DU PRISME RIIOMGOÏDAT, DROIT

Nous avons profité des rapports qui existent entre le prisme rhomboïdal oblique et le rhomboïde, pour hire dériver les formules qui concernent le premier de celles qui leur correspondent dans la théorie dont l’autre est l’objet. L’analogie du prisme rhomboïdal droit avec celui qui est obliijue va de même nous servir à établir une relation entre les calculs (|ui regardent ces deux espèces de prisme. Pour concevoir en quoi consiste cette relation , supposons que dans le prisme rhomboïdal représenté lig. 46? pl- les bases eu restant fixes par les points a, .s, sc relèvent

i38 TRAITÉ

jKJU à peu jus<ju’à ce qu’elles soient devenues horizontales, de manière que les pans conservent leurs positions. La diagonale bd (et il en faut dire autant de celle de la base inférieure) n’aura subi aucune variation dans sa longueur; mais l’autre 'diagonale ac sera devenue, égale à c«, d’où il suit que la quantité ap devra être substituée, dans le calcul, à la quantité Les constructions destinées à repré-

senter les effets des décroissemens éprouveront des modifications semblables. Par exemple, dans la flg.53, qui se rapporte à un décroissement sur l’angle A, la ligne ac est censée s’être relevée par son extrémité c, jusqu’à ce qu’elle coïncide avec l’horizontale ak, d’où il suit que l’expression de ck s’évanouit dans les calculs. D’après ces considérations, il est facile de faire subir aux formules que nous a données le prisme oblique, les transformations nécessaires, pour les rendre applicables au prisme droit. Je ne parlerai point de celles qui concernent les décroissemens sur les bords latéraux G, H (fig. 92), parce que la marche qui y conduit est si simple qu’elle se présente comme d’elle-même.

I®. Décroissemens sur les bords B de la base.

5q. Soit yyru(pj (fig. g3) la pyramide droite qui résulte de cette espèce de décroissement, et yw l’angle qui mesure la moitié de l’incidence de yirrr sur viT'rC. Si l’on compare le décroissement dont] il s’agit avec celui qui agit sur les bords inférieurs du

DE CRISTALLOGRAPHIE. i3.<»

prisme oblique, le rapport ira rl ( Og. 75) sera celui auquel doit être substitué le rapport yo à o7.

Or, la valeur de ir qui est ag (p. 1 18), reste la même. Mais parce que dans la valeur de rl ou de ay

(fig. 76) , SOT ou A -f- ^ devient simplement can ou

on aura h ^ donne n = o. Suppri-

mant donc la quantité n dans le second terme du dénominateur de la fraction qui représente r/ ( p. 118), on aura

>0: ou (fig. 93) ::g:

Soit ojti/Tt l’angle qui mesure la moitié de l’incidence de ycrvr sur yaf ; pour avoir le rapport du sinus 07T au cosinus ojtt , il suffira de mettre dans le rapport précédent ^ à la place de , et réciproquement , ce qui donne

Maintenant , si l’on mène ov perpendiculaire sur^TT, puis v<r, l’angle mesurera l’in-

cidence de y<T7r sur une fece parallèle à la base P (fig. 92) et l’angle ffro-j-go'* mesurera l’incidence de sur le pan M. Or , dans le rapport eu • u A (fig. 77) qui est l’analogue de celui de ov à oa (fig. g3),

l’eipression de eu ouy/(4^*-f-4p*“l"^*

devient y/ -f- 4p«) , d’après ce qui a été dit

S’+i’scrwluitàS^^C

1). 1 38 , cl celle de ))A ou £• +

^ ^ gn g«

jiarce que (fig. 77), qui est représentée par g s’évanouit. Ou aura donc

ov

:ocr (Gg. 93)

5nE*i/sl±P*

60. L’espèce de décroissement qui vient de nous occuper existe dans une variété de baryte sulfatée représentée ( Gg. 94 ) > et dont j’ai développé la structure (t. I , p. 67 ). Elle n’est autre chose que la forme primitive augmentée de deux pyramides naissantes qui reposent sur ses bases, ce qui a suggéré le nom de sub-pyramidée que porte cette variété. Son signe %

est MPB. Les dimensions de la forme primitive, déjà MP»

indiquées au meme endroit, donnent g =■ V^ia,

p = V^8, de plus, on a «=7. D’après

ces données , on trouve poitr l’incidence de M sur M, 101*^32' i3"; pour celle de M sur z, 154“* 26’ 5a"; j)Our celle de P sur z, i i5‘'33'8"j pour celle de z sur r, 1 1 0'' 25^58"; et pour celle de z sur la face de retour, 91'' 19' 56".

2°. Décroissemens sur les angles E, E.

Gi. Silo décroissement est ordinaire, sa détermination ne souGfre aucune diGiculté. Dans le triangle inensui'ulcur le côté apj)liqué sur lu buse P (Gg. 93)

est au côté vertical agn '• A 5 d’où l’on déduit l’in-

cidence mutuelle des deux faces produites par le décroissement , et l’incidence des mêmes faces sur celles qui sont parallèles aux bases P.

La position horizontale de ces bases fait disparaître la complication inévitable dans la formule relative à l’incidence des faces dont il s’agit sur les pans de la forme primitive , lorsque celle-ci est un prisme oblique, Soit aci ( fig. g5 ) un plan parallèle à la face produite par le décroissement qui a lieu sur l’angle E situé à droite ( fig. 92). Si l’on mène é/tt perpendiculaire sur ac (fig. ^), ffô" perpendiculaire sur eyt4, et dk perpendiculaire sur ce, il est facile de voir que cette dernière ligne étant prise pour le rayon , dosera le sinus de l’incidence de ticesur ace, laquelle est égale au supplément de l’angle que fait la face produite par le décroissement avec le pan cshg. Or ,

rfi ; dS-

Cf tfé

et en substituant les valeurs algébriques,

.. /Ziï±ZZ* /

Nous veri’ons bientôt comment on peuf déduire ce rapport de celui qui y correspond à l’égard du prisme oblique.

Je citerai pour exemple du décroissement dont il s’agit ici, la baryte sulfatée unitaire (fig. gG) dont

i4a TRAITÉ

/ j’ai aussi développé la structure par la voie de synthèse ( 1. 1, p. 146 et suiv.). Le signe étant ME, on

aura 71= T, et on trouvera pour l’incidence de o sur O, I o5‘* 49^ 34" 5 et poiu" celle de M sur o , 1 20^ 1 8'.

62. Supposons maintenant que le décroissement devienne intermédiaire, et que ksi, rsi (fig. 97) représentent les deux faces antérieures de la pyramide qui en résulte. Si du centre o de la base on mène ou perpendiculaire sur is, puis A«, l’angle iuo mesurera la moitié de l’incidence mutuelle des deux faces dont il s’agit. Or, sans nous arrêter à chercher immédiatement la valeur algébrique de ce rapport, nous pouvons la déduire de celle du rapport de mu à ul (6g. 63), qui est son analogue à l’égard du prisme oblique. Il suffit pour cela de considérer que, dans le cas présent, la partie uf(ûg. 64) de la ligne^

s’évanouit (p. 98) , en sorte que -+■ A se réduit

à h, ou, ce qui revient au même, la quantité ?ixy doit être supprimée dans le second terme de la fraction qui exprime la valeur de uf. Faisant donc cette suppression , et laissant subsister tout le reste , on aura

ko : 07. (fig. 97 ) :: : p,===^~=.

Soit maintenant ag (6g. 98) la forme primitive , un plan parallèle à la face rsi (6g. 97), dm ( fig. 98 ) la hauteur de la pyramide interceptée par le plan c^e, le sommet étant supposé en d, et dk une

DE CRISTALLOGRAPHIE. i43

perpendiculaire sur a. Si l’on mène km , l’angle dem sera le supplément de l’incidence de cÇe sur ceAg, et par conséquent de celle de la face rsi ( fig. 97) sur le pan adjacent. Or , on peut faire dériver l’expression du rapport de dm à dk de celle du rapport de dl à du (fig. 69, p. Il 3), laquelle se simplifie d’après les considérations suivantes : 1". dans l’expression

de di, la quantité se réduit à p*; 2°. la quan-

^Mp- + F) " C»-' - X repre-

sente ici dy (fig. 69, p. 1 1 1), qui devient nulle , parce que ny, qui est une perpendiculaire sur la base se confond avec dh lorsque le prisme est droit; 3®. dans l’expression de du, cl perpendiculaire sur du se trouve remplacée par cd(fig. 98), d’où il suit que dl (fig. 69) ou •J hx s’évanouit, et par conséquent ni ou dn — d/(p. ii3) se réduit à nl = \

Donc aussi (2 — nx)* se réduit à — . Ayant égard

aux trois différences qui viennent d’être indiquées , et en supprimant dans les numérateurs le facteur

commun

on trouve

dk : dm

{:p\x-i^y+g\x-yy2(^,

-yr^n^J

Nous aurons bienlôl l’occasiou de faire une application de celte formule.

Si l’on voulait avoir l’incidence sur une face parallèle à la base B (fig. 92 ) , on mènerait df/, (fig. 98) perpendiculaire sur cÇ , puis eyu. , et l’on ferait attention que cette incidence est le supplément de l’angle dfju. Or, dé=h-j du répond à dd" (fig. 69), dont la valeur est

^ Cp- 1 1 2).

On aura donc, en mettant dans cette valeur p* à la

place de ,

üf*. dé., • n

Si l’on suppose xz=y, ou, ce qui revient au même.

dans le rapport de dk à dm, on aura l’incidence relative à vm décroissement ordinaire sur l’angle E, en considérant de plus que la quantité n doit être ici remplacée par 2» 5 alors

dk l dm i:

ce qui est le même rapport auquel nous sommes arrivés par une méthode directe ( p. i4‘ )•

DE CRISTALIX)0RAPHIE.

3®. Décroisaemens sur les angles A.

63. 11 est facile de faire dériver la plupart des résultats relatifs à cette espèce de décroissement, de ceux qid concernent les décroisse mens sur les angles E. Il suffit pour cela de suppo ser que les angles adc, abc (fig. g5 et 918), soient les angles obtus de la base du noyau , d’où il suit que , dans les formules , g doit prendre la place dep, et vice versâ.

Si le décroissement est ordinaire, et que l’on veuille avoir l’incidence des faces secondaires soit entre elles, soit sur une face parallèle à P (fig. g5), alors, dans le triangle mensurateur , le côté qui coïncide avec P sera au côté vertical : : 2pn h { voyez p. 1 4o ).

Pour l’incidence des mêmes feces sur les pans, on a nra

dk :

Concevons que le décroissement dèviétitie înlermédiaire, et que msn, usn (fig. 99) représentent les deux faces antérifiurés de la pyramide produite par ce décroissement, et que mgo soit l’angle qui mesure la moitié de leur incidence mutuelle. Le rapport entre mo et ôg se déduira de celui qui a lieu entre rt et tl (fig. 79), dans les décroissemens sur l’angle o (fig. 78) du prisme rhomboïdal oblique, et i 1 n’y aura ici autre chose à faire que de supprimer la quantité nxy , dans le dernier tenue du dénomi- 11. 10

nateur de la fraction qui représente ^/(p> ia3) , et cela par une raison semblable à celle qui a été exposée p. i4a. Ainsi l’on aura

mo :oj-(fig.99) ::

Pour avoir l’incidence sur les pans de la forme primitive, on prendra le rapport entre dk el dm (p. 143) qui, par la substitution de p à et vice versât devient celui de

' 4yyp*

Enfin , l’incidence sur une face parallèle à la base de la forme primitive sera donnée par le rapport entre et de (p. i44)) modifié d’après la condition déjà énoncée. On aura donc

, ^ , agpxy ^

. fi .. • „•

64. Pour appbquer les résultats qui font l’objet de cet article et du précédent, je continuerai de choisir des exemples parmi les nombreuses variétés que présente la baryte sulfatée.

Une des plus communes est celle que l’on voit fig. 100, et que je nomme baiy te sulfatée trapézienne.

Son signe est AEP. Incidence de P sur o , i a 7^ 5' 1 3" j <i O P

de P sur d, 140'* 5g' ai"j de d sur d, 78^ 1' 58" j de d sur O, 117^56^39" (1). ,

Une autre variété, représentée fig. loi , porte le nom de baryte sulfatée quaternée. Elle est le ré> sultat de huit lois simultanées de décroissement, dont les effets se combinent avec les &ces du noyau. Son signe est

*G'G M®H»E(e5b»B* . B'B*)BÀÂP.

AnMco y • d l P

Incidence de M sur k, iag^i3^54^; de M sur ■ 69^i9'45"3o"'j deÿ surf, iaa‘*5a'42''j deMsury, 142^39^49”) O sur J', i53‘*{)7'5i''; dey^ sur z,

161^42^7”) de P sur J', i23'*4®^ 29^5 dey sur/', ti4‘*2a'a"; dey sur/, 88**a5'aa"; de; P sur Ij 167^ 56' 59"; de P sur d, i4o‘*59'ai"j de P sur o, 137^5' i3"j de P sur k, go**.

Cette variété, aussi bien que plusieurs autres qui appartiennent à la même substance, nous ofirent dans rassortiment des plans qui composent leur surface, une symétrie qui, en général, est familière à la cristallisation. Cette symétrie consiste en ce que les intersections communes des plans dont il s’agit

(1) Je donnerai plus bas , à l'article du prisme droit rectaâflaire , une méthode pour calculer cette incidence.

sont parallèles entre elles, en sorte que parmi diverses lois de déoroissement qui peuvent naître simultanément sur des bords ou sur des angles différemment situés, la cristallisation semble avdir ime tendance vers celles d’où résulte ce même parallélisme. On conçoit bien qu’il doit avoir lieu par rapport aux arêtes de jonction des faces P,o, d’une part, et des faces P, /, d, d’une autre part, et même il ne cesserait pas d’exister dans le cas où les faces o , Z, c?, seraient produites par d’autres décroissemens , pourvu que ceux-ci eussent toujours les mêmes lignes de départ.

11 n’en est pas ainsi des faces o,j^, z. Le parallélisme de leurs inteireections communes disparaîtrait si les décroissemens dont elles dépendent, en conservant les mêmes lignes de départ , variaient dans leur mesure. Je vais entrer à ce sujet dans un certain ■ détail, qui nous conduira à représenter , par des formules générales, la dépendance mutuelle que doivent avoir entre eux ces décroissemens , pour satisfaire à la condition du parallélisme dont j’ai parlé.

Supposons un cristal dont la surface ne soit composée que des facettes P , o , z, ainsi que le représente la figure loa. Désignons par n l’exposant de la loi , quelle qu’elle soit, qui produit les facettes z, s , en agissant sur les bords B, et par n l’exposant de la loi qui produit les facettes o , o , par rm décroissement sur les angles £. La valeur de n étant donnée, il est facile de trouver celle que n' doit avoir pour que les bords A, A, des facettes o soient parallèles.

DE CRISTALLOGRAPHIE. i^D

Soit cr^ (fig. 1 o3) l’octaèdre qui résulterait du prolongemeut des facettes z, z (fig. 102). Menons les diagonales (fig. lo3), de la ba^ commune des

deuz pyramides qui composent l’octaèdre , puis la hauteur ccr de la pyramide supérieure. En. considérant yc<T comme un triangle mensurateur relatif au décroissement sur E, nous aurons

C> : cor :: : A :: g' : — ,-(p. 140).

D’une autre part , si l’on considère le même triangle comme étant mensurateur relativement au décrmsse^ ment sur B , on aura

cry y. rxgn ' h’’ g

an*

parce qu’à chaque rangée soustraite parallèlement aux bords répond une diagonale entière ag^ dé;niolér cule ; d’où l’on con^diirk qwe n.

Concevons maintenant que les arêtes A, A (fig. 102) soient remplacées par des face^es^,^ (fig., iq^)^ qui naissent d’pn décroissenaeplf, ii^tçifoaédiaire sur lef angles E. Soit w" l’exposant de la loi que suit ce décroissement, ou, ce qui revient au même, soit ri' le nombt^'de rangées de mcdèoules soustraetiVés déterminées par le rapport entre x et y. Prenons pour données ce même rapport et la valeur de », et proposons-nous de chercher quelle doit être celle de n“ pour que les bords S", S", des facëttèsy soient parallèles. Les facettes 0, 0 (fig. 102)’, é';ant parallèleà aux

i5o TRAITÉ

arêtes ^7, uv (fig. io3 ), les arêtes A, A , leur seront aussi parallèles. Donc, puisque les Êicettes y (fig. io3), sont parallèles aux arêtes A , A (fîg. loa ) > elles le seront de même aux arêtes , o(r]( 6g. io3 ). |

Nous pouvons donc assimiler ici le triangle yca" au ' triangle mup (%. 63), relatif aux décroissemens intermédiaires sur Ifô angles E d’un prisme rhomboïdal oblique, et nous aurons '

Mais nous avons eu d’une autre part

donc

d’où l’on tire

cy : CCT

MÎT. • Jt .. » • A.

Supposons qu’en observant la variété de baryte représentée 6gure I O I , on ait trouvé que les facettes z

résultent du décroissement B. On aura donc 71=^; donc et ainsi la seule condition du parallé-

lisme des intersections des Ëicettes o, z, en supposant celles-ci prolongées jusqu’à ce qu’elles se rencontrent, suffit pour reconnaître que les premières résultent d’un décroissement par une simple rangée sur les angles E. '

DE CRISTALLOGRAPHIE. i5i

Maintenant, avant de chercher />", il faut avoir le rapport entre x etjr. Soit abcd(ù^. io5) la h^ du noyau, et eh la ligne de départ du décroissement qui donne J'. Menons kl perpendiculaire sur ac, puis kr parallèle à la même ligne. Il est aisé de voir que l’angle rkc est ^al à l’angle que font entre elles les arêtes «T, C (%• io4), lequel angle est sensible sur la figure lOi. Or, en le mesurant, on trouve qu’il est à peu près de Retranchant 90 de ce nombre , on aura environ 58^ pour la valeur de l’angle ckl (fig. i o 5) .

, Or , le sinus cl et le cosinus kl de cet angle étant des fonctions des lignes co et 5o, ou de p=a et de ^=V^, on trouve,' à l’aide d’un tâtonnement facile, que si l’on Êiit cl: kl :: 3p:gi: ‘ V la*

l’angle chl est de 58^3 1', et ainsi on peut adopter le rapport dont il s’agit. Or, cl renferme autant de diagonales p' de molécule qu’il y a d’arêtes c; de^naolé-: cule comprises dans bc^bk ’jCt hl renferme autant de diagonales ^ de molécule qu’ü y a d’arêtes ç*- de molécules comprises dans akxxab—bk. Mais; le nombre de p' contenu dans cl est double du nombre de g-' contenu dans hl. Donc c'x-f-c^tc'x-— ::a: i , ce qui donne *=^. Faisant x=s3,^= i et

dans la formule on trouve tü s=i\.

On voit par cet exemple comment on peut profiter de ces parallélismes qui impriment aux formes cristallines un caractère de symétrie, pour' abréger le travail relatif à la détermination de ces formes.