A CD
algébriques des quantités t/', pu et c/>, et comparant mu avec «/, on aura, toute réduction faite,
mu \ ul :: —4
ph
^ /fpXfiJyy + h^{nxy -t- X —
Si le décroissement rapporté à la face hcgf est censé agir à l’ordinaire sur l’angle cA/'(fig. 6i), alorsdésignant par n le nombre de diagonales de molécule soustraites parallèlement à la diagonale qui va de c en et faisant comme ci-dessus ( p. 93 ) a?= i ,
n= 1 et yz=—, on aura a/t’
mu : ul
g__ . Pji
3*. Pour les décroissemens intermédiaires , x étant dans le sens de B.
46. Soient amy^ aoy (fig. 62), les deux faces que produit le décroissement , limitées par un plan oblique mao qui coïncide avec abcd (fig. 61 ) et par
DE CRISTALLOGRAPHIE. 9jl
le plan vertical mjo. Menons yr perpendiculaire sur mo, puis ar qui sera dans le sens de la diagonale ac (fig. 6i), ensuite rz (fig. 65) perpendicu- Lùre sur ay ^ et enfin oz. L’angle ozr mesurera la moitié de celui que font entre elles les faces amy ,
üoy.
Soit ds ( fig. 66 ) la distance entre chaque lame et la siii\anle, dans le sens de la diagonale db^ en ne supposant qu’une rangée de soustraite; ayant complété le rhombe imdf et appliquant ici ce qui a été dit du rhombe i^cTjtc (iig. 6i) (p. 96) on trouvera comme ci-dessus, et l’on aura
ds : la dimension en hauteur :: -- f — : ces deux
quantités étant entre elles dans le rapport de mr à ^(^fig. 65), si l’on fait ry—h^ on aura
mr
Soient or, qy , , rz (fig. 67), les mêmes lignes
que fig. 65, et arik (fig. 67) un parallélogramme tracé d’après les mêmes conditions que eufn (fig. 64)
on aura rz = . Pour trouver ab , cherchons ar.
Soit akf ( fig. 65 ) le triangle raensurateur rapporté au plan ary. En assimilant l’elTet du décroissement dont il s’agit ici à celui qui agit Sur les angles latéraux d’un rhomboïde (p. 44° > ^)) faisant
attention que, dans le cas présent, 2p est remplacé
ICO
par \/4p‘ + A* , et par «« aura
ak : kf ou ar : ry ”
donc
Mais
ar : ab :: \/4p*H'^** • 3pj
û&= ; ay = Vw + (W> by==Tj—hr,
ou v/4p‘ + h' \hr:: \/W -H
Donc
donc retranchant cette quantité de h qui est la valeur de , on aura
donc
Substituant dans l’équation rz = les valeurs
des quantités qui composent le second membre, et comparant mr avec rz (fig. tl5), on trouvera
Çr ,
" x+^ ’ V Ap\nxyy-^h\x— y— nxyY
DE CRISTALI.OGRAPHIE.
lOl
Lorsque ry devient égale à àr, on a
d’où l’on déduit
nry
Passé ce terme, ay tombe en dessous du point è, en prenant une position telle que ay. En a])pliquant alors la' formule, on trouve pour x — y-^nxy une quantité négative, qui, étant élevée au carré, satisfait également à la question. Si Ton voulait ramener l’expression de rz à la forme convenable pour que la valeur de la quantité dont il s’agit devînt positive, on ferait
hy'=.br-y'r=h. ^A=a(:2L-^±?).
et ensuite on mettrait dans l’expression de rz la quantité nxy — x -\-y à la place de x — y — nxy.
Si le décroissement rapporté à la face ahfa (fig-6j ) rentrait dans les lois ordinaires, alors désignant par n le nombre de diagonales soustraites parallèlement à la diagonale qui va de a en /', et faisant les mêmes substitutions que ci-dessus , on aurait
mr : rz (fig. 65)
47. La détermination des incidences des faces secondaires qui remplacent les angles solides du prisme rhuniboïdal , tant sur les bases que sur les faces laté-
ica TRAITÉ
raies de celui-ci, dont nous allons maintenant nous occuper, conduit, en général, ainsi que je l’ai déjà annoncé , à des formules dont la complication balance l’avantage qui résulte de leur généralité. Je vais d’abord exposer, à l’aide du simple calcul numérique , une méthode qui pourra servir de type pour tous les cas analogues, même pour ceux qui se rapjiortent à des formes moins symétriques que le prisme rhomboïdal. Je donnerai ensuite , pour un seul cas relatif à ce dernier prisme, une formule analytique que l’on pouiTa ne considérer, si l’on veut, que comme un exemple fait pour montrer jusqu’où peut conduire la théorie dans les recherches de ce genre.
Supposons que ag ( fig. 68 ) représente la forme primitive du pyroxène, et que celle-ci subisse uu décroissement exprimé par *E. Si nous menons la diagonale ch , ensuite cm qui coupe ad à la moitié de sa longueur, puis mA, le plan chm sera parallèle à la face produite sur l’angle cdh. Proposons-nous de déterminer l’incidence de cette lace sur le plan chg. Nous pouvons considérer le segment de prisme intercepté par le plan chm comme une pyramide triangulaire dont ce même plan serait la hase, et qui aurait son sommet eu d. Soit di la hauteur de cette pyrannde, et du une perpendiculaire sur ch. Si nous menons «t, l’angle dui sera le supplément de l’incidence demandée. 11 s’agit donc de trouver le rapport entre du et i/i, qui sera le sinus de cette incidence, clans l’hypothèse où du représente le rayon.
DE CRISTALLOGRAPHIE. io5
Or , dans le pyroxène , nous avons
c«=\/i3 (p. 79), as=i, do=\/\\,
d’où il suit que ao ou ^ V^(cs)*-f-(«'S/ == V/^, et
ad ou \/(Jo)*4-(ao)*= V =
D’après ces données , délerininons la valeur de di , et pour y parvenir évaluons successivement les trois côtés ch, cm et hm du triangle chm.
1*. Pour ch. La ligne cl perpendiculaire sur dh divisant celle-ci en deux parties égaies, nous aurons
ch—cd—ad=:
2*. Pour cm. Ayant mené mr perpendiculaire sur ac , nous aurons
cm= \/(cr)*+(77iT)% crr=-|oo=f \/^= mT=i<fo = i vlïi donc cm=\/Wè-
3®. Pour hm. Les lignes , otA , étant perpendiculaires sur le prolongement de hd, nous avoixs
mXz=:^a<p,
puisque dm — \ad. Or, af z= cl = \/ [IxY (ca;)* = \/(do/ -h-!f(cs)‘
= \/ff+J=VW;
donc
mA ou \/j|, =6?/=^. c?A=7C?<p= ^5
donc
hX ou dh -f- <£A=
donc
hm ou
V/(AA)‘-|-(mA)*= Vf! +
Si l’on cherche, à l’aide des logarithmes, les valeurs en nombres rationnels des trois côlés du triangle, à moins d’un dix-millième près, on trouve
c^z= 2,4534, cm =2,8293, ^/7j= 1,7334.
Résolvant le triangle chm d’après ces données, on trouvera pour le logarithme du produit de la hauteur ht du triangle par sa base cm, le nombre 0,6255419. Soit la solidité. On aura
log 6a®= log c?/ -f- 0,6255419
Cherchons une seconde expression de log 6«* ou tout soit connu , en prenant le point a pour sommet de la pyramide, et le triangle dcn pour base. Dans celte hypothèse, la hauteur de la pyramide sera égale à une perpendiculaire menée du point m sur le plan cflhg. Or, le point m étant au milieu de la ligne ad, il est facile de voir que cette perpendiculaire est ^ale à la moitié de en menée perpendiculairement sur ys , ou , ce qui revient au même , sur le plan abfs parallèle au plan cdhg. Or,
r.v yx /i’%. 7^=v/— ;
J* * Il
DE CRISTALLOGRAPHIE. u,5
donc la hauteur de la pyramide sera égale àx/lf» Le double de la surface de la base sera
clx dh = Vff*
Donc
6a’=VHTH=v^,
dont le logarithme est 0,4597403. Egalant cette valeur de log. 6a’ à la première, et dégageant log. di , on aura log. di = — 0,1658017.
D’une autre part ,
t/a = = \ / Ü-ii = \/^
— L — y ijji — V 3 1 3
donc le logarithme est — 0,921 15. Résolvanlle triangle iud à l’aide des valeurs des logarithmes de du et di, on trouvera pour l’angle dui 44'' *2' 34’^ dont le supplément donne l’incidence cher-
diée.
Si l’on voulait avoir l’incidence de la même face , • soit sur la base culcb, soit sur le pan adhs , on substituerait à du, dans le premier cas, mie perpendiculaire menée du point d sur cm , et dans le second une perpendiculaire menée du même point sur hm.
On aurait pu, en suivant la marche qui sera tracée par 1.1 solution analytique, évaluer en nombres radicaux le produit Ju X cm, ou la surface du triangle dm, de manière à n’avoir qu’un seul triangle à résoudre, savoir , iud. Mais comme toutes les formes primitives ne se prêtent pas à celte évaluation , j’ai
io6 TRAITÉ
cru devoir préférer une méthode qui est applicable à tous les cas.
48. Nous allons passer maintenant à la détermination de la formule générale , et nous supposerons qu’elle se rapporte à une face produite par un décroissement quelconque sur l’angle adc de la base, et dont il s’agit de déterminer l’incidence sur le pan cdhg.
Soit ag (fig. 6g) le prisme rhomboïdàl qui représente la forme primitive. Quelle que soit la loi du décroissement, on pourra toujours faire passer dans le prisme un plan cnm parallèle à la face produite , de manière qu’il intercepte im des côtés de la base qui, dans le cas présent, est le côté cd. Soit toujours di la hauteur de la pyramide triangulaire iaferceptée ]>ar le plan dont il s’agit , et dont on suppose le sommet situé en d. Soit de même du une perpendiculaire sur c«; si nous menons wf, l’angle • dui sera encore celui qui mesure l’incidence demandée. Il s’agit donc de trouver les valeurs algébriques des lignes di et du. Nous commencerons par la première.
Soit m une perpendiculaire sur cm. Désignant par la solidité de la pyramide , nous aurons
6a*=cm . 7U . di.
Supposons maintenant le sommet en m , auquel cas cdn sera la base. Menons cl et cj" perpendiculaires l’une sur dh , l’autre sur ô/*, puis ayant complété le
rliomhe cysl, menons c» perpendiculaire siir^s. II est facile de voir que la liauteur de la pyramide ou la ligne menée du point in perpendiculairement sur cdhg sera parallèle à cy\ , puisque celle-ci est perpendiculaire sur les deux plans cdhg, basf. Désignons cette hauteur par r X c)i , r étant une fraction que - nous déterminerons- plus bas. Nous aurons
Mais
6tt® =■ du . en . r . C'A.
, cl . dn
du = , et CH :
en ^
CS . yx CS . yv sy cl
Substituant les valeurs de du et c» dans l’équation précédente, nous aurons
Qa}=dn .r .CS .yx.
Egalant les deux valeurs de 6a^ ,
donc
cm . ni . di'=- dn . r . CS . yx',
di
. dn .r , CS . yx
cm . nt
11 s’agit donc de trouver les valeurs des quantités qui composent le second membre.
Désignons par x le nombre d’arétes de molécules renfermées dans cd, p^u’ y celui que contient dm, et par n le nombre de rangées soustraites. Nous aurons
cs = 2j7ir(i); do ouyx=gx, d/i ouas = hx, dn=~^.
(1) Je substitue ici sur-le-champ à la place de p' , g' qui
iü8
üc= \/x'{l\p' + h'), ao — \J
de o\\ad— \/(cfo)*-+-(rto)*= ^ ,
Nous avons déjà <f«= -. Pour avoir la valeur de r,
je considère que la hauteur de la pyramide, dont le sommet est supposé en m, est à la ligne oi comme dm ; ad l’.y x', donc r . cïi cy\ Il y xÿ
donc r—-.
La valeur de es, telle que nous l’avons donnée plus haut, est zpx, et celle de y'a; est gx. Reste à trouver les expressions de em et de ne. Cherchons d’abord la première.
Si nous menons mr perpcudieiüaire sur ae. nous aurons
cm=V^(cr)’-f-(/7iTy“, cT—ac — ar, ami ar :: adl ao, ou
x—y : aT i: x : X ;
représentent les denii-diag^nnales relatives à la molécule , les quantités p., g , qui représentent les mêmes lignes prises sur la forme primitive , parce que les unes étant en rapport avec les autres, le résultat du calcul n’en éprouve aucun changement.
DE CRISTALLOGRAPHIE. io()
donc
ar=z(x — y) ^ — j mais ac=x donc
ct = (*+jk;^ —
Cherchons mr.
am : ad :: TOT : do y ou X — y : X :: mr : gx J donc
' rnr=:{x—y)gi
donc
cm—^(x +yY -h {x—yYg\
La valeur de ■ m que nous avons réservée pour la dernière est celle*qui exige le plus de calcul. Pour la trouver, prenons d’abord perpendiculaire sur ac, ensuite dy parallèle à ac et située sur le prolongement du rhombe abcd, puis ny perpendiculaire sur dy. Il est visible que ny sera ])arallèle à , et puisque nd est parallèle à sa, les triangles ndy, 404 , seront semblables. Par une suite nécessaire ny sera perpendiculaire* sur le prolongement du rhombe ahcd) mais »€ est perpendiculaire sur la commune section cm des plans cto«, acd; donc si nous menons ÿt , le triangle sera rèctaugle en y. Donc
TU — \/{nyY 4-
Cherchons d’abord la valeur de ny. Les triangles
1 lo TRAITÉ
si’iiiblablcs , «a-4^, donnent
uy : dn :: as :: es : ac :: ^px i *v/4/'*-f- A*,
ou
ny : ^ :: sp : /»* ;
donc
tI V 4p“ 4- A*‘
Reste à trouver la valeur de ye. Prolongeons cm et yd jusqu’à ce (ju’elles se rencontrent en ^ ; menons ensuite dS" parallèle à 5^6, et qui sera perpendiculaire sur cÇ, ou sur cm prolongée, puisque yè est aussi perpendiculaire sur cm, par la construction. Les triangles semblables y'Çe. , dÇ’3' donnent
: T-Ç" :: d3- : yt.
Cherchons successivement d^, j Ç" et dB’.
I®. Pour d^. IjCs triangles acm, d^m, étant semblables , nous aurons
ac : am d^ I d/re 5 ac = x \^4p* "b" ^^*5 an, - ad- dm = (,. -y) donc
donc
t>E CRISTALLOGRAPHIE.
2*. Pour y^. Nous avons yi^=dÇ -i-rly y
dy : dn=^ :: a-\> ! rs :: as ac :: h : V^*+/t** doDC
donc
Comparant tout de suite les valeurs de dÇ et y!^ , nous aurons
” S (4p- + A‘) : ^ (ip‘+ 1‘‘) + ^
nxy{^*+h^)’
3°. Pour d^. Cette ligne étant la hauteur du triangle cmdy en prenant cm pour la base, si nous menons m7r perpendiculaire sur crf considérée comme Wà son tour , nous aurons
de , TTllC
cm
Ayant déjà les valeurs de de et de cm, cherchons celle de mit. Soit a<r une perpendiculaire sur ed,
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ou , ce qui revient au même, une parallèle à nVTt.
do ac 4p“ + h'-
ü7 = — j-^gX . 7- -
. / .bp*-i-4/»~
ym\a7V.dm\ad, ou -J-ac;
tionc '
/ ibV + 4^1*
/ .g-.ry(4p^+/»‘) ~
y (x’i-jy'^^ ^-•+(g— r)y
Donc la proportion d^'. :: : 5-e devient
^°C^-y) .. / g-x-ywT?.») Z.^,.
Réunissant les valeurs de /?j' et ^6, on aura
né ou \ ■ ( >êi“ + («>)’ =
DE CRISTALLOGRAPHIE. ii3
Ayant trouvé les valeurs de d/z, r, es cm, ne, si on les substitue dans l’équation di= on aura
. dn.r.cs. yx
cm. tu
di =
. /s'-‘rA Cl t Y 4p*.±± -j t~JFJrr
Il ne s’agit plus que d’avoir l’expression de du.
Or,
en x=.\/(ciy + {niy, ni = donc
ni =zdn — dl = - — yix= — (2 — nx):
ra * ara'
en
donc
^(2— nx)«
J’ai supposé rf/z plus grande que dl’, mais si elle était plus petite , on mettrait nx — 2 à la place de 2 — nx, dans la valeur de du , ce qui ne serait pourtant pas nécessaire, puisque dans la même hypothèse 2 — nx donnerait une quantité négative qui, étant élevée au carré, conduirait au véritable résultet-
it. 8
u4 TRAITÉ
Si l’on voulait faire une application du rapport précédent, on pourrait supprimer le Jeteur comxh
mim — .
4g. Donnons un exemple de cette application , dans l’hypothèse du décroissement représenté par *E, la forme primitive étant encore celle du pyroxène. Nous aurons
P=\/3, /e=i, a;=3,y^=i, ce qui donne , en supprimant le facteur commun ,
et toute réduction faite, :: d’où
l’on déduit pour l’incidence demandée i35‘’47^25", c’est-à-dire la même valeur à laquelle nous étions déjà parvenus à l’aide du calcul numérique (p. io5).
Supposons maintenant que la face dont il s’agit de déterminer l’incidence sur le pan cdhg soit produite par un décroissement ordinaire sur l’angle aefc. Dans ce cas on a ce qui fait disparaître en grande
