T CS

quantités qui forment le second membre, et comparant rfavec il (fig. 7g) , on trouvera, toute réduction iàite,

^—y ]/4p^(^njyy-\-h%x+y + nxy)*'

Jusqu’ici les décroissemens qui viennent de nous occuper ne m’ont offert qu’une seule application relative à un corps qui n’est pas susceptible d’être décrit, parce que ce n’était qu’un fragment d’un cristal trop incomplet pour permettre de rétablir par la pensée ce qui lui manquait.

Décroissemens combinés.

55. Je me bornerai ici à deux problèmes qui sont jusqu’ici les seuls susceptibles d’appHcation. Le premier est relatif à l’hypothèse dans laquelle étant donné un décroissement qui agit sur les angles E , suivant une loi ordinaire, quelconque , on se propose

de déterminer le décroissement qui donne des faces inclinées en sens contraire delà même quantité. Dans le second problème , le décroissement donné agit sur les bords D, D, et l’inconnue qu’il s’agit de trouver est l’autre décroissement qui produit le même effet en sens contraire.

I. Hypothèse dans laquelle le décroissement dont la loi est connue agit sur les angles E.

Soient efjtjy , rfJLy (fig. 8 1 ) , les faces produites par le décroissement sur E, et aytir, celles qui résultent de l’autre décroissement. Il peut y avoir ici trois cas différens. Le premier est celui où le décroissement sur E a lieu par une simple rangée , le second où il a lieu dans le sens de la hauteur , le troisième où il agit dans le sens de la largeur par deux rangées ou davantage.

1®. Pour le décroissement par une rangée.

Soit ag (fig. 8a) la forme primitive j si l’on mène les diagonales ac, cf^ af, ch, ah, le plan afc sera parallèle à la face produite en vertu du décroissement qui a lieu sur l’angle cba , et le plan ahc sera parallèle à la face qui résulte du décroissement sur l’angle ùdc. Or, les lignes c/',c/i, étant inclinées en sens contraire et de la même quantité que les lignes cb , cd, l’angle fch , ou, -ce qui revient au même, l’angle cyr (fig. 8i) est égal à l’angle bcd ou bad. Mais l’angle ear (fig. 8r) doit être égal de son côté à l’angle eyr, à cause de la similitude des faces pmduites par les deux décroissemens , d’où ü est facile de conclure que le plan ear

DE CRISTALLOGRAPHIE. JaS

coïncide avec la base badc ( fig. 82 ) , et (jue le secoiiil décroissement qui a pour lignes de départ les droites oe, ar (fig. 81 ) agit sur les bords ab, ad, ou B, B. Dans le même cas, si par un point quelconque u pris sur l’arête ayi> on fait passer un plan uzx parallèle à la base du noyau, il est facile de voir que l’angle zux que font entre elles les communes sections de ce plan sur les faces ajUe , afxr, est égal à l’angle ear ou bad {fig. 82).

Soit n la loi du décroissement sur les angles E , et n celle du décroissement sur les bords B. Si nous menons /jlo, qui coïncide avec l’a.xe du cristal, et ensuite eo perpendiculaire sur cet axe , nous pourrons considérer le triangle eofx comme étant mensurateur relativement aux deux décroissemens. Si on le rapporte au décroissement sur E, on aura eo : of/> :: 2gn : h,

n exprimant ici le nombre de diagonales soustraites ; et si on le rapporte au décroissement sur B , on aura de même eo l ofx II 2gn' : h, avec cette différence qu’ici n représente le nombre de rangées soustraites. Donc n—n. Or, ra=ï, ce qui est l’expression d’un décroissement par une simple rangée j donc, puisque l’on a aussi «'=7, le décroissement qui correspond au premier a lieu par deux rangées en hauteur sur les bords B.

2°. Pour le cas où le décroissement sur E a lieu dans le sens de la hauteur.

Si l’on suppose que les faces e[xy, rjJi.y ( fig. 81 ) ,

ia6 TRAITÉ

passent de la position relative au cas précédent à celle qui résulte d’une des lois dont l’action s’exerce dans le sens de la hauteur, il est facile de voir qu’elles se relèveront en partant des points e, r, et en faisant Fune avec l’autre des angles toujours plus aigus , à mesure que le nombre de rangées soustraites dans le même sens augmentera , ou, ce qui est la même chose, à mesure que la quantité n diminuera. Les faces a/4e, a/tfcr, suivront les mêmes variations, d’où il suit que l’angle zux sera toujours plùs petit que had (fig. 82).

U suit de là que le décroissement qui produit alors ces dernières faces agit aussi sur l’angle E , mais par des directions telles que m«, m^n (fig. 82) , relatives à un décroissement intermédiaire dans lequel x coïncide avec B , et y avec D.

Ayant mené par le point o (fig. 81 ) la ligne ol parallèle à la base du noyau, et ensuite les lignes elj rlj nous aurons un assortiment de bgnes que nous pourrons assimiler à celui de la figure 65 (pi. 36), qui se rapporte à Fefl’et des décroissemens intermédiaires surE, X étant dans le sens de B. Ainsi la ligne er (fig. 81) répondra à mo (fig. 65), le plan elr au plan mao qui est' de même parallèle à la base du noyau, la ligne /o à ht ligne ar, le plan vertical efJt.r au plan myo , et la ligne ofJt, à la bgne ty.

Cela posé, nous aurons

eo:;<o(fig.8i)::mr:o'(fig-65)::^^:A (p. 99). Mais si l’on considère le triangle eofJt, (fig. 81) relati-

vement au décroissement ordinaire sur E, on aura

eo‘ ofi’> ügn : Aj donc D’une autre part

h'.o/A. ar: ry (fig. 65) :: A(p. ioo)t

Soit acgs (fig. 83) la coupe principale de la forme primitive, az une ligne inclinée de la môme <piantilé en sens contraire que ac , et pz une parallèle à as , menée du milieu de ac j nous aurons

<^P — \ et pzz=.as = h.

Or, le triangle olp, (fig. 81) est semblable au triangle paz (fig. 83 ) j donc on aura aussi

lo : of* (fig. 81) :: ap : pz:: J \/^p'-^h* : h ,

«t égalant les deux valeurs de Zo ,

n'xv , , X — y

— -z=s.-T. et raxy=

cette valeur étant substituée dans l’équation ‘—~=n.

n'xy

donne =yz, d’où l’on tire ax-f-2y ’