AA*C<G‘)(*AA»C<G

Si l’on compare le premier signe avec l’ancien j qui était

sn »»5 5 SS56A-5.

T’G’G* » GG5 ^GpA'^ AB»G+)^A3 U® A-*

{^AA^OG') (Ua^C’G‘)(“AA»C*G*) (^A A- C*G),

ou jugera aisément combien il a gagné dans le passage du prisme droit au prisme oblique. Parmi les décroissemens dont il renferme les expressions, il n’y en a aucun qui soit plus composé , ou même qui ne le soit moins , que quelques-uns de ceux dont on trouve des exemples dans d’autres substances, et en particulier dans la chaux carbonatée. On verra de plus, par le rapprochement du second signe et de l’ancien , qu’en général les décroissemens qui se rapportent au prisme droit, dans lequel la dimension G est la même que dans le prisme oblique, s’écartent plus de la simplicité que ceux qui se déduisent du prisme que j’avais adopte, sans autre guide qu’une

espèce de tâtonnement relatif aux différentes longueurs que l’on pouvait supposer à la dimension G.

Je ne dois pas omettre de faire connaître le rapport que j’ai annoncé entre la forme primitive de l’euclase et le prisme rhomboïdal oblique , et qui m’a engagé à réimir ces deux formes dans une même théorie. Ce rapport est fondé sur une propriété qui consiste en ce que , si l’on suppose que sa coupe principale soit représentée en général par le parallélogramme obliquangle cqyz (fig. 1 15 ) , la bgne oz menée de l’extrémité supérieure de l’arête j'o à l’extrémité inférieure de l’arête opposée cz, est perpen- I (liculaire sur les deux arêtes , en sorte qu’elle limite la dimension du prisme qui coïncide avec la seconde. Maintenant, si l’on conçoit dans le prisme de l’euclase (fig. 1 1 1 ) im plan qui passe par les milieux des arêtes kr,fh^ perpendiculairement à la base fkrh , que la section de ce plan sera un parallélogramme obliquangle semblable à hrnt^ qui pourra être considéré comme la coupe principale du prisme dont il s’agit, et par conséquent comme l’analogue du parallélogramme cojz ( fig. 1 1 5). Imaginons pour un instant que le joint situé dans le sens de rn soit nul. On pourra raisonner, par analogie, du prisme rectangulaire comme de celui qui est oblique, en sorte que rn représentera la ligne qui étant perpendiculaire sur ri et hn limite la dimension G ((ig. 1 1 3). Mais si nous restituons maintenant le joint naturel qui coïncide avec le plan krnl (fig. 1 1 1), on en conclura

i64 TRAITÉ

c|uc la dimension dont il s’agit est donnée par ToIh servation directe, qui- a encore plus de force que l’analc^c, d’où résulte une nouvelle raison de croire que la détermination relative au prisme oblique ofïre l’expression fidèle des résultats du travail de la cristallisation.

FORMES PRIMITIVES DIFFÉRENTES Dü PARALLÉLÉPIPÈDE.

nu PRISMB HËXAÈD&E RÉGULIER.

66. J’ai déjà parlé du prisme hexaèdre régulier considéré comme forme primitive, mais seulement sous le rapport de sa structure, et j’ai prouvé qu’il se résolvait, à l’aide de la division mécanique, suivant des plans parallèles les uns à ses bases et les autres à ses faces latérales , en une multitude de petits prismes triangulaires équilatéraux, qui représentaient les molécules intégrantes. J’ai fait voir de plus que tel était l’assortiment de ces prismes , qu’étant pris deux à deux ils composaient des prismes rhomboïdaux semblables aux molécules soustractives. Je vais reprendre le même sujet, et lui donner un développement assorti au but de cet article , qui est d’appliquer la théorie des lois de la structure à la détermination des formes secondaires qui ont pour type le prisme hexaèdre régulier.

Ç>o\\.abdfgh (fig. 1 1 6) la base supéi'ieure de ce prisme, Ici (pi’on le voit (fig. 117), sous-divisée en une mul-

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DE CRlSTALLOGRAPniE. iG5

tilude de triangles équilatéraux, qui représentent fes bases correspondantes d’autant de molécules intégrantes dn (fig. 1 1 8). U y a deux manières de partarger ce prisme en trois prismes rhomboïdaux de i ao** et 6o^j l’une donnera ,ccux dont les bases sont les iliombes chgf^ pfdbf chah y et l’autre ceux qui ont pour bases les rhombes cghoy cabd, cdfg. Il est évident que chacun de ces prismes sera un assemblage de petits prismes rhomboïdaux semblables à lui-mcme, et composés chacun de deux molécules luttantes, en. sorte qu’ils représeateront les molécules soustractives;

Il suit de là que les décroissemens qui naissent soit sm- les bords -B (fig. 117), soit sur les angles A du prisme hexaèdre régulier, ont la même mesure que dans l’hypothèse où la forme primitive' à laquelle appartiendraient ces bords et ces angles serait un des prismes rhomboïdaux donnés par la sous-division du prisme hexaèdre régulier. Cette corrélation peut être assimilée à celle qui existe entre le.-dodécaèdre rhoin» boïdal du grenat et chacun des rhomboïdes que l’on en retire à l’aide de la division mécanique y ainsi que je l’ai exposé plus haut (t. I, p. 47)-

Je vais maintenant donner des formules générales applicables aux incidences des faces produites par des lois de décroissement sur les différentes parties de la forme primitive. Supposons d’abord un décroissement sur tous les bords de cette forme. Soit Au (fig. 1 1 9) ime molécule soustractive, et Az une perpeur

diculaire sur tx. Désignons le côté tx p>ar r, la hauteur tu par gy et l’exposant du décroissement par n.

L’expression de hz sera y/ , et dans le triangle niensurateur mny (fig. 1 20) nous aurons

mn : njr

Soit es (fîg. 121) la forme primitive augmentée des deux pyramides données par le résultat complet du décroissement, et soient ksgy Isg (fig. 1 22), deux faces parallèles à x ( fig. 121), limile'es par le plan hori-

zontal hgl et par le plan vertical ksi. Menons so perpendiculaire sur kly puis og, ensuite ot perpendiculaire sur gly ou perpendiculaire sur gSy et enfin lu. L’angle sto pUis 90** mesurera l’incidence de x sur M (fig. 12 1), et l’angle on/ (fig. 122) sera ^alà la moitié de l’incidence de x sur x. JNous aurons d’ahord

ot (fig. i22)îos :: mra(fig. 12.0) '.ny II

d’où l’on déduit l’incidence de x sur M (fig. 121).

Soit ot= donc os =: h y og lotll 2 : V^3*

Donc

ogzsn V^/ïV*=7ïr, o/=2o/3=\/3nV*,

gs = V^og^-l-os*=

os . os . /

0/ : ou :: V3nV : s/^{n*r*+h*)lhy

ce qui donne l’incidence de x sur x (fig. 1 3 1). Je ferai pins bas des applications de ccs deux formules.

Supposons un autre décroissement qui agisse par une loi ordinaire sur les angles a, b, d, etc. (fig. i a3) , de la base. Les bords qu’il fera naître sur les lames de superposition auront des directions Ig, perpendiculaires aux rayons mi, mf. De plus, la diagonale Af(fîg. 1 19) de la base de la molécule étant égale à pt, son expression sera r, et si nous désignons par 72 le nombre de diagonales soustraites, nous aurons, dans le triangle meusuratcur yé^ ( Gg. 124), ye : :: nr : h.

Si le décroissement atteint sa limite, la surface du solide secondaire sera composée de six hexagones M , M (fig. 1 25), et de douze trapézoïdes s, s, disposés six à six autour des sommets, et qui seront le résultat du décroissement. Pour déterminer l’incidence de s sur 8, servons-nous de la Gg. 122 , dans laquelle les bords gk,gl, du plan horizontal , répondront à ceux qu’indiquent les mêmes lettres (Gg. 1 aS), et le triangle ots (Gg.'i22), sera semblable au triangle mensurateur y (Gg. 1 24) J nous pouvons donc faire o/(fig. 1 2 2)=»r et 05 = A, flg- : oi î: \/4 : donc

og=\/^,ol:og \/3: IJ

donc

oZ= ^

En suivant la même marche que pour le décroissc-

i68 TRAITÉ

ment sur les bords , on trouve

ol OU : ky

lequel rapport ne difîere de celui auquel nous sommés parvenus, à l’aide de la marche indiquée, qu’en ce que le facteur de la quantité n*r* est augmenté d’tme unité. ^

A l’égard de la détermination de l’incidence de s sur M(fîg. isS), et de celle de s sur une &ce parallèle à la base , lorsque le décroissement n’a pas atteint sa Kmite, je les déduirai de la formule relative au ré^ sultat qui va suivre.

Concevons que le décroissement devienne intermédiaire sur les mêmes angles. U fera naître à k place de chacvm de ces angles deux faces parallèles à des plans tels que tuv (6g. 126), et qui se réuniront sur une arête commune ou. Soit anuh (6g. 1 2 7) le segment intercepté par le plan nuh (6g. 126). Déterminons successivement les inclinaisons de la face qui répond à nuh sur les faces primitives M et P (6g. 126). Celle de nuo sur vua sera donnée plus bas par une autre formule.

1*. Pour l’incidence de nuh sur M. Considérons le segment comme une pyramide triangulaire qui aurait son sommet en a , auquel cas k base sera le triangle nuh. Menons la hauteur ak de la pyramide, puis ho perpendiculaire sur un^ et joignons les points o^k, par la droite ok. L’angle aok dont ah est le sinus , la ligne ao étant prise pour rayon , sera le supplément

de l’incidence proposée. Désignons ak par H, et la solidité de la pyramide par S. Si nous menons ur perpendiculaire sur nh , le produit ur X hn sera le double du triangle de la base, et nous aurons

6S = H . wr X nh.

Supposons, d’une autre part, le sommet en u , auquel CAsnah sera la base et au la hauteur. Ayant mené ar, qui se trouvera perpendiculaire sur nhy nous aurons

CS = ûtM X ar X /lAj

donc

H.urXn^=auX arXR^) et Hxz^r=auXar.

Cherchons les expressions algébriques de au , ar et ur. Soit x l’arête r de molécule multipliée par le nombre de fois qu’elle est renfermée dans la ligne an , Y la même arête prise autant de fois qu’elle est contenue dans la bgne aA, et s le produit de la hauteur h de naoléeule par le nombre de fois qu’elle est comprise dans la ligne au. Faisant an=:x^ ah=^y ^ nous aurons au=z, ce qui donne la première des expressions proposées. Pour avoir celle de ar , prolongeons na et menons hl perpendiculaire sur le prolougement. Nous aurons

o.r'x.nh=.hl'Xan^ nhz=z ^{niy hl : ahz=.y ;; : V4j

donc

donc

hi=\/lr*’j

donc

et

De plus , au= Z

/ 5.ry

V 4(x“-f-aryH-y“)*

«/•= v/ar*+aM*=\/ "+■

V 4fx*-l-xv-+-v»^ ^ ^ V 4(x*-

4(x* + d’où l’on conclut

4(x*-hry+J'‘)’

/ 5x»yv

V 3x‘v*+ 4fx*4-x

y+ 4(j^*+3iy +yK’

Qierchous ao.

un = V/?+F, =yg~= v/^,

ao • H •• 1/—^ • \/ ^

• V x“+a“- V 3x»y+4Cx» + xy+yK

2®. Pour l’incidence de nuh sur P. Comparant les expressions de ar et de II trouvées ci-dessus, nous

aurons

or: H

-rv/i

4(r“ 4. a:y + ^») • V 4(x*4-xy+y)i*

:: \/3xy + 4(x» + XX -f- j*)2*

Reste à déterminer l’incidence de nuo (fig. 1 26) sur vuo. Ayant mené ar par le point o, puis hg perpendiculaire sur np, supposons que les plans nuo et puo se prolongent en dessus du triangle nop, et soient ndoy rdo (fig. 128) deux faces situées sur leurs prolongemens et limitées par le plan ndp perpendiculaire sur le triangle nop. Si nous menons rt perpendiculaire sur do, puis pt^ l’angle ptr sera la moitié de l’incidence proposée. Cherchons successivement pr et tr. I®. Pour pr.

ai^(fig. 126 )=x, ap : pr'.l \/4 • V^j

donc

pr = \/^x\

2*. Pour <r(fig. 128).

= an(fig. i26)=av=x, afi=j, hiK=:x — y,

hg=z±hp=^^~^jgp:hg ^/B:

nv= 27ir=î» • ng=:np — gp=x \/3 — \/'à

= (*+y) Vf ,

:: Ag-tor, (aH-K)V|:

arz=2-,ao

ar— -or

ao : au =s h :: or (fig. 128) î dr.

a \2x-i-ay/ x -hy *

ar+y

:*:: £:^.dr=(^h, ax + ay \ ay / '

do= V(^^FPW=v/(^+^)

W + ay^

^—xyy \ix + ayj

IMamtenant , si dans les expressions de vr et

de tr nous supprimons le facteur commun v/f , et

si nous multiplions par le dénominateur de lafraction ^ale à tr, nous aurons

ce qui est le rapport entre le cosinus et le sinus de la moitié de l’incidence proposée.

Les formules relatives au décroissement intermédiaire, d’où l’on déduit l’incidence de nur (fig. ia6) sur M et sur P, peuvent cire facilement transformées

«1 d’autres beaucoup plus simples, qui donne celle d’une face au A (fig. 129), produite par un décroissement ordinaire sur les mêmes fiices primitives. Pour passer d’une formule à l’autre , il suffit de faire dans la première , ce qui donne d’une part , au lieu

de oo:H: : v/3*y-f-4(ar*+^H-7*)jz*

oo : H :: V**-l“4** • V^as*4-à*, et d’une autre part , au lieu de

flr:H;:v'a:*-f-4z* : V4^‘.

67. Je vais citer plusieurs modifications du prisme hexaèdre régulier, dont la détermination dépend des résultats précédens, et je les choisirai parmi les variétés de la cliaux phosphatée et de l’émeraude.

Les deux par lesquelles je vais commencer exigeront des détails particuliers relatifs à une propriété géométrique dont elles réalisent l’existence , et qui est générale pour tous les prismes hexaèdres réguliers. Elle consiste en ce que toutes les fois que deux décroissemens qui agissent, l’un sur les bords B (fig. 117), l’autre sur les angles A de la base d’un de ces primes , ont le même exposant, les faces produites par l’un et l’autre s’entrecoupent de manière <iue celles qui résultent du décroissement sur A , telles que s, « (fig. i3o), sont des quadrilatères qtû ont leurs angles et leurs côtés égaux. Je sup-.

pose ici l’aspect de la forme ramené à sa limite géométrique, qui dépend de la condition que les figures des faces soient les plus simples possibles. 11 est facile de démontrer la corrélation dont je viens de parler.

Supposons que le décroissement sur les bords ait atteint sa limite , auquel cas il produira une pyramide semblable à celle qui repose sur la base supérieure du prisme que représente la fig. iSi.Sinous faisons passer un plan sabc par les côtés extérieurs rts , CS, de deux triangles adjacens asz , csz, ce plan sera un quadrilatère dont les côtés et les angles seront égaux , c’est-à-dire qu’il ne pourra être qu’un rhombe ou un carré. Car si nous menons oz et ac , les triangles semblables osj'jj'ôz, donneront

qy lys lljz lyb.

Mais oy—yz', donc ys^=^yb. D’ailleurs ay=-cy, d’où résulte l’égalité dont j’ai parlé.

Concevons maintenant un second décroissement qui agisse sur Tangle aze, et dont telle soit la mesure, que les côtés gx,tx, de la facette gxtl qu’il produira soient parallèles aux côtés as, es, du premier quadrilatère. 11 est évident qu’elle sera seniblable à ce quadrilatère. Soit rie côté az de la base du prisme, h la hauteur «z , et n le nombre de rangées soustraites en vertu du décroissement sur les bords. Si du centre o de la base, nous menons on perpendiculaire sur az, puis sn, le triangle ons pourra être cou-

sidéré comme mensurateur; nous aurons donc

Maintenant, si nous rapportons l’effet du décroissement au plan osz , le triangle mensurateur sera ozs , et parce que la dimension ht (fig. 119) remplace la perpendiculaire hz, oz (fig. i3i)seraàos V. nr \ h.

D’une autre part, le triangle étant parallèle au triangle asc , il est aisé de concevoir que le triangle mensurateur relatif à la facette gxtl sera semblable au triangle j'os ; et parce que dans les décroissemens sur les angles, la distance entre une lame et l’autre, dans le sens de la largeur, est égale à autant de demi-

diagonales — (fig. ng) qu’il y a de rangées soustraites,

si nous désignons par n le nombre de ces rangées , dans le cas présent, nous aurons qy : os •• \nr \ h. Mais nous avons eu oz • os •• nr’ h. Donc

nr : in'r II oz : qy il 2 I i j donc n'—n.

Avant d’aller plus loin, déterminons, à l’aide d’une formide générale, l’incidence des facettes s, s (fig. i3o) , sur les trapèzes adjacens x, x. Soit ascz (fig. iSa) la même constructiorx que (fig. i3i), plus zu et zl (fig. 13a) perpendiculaires l’une sur as, l’autre sur le prolongement de sy, et réunies entre elles par la ligne lu. L’angle zul sera le supplément de l’incidence proposée, et si l’on prend zu pour rayon.

et on : os

zl sera le sinus du même angle. Cherchons successivement les expressions de ces deux lignes.

1*. Pour zu. Nous aiurons

ztt == na . ^ , 7M= V (ao)* + (oa)*= \J ^ » az = r, as=ze= ’

donc

' zu==

2*. Pour zl. Nous aurons

zl:

os . yz

Comparant les expressions de zu et zl, nous trouverons

zu t zl ::

4h’‘ + 4nV • V 4A»-}-nV‘

Venons maintenant aux deux variétés dans lesquelles j’ai annoncé l’existence de la propriété géométrique dont j’ai parlé. L’xme, qui appartient à l’émeraude, est représentée figure i33, et ^a pour

signe MBBA. Cherchons le rapport entre les demi- MP t i

diagonales des facettes a, a, qui est le même que

celui de ay àys ( fig. 1 3 j ). Or, ay=i\/ \r' ,

ys = + \/ +

Dans la forme primitive de l’émeraude (fig. i34) le côté B de la base est égal à la hauteur G. Donc r=k. De plus, dans la variété qui nous occupe n=3. Substituant ces valeurs dans le rapport précédent, nous aurons ay lys :: v/3: s/a; c’est-à-dire qu’en vertu d’une de ces analogies cpie j’appelle de rencontre, les faces s, « (fig. 1 33), sont des rhombes semblables à celui du rhomboïde primitif de la chaux carbonatée. Je donne à la variété d’émeraude dont il s’agit ici le nom d^émeraude rhombifère.

Si nous faisions n = i , nous aurions

ay :ys :: y/3 : \/E,

c’est-à-dire que les faces s, s, seraient des rhombes semblables à celui du rhomboïde inverse de la même substance j mais ce cas ne s’est pas encore rencontré dans la nature.

L’autre variété qui se rapporte à la chaux phospliatée est représentée (fig. 1 3o ) , et son signe est

Il V

MABP.

MixP

Dans le prisme qui offre la forme primitive de cette substance, le côté de la base est à la hauteur comme ^2 à l’unité. Faisant donc r* = 2, /i=i ,