II

cl n = I , on trouve ay (fig. i3i)=j's, c’cst-à-dire que les quadrilatères s , s (lig. i3o), sont des carres. De là le nom de chaux phosphatée quadratîfère que j’ai donné à la variété dont il s’agit.

Si l’on supposait n— 2 , on trouverait

fljp:^«(fig. i3i) Vâ : I j

rapport qui est le même que celui de r à //, d’où il suit que les laces .ç, s , seraient des rliombes semblables à ceux du dodécaèdre rbomboïdal.

Lorsque n=i,le rapport de ao: H (fig. 127), d’où dérive l’incidence des carrés 5, s (fig. i3o) surM, est aussi celui de V^2 à i , et ainsi celle incidence est exactement de 1 35‘b

Les facettes qui réalisent l’existence de la propriété indiquée existent dans plusieurs autres variétés, où elles se combinent avec d’autres facettes qui cbangent leur figure en celle d’un polygone plus ou moins composé, et allèrent les traits caractéristiques de la même propriété. Je citerai deux de ces dernières variétés.

L’une, qui appartient à l’émeraude, et que je nomme émeraude soustractive, est représentée

(fig. i35), et a pour signe MPBÜA. Les facettes s

deviennent alors des hexagones symétriques. Yoici les mesures des principaux angles.

Incidence de M sur « , 1 27'' 45' ; de M sur t, 1 20“*. Cette valeur est rigoureuse. De M sur «,

de P sur s, iSS**. Cette valeur est aussi rigoureuse. De P sur f, i5o‘*j de P sur w, i3o^53'.

L’autre variété est la plus composée de celles que présente la chaux phosphatée. Sa forme est représentée (Cg. 1^6); elle porte le nom de chaux phoa-

phatée doublante ^ et a pour signe MBBBA*A*P. Les

facettes 5, 5, sont ici des octogones irréguliers. Les mesures des principaux angles sont les suivantes. Incidence de M sur r, 1 1 a** 1 2' ; de M sur s , exactement 1 35*^ ; de M sur x, 1 29^ 1 3' 5 de M sur «, 1 49^ 3' ; de M sur z, 148^ 3i'; de P sur r, Î57^47^j >1® P s»*" ia5^ i5'j de P sur as, i4o^46^j >1® ï* siur z, 121*^28'; de « .sur «, 165^57'.

On trouvé la variété qui vient d’être décrite, en cristaux incolores et d’une belle transparence, au Saint-Gothard, sur un feld-spath granulaire, ou dans un mélange de feld-spalh , de mica et de talc chlôrite.

DU DODÉCAÈDRE RHOMBOÏDAE.

G8. Nous avons vu (t. 1, p. 47) q>>c le dodécaèdre rliomboïdal soumis à la division mécanique se résolvait d’abord en quatre rhomboïdes, qui représentent les molécules soustractives, et ultérieurement en vingt-quatre tétraèdres, semblables aux moléciües intégrantes. L’analogie entre la forme de ce dodécaèdre et celle du rliomboïde donne naissance à une propriété qui la distingue des autres formes avec

ï8o TRAITÉ

lesquelles elle partage le caractère de limite. Elle consiste en ce qu’elle est susceptible d’offrir deux systèmes de cristallisation , dont l’un se rapporte au grenat, à la sodalite , etc. , et l’autre jusqu’ici appartient exclusivement au zinc sulfuré. Pour concevoir le premier, par lequel je commencerai l’exposition de la théorie, il est à remarquer que le dodécaèdre ayant huit angles solides composés de trois angles plans, on peut choisir à volonté, parmi les premiers, ceux dont les sommets sont indiqués par les lettres o, 7», n, X (fig. 1 37), ou ceux qui ont leurs sommets aux points l, P , r, U J comme résultats immédiats de la division mécanique. La cristallisation agit conformément à ce double mécanisme de structure, c’est-àdire que les décroissemens qui ont lieu autour de cliacun des huit angles solides trièdres sont dans le même cas que si l’angle était le sommet d’un rhomboïde, ou, ce qui revient au même, comme si les arêtes qui leur servent de lignes de départ étaient les bords supérieurs d’un rhomboïde^ d’où il suit que tous les angles solides trièdres et tous les bords sont identiques. Nous verrons qu’il en est tout autrement du point de vue auquel se rapporte le second système.

69. Mais avant d’en venir aux applications de la théorie, j’ai à déterminer deux formules dont on sentira bientôt l’utilité, et que je généraliserai , parce qu’elles s’étendent aux rhomboïdes, qui, dans d’autres espèces , font la fonction de formes primitives.

Supposons d’abord deux décroissemens qui aient

DE CRISTALLOGRAPHÎE.

à la fois l’un sur les bords supérieurs B (fig. i38) , l’autre sur les bords inférieurs D d’un rhomboïde quelconque, de manière que les faces qui en naîtront fassent de part et d’autre des angles égaux avec les rliombes sur lesquels ils agissent. Soit r! l’exposant du premier et n celui du second ; l’une de ces quantités étant donnée, on propose de trouver l’autre.

Soit almr (lîg. 1 38) la coupe transversale du rhomboïde, que nous supposerons d’abord être obtus, a étant le point par lequel passe le bord supérieur. Soient au^lu^ les directions des faces produites , qui correspondent au rliombe dont al est la diagonale oblique, auquel cas le triangle lua sera isocèle. Menons us perpendiculaire sur a/, ensuite uz parallèle à ar, puis mt perpendiculaire sur ml. Soient e' et p\ les demi-diagonales ol et ao. Le triangle usz étant semblable au triangle mf^, on aura (t. I, p. 28G)

uz \ szV.ml'. h’.', %p*‘ \ — p'*.

De plus,

az\ uzV. n' : !•; doue, d’une part.

donc

uz = et de l’autre uz'=-~,

az sz . ap

7^^—, et az : «JS :: 2p

/» • tL

Maintenant uz étant une dimension en liautcur commime aux deiu décroissemens , on a

Iz .az •• n-n .

Or,

donc

mais

donc

/z = /s -4“ sz = as sÇsz) ; az~\-2sz l az'.l ni n;

az : sz II 2p* l — -J — ,

ap* : 2/ • :: /î :

2p'^n' + 2g'* — 2p'* : 2p'* Il n I ,

2//*rt = 4- 2g’' 2/j'* J

fir'*— p'*

/ ff'*— p'»

w =ra — c —

Si le rhomboïde était aigu , ou aurait

Supposons que le rhomboïde soit celui de la chaux carbonatée, et que l’exposant du décroissement sur li soit l’unité. On aura

Ce cas a été réalisé par la cristallisation dans la

variété didodécaèdre de chaux carbonatée que repré-

fl fl

sente la figure i^o, et dont le signe est eüB.

cy s

DE CRISTALLOGRAPHIE, i83

Concevons maintenant que les deux décroissemens combinés agissent l’un sur l’angle supérieur A, l’autre sur l’angle inférieur e d’un rhomboïde, de manière que les faces qui en résultent forment des angles égaux avec le rhombe auquel ils se rapportent. Soit n' l’exposant du premier, n celui du second, ces deux quantités désignant les nombres de rangées soustraites. Cherchons une formule à l’aide de laquelle l’une étant connue serve de donnée pour trouver l’autre.

Soit adeb (Gg. i4i ) la coupe principale du rhomboïde, que nous supposons être obtus, et soient g' et p' les demi-diagonales de chaque rhombe. af et bf étant les directions des faces produites par les deux décroissemens , menons fo et ak perpendiculaires l’une sur ab , l’autre cd, puis fy parallèle à ad. Le triangle afb sera isocèle, et les triangles ayf, byf, pourront représenter les triangles mensurateurs relatifs aux deux décroissemens.

Le triangle Tqr étant semblable au triangle aAc?, dans lequel ak est le sinus et dk le cosinus du petit angle de la coupe principale , on aura ( 1. 1 , p , 286).

fo:oy ::ak : —

yf'.qyi:\/ [oyf : fo

D’une autre part

donc

yf ‘ ay :: y/g'^+p'* : p'n'-,

yf=oy\/iï±Il

et d’après la première proporlion

donc

ayoY- t/®ï±25 . Jt±Pl.. * c/ W-

"Jr-or-- V • V p'n' -'P " *o P •

De plus,

by : ay ’• n l n',

à cause de la dimension yf commune aux deux déw

croissemens ; ou

hO’\-oy • ay ’.l n'- n'y

ay-\--ioy : ayv.n \ n \ et niettant à la place de et oy leurs valeurs , p'n —'ip* . p'n y.n'.n -,

donc

p'*n'-\- Q,g''n' — 2p'V = p''nn' y

p''n-^2g'' — <2p'' =p''nj d’où l’on tire

Digilized by Gt)Ogle

Si le rhomboïde est aigu , on aura

et n' = 7z-f

Ces deux formules s’appliquent au prisme hexaèdre r^her de la chaux carbonatée. Faisant «' = i , on trouve 72 = 2. Les angles formés par les deux faces produites , dont l’une est la base du prisme et l’autre le pan correspondant, avec celles qui leur correspondent sur la forme primitive , sont alors de 45*^ j comme cela est évident, d’après ce qui a été dit de la limite à laquelle se rapporte l’inclinaison de ces derpières faces.

70. Nous avons encore à déterminer le rapport entre les deux demi-diagonales ^ et p des rhombes du dodécaèdre qui est le sujet de cet article. Voici une manière très simple de parvenir à cette détermination. Si l’on trace les petites diagonales ux, r», or, ou (fig. 137), des faces qui se réunissent autour d’un même angle solide, tel que h, composé de quatre plans , il est évident qu’elles formeront un carré. De plus, les grandes diagonales ts, sy, hy,th, des quatre laces adjacentes aux précédentes forment de même un carré qui est parallèle au premier. Imaginons maintenant que celui-ci se meuve parallèlement à lui-mcme le long de l’axe qui va de k eu f, justpi’à

ce (ju’il coïncide avec le plan de l’autre carré sthj-, il est clair qu’alors le point r se trouvera placé au milieu de la diagonale sy^ le point o au milieu de la diagonale st, etc. , de manière que le cdrré orxu sera inscrit dans le carré sthy^ comme on le voit (fig. 142)) d’où l’on conclura que la grande diagonale est à la petite, ou, ce qui revient au même, que g est àjj, comme le côté du carré circonscrit est à celui du carré inscrit, c’est-à-dire comme \/2 est à l’unité.

Je donnerai aussi une solution analytique du même problème. Si parmi les quatre axes qui passent par les angles solides trièdres nous en choisissons un à volonté , tel que celui qui serait mené par l’angle 0 (lig. 143), nous pourrons considérer le dodécaèdre comme un prisme hexaèdre régulier, ayant pour laces latérales les rhombes , sufl, etc., et terminé vers chaque sommet par trois rhomhes, tels que krso , soit, utoh. Maintenant , ayant mené Ix perpendiculaire sur tn, si l’on fait passer par Ix un plan situé perpendiculamement au rhoml)e Ifnt , il est évident que la section de ce plan dans le prisme sera un hexagone régulier. Ayant mené les grandes diagonales ks,st, kt, des rhomhes supérieurs, supposons que le triangle équilatéral qu’elles composent s’abaisse, en restant parallèle à lui-même, jusqu’à ce qu’il coïncide avec l’hexagone dont j’ai parlé. Il se trouvera inscrit dans cet hexagone , et parce que Ix est un des côtés de celui-ci , si nous désignons par g la moitié de la diagonale st , prise pour exemple,

DE Cr.ISTAEr.OT.RAl’lIIE.

nous aurons

g : Ix :: y/3: ^4;

Or, l’angle Ito étant égal à l’angle Un, et ces deux ailles ayant pour côté commun l’aréle U, si nous menons li perjicndiculaire sur ot, nous aurons

Ix — li

d’où l’on tire, donc g- p : i , ce

qui est le même rapport (jue ci-dessus.

71. Soit Ik (fig. i44) rhomboïde dont les faces supérieures sont désignées par les mêmes lettres (fig. 143 ). Ayant abaissé ox(fig. 1 44 )j Perpendiculaire sur le côté It, nous aurons

ot I tx :: • g* — P* 3 : i ,

d’où il suit que le cosinus du petit angle plan des faces du rhomboïde est le tiers du rayon. D’une autre part , le rayon est au cosinus du petit angle saillant , tel que celui que forment entre eux les rhombes sotl, cltu, ;; 2p* g‘ — P* 2 : i; c’est-à-dire que sou

cosinus est la moitié du rayon, d’où il suit que cet angle est de 60^*, et le grand angle de i20‘*.

A l’égard des tétraèdres qui sous-divisent le dodécaèdre, leurs (aces sont des triangles isocèles égaux et semblables soit entre eux, soit aux moitiés des

i88 TRAITÉ

rhombes du dodécaèdre, sous-divisés dans le sens de leurs petites diagonales. Pour le prouver, je remarque d’abord que , dans chacun des rhomboïdes composés de six tétraèdres, la valeur de l’axe S/9P* — ^g"r ou \/3 est égale à qui est celle de chaque

côté du rhombe. Cela posé , soit toujours rt(fig. i44) le rhomboïde dont le sommet extérieur est au point o (fig. 1 43). Ayant mené l’axe oc (fig. i44)» et les petites diagonales ol, es, des rhombes oslt , rcls, considérons le tétraèdre qui a pour faces les triangles os/, csl, ocs, col. 11 est d’abord évident que chacun des deux premiers a pour base une petite diagonale , et pour côtés deux de ceux qui terminent un même rhombe. De plus ,1e triangle ocs a pour base la petite diagonale es, et de ses deux côtés os, co, l’un lui est commua avec le rhombe sotl,et l’autre est l’axe du rhomboïde qui est égal au côté du rhombe. Enfin , le triangle col a pour base la petite diagonale 0/, et de ses deux côtés , l’un cl lui est commun avec le rhombe ers/ , et l’autre co est l’axe du rhomboïde. Donc , etc.

Dans le même tétraèdre, les deux triangles osl, ocs, font entre eux un angle droit; c’est une suite de ce que le plan mené par la petite diagonale es et par l’axe os est perpendiculaire sur celui du rhombe ers/. Par une raison semblable, les deux triangles col, csl, font entre eux un angle droit. D’une autre part, l’angle que forment entre eux les deux triangles osl, csl, est de 60**, comme étant le supplément de l’inclinaison respective des rhombes soll, Jiotu. Enfin,

les deux triangles osl, col, font entre eux le même angle de 60*^ , comme étant la .moitié de l’incidence du rhombe sotl sur le rhombe kosr. Il semble qu’à quelque endroit que la Géométrie touche le dodécaèdre rhomboïdal, elle en fasse sortir un caractère de symétrie.

72. Je vais maintenant exposer les résultats de la cristallisation du dodécaèdre dont il s’agit, en le considérant sous le rapport du premier des systèmes que j’ai annoncés, et d’après lequel sa notation sera celle que présente la fig. i45 , où tous les bords sont désignés par la meme lettre B. Supposons des décroissemens qui aient lieu par une rangée de molécules soustractives rhomboïdales sur les bords dont il s’agit. Ces décroissemens feront naître au-dessus de chaque rhombe, tel que A:r5o(fig. i43 et i46), une pyramide quadrangulaire krsqy , dont les faces seront des triangles scalènes. Et parce que le décroissement qui agit de part et d’autre d’une même arête , telle que os, suit la même loi, les deux faces adjacentes osy , osr, dans les pyramides voisines seront sur un même plan, et formeront des trapézoïdes syov, vsyl, etc. , en sorte que la surface 4“ cristal secondaire sera composée de 24 de ces trapézoïdes, égaux et semblables entre eux. De là le nom de grenat trapézoïdal que je donne à la variété de ce minéral, qui offre la forme <pio je viens de décrire , et que représente la fig. 147.

Son signe est B.

igo TRAITÉ

J’ai démontré plus haut que le cube , considéré comme forme primitive, était susceptible de produire un solide semblable, en vertu d’un décroissement par deux rangées sur ses diflërens angles. Nous verrons bientôt que les lois de la structure se prêtent à deux nouvelles solutions du même problème , dont l’une appartient à la théorie de l’octaèdre régulier, et l’autre à celle du tétraèdre régulier.

11 est facile , sans avoir recours aux formules , de déterminer les incidences mutuelles des trapézoïdes. Soit j'z la hauteur de la pyramide qui a son sommet en J'. Je mène zp perpendiculaire sur os , puis 11 est visible que le trapézoïde j'sw , étant également incbné sur les deux rhombes sotl , sokr , qui font entre eux un angle de lao*^, doit en faire un de3o'* avec chacun d’eux, d’où il suit quej'/;z = 3o'b Donc

pz yz :: : i.

Mais

pz =

sz X oz

donc