que les décroissemens sur les angles , en même temps qu'ils font naître de nouveaux bords tournés vefs ces mêmes angles, laissent subsister, au moins jusqu'à un certain terme, des portions des bords primitifs.
94. Il suit de là que les grandes faces des lames de superposition dont la ligure 87 représente les projections , sont d'abord des octogones y^rqTyl'm' , vC^rXk'fse') etc., dans lesquels les nouveaux bords yf9
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même point de \ di aires, à cause <• les uns et les auti
Soit ABCD (I mitif que nous métrique, sou carrés, qui sn molécules soi' empilées sur quatre angl rangée de i carré AB( ment sur I posant (] carré. Oi se passe que les il est (";• sition < diinin»
que la les de aura gigre
«en !
cul (l!
pi''
— J2^+ que les rési-
.et au contraire ^- représente la
- îiclf-cule dont se -1 AD, est impair,
par n'être plus ~ * ^je tt£; et cette ~: *é infiniment pet. etc., les grandes — n qui s'appliquent les : terme, sont censées ,eur elles soient des ~ll \ont en diminuant ^ >n sorte que la surface ~ ~r .'«présentée par l'octo- "-7 ^rond a cinq moléc jk -emière lame est un cette même lame se
droit symétrique îve, et qui subisse •- nL^fi un décroissement i dont nous venons -~:*:uites par le décrois- -•s* r^e !a somme des angles
- c*?7 A*'? etc., sont
.lt rte les faces dont il des largeurs infi-
; : r iront en s'élargissant
De cristallographie. i i s
m terme qui répond à la ligne A£, et aux aum mblablement situées, et que, passé ce terme, - m • rétréciront progressivement j usqu'à ce qu'elles » ni réduites à de simples points; et parce que les nls fg, vu, situés au-delà de â£, diminuent dans i rapport inverse de celui qui détermine l'accroissement des bords éÇ , , etc. , situés en-deçà de la même ligne , les faces produites par le décroissement seront nécessairement des rhombes.
Le résultat précédent conduit à un dodécaèdre représente (fig. 90), dont la surface est composée de quatre hexagones verticaux DPCGRF, BHCGUL, etc., qui répondent aux faces latérales de la forme primitive, et de huit rhombes SPCH, SPDM, etc. , disposés quatre à quatre autour dès sommets. Ces rhombes sont produits immédiatement par le décroissement, ainsi que je l'ai expliqué plus haut, et les triangles DPC, CHB, etc., qui terminent les hexagones, sont les sommes des portions des bords primitifs que le décroissement n'atteint pas. Si l'on fait passer un plan MPHK pries diagonales horizontales des rhombes situés vers l'un quelconque des sommets, ce plan répondra à l'octogone A£7ryT>i>[/û> (lig. 87), qui, comme je l'ai dit , est censé être un carré. Tous les autres plans menés entre PH et le point C , parallèlement à MPHR, répondront successivement aux octogones situés entre A£ ( fig. 87) et le point D , et tous les plans menés entre PH (fig. 86) et le sommet S, répondront aux octogones situés entre (lig. 87) et
-r —ti i«irent être considérés comme
à la manière de con- :ir,-r: mauara leurs relatifs aux décroisée xii^ies. et ce que je dirai sur ce sujet icic aux décroissemens intermé- ;e Fai déjà dit, sont étroitement oct lieu parallèlement aux dia-
un parallélépipède quelconque LTxa de forme primitive, et dont les leurs quatre angles un décroissupposerons d'abord avoir lieu -iz:~«le rir^ee, et dont nous nous bornerons l.r.T lviT-?£ par rapport à l'angle D. Soit D}/ zi lecnle intégrante ; ayan t pris sur DA 'a t -rie Dm égale à la dimension en lar-
— ; - ;v r.^ îecule (lig. 90>el ayant pris sur DC
^ -ar.ie Dr égale à la dimension en lar- :r j- . : . menons mra et rs (fig. 89 ) , parai- ^ ; ri* r toiles à la dimension en hauteur 3"D 1 ï . Lv - points D , w , * (fig. 89) , étant les somtrc< i u-> ir ;les solides désignés par les lettres D, 7, cT
- i ♦ , le fia.ii nDs ( iig. 89 ) qui passe par ces trois •v;-;>t H-n le rudiment de la face produite par le Lun ^utt'iù. Menons de plus le plan nsrm^ qui
^icïutni avec la nouvelle facette latérale que le .^.•^.•teocnieut a fait naître sur la première lame de •m* rntAïuuu. La ligne Do, perpendiculaire sur mr
sera la base du triangle mensurateur; la ligne oh menée du point o sur le plan nsrm , perpendiculairement à mr, sera le côté intérieur du même triangle , et la ligne DA en sera le côté extérieur, d'où il suit que l'angle ADo donnera l'inclinaison de nDs sur la base ABCD de la forme primitive. *
97. Si l'on suppose que le décaissement ait lieu successivement par deux, trois, quatre rangées en largeur, la base du triangle mensurateur, en conservant toujours la même direction , sera double, triple ou quadruple de Do , et si le décaissement est en même temps mixte, le côté intérieur du triangle mensurateur, en restant sur la direction oA, sera égal à autant de fois cette même ligne qu'il y aura de rangées soustraites en hauteur; c'est-à-dire que si l'on fait Do=Z, oA=A, et si l'on désigne par n le nombre de rangées soustraites en largeur, et par nf celui de rangées soustraites en hauteur, la base du triangle mensurateur sera en général n X / , et son côté intérieur sera ri X h.
Si la base de la molécule est un carré ou un rhombe , la ligne Do , dans le cas d'un décroissemeut par line rangée, sera égale à la moitié de la diagonale qui va do D en € ou de 9" en e' (fig. 91), et en général le nombre de diagonales qu'elle mesurera sera la moU é du nombre de rangées soustraites dans le sens de la largeur.
98. On voit ici une nouvelle différence entra les décroissemens sur les angles et ceux qui ont heu sur
au lieu d'un dodécaèdre analogue à SY (fig. 90), le solide représenté figure 93 , dont les faces obliques sont des pentagones surmontés de deux facettes carrées pnir, utsxj parallèles aux bases de la forme primitive.
Menons les diagonales AC, BD (fig. 89). Soit cab (fig. 94) le triangle mensurateur, dans lequel l'angle h sera droit , et ab sera à bc : : DS (fig. 89) : DF : : : 5, ce qui donne 29** 3c/ pour l'angle acb , et par conséquent 6od3o' pour l'angle cab. Donc l'incidence de chacun des pentagones Chnpky Dhnie, etc. (fig. g3), sur la face terminale, sera de n gd 3o', et celle du même pentagone sur l'arète verticale adjacente CG ou DF, sera de i5od3o'. Je donnerai, dans la partie analytique, les formules à l'aide desquelles on peut aussi déterminer les incidences mutuelles des pentagones adjacens.
Je donne le nom iïapophyllite é pointé à la variété que je viens de décrire , et que j'avais d'abord placée, avec la même épithète, dans l'espèce de la raésotype. U me fallait des cristaux d'une forme beaucoup plus nettement prononcée que ceux qui avaient servi à mes premières observations , pour rétablir l'exactitude dans la détermination des formes relatives à ces deux substances. Ceux qui m'ont offert cet avantage venaient les uns d'Llon en Suéde, et les autres de
eroe.
Je suis redevable des premiers à M. Suedenstierna, directeur des mines, que je me félicite de compter
- leçons publiques ^ distingués parla
- rvpîdité de leurs - -i'- M. Petmen ,
•\ ^ . i orner ma - r-ai»: Hi'm* pour v . •!* iw-^me da n s
-ni »!.>!«: aii^ les
r r r - s: c : >>ar
r - x V*-r ri '11,
l'arête DF la partie égale à mn ou à rs, menons mfJL et rfJL. Les lignes mn , D/* et rs étant égales et parallèles entre elles, il est évident que les deux plans nDs 7 mpr, sont aussi parallèles l'un à l'autre, 102. Supposons que le décaissement ayant lieu sur l'angle latéral ADF, Dm et D/a représentent les nombres de dimensions en largeur soustraites sur les côtés DA, DF, et que Dr représente le nombre de dimensions en bauteur qui répond à celui des rangées soustraites dans le même sens. Des points m, /x , j'élève les lignes mt, fiu, parallèles et égales à Dr, puis ayant mené tn , je fais passer un plan par les points iDu. D'après ce qui a été dit plus haut, ce plan est le rudiment de la face produite par le décroissement , et en appliquant ici le raisonnement que nous avons fait par rapport au plan rîDs , on en conclura que les plans tDu, mrfa sont parallèles entre eux , comme les plans tjDs, mfir. Donc les plans rt)//, 7^D^, étant parallèles à im troisième plan ra/*r, et ayant un point commun D, se confondent sur un seul plan.
Supposons enfin que le décroissement ayant lieu sur l'autre angle latéral CDF , Dr et D/* représentent les nombres de dimensions en largeur soustraites sur les côtés DC, DF, et que D/rc représente le nombre de dimensions en hauteur qui détermine le nombre de rangées soustraites dans le même sens. On prouvera, à l'aide d'une construction semblable aux dcu\ précédentes, que le plan 7rDZ, qui est le rudiment de
~ent , se confond sur plans tDu,nD&.
qui agissent sur ~ * réunissent pour former - xt de telles mesures, que rm représentent les nombres sur les cotes, et ïi^ *n hauteur soustraites dans pour tous les angles, chang<
- r - ie*. les faces produites par les
•-^lt^s nci-ieront sur un même plan.
^ = + ^ ut ^leleonque des trois décroisujt ^z^r. j. e>t facile de déterminer les r >r>:t conclure encore de ce qui pré- : - iecxoissemens a lieu par une - iaw autres se feront aussi par » lu seul des décroissemens a lieu
~ur - ~- ^vt?* même en supposant qu'il soit ^ ^ les James de superposition sont ^r^- * ^*u°aale, et n'ont que F épaisseur
- r. ; -~ - .:cux autres décroissemens seront
,r*iK\liaires. Car en supposant que t « . '.h qui subit le décroissement, on 'tt, Y citadine à deux dimensions en
■.i . oit^y . tandis que Dft sera égale à une c *u hauteur. Maintenant , si l'on : ..r aswuI qui a lieu par rapport à Y litres i>/7t et Dp représenteront les
DE CRISTALLOGRAPHIE. i*3
nombres de dimensions en largeur sur les cotés DA , DF, et ces nombres étant inégaux, la ligne Dp ne pourra être parallèles la diagonale menée de A en F, et par conséquent le décaissement sera intermé-
Ce qui se présente de plus naturel , dans ces sortes de cas, est de rapporter le résultat des trois décroissemens à celui qui est simple, et qui a lieu parallèlement à la diagonale, en supposant que les deux décroisëemens intermédiaires n'interviennent que comme auxiliaires, pour prolonger l'effet du décaissement principal au-dessus des faces adjacentes à celles qui le subit. Je reviendrai bientôt sur ce sujet, dont le développement me fournira un nouvel exemple de la méthode synthétique, dont j'ai déjà fait usage pour décrire l'ordre de la structure dans les formes secondaires.
104. Passons à de nouvelles applications, et supposons d'abord que la forme primitive étant un cube AO' (fig. 90), subisse des décroissemens par une simple rangée sur tous les angles de ses différentes faces. Nous nous bornerons , pour le présent , à considérer ce qui se passe par rapport aux trois angles plans réunis autour de l'angle solide O. Ayant pris sur les bords OE, 01, 00', les parties Oc, Od, Or, égales chacune à une arête de molécule cubique, menons les lignes c*, dk , parallèles à OO', les lignes cg> r«, parallèles à 01, puis les lignes dh^rz, parallèles à OE, en donnant de même à chacune de ces lignes
une longueur égale à une arête de molécule. Si par le point O et par les extrémités des mêmes lignes prises deux à deux , nous faisons passer les plans toky gos, hoz, il est facile de concevoir, d'après ce qui a été dit plus haut (pag. 122), que ces plans seront les rudimens des laces produites par les trois décroissemens qui agissent autour du point O, et qu'en même temps ils seront de niveau sur un plan unique. De plus, ces plans étant des triangles isocèles, égaux et semblables, et les angles gct, kdh, s/x, compris entre eux , étant aussi égaux , il en résulte que si l'on prolonge leurs bases gs , hz, th, elles se rencontreront de manière à former avec leurs prolongemens le contour d'un triangle équilatéral uxy. Enfin , les plans gOs , /OÀ*, hOz , étant également inclinés sur les trois races EOO'E', EOIA, 1001', au-dessus desquelles ils s'élèvent, il est visible que le triangle équilatéral uxy est perpendiculaire sur l'axe du cube qui passe par les points O, A'. Le même raisonnement s'applique aux résultats des décroissemens qui agissent autour des sept autres angles solides. Donc les faces du cristal secondaire n'étant autre chose que les triangles analogues à uxy, prolongés jusqu'à ^ce qu'ils se rencontrent , et celles qui sont opposéesdeux à deux étant perpendiculaires sur l'axe du cube qui passe par les deux angles autour desquels elles se sont formées, la surface qui résultera de leur ensemble sera celle d'un octaèdre régulier s, sf (h'g. 96). Le cube sera inscrit dans cet octaèdre, de manière
DE CRISTALLOGRAPHIE. i25
que ses angles solides coïncideront avec les milieux des faces du même octaèdre, et l'on voit , par la seule • inspection de la figure, que ce dernier solide a ses faces tournées en sens contraire des triangles tels que uxy, qui en offrent les rudimens. Soit omn({ig. 97), le triangle mensurateur relatif à l'un quelconque des décroissemens, par exemple à celui qui a lieu sur l'angle EOI (fig. 95 ). La base om (fig. 97) sera égale à une demi-diagonale de molécule , et le coté intérieur mn à une arête, d'où il suit que l'on aura
omlmnll 1: V^*
Or , il est facile de voir que ce rapport est le même que celui qui existe entre la perpendiculaire menée du centre de la base de la pyramide mnrrin's (fig. 96) sur le côté mn, et la hauteur de la même pyramide.
Donc si l'on représente ces deux lignes par 1 et \Jiy
on aura \/3 pour l'apothème du triangle msn, et parce que la perpendiculaire menée du centre de la base sur mn est égale a la moi tiède ce même côté, l'expression de ce dernier sera 2. De plus , l'apothème du
triangle msn étant V3, et la moitié du côté mn élant l'unité , on aura
ms, ou ns = +1=2,
d'où il suit que le triangle msn est équilatéral, et que le solide secondaire est un octaèdre régulier , comme ou l'a déjà vu. D'après les données dont j'ai parlé,
*r **r.s*tx:r- ^ vais ■ ni u> :iaiine -unt
Ee, Aa, Oo, Ii, restent à vide, ce qui est l'effet initial de la loi de décroissement. On voit de plus, que la lame de superposition dont il s'agit est augmentée d'une rangée au-delà des portions des bords ST, RU, XZ, YM , qui répondent aux bords EA , EO, 01, IA ( fig. 98 A ) , ce qui est nécessaire pour que le noyau s'accroisse à l'ordinaire dans les parties que le décroissement n'atteint pas. Chacune des rangées additionnelles PN,QV, GF, CL, étant commune aux deux lames qui s'appliquent l'une sur AEOI (fig. 95), et l'autre sur une des laces adjacentes, on se dispenserait de le répéter, si l'on voulait exécuter une imitation du solide dont il s'agit ici.
Ces mêmes rangées additionnelles font naître do nouveaux vides à côté de celui qui est l'effet immédiat du décroissement ; ainsi , dans le cas où ces rangées n'existeraient pas, il n'y aurait vers l'angle O (fig. 98 A) qu'un seul vide Uo'X (fig. B), produit par la soustraction de la molécule qui répond à Oo (fig. A); mais l'addition des deux rangées PN, CL (fig. B) , détermine entre les carrés o, d, d'une part , et r, s , de l'autre, deux nouveaux vides qui étendent l'effet du décroissement vers les parties adjacentes au point O (fig. A). Or, ces nouveaux vides sont censés résulter de la soustraction de deux cubes situés sur les prolongemens des rangées additionnelles PN, CL (fig. B), en sorte que chacun de ces vides est limité inféricurement par une facette de molécule , comme l'est le vide Uo'X par la face Oo ( fig. A ).
1 i* TRAITÉ
La f-CTire pofera concevoir celle disposition. Soit Oo lan> lécuie cubique située au point O (fig. g3 et 98 A), «es. jt. ient b* d , r, s ; fig. 99), les quatre molécules débute* par les mêmes lettres (fig. B). Soient de \ iu? f • l+t + u (fig. 99 ) , les molécules qui répondent ii\ jTtutJentes dans la première lame de superpoiJiioc appliquée sur la face EOO'E' ( fig. g5 ), et s i*?tit jt, u (fig. 99), celles qui leur répondent »liTL5 la lame appliquée sur la face OU'O' (fig. g5). Le> \ ides qui existent l'un entre les molécules d, r 99), un autre entre les molécules Z, ty et un troisième entre les molécules yy x, et qui sont l'effet immédiat du décroissement, résultent de la soustraction de trois cubes qui reposeraient sur les facettes Oo, Oyy OeT; or, tous les vides qui sont dus aux rangées additionnelles, se trouvent dans le même cas que les précédens par la manière dont ils sont limités : ainsi le vide qui existe entre les cubes b et </, est censé produit par la soustraction d'un cube qui reposerait Kir la facette tv de la molécule Z. 11 en est de même vautres vides, et tel est le mécanisme de la strucr/j*» considéré dans son ensemble, que les modifica-
i--*RYe>soires au décaissement s'assimilent à celles nu -ii dérivent nécessairement.
la supérieure de la seconde lame de décroissc- ■vmz ^ représentée par BKHD (fig. C ) , cl sa posi- . n irssus de la précédente est indiquée parla
wsrrscauce des lettres e" , a", î", o", et des loti . : . (lig. B).
Cette lame dépasse la précédente , dans les parties que le décroissement n'atteint pas, d'une quantité qui serait égale à une rangée de cubes, si le noyau était composé d'un plus grand nombre de molécules, mais qui, dans le cas présent, se réduit à un simple cube désigné par B, K, H ou D.
Les grandes faces des lames de superposition qui jusqu'alors étaient des octogones tels que PQVGFCLN (fig. B) , étant parvenues à la figure du carré BKHD (fig. C), décroissent, passé ce terme, dans toutes leurs dimensions, en sorte que leurs grandes faces sont successivement représentées parles figures D, E, F, G, H, I, où leurs positions respectives les unes au-dessus des autres se trouvent indiquées par la similitude des lettres c,f, g, h (fig. C), c',f, g\ H. (fig. D), c", /", A" ( fig. E ) , et ainsi des autres. On voit que la dernière lame se réduit à un simple cube désigné par z' ( fig. I), et qui repose sur celui qu'indique z (fig. H).
La figure 100 représente une des fcces de l'octaèdre produit par le décroissement , avec l'assortiment des molécules dont les angles extérieurs concourent à sa formation.
106. La série des lames empilées sur l'une quelconque des faces du cube ( fig. 95 ) , par exemple sur la face AEOI, diffère de celle des lames qui, dans le dodécaèdre représenté (fig. 90), correspondent à chacune des bases du noyau ( fig. 89) , en ce que cei dernières lames n'éprouvent d'autre variation que
celle qui dépend du décaissement , de manière que les portions de leurs bords que ce décroissement n'atteint pas, restent sur les plans des faces latérales CDFG , BCGL , etc. , au lieu que les portions de bords correspondantes dans les lames composantes de l'octaèdre originaire du cube s'étendent, en se recouvrant mutuellement, pour empêcher qu'il ne se forme des angles rentrans aux mêmes endroits. 11 en résulte que la face produite par chacun des décroissemens qui ont lieu sur lesangles delà base AEOI (fig. 95) n'est plus un rhombe , comme dans le cas du dodécaèdre (fig. go )f mais un trapézoïde, tel que orst ( fig. 96). Car, à cause des rangées additionnelles dont on a parlé, les bords qui répondent a PQ, GV, CF, US (fig. 98 B), augmentent dans un plus grand rapport que si ces rangées n'existaient pas, et de plus l'existence de ces mêmes rangées accélère le terme où les lames de superposition commencent à décroître de tous les cotés à la fois ; d'où il suit que le triangle rot (fig. 96), qui est la somme des bords croissans dont on a parlé, a moins de hauteur, sur une base égale, que le triangle rsf , qui est la somme des bords pris depuis le terme où le décroissemeut a lieu dans tous les sens. Mais ces augmentations et ces diminutions successives sont tellement combinées, <pe les trois trapéxoïdes orst, ormz, otnz, produits Ça* W trois décroissemens qui agissent autour d'un tûèn* auçW solide O, composent par leur assortiment ï»t»M^\e équilatéral msn> et le même effet se répe-
DE CRISTALLOGRAPHIE. i3i
tant à l'égard des sept autres angles solides, les vingtquatre trapézoïdes qui naissent de l'ensemble des décroissemens donnent huit triangles équilatéraux , qui sont les (aces du solide secondaire.
107. Les nombres de cubes renfermés dans les couches que forment les lames de superposition , en «'appliquant six à six les unes au-dessus des autres, donnent deux séries récurrentes , dont la première, en partant du noyau, contient toutes les lames qui ont vers leurs bords des rangées additionnelles, et la seconde toutes celles qui décroissent dans tous les sens à la fois.
Cherchons d'abord la valeur d'un terme quelconque dans la première série. Soit n le rang de ce terme, et c le nombre d'arêtes de molécules contenu dans le côté du noyau. Chaque lame recevant une rangée additionnelle vers chacun de ses bords opposés, il est évident que le côté de la première lame, en la complétant par la pensée, sera c-f-2 , celui de la a* c-f-4, celui de la 3* c+6, et en général c+2n. Or, il est aisé de voir que la première lame (fig. B) se trouve dans le même cas que si, ayant d'abord été complète , elle avait subi vers chacun de ses angles un décroissement par trois rangées, dont l'une est soustraite par PefTet immédiat du décroissement, et les deux autres proviennent des rangées additionnelles , ce qui donne pour la quantité de molécules soustraites vers chaque angle, 1+2 -h 3. Si la seconde lame (fig. C) était de niveau avec la première par ses bords analogues
x3a TRAITÉ à QV, P?ï , etc. , Fcffet du décroissement se bornerait à soustraire vers diacun de ses angles une rangée de plus que dans la précédente , ce qui ferait quatre rangées; mais Fextenskm qu'elle reçoit vers chacun de ses bords la met dans le même cas que si, ayant été d'abord complète , elle avait subi un décroissement de d#?ttx rangées de plus , ce qui donne pour la quantité de molécules soustraites vers chaque angle,
En appliquant le même raisonnement aux autres, lames , on en conclura que chacune ajoute à la progression donnée par la lame précédente trois nou- *eaux termes, dont l'un est le résultat immédiat du décroissement, et les deux autres proviennent des rangées additionnelles. Les nombres des termes, dans les progressions successives, étant 3,6,9,12, etc. , leur expression générale sera 3/ï; et parce que dans chaque progression le premier terme et la différence
entre un terme et l'autre sont l'unité, la somme des
. Donc, puisque le côté de chaque
lame crosée complète est c+ 277, le nombre de rhomboïdes obtenu dans chaque lame, y compris les rangées fjm Im *jnt coin nui nés avec celles qui s'applisur ks faces adjacentes, sera représenté par
U 4 C!^J^ ou (c+a/i)* — 3(9/i* + 3/i).
^hM^iA. m m. - \ "1
de* six lames qui composeraient
DE CRISTALLOGRAPHIE. i5ff
une couche quelconque, dans l'hypothèse où il n'y; aurait point de rangée commune , serait
108. Remarquons maintenant que dans les décrois* semens sur les angles , chaque rangée soustraite fait disparaître une arête de molécule sur l'un et l'autre des bords adjacens à l'angle qui subit le décroisser ment ; et parce que chaque bord aboutit à deux angles, iljperd autant de fois deux arêtes de molécule qu'il y a de rangées soustraites. Donc l'expression générale du bord, en supposant la lame complète, étant c-f- a/», et celle du nombre de rangées soustraites étant 3rc , le nombre de molécules qui restent sur la portion de cliaque bord que le décroissemént n'atteint pas , ou , ce qui revient au même , le nombre de molécules qui composent la rangée additionnelle à laquelle répond cette portion de bord , sera
C+2TI — 2X3/i=c— in.
Donc retranchant six fois cette quantité de l'expression que nous avons trouvée plus haut, on aura
pour la somme des molécules contenues dans lès six lames qui composent une couche quelconque du rang n.
109. Pour trouver la* loi de la seconde série, je remarque d'abord que le nombre tolal des lames de
i34 TRAITE
superposition est égal an nombre de demi-diagonales de molécules situées en allant de O vers A (fig. 98), depuis la diagonale a jusqu'au centre y de la face EAIO, ou ce qui revient au même, il est égal au nombre c d'arêtes de molécule situées sur l'un quelconque des côtés EO , 01 , etc. , moins l'unité.
Nous avons vu que le nombre de molécules qui composent chaque rangée additionnelle sur l'une quelconque des lames de la première série, a pour expression générale c — ^n. Or, dans la lame qui termine cette série , la rangée dont il s'agit se réduit à une seule molécule, telle que K ( fig. C). Donc
alors, c— 4«= 1 , et n=c"7 *• Dans ce même cas,
ji représente aussi le nombre des lames que renferme Mais c — 1 exprime le nombre total des lames
qui appartiennent aux deux séries.Donc 3 ^ e.\-
prio,m aes kmies dont est formée la seconde ^ie. Donc celle-ci renferme trois fois autant de lifOies que la première , ce qui fournit un moyen pour reconnaître à laquelle des deux séries se ^porte une lame du rang n.
la r^oit d te Tang d'une lame quelconque de la se-
1>C ççgyde sêneçnsc en partant du sommet. Les nombres 8e< ^ jpolécules comprises dans les différentes lames in- <*U< ^ par les figures 1, H , G, F, etc. , seront suc-
( t v**^ !> !"H> *+4+8, * +4+8+ 1 2, etc. ( 1 ) ;
f ^"Nsvait wwWeBawèrt on peut trouver la suite de* Von v r
ce qui donne pour chaque lame , abstraction faite de l'unité , une progression arithmétique dans laquelle 4 représente à la fois le premier terme et la différence entre chaque terme et le suivant, et ri — i désigne le nombre des termes; ajoutant donc l'unité à la somme qui résulte de ces données, on aura pour la somme totale relative à une lame Quelconque ,
2(n' — iY -f- 2tt' — i •
no. Maintenant, soit toujours n le rang d'un terme quelconque, en parlant de la première de toutes les lames de superposition; c— i étant le nombre total des latnes comprises dans les deux séries, on aura
n=c — i — n'+ i , ou n=c — ri. Donc /z'=c — n. Si l'on substitue cette valeur de ri dans l'expression
z(ri — \Y+2ri — i , celle-ci devient
nombres qui correspond à une même lame , par exemple à celle de (a figure D. On prend d'abord la molécule centrale, ensuite les molécules située» autour de celle-ci sur quatre lignes parallèles aux côtés du carré c,f, h', g', et l'on continue de même , en prenant les molécules qui répondent aux côtés des divers carrés concentriques que l'on peut tracer sur la surface de la lame. On a donc cette suite , i , 8 , 1 6 , ao, 12,4, qu*>l ne s agit plus que d'ordonner àiasi , 1, 4> îa , 16 , ao.
134 TRAITÉ superposition est égal au nombre de demi-diagona, de molécules situées en allant de O vers A (lig. < depuis la diagonale tv jusqu'au centre y de la EAIO, ou ce qui revient au même, il est éi nombre c d'arêtes de molécule situées sur l'iu conque des côtés EO , 01 , etc. , moins l'unité Nous avons vu que le nombre de moléc composent chaque rangée additionnelle quelconque des lames de la première sér expression générale c — /\n. Or, dans la la mine cette série, la rangée dont il s'agit une seule molécule, telle que R ( fi
alors, c — /\n— i , et n — — . Dan1
n représente aussi le nombre des lanv la série. Mais c — i exprime le nombr
qui appartiennent aux deux séries.1
primera celui des lames dont est
série. Donc celle-ci renferme tr c
termes que la première, ce qui
facile pour reconnaître à laque!
rapporte une lame du rang n. . trjan.
Soit nf le rang d'une lame conde série prise en partant ci de molécules comprises dans , . t ^ effec
diquées par les figures I , H . ce que mm
cessivement i, i+4> 1+44
(i) Voici de quelle manier > » > »e SOût F*
►port des < s qui re-
* TOGRAPHIE. 137
^limites entre les- ^ . ^not il s'agit.
^ ^ ; tout
oté m* lieux des « l'on élève iculaires qui une arête de >endiculaires se ^fig. 96). Mais le ?sOe, ea (fig. 96), tri dont les côtés ont ^, t, x (Cg. 100 ). Les lance entre x, z , d'une , sont les analogues des point k (fig. 100), situé à points c et d, est l'analogue Or, la distance entre o et k v fois la ligne on (fig. 100) , qui i du triangle mensurateur, et la >oints A: et x (fig. 100), égale six fois icrieur, ce qui est conforme au rapitre les nombres de lames qui compoéries. La propriété qu'a le triangle msn représenter le triangle zxt, dans les
résultats de la théorie, provient de ce qu'il esl inscrit à ce dernier , en sorte que les lignes semblablement tirées dans l'un et dans l'autre font les mêmes fonctions.
Il résulte du rapport £ entre les nombres des lames qui composent les deux séries, que la somme totale de celles qui s'élèvent au-dessus d'une même face du noyau est un nombre pair, et si l'on suppose , comme cela est naturel , que la dernière lame se réduise à une simple molécule, le nombre des arêtes de molécule comprises dans chaque côté du noyau sera nécessairement impair, comme le représente la fig. 98 A. Dans le cas où il serait pair, la dernière lame deviendrait un assortiment de quatre molécules cubiques réunies sous la forme d'un prisme carré.
1 13. Concevons maintenant que l'octaèdre secondaire ait pour noyau un rhomboïde AA' (fig. 101 ), tel que celui de io^1 ï, qui appartient à la chaux rarbonatée, et qu'il provienne aussi d'un décaissement par une rangée sur tous les angles de ce rhomboïde. L'arrangement respectif des molécules composantes sera encore le même, et ainsi les angles solides A, E, O, etc. (fig. 102), coïncideront encore avec les centres des laces de l'octaèdre. Mais parmi ces mêmes faces il n'y en aura plus que deux qui soient des triangles équilatéraux, savoir, les faces bdf, rnp, situées autour des sommets A, A', les six autres faces qui ont pour centre les angles solides E, O, I, etc., seront des triangles isocèles dpf} bed, edp, etc.
Or, les angle» supérieurs EAI , EAG, etc. , sur lesquels agissent les décroissemensqui donnent les triangles équilatéraux , n'étant pas dans le même cas que les angles inférieurs EOI, EHG, etc., et ces derniers étant différons des angles latéraux EOA', 10A', qui concourent avec eux à la production des triangles isocèles, l'octaèdre doit être considéré comme le résultat de trois décroissemens qui se rapportent aux trois espèces d'angles dont nous venons de parler, et qu'il convient de distinguer entre eux, puisqu'ils sont représentés par autant de triangles mensurateurs, dont cliacun a des dimensions particulières. Mais pour simplifier nos conceptions à l'égard des décroissemens qui se combinent dans la formation des triangles isocèles, nous pouvons à volonté regarder cliacun de ces triangles , par exemple le triangle edp, comme produit eu vertu d'un décaissement par une rangée sur l'angle inférieur EOI, dont l'effet se prolonge au-dessus des faces EOÀ'H , lOA'K, ou comme produit en vertu d'un décaissement par une rangée sur les angles latéraux EOA', 10 A', dont l'effet se prolonge en dessus de la face EOIA , et il semble d'abord indifférent d'adopter l'une ou l'autre manière de voir. 11 est ccj>endant à remarquer que par une
suite de la position verticale qu'a maintenant l'axe du noyau, en passant par les sommets A , A', le trapézoïde dyQ£ qui résulte du décaissement sur l'angle EOI , se rejette vers la partie inférieure de cet axe , en sorte que son inclinaison à l'égard de celui-ci est
*** *ens opposé de celJe du rhombe EOIA , sur lequel ii est censé avoir pris naissance , tandis que les trapézoïdes eyOéj pJt)i, qui résultent des décroissemens sur les angles latéraux EOA', 10 A', sont tournés vers les faces EOAH , ÎOA'H , auxquelles appartiennent ces mêmes angles. Cette considération semble fournir^ dans le cas présent, une raison de prendre pour décroisseraeut principal celui qui a lieu sur les angles latéraux , et de regarder l'autre comme n'étant qu'auxiliaire.
Mais si le décroissement sur l'angle inférieur se faisait par deux rangées, auquel cas les décroissemens sur les angles latéraux deviendraient intermédiaires (voyez p. 122), alors il conviendrait, ainsi que je l'ai déjà dit, de donner la prééminence au premier. Ainsi, la position de chaque face du cristal secondaire étant donnée d'après la considération d'un seul des triangles mensurateurs relatifs- aux divers décroissemens qui concourent à la production de cette face, c'est en général la raison de la plus grande simplicité <jui détermine le choix de ce triangle.
1 14. Les décroissemens qui ont lieu sur les angles supérieurs EAI, IAG, etc. (tig. 101), étant indépendans de ceux qui se rapportent aux angles latéraux, supposons que ceux-ci existent seuls, et que les sommets soient libres de tout décroissement. Alors les parties des lames de superposition situées vers ces mêmes sommets, au lieu de décroître s'étendront de manière à s'envelopper les unes les autres par les
DE CRISTALLOGRAPHIE. k{i
résidus de leurs bords supérieurs, et l'effet de cette extension sera le même que si les triangles dpfy deb , edp, etc. (fig. 102), s'étaient prolongés en dessus des faces bdf> enp, jusqu'à s'entrecouper, d'où il est aisé de conclure que le solide secondaire sera un rhomboïde aa (fig. 102), plus alongé que le noyau. Dans le cas présent, où ce noyau est le rhomboïde de 1 o4d ! qui appartient à la chaux carbonatée, le cristal secondaire est le rhomboïde de 78e1 { dont j'ai déjà parlé, et que j'appelle inverse, pour des raisons qui seront exposées dans la suite.
11 5. Pour mieux concevoir la différence entre la structure de ce rhomboïde et celle de l'octaèdre représenté (fig. 102), imaginons que toutes les lames de superposition qui recouvrent la face AEOI (fig. 102 et io3), se projettent sur un même plan, comme on Je voit fig. 1 04. Les grandes faces de ces lames seront d'abord des eptagones, tels que mmrri m! ni' m!' mm y dont le3 côtés mW, 771W, diminueront progressivement, jusqu'à ce qu'ils soient réduits à une simple arête de molécule. Dans le cas présent, où l'on s'est borné à neuf molécules sur chaque côté du noyau , le terme dont il s'agit a lieu dès la seconde lame. La grande face extérieure de celle-ci est l'eptagone rrr'/r'r'r'", qui est sensiblement un pentagone, à cause des côtés presque infiniment petits rV, r"r". lien est de même des grandes faces des lames suivan tes, qui son t successivement leseptagones uuu,uu',ut'u"',xxx,x'x''x'x'n>elc., que l'on peut assimiler à des pentagones.
i4* TRAITÉ
1 1 6. Il y a ici une observation à faire par rapport à la dernière lame, qui , en supposant que le décroissement ait atteint sa limite, doit être composée d'une simple rangée de molécules désignée par qv. Or, tandis que les bords supérieurs mm, rr, uuy etc., des grandes faces qui appartiennent aux autres lames se dépassent mutuellement d'une quantité égale à une rangée, ceux qui ont la même position sur la dernière lame, et qui sont indiqués par nv, n'v, doivent rester de niveau avec les bords vv, vvm, relatifs a la lame précédente. Car, l'uniformité de la structure exigerait que l'excès de la dernière lame sur celle qui la précède se réduisît à un simple rhomboïde désigné par f^f, et qui laissât entre lui et la lame précédente un vide vve , égal à celui qui existe, aux endroits correspondans sur toutes les autres lames. Mais l'alUnitc laisse échapper ce rhomboïde, dont l'adhérence avec le cristal serait censée nulle, puisqu'il ne tendrait à compléter celui-ci que par son sommet inférieur.
1 17. Si l'on compare la figure io3 avec la 104*, et que l'on prenne la série des lames de superposition , en partant de la dernière , c'est-à-dire de celle qui est composée de la rangée indiquée par qv (fig. io/|), il est facile de voir que cette rangée représente l'arête da (fig. io3 ), d'où il suit que celle-ci est parallèle à la diagonale oblique qui va de A en O. La lame sui" vante, désignée par cwVc'W" (fig. ïo^), correspond à un pentagone vvvv'v1' (fig. io3), pris par nue section faite en dessous "de a dy cl parallèle à la
face AEOI, et ainsi des autres lames. C'est ce que confirme le résultat de la division mécanique du rhomboïde secondaire, qui a toujours lieu suivant des plans situés entre l'arête ad et le rhombe AEOI, parallèlement à celui ci. La même comparaison fait voir encore que les arêtes latérales , telles que ed, pd, sont produites par la suite des arêtes rV', i*V,jcV,etc., rV, u"u", A", etc., qui s'élèvent comme par échelons les unes au-dessus des autres.
1 18. Je placerai ici une remarque que j'ai déjà insinuée, en parlant de l'octaèdre régulier originaire du cube (p. 137), et qui s'applique au rhomboïde que nous venons de considérer, ainsi qu'à une multitude d'autres formes secondaires, produites par des décroissemens soit sur les bords, soit sur les angles. Elle consiste en ce que certains points terminaux ou certains bords situés sur le solide géométrique dont nous nous servons pour représenter le résultat de la cristallisation, n'ont pas d'existence réelle sur ce dernier, niais y sont remplacés par d'autres points ou par des plans presque infiniment étroits, dont les différences de position avec les points et les bords analogues sur le solide représentatif échappent à nos sens par leur petitesse. Ainsi le sommet géométrique du dodécaèdre mélastatique représenté ( fig. 81) est l'extrémité s de l'arête Es (fig. 80)5 mais le sommet physique est le point culminant sf de la dernière des couches composées des lames de superposition prises trois à trois. Dans le rhomboïde que l'on voit (fig. io3), le soumiet
i44 TRAITÉ
géométrique est le point a, et le sommet physique est le point v (fig. io4), qui termine supérieurement la dernière des lames empilées sur la face AEOI (fig. 101) de la forme primitive. Les arêtes da7 ed (fig. io3), n'existent de même que géométriquement parlant ; l'analogue de la première, sur le rhomboïde produit par la nature , est la rangée de rhombes situés en dessous de cette arête, et compris entre les points v, v (fig. io4); et l'analogue de la seconde est, comme je lai déjà dit, la suite des petits côtés hV, x'x\ zl\ etc., des eptagones qui forment les faces extérieures des lames de superposition. Plus les molécules seront déliées et plus les parties extrêmes du solide de la nature approcheront de se confondre avec celles qui leur correspondent sur le solide de la Géométrie, et qui en sont comme les limites. Mais quoiqu'elles ne puissent jamais atteindre ces limites, les solutions des problèmes qui sont l'objet de la théorie n'en sont pas moins rigoureuses, parce que les positions des plans géométriques auxquels elles se rapportent dépendent uniquement du mécanisme de la structure, en sorte que de ces trois choses, les inclinaisons respectives des plans dont il s'agit, la forme des molécules et leur arrangement, les deux premières étant censées connues, la troisième, savoir, l'arrangement des molécules, ou, ce qui revient au même, la loi de décroîssement à laquelle elles sont soumises, se détermine à l'aide du calcul, avec toute lu précision que l'on peut désirer.
119. Reprenons le noyau cubique représenté (lig. 95), et supposons que les lames de superposition empilées sur ses di lièrent es faces , subissent vers leurs angles 'un décroissement qui ait lieu, non plus par une simple rangée de molécules, mais par deux rangées. Alors les trois faces produites autour de chaque angle solide tel que O, seront encore des trapézoïdes, puisque la marche des décroissemens est la même , quant à sa direction , que dans le cas de l'octaèdre (fig. 96), et qu'elle est seulement devenue plus rapide. Mais ces trapézoïdes ne seront plus de niveau; ils s'inclineront les uns sur les autres d'une quantité que l'on détermine par le calcul. La surface du cristal secondaire sera donc composée de vingtquatre trapézoïdes distincts (fig. io5), dont la réunion produira huit angles solides tels que O, corn*posés de trois plans, et six angles solides tels que s'y composés de quatre plans. Les premiers, qui seront les termes de départ des décroissemens , se confondront avec ceux du noyau. Les autres répondront aux angles*, m'y sr , etc. (fig. 96), avec cette différence, qu'ils seront plus rapprochés des faces du cube primitif. Je déterminerai dans la suite les inclinaisons respectives des trapézoïdes.
La structure de l'octaèdre régulier que nous avons considéré précédemment, et celle du solide à vingtquatre trapézoïdes qui vient de nous occuper, ont lieu dans deux variétés de fer sulfuré. Nous verrons dans la partie analytique ces mêmes formes reparaître
autre point de vue où la première fiât à
de !a ^t1- c«ie la frwtioQ de novau.
zz'\. A' *i- de t^r^icer ce cri concerne les dé- <*rr *5 an^Ji^. t? a.er quelques
-* -^îs: i :e< ; raes cristallines i zns-^? ^ ^ -n^ictnre pourrait * i — voudraient la
la syn-
repré- ,etsup-
fBl.Î- lij. îîhh6 ) , de ses :* n: j-;-: Lvvment
: .m ->\: :ii"o:i dessus ji :T"- <."~¥i n do de-
r. ^ -; '■ i'-unpolits F. x:^..: ^> moléeules
sur eliaeun d<s S .. -.ruinons que toutes les :.\ h hase A1U1D est reçoitl'hn de erlle même Lase, leuî- pnqeclions seront stie- A>iOî, A^Ctà, etc., muuuTP crueceL- . !,t dernière lame se réduira à w ^VVv™Séo Je r^mhes AC. Il en résulte que l'Huluiics fit îo décroi^eiHcnt suront de*
^ <M vVile Je %
triangles isocèles ODP, OBP (fig. 108), qui s'élèveront en partant des angles D , B ( fig. 1 06 ) , et se réuniront en OP (fig. 108), parallèle à la diagonale menée de A en C (fig. 106). Les surfaces de ces triangles seront produites par les angles solides de molécules, contigus aux lignes ye , £3", /kv, A?r (fig. 107), el la ligne OP (fig. 108), qui est leur base commune géométrique , sera remplacée par la rangée dé rhombes AC (fig. 107), qui représente le sommet physique du cristal.
En même temps que les lames de superposition décroissent vers leurs angles, elles restent de niveau par les portions de bords Ce, O, G3*, Car, etc. (fig. 167), que le décroissement n'atteint pas; et parce que ces portions de bords vont elles-mêmes en diminuant, les iàcettes latérales qui leur correspondent sur les lames de superposition forment par leur assemblage des triangles DPC, BPC, etc. (fig. 109}, qui étant sur le même plan que les faces CDF<x, -BCGJL> du noyau, convertissent celles-ci en trapèzes PDFS, PBLS, etc. (fig. 108 et 109). Le solide secondaire est donc dans cette hypothèse un octaèdre, ayant |K>ur faces quatre triangles ODP, PBO, RSF, SLR, qui sont le résultat du décroissement, et quatre trapèzes PDFS, PBLS, ODFR, OBLR, composés des face» latérales du noyau et de leurs prolongemcns.
i2i. Mais les octaèdres de baryte sulfatée qui dé-* rivent du décroissement indiqué , se présentent sous un aspect tout différent de celui dont la figure 108
inc naître Vidée. Leur alongement, au lieu de se sur* de bas en haut, se fait dans le sens d'un axe qui poserait par les milieux des arêtes CG, AN (fig. 1 06), ainà qu'on le voit figure 1 10 , où le noyau est représenté inscrit dans l'octaèdre secondaire. Cet octaèihre a encore pour faces quatre trapèzes et quatre «naneies isocèles ; mais il y a échange entre les positions de ces deux espèces de polygones considérés dans les deux octaèdres , ainsi qu'on en jugera en comparant les figures 108 et 110. Il s'agit donc de ramener le mécanisme de la structure au résultat qui donne le second octaèdre.
Peur y parvenir, concevons que le décaissement -agisse à la fois sur les trois angles plans qui concourent à la formation de chacun des angles solides D, B, L* F, et imaginons, comme dans le cas du premier -octaèdre, que toutes les lames qui recouvrent la base ADCB se projettent sur un même plan, comme on 1* voit ( Éç. 107 ). Alors les faces latérales des lames de superposition ne resteront plus de niveau aux endroits que le décroissement n'atteint pas ; mais elles détendront par des additions de nouvelles rangées, en sorte qne les grandes faces de la première seront acmUaVksà l'hexagone rr'hhrr, celles delà seconde -à rbexaçane s's'kkss, celles de la troisième à l'hexaçcroe i f Uii. et ainsi des autres. Parmi les lames qui (appliquent sur les faces latérales, bornons-rnous à cw^crer celles qui s'élèvent au-dessusdupanCDFG woVSiûous imaginons que toutes ces lames se
projettent sur le plan de cette même face , elles produiront l'assortiment que représente la figure r 1 3 , el dans lequel les grandes faces de la première lame sont indiquées par l'hexagone hhfîK'hlh\ celles de la seconde par l'hexagone kkk'k'kk', celles de la troisième par l'hexagone llt't'Stj et ainsi des autres.
122. Dans la figure 1 07, les suites de petits rhombes comprises, l'une entre DC et hh, une seconde entre hh et kk> une troisième entre hk et //, etc., sont les faces supérieures des rangées additionnelles de molécules dont j'ai parlé plus haut. Dans la figure 1 13, les suites de petits rectangles comprises entre les lettre» correspondantes, savoir, DCet AA, hh et kk, etc., représentent des facettes latérales appartenant aux mêmes rangées, savoir, celles qui sont tournées vers la face CDFG, d'où l'on voit que chacune de ces rangées additionnelles est commune à deux lames de superposition appliquées sur des faces voisines, ainsi que nous l'avons déjà observé par rapport à d'autres variétés de cristallisation {voyez p. 92).
123. Les lame» empilées sur la face CDFG commencent par se dépasser aussi mutuellement vers leurs bords parallèles à DF, en sorte que la première reçoit en cet endroit une nouvelle rangée comprise entre DF et h!'h"y et qui lui est commune avec la lame correspondante, qui s'applique en même temps» sur la faee ADFM (fig. 1 10). Dans la lame suivante t kt rangée additionnelle se réduit à une seule molécule
désignée par t't'WK' (fig. n3), et au-delà de ce
i-- TRAITÉ
ternie ta hn.<r: de uperposilion éprouvent une retraite en «en* opfKr*;, f!e manière que les petits côtés veriicau* mrri\ nri\ des hexagones, s'alignent flt la direction IL (ig. no),'et produisent avec m« qui leur correspondent de f autre coté l'apparence d une arête située au même endroit.
124- D'une autre part, les côtés M(fig. 107 et 1 i3), W\ &qui restent hors de la portée des décroissemens, iiumnuent au*»i, quoique plus lentement, en sorte <ïue le Urme de ces diminutions a heu dans les lames
Formulé» \*cy'fwyy (fig- 107), et ppp'p'pp' ( 1 n V . « i"i la rangée additionnelle n'est plus compare que c-t deux molécules situées entre les points p. Le dtcrotssement alors a lui-même atteint sa fanrte, à Téçard des lames de superposition empilées wir les 610» latérales du noyau. 3Iais la dernière des lames autres parallèlement aux hases étant celle T^inuque IVxagonej'y'/jy^ (fig. 107), le cristal «a* fio&eeptiblr de ^accroître encore dans le sens vertol,parraddii»D d'une rangée de molécules applisur eeBe qui est désignée par pv\ et égale a <*te tanière. Scit pS ( lig. 1 1 1 ) la molécule qui lenuae cttte nom elle rangée en dessus de pzofr iw;j;il«t de voir que sou bord inférieur/?* ^* caïKalera a\ ec le bord supérieur pz \^ wo tk^wkilaUre pzo*> de manière que la ***** ;î* 111 ; se trouvera sur le même ^^«^çaiiatére; et ain*i l'addition de la ^H&^vi^t^'^^p qu'une nouvelle lame
DE CRISTALLOGRAPHIE. i5t
soit appliquée sur celle que représente ppp'p'p'p* (Og. 1 13); elle ne fait que prolonger cette lame, en lui ajoutant deux petits quadrilatères placés l'un en dessus de oXpz^ et l'autre en dessous de dXp'z .
125. La figure 107 représente chaque lame de superposition parallèle à la base ADCB, dans l'état où est cette lame au moment même où elle est censée s'appliquer sur celle qui est en dessous. Mais à mesure qu'une nouv elle lame s'ajoute aux précédentes, toutes les rangées situées parallèlement à la diagonale AC sur ces mêmes lames augmentent d'une molécule vers chacune de leurs extrémités. Cette addition provient des lames qui s'appliquent en même temps sur les faces latérales du noyau. Bornons-nous à considérer l'effet de celles qui sont parallèles à la lace DCGF ( fig. 1 10 et 1 r3).
Supposons qu'il n'y ait encore que la lame r'rhkrr (fig. 107) qui se soit appliquée sur la base ADCB. La rangée qui la termine vers l'angle D sera composée de trois molécules dont les angles extérieurs seront sur la ligne rV*. La lame correspondante audessus de la face DCGF (fig. 1 13) sera celle que représente l'hexagone fi1 Ii' h! h! hh. Concevons maintenant une nouvelle lame s'a" kkss (fig. 107), appliquée sur la précédente; sou analogue au-dessus de DCGF (fig. 1 1 3) sera k'k'k'k'kk. Soit y\<\, (fig 112) la molécule à laquelle appartient la facette uûù^Q (fig. 1 i3)>. considérée sur ta même lame. Le point co situé immédiatement en dessous de k (fig. 107) se trouvant alors
Vu-, :r.e r r' khrr. et les points <r, tf, >ian. ie confondant avec ceux le* mêmes lettres (fig. na), ^ * et it rhnmbe v»^* se placera à la -.m rîç. 107] est la petite diagonale, v - -:*. - prêtant vers l'autre extrémité de
t-t rfjz. le nombre des facettes qui la •rx .e àx. m Eeu de quatre qu'il était
